El proceso de calcular la derivada se denomina derivación. Se dice que ( ) es derivable en c si existe ( ), es decir, lim. existe
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- Antonia Hidalgo Salas
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1 DEFINICIÓN DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN La derivada de una función () respecto de (x) es la función () (se lee f prima de (x) y está dada por: ()=lim (+h) () h El proceso de calcular la derivada se denomina derivación. Se dice que () es derivable en c si existe (), es decir, lim ()() existe La derivada se puede interpretar como la pendiente de una recta tangente a una curva en un punto determinado o como una razón de cambio instantánea. Al calcular el límite lim ()() lo que sucede es que el punto Q empieza a acercarse hacia el punto P hasta que llegar muy próximo a él (ver gráfica), en ese momento se está calculando la derivada de f(x) en el punto x=c representada por la pendiente de la recta tangente en el punto (c,f(c)). REGLAS DE DERIVACIÓN 1. Derivada de una constante Sea la función ()=, donde c es una constante o número real. La derivada será ()=0. Ejemplo 1: ()=9 ()=0 Ejemplo : ()= ()=0 Ejemplo 3: h()= 5 h ()=0
2 . Derivada de una potencia de x Sea la Función ()=, la derivada será ()=, donde n es cualquier número real. Ejemplo 1: ()= ()=3 =3 Ejemplo : ()= ()=5 =5 Ejemplo 3: ()= ()=( ) = 3. Derivada de una constante por una función Sea la Función ()=, la derivada será `()= Ejemplo 1: ()=6 ()=6(4) =4 Ejemplo : h()= h ()= (3) = 6 Ejemplo 3: ()=5 ()=5( 6) = 30 Ejemplo 4: ()=6 ()=6(1) =6 =6 4. Derivada de una suma o resta de funciones La derivada de una suma y/o diferencia de funciones es la suma y/o diferencia de las derivadas de cada uno de los términos por separado. Entonces: Ejemplo 1: ()= ()= anteriormente vistas. Ejemplo : ()= ()= Ejemplo 3: ()= 3 8 ()= Sea h()=[()±()±()] La derivada será h ()=[ ()± ()± ()] Derivar cada término por separado aplicando las reglas Exponentes fraccionarios y términos de la forma. Los términos de la forma para expresarlos como exponente se aplica la propiedad de radicación =.
3 Ejemplo 1: derivar la función ()=4 + El primer paso es convertir los radicales en exponentes ()=4 + función inicial Convertir el término en exponente aplicando = ()=4 + ()=4 + Derivar cada término por separado aplicando las reglas anteriormente vistas. ()= + Simplificando, resultado final. Ejemplo : derivar la función ()= 5 +4 El primer paso es convertir los radicales en exponentes ()= 5 +4 función inicial Convertir los términos con radical en exponente aplicando = ()= 5 +4 ()= 5 (3) Derivar cada término por separado aplicando las reglas anteriormente vistas. ()= 6 Simplificando, resultado final. 5. Derivada de un producto de funciones Sea h()=() (), la derivada será h ()=() ()+() (). Es decir, la derivada de un producto de dos funciones es: la primera, por la derivada de la segunda, más la segunda por la derivada de la primera". 6. Derivada de un cociente de funciones Sea h()= (),la derivada será h ()=() ()() () () [()] Es decir, la derivada de un cociente de dos funciones es: la segunda, por la derivada de la primera, menos la primera por la derivada de la segunda; dividida entre la segunda al cuadrado. El producto y cociente de funciones se desarrollará más adelante.
