Tema 3: Procedimientos de Constrastación y Selección de Modelos

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1 Tema 3: Procedmentos de Constrastacón y Seleccón de Modelos

2 TEMA 3: PROCEDIMIENTOS DE CONTRASTACIÓN Y SELECCIÓN DE MODELOS 3) Introduccón a los Modelos con Restrccones Estmacón Restrngda 3) Contrastes de Seleccón de Modelos - Razón de Verosmltud - Test de Wald - Multplcadores de Lagrange - Contraste de Nuldad de un Subconjunto de Parámetros 33) Contraste de Chow de Cambo Estructural 34) Contraste RESET de Ramsey

3 TEMA 3: Procedmentos de Contrastacón y Seleccón de Modelos 3) Introduccón a los Modelos con Restrccones Y X β + U MODELO U N( ϑ, σ I) d u MCO ( X ' X ) X ' Y ˆ MCO β - LINEAL W Y βˆ MCO ˆ β ) E( MCO - INSESGADO β lm ˆ β - CONSISTENTE β n MCO - ÓPTIMOS PREGUNTA: Se Podría Mejorar la Estmacón MCO? La ncorporacón al proceso de estmacón de algún tpo de INFORMACIÓN EXTRÍNSECA e INSESGADA sobre los parámetros del modelo podría permtr una mayor precsón de los (varanza más pequeña) βˆmco 3

4 TEMA 3: Procedmentos de Contrastacón y Seleccón de Modelos 3) Introduccón a los Modelos con Restrccones Un Ejemplo: MODELO NO-LINEAL MODELO BASADO EN LA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN COBB-DOUGLAS en donde Y es el output K es el factor productvo captal Y γ K L U α β LINEALIZABLE CÓMO?,,n L γ es el factor productvo trabajo α y β, Son los parámetros del modelo U es la perturbacón Consderando un Modelo Doble-Log 4

5 TEMA 3: Procedmentos de Contrastacón y Seleccón de Modelos 3) Introduccón a los Modelos con Restrccones Un Ejemplo: MODELO NO-LINEAL Y γ K L U α β LINEALIZABLE MCO ln( Y ) lnγ + α ln( K ) + β ln( L ) + ˆ γ αˆ βˆ CÓMO SE INTERPRETAN LOS COEFICIENTES ESTIMADOS? ln( U ) ELASTICIDADES 5

6 TEMA 3: Procedmentos de Contrastacón y Seleccón de Modelos 3) Introduccón a los Modelos con Restrccones Un Ejemplo: Vamos a suponer que dsponemos de INFORMACIÓN EXTRÍNSECA E INSESGADA que confrma la HIPÓTESIS DE RENDIMIENTOS CONSTANTES A ESCALA H : α + β β α Incorporando la Informacón en el Modelo obtenemos ln( Y ) lnγ + α ln( K ) + β ln( L ) + ln( U α + β ) ln Y L K lnγ + α ln L + ln( U ),,n 6

7 TEMA 3: Procedmentos de Contrastacón y Seleccón de Modelos 3) Introduccón a los Modelos con Restrccones Un Ejemplo: Y ln L QUÉ OBSERVAMOS? K lnγ + α ln L + ln( U ) MODELO RESTRINGIDO Modelo que resulta de aplcar la restrccón β α Hay un Menor Número de Parámetros a Estmar Las Varables del Modelo Restrngdo son Dferentes Varable Dependente Varable Independente Y ln L K ln L Output por Trabajador Captal por Undad de Trabajo 7

8 TEMA 3: Procedmentos de Contrastacón y Seleccón de Modelos 3) Introduccón a los Modelos con Restrccones Un Ejemplo: PREGUNTA: La Estmacón MCO en el Modelo Restrngdo será MÁS PRECISA que en el Modelo General? Modelo Restrngdo ModeloGeneral Var( ˆ α ) < Var( ˆ α )? MCO MCO RESPUESTA: SÍ Por qué? Dado el msmo número de observacones n, en el modelo restrngdo hay que estmar un menor número de parámetros 8

9 9 3) Introduccón a los Modelos con Restrccones n n L K L K L K X ln ln ln * TEMA 3: Procedmentos de Contrastacón y Seleccón de Modelos Un Ejemplo: ) ln( ln ln ln U L K L Y + + α γ ( ) * *' * *' * ˆ ˆ Y X X X MCR β β MÍNIMOS CUADRADOS RESTRINGIDOS n n L Y L Y L Y Y ln ln ln * QUÉ VENTAJAS SE OBTIENE DE MCR? S la Hpótess es certa β MCR β ˆ ˆ * es un estmador Lneal Insesgado, Consstente, Óptmo y con una menor varanza que aplcado βˆmco al modelo sn restrccones

10 TEMA 3: Procedmentos de Contrastacón y Seleccón de Modelos 3) Introduccón a los Modelos con Restrccones Un Ejemplo: PREGUNTA CÓMO SABER SI LA HIPÓTESIS DE RENDIMIENTOS CONSTANTES A ESCALA ES CIERTA?? α + β Especfcar el Contraste H : α + β Defnr el Estadístco t ˆ α + ˆ β Var ˆ α + ˆ β ( ˆ α + ˆ β ) Var( ˆ) α + Var( ˆ) β Cov( ˆ, α ˆ β ) d tn K 3 Regla de Decsón S t < t n K Aceptamos H : α + β

11 TEMA 3: Procedmentos de Contrastacón y Seleccón de Modelos 3) Introduccón a los Modelos con Restrccones Un Ejemplo: PROCEDIMIENTO SEGUIDO EN LA ESTIMACIÓN MCR Incorporar la Restrccón en el Modelo General α + β ln( Y ) lnγ + α ln( K ) + β ln( L ) + ln( U ) 3 Especfcar el Modelo Transformado o Restrngdo Y ln L K lnγ + α ln L Calcular los MCO del Modelo Restrngdo ˆ * β ˆ β MCR + ln( U ( *' *) *' * X X X Y )

12 TEMA 3: Procedmentos de Contrastacón y Seleccón de Modelos 3) Introduccón a los Modelos con Restrccones Un Ejemplo: PROBLEMAS DE SEGUIR ESTE PROCEDIMIENTO Exsten complcacones s el número de restrccones es mayor que Puede suceder que el modelo restrngdo sea complejo SOLUCIÓN Defnr los Estmadores MCR de forma general

13 TEMA 3: Procedmentos de Contrastacón y Seleccón de Modelos 3) Introduccón a los Modelos con Restrccones MÍNIMOS CUADRADOS RESTRINGIDOS De forma general vamos a suponer que exste q restrccones lneales de los parámetros: R β r o R β r en donde R qx ( ( K +) ) Matrz de Coefcentes Constantes (no estocástcos) β( K +) x Vector con los Parámetros del Modelo r qx Vector con Valores Correspondentes a la Hpótess Nula 3

14 TEMA 3: Procedmentos de Contrastacón y Seleccón de Modelos 3) Introduccón a los Modelos con Restrccones MÍNIMOS CUADRADOS RESTRINGIDOS Ejemplos de la Notacón Matrcal H : β R β Tenemos Restrccón R [ x( K ) ] [( K + ) x] x + β [ ] r r β β β K ( q ) 4

15 TEMA 3: Procedmentos de Contrastacón y Seleccón de Modelos 3) Introduccón a los Modelos con Restrccones MÍNIMOS CUADRADOS RESTRINGIDOS Ejemplos de la Notacón Matrcal H : β + β R β Tenemos Restrccón R [ x( K ) ] [( K + ) x] x + β [ ] r r β β β K ( q ) 5

16 TEMA 3: Procedmentos de Contrastacón y Seleccón de Modelos 3) Introduccón a los Modelos con Restrccones MÍNIMOS CUADRADOS RESTRINGIDOS Ejemplos de la Notacón Matrcal R β r H : β + β 3 H 3 y Tenemos Restrccón R [ x( K ) ] [( K + ) x] x + β : β β3 + βk β β β β3 3 β K r ( q ) 6

17 7 MÍNIMOS CUADRADOS RESTRINGIDOS Ejemplos de la Notacón Matrcal r R β 3) Introduccón a los Modelos con Restrccones TEMA 3: Procedmentos de Contrastacón y Seleccón de Modelos : K H β β β 3 β K β β β β ( ) q K [ ] [ ] ) ( ) ( Kx x K K Kx r R + + β 4 Tenemos K Restrccón

18 TEMA 3: Procedmentos de Contrastacón y Seleccón de Modelos 3) Introduccón a los Modelos con Restrccones MÍNIMOS CUADRADOS RESTRINGIDOS Contrastar el Cumplmento de las Restrccones H : R β Otras formas equvalentes F e * r ( e *' e * e' e) y F q e' e n K * β ( R ˆ β r) ' [ RVar ˆ ( ˆ β ) R' ] ( R ˆ β r) d F q, n K o q F ( ˆ * ˆ) ' ' ( ˆ * β β X X β ˆ β ) q e' e n K (Ver demostracón) donde son los resduos y los coefcentes estmados de la regresón 8 restrngda

19 TEMA 3: Procedmentos de Contrastacón y Seleccón de Modelos 3) Introduccón a los Modelos con Restrccones MÍNIMOS CUADRADOS RESTRINGIDOS Contrastar el Cumplmento de las Restrccones REGLA DE DECISIÓN S F > F q, n K,α Se Rechaza la Hpótess Nula H : R β r NO MCR Se Acepta la Hpótess Nula S F F q, n K,α H : R β r SÍ MCR 9

20 TEMA 3: Procedmentos de Contrastacón y Seleccón de Modelos 3) Introduccón a los Modelos con Restrccones Cómo Calcular los EMCR? MÍNIMOS CUADRADOS RESTRINGIDOS SCE ee ( Y X ˆ β ) ( Y X ˆ β ) { ˆ ' ' β } mn S a: R ˆ β r (Ver demostracón) ˆ β R ˆ β MCO + ( X ' X ) R' R ( X ' X ) ( ) R' ( r R ˆ β ) MCO

21 TEMA 3: Procedmentos de Contrastacón y Seleccón de Modelos 3) Contrastes de Seleccón de Modelos 3) El Contraste de Razón de Verosmltud Sea: un Vector de Parámetros a Estmar ϑ H la Hpótess Nula en la que se ndca alguna restrccón: H : R θ θ el Estmador de Máxma Verosmltud sn tener en cuenta la restrccón ϑˆu ϑˆr el Estmador de Máxma Verosmltud tenendo en cuenta la restrccón ( ) Lˆ ϑˆ ( ) Lˆ ϑˆ u u y R R las funcones de verosmltud evaluadas en ϑˆu y respectvamente: ˆ L u Lˆ R maxl { ϑ Θ} ( Y, ϑ) ( ) maxly, ϑ { ϑ W } ϑ w Θ R Θ Θ ϑ u ϑˆr en donde es el espaco de parámetros y es un subconjunto de ese espaco: W

22 TEMA 3: Procedmentos de Contrastacón y Seleccón de Modelos 3) Contrastes de Seleccón de Modelos 3) El Contraste de Razón de Verosmltud Defncón: La Razón de Verosmltud λ Lˆ Lˆ R u λ [,] λ Idea: S toma un valor muy bajo entonces dudaremos de la valdez de la restrccón ( por qué?) ESTADÍSTICO DEL CONTRASTE RAZÓN DE VEROSIMILITUD: RV Regla de Decsón: [ ] log( ˆ ) log( ˆ ) χ log( λ) L u L R q d donde q es el número de restrccones S RV > χ q,α Se Rechaza la Hpótess Nula de Valdez de las Restrccones

23 TEMA 3: Procedmentos de Contrastacón y Seleccón de Modelos 3) Contrastes de Seleccón de Modelos 3) El Contraste de Wald Sea: el Vector de Parámetros Estmados obtendo sn tener en cuenta las ϑˆu restrccones La Hpótess Nula en la que se ndca alguna restrccón: ESTADÍSTICO DE WALD: W H : R θ ϑ [ ]' [ ( ) ] ' [ ] d R ˆ ϑ ϑ RVar ˆ ˆ ϑ R R ˆ ϑ ϑ χ u u q Regla de Decsón: S W > χ q,α Se Rechaza la Hpótess Nula de Valdez de las Restrccones 3

24 TEMA 3: Procedmentos de Contrastacón y Seleccón de Modelos 3) Contrastes de Seleccón de Modelos 3) El Contraste de Wald Ejemplo: El Contraste de Wald con una Restrccón H H : θ θ : θ θ W [ ]' [ ] ˆ θ ϑ Var( ˆ) θ [ ˆ θ ϑ ] W ( ) ˆ θ ϑ d Var( ˆ) ϑ χ Regla de Decsón: S W > χ, α Se Rechaza la Hpótess Nula de Valdez de las Restrccones 4

25 TEMA 3: Procedmentos de Contrastacón y Seleccón de Modelos 3) Contrastes de Seleccón de Modelos 33) El Contraste del Multplcador de Lagrange FUNCIÓN DE MÁXIMA VEROSIMILITUD ( ϑ) L u { ϑ} ( ϑ) maxly, ϑ Θ CPO: ( L ( Y, ϑ) ) log u S( ϑ) ϑ SCORES DEL MODELO [( K +x ) ] ˆ ϑ S ( ˆ ϑ u u ) 5

26 TEMA 3: Procedmentos de Contrastacón y Seleccón de Modelos 3) Contrastes de Seleccón de Modelos 33) El Contraste del Multplcador de Lagrange Supongamos ahora el Modelo Restrngdo consderando la Hpótess Nula H : R θ ϑ S esta Hpótess es certa, entonces ( L ( Y, ˆ ϑ )) ˆ log u R S( ϑr ) ϑ S la Hpótess Nula es Certa, entonces la expresón del SCORE del Modelo No Restrngdo evaluado en el punto debe ser próxmo a cero ϑˆr 6

27 TEMA 3: Procedmentos de Contrastacón y Seleccón de Modelos 3) Contrastes de Seleccón de Modelos 33) El Contraste del Multplcador de Lagrange ESTADÍSTICO DEL CONTRASTE DEL MULTIPLICADOR DE LAGRANGE: L log ( ) ' ˆ [ ] ( ) ˆ d L ( Y, ϑ ) logl ( Y, ϑ ) u ' ϑ R Var( ˆ ϑ ) R u ' ϑ R χ q Regla de Decsón: S L > χ q,α Se Rechaza la Hpótess Nula de Valdez de las Restrccones Las Restrccones mpuestas no son Váldas: H : R θ ϑ 7

28 TEMA 3: Procedmentos de Contrastacón y Seleccón de Modelos 3) Contrastes de Seleccón de Modelos 34) Contraste de Nuldad Conjunta de un Subconjunto de Parámetros MODELO DE REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE Y X + U β + β X + β X + + βh Xh + βh+ Xh+ + βh+ Xh+ + + βk k El Contraste a Realzar será: H H : β h+ β h+ : Alguno β K 8

29 TEMA 3: Procedmentos de Contrastacón y Seleccón de Modelos 3) Contrastes de Seleccón de Modelos 34) Contraste de Nuldad Conjunta de un Subconjunto de Parámetros El Estadístco a emplear será: en donde: F SCE R u d K h FK h, n K SCEu n K SCE SCE es la Suma de los Cuadrados de los Errores del Modelo Restrngdo Es R decr, es la SCE obtenda al regresar Y X X,,, SCE es la Suma de los Cuadrados de los Errores del Modelo Sn Restrngr u Es decr, es la SCE obtenda al regresar Y X X,, X, X, X,, X X h, h h+ h+ 9 K

30 TEMA 3: Procedmentos de Contrastacón y Seleccón de Modelos 3) Contrastes de Seleccón de Modelos 34) Contraste de Nuldad Conjunta de un Subconjunto de Parámetros La Regla de Decsón será: F F K S h,, n K, α F > F K K S h,, n, α Se Acepta la Hpótess Nula de Valdez de las Restrccones Se Rechaza la Hpótess Nula de Valdez de las Restrccones Regón Aceptacón ( α ) α F K +, n K,α 3

31 TEMA 3: Procedmentos de Contrastacón y Seleccón de Modelos 33) El Contraste de Chow de Cambo Estructural Permanenca o Constanca Estructural 9 8 Y ˆ β ˆ β + e + X

32 TEMA 3: Procedmentos de Contrastacón y Seleccón de Modelos 33) El Contraste de Chow de Cambo Estructural Cambo Estructural 9 Y ˆ ˆ + e β + β X Y α α + e A ˆ + ˆ X Y ˆ β ˆ β + e + X Y δˆ δˆ + e B + X

33 TEMA 3: Procedmentos de Contrastacón y Seleccón de Modelos 33) El Contraste de Chow de Cambo Estructural EL CONTRASTE DE CHOW: PROCEDIMIENTO PRIMER PASO Realzar la Partcón de la Muestra en Submuestras - La que tene las N A Prmeras Observacones de la Muestra - La que tene las N B Últmas Observacones de la Muestra N + NB A N 33

34 TEMA 3: Procedmentos de Contrastacón y Seleccón de Modelos 33) El Contraste de Chow de Cambo Estructural EL CONTRASTE DE CHOW: PROCEDIMIENTO SEGUNDO PASO Especfcar el Contraste de Hpótess H H : β : β A A β β B B β Y X β + ε Y X β + ε? A A B B - Aceptar la Hpótess Nula es Indcatvo de Permanenca Estructural de los Parámetros - Rechazar la Hpótess Nula es Indcatvo de Cambo Estructural Los Parámetros del Modelo no pueden consderarse constantes 34

35 TEMA 3: Procedmentos de Contrastacón y Seleccón de Modelos 33) El Contraste de Chow de Cambo Estructural EL CONTRASTE DE CHOW: PROCEDIMIENTO TERCER PASO Determnar el Estadístco F ' ' [ e' e ( e e + e e )] K + F K ' ' ( e e + e e ) ( N + N ( K + ) ) A A A A B A B B B B d ( K + ),( N + N ( + ) ) A B 35

36 TEMA 3: Procedmentos de Contrastacón y Seleccón de Modelos 33) El Contraste de Chow de Cambo Estructural EL CONTRASTE DE CHOW: PROCEDIMIENTO CUARTO PASO Regla de Decsón F F - S ( K + ),( N + N ( K + ) ), α Rechazar A B EXISTE UNA DIFERENCIA SIGNIFICATIVA ENTRE ESTIMAR LAS REGRESIONES SEPARADAS O LA REGRESIÓN CONJUNTA H F < F K - S ( K + ),( N + N ( + ) ), α Aceptar A B H 36

37 TEMA 3: Procedmentos de Contrastacón y Seleccón de Modelos 33) El Contraste de Chow de Cambo Estructural EL CONTRASTE DE CHOW: CUESTIONES Y LIMITACIONES F Es necesaro determnar prevamente el Punto de Corte Es un elemento fundamental ya que el contraste es muy sensble a N A La stuacón deseable es que determne submuestras de tamaño aproxmadamente equvalente a la mtad del tamaño muestral S N A está próxmo a alguno de los extremos de la muestra es aconsejable emplear ' [ e' e e e ] A A d NB F ' NB, NA K ( ea ea ) ( N ( K + ) ) A o F ' [ e' e e e ] ( N ( K + ) ) N A B B d NA F ' NA, NB K ( eb eb ) B N A 3 El Test de Chow se puede emplear tanto con datos temporales como con datos de corte transversal 37

38 TEMA 3: Procedmentos de Contrastacón y Seleccón de Modelos 34) El Contraste Reset de Ramsey MODELO DE REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE Y β + β X + + βk XK + U FORMA FUNCIONAL LINEAL Qué Sucede s la Forma Funconal No es la Correcta? ESTIMADORES SESGADOS Y POCO PRECISOS Cómo verfcar que el Modelo está Ben Especfcado? TEST DE RAMSEY 38

39 TEMA 3: Procedmentos de Contrastacón y Seleccón de Modelos 34) El Contraste Reset de Ramsey ESTÁ EL MODELO DE REGRESIÓN CORRECTAMENTE ESPECIFICADO? PRIMER PASO Estmar el Sguente Modelo p j + β X + + βk XK + γ j Yˆ j Y β + U p j γ jy ˆ j en donde es la suma del ajuste obtendo elevado a dstntas potencas (generalmente p) Ŷ 39

40 TEMA 3: Procedmentos de Contrastacón y Seleccón de Modelos 34) El Contraste Reset de Ramsey ESTÁ EL MODELO DE REGRESIÓN CORRECTAMENTE ESPECIFICADO? SEGUNDO PASO Especfcar el Contraste de Hpótess POR QUÉ ESTE CONTRASTE? H H : γ γp : a lgunoes γ S algún j es sgnfcatvo, entonces la especfcacón ncal es Incorrecta Y β + β X + + βk XK + U MAL ESPECIFICADO 4

41 TEMA 3: Procedmentos de Contrastacón y Seleccón de Modelos 34) El Contraste Reset de Ramsey ESTÁ EL MODELO DE REGRESIÓN CORRECTAMENTE ESPECIFICADO? TERCER PASO Determnar el Estadístco y la Regla de Decsón El Estadístco F para contrastar la nuldad de un conjunto de parámetros S F F P ( ),( n K + p ), α El Modelo está MAL ESPECIFICADO El Estadístco t s se ntroduce sólo el cuadrado del ajuste (p) S t t n K + p,α El Modelo está MAL ESPECIFICADO 4