4 7. Regla de la cadena Si h()=[()], entonces la derivada es h ()=[()] () La regla de la cadena se utiliza para derivar funciones algebraicas de los siguientes tipos: ()= +1 Funciones Raíz ()=( 1) Función con paréntesis elevado a una potencia Es importante aclarar que la regla de la cadena es de amplio uso en las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. Ejemplo 1: derivar ()=( +3) ()=( +3) [()], en este caso la función +3 es la función interna y se encuentra elevada a la 6. ()=6( +3) (4) ()=4( +3) Organizar términos el 4x pasa a la izquierda Resultado final Ejemplo : derivar ()= +1. Aplicando la propiedad de radicación se transforma el radical en exponente.(()) =(()) ()= 1 =( 1) Aplicar propiedad de radicación ()=( 1) [()], en este caso la función 1 es la función interna y se encuentra elevada a la. ()= ( 1) ( 1) ()= ( 1)( 1) ()=( 4) ( 1) Pasar (x-1) a la izquierda Simplificar ()= ()= ( ) ( ) Bajar el término ( 1) con potencia positiva Convertir en radical el término ( 1)
5 8. Función exponencial. aplicación de la regla de la cadena Si ()= su derivada es ()= ( ), la variable es el exponente de (e) y ( ) significa derivada de (u). Ejemplo 1: derivar ()= ()= Función inicial ()= () ()= Pasar el número a la izquierda Respuesta Ejemplo : derivar ()= ()= Función inicial ()=( +1) El término ( +1) pasa a la izquierda Ejemplo 3: derivar ()= ()= Función inicial ()= ( 1 +5) ()=( 1 +5) Aplicar fórmula ()= ( ) El término ( 1 +5) pasa a la izquierda 9. Función logaritmo Natural (Ln), aplicación de la regla de la cadena Si ()=() su derivada es ()= ( ), la variable (u) es la que acompaña al logaritmo natural y (u ) es la derivada de (u). Ejemplo 1: derivar ()=( ) ()=( ) Función inicial ()= ()= Organizar la expresión como fracción para simplificar Respuesta
6 Ejemplo : derivar ()=(5 4 ) ()=(5 4) Función inicial ()= ( ) (0 8) Aplicar la fórmula ()= ( ) ()= ( ) ( ) Organizar los términos como fracción para simplificar ()= ( ) ()= ( ) Factorizar por factor común y simplificar Respuesta Ejemplo 3: derivar ()=( +1) ()=( +1) Función inicial ()=( +1) Convertir el radical +1 en exponente Para derivar la función ( +1) mirar el tema de regla de regla de la cadena para funciones algebraicas visto anteriormente. ()= ()( ) ( ) ()= ()( ) ()= ()= ( ) ( ) ( ) Organizar los términos como fracción para simplificar Simplificar los términos de bases iguales +1 Aplicar propiedad de potenciación de bases iguales Respuesta DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS A continuación se presentan las derivadas de las funciones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. 10. Función Seno Si ()=(), su derivada es ()=() ( ), la variable (u) es la que acompaña al Seno y (u ) es la derivada de u. Ejemplo 1: derivar ()=( +1) ()=( +1) ()=( +1) () ()=( +1) Pasar el término x a la izquierda Respuesta
7 11. Función Coseno Si ()=(), su derivada es ()= () ( ), la variable (u) es la que acompaña al Coseno y (u ) es la derivada de u. Ejemplo : derivar ()=( +4) ()=( +4) ()=(( +4) ) Convertir el radical +4 a exponente Para derivar la función ( +4) mirar el tema de regla de regla de la cadena para funciones algebraicas visto anteriormente. ()= ( +4) [3 ( +4) ] Simplificar y organizar (u ) ()= 3 ( +4) ( +4) Pasar a la izquierda 3 ( +4) ()= 3 ( +4) ( +4) Respuesta 1. Función Tangente Si ()=(), su derivada es ()= () ( ), la variable (u) es la que acompaña a la tangente y (u ) es la derivada de u. Ejemplo 3: derivar h()=tan ( ) h()=tan ( ) h ()=Sec ( ) (8 ) h ()=(8 ) Sec ( ) Pasar el término 8 a la izquierda Respuesta 13. Función Secante Si ()=(), su derivada es ()=() tan() ( ), la variable (u) es la que acompaña a secante y (u ) es la derivada de u. Ejemplo 4: derivar ()=Sec ( +) ()=Sec ( +) ()=Sec ( +) Convertir el término a exponente ()=Sec + + ( ) Aplicar ()=()tan() ( )
8 ()=( )Sec Función Cotangente Si ()=(), su derivada es ()= () ( ), la variable (u) es la que acompaña a cotangente y (u ) es la derivada de u. Ejemplo 5: derivar ()=cot (5 ) ()=cot (5 ) ()= csc (5 ) (10 1) ()= (10 1)csc (5 ) ()=(1 10)csc (5 ) Aplicar ()= () ( ) 15. Función Cosecante Si ()=(), su derivada es ()= csc() cot () ( ), la variable (u) es la que acompaña a cosecante y (u ) es la derivada de u. Ejemplo 6: derivar ()=csc (5 ()=csc (5 ) ) ()=csc (5 ) Convertir el término 5 en exponente ()= csc5 5 ( ) ()= csc5 5 Aplicar ()= csc()cot () ( ) DERIVADAS DE PRODUCTOS Y COCIENTES Regla del producto. Multiplicación de funciones Sea h()=() (), la derivada será h ()=() ()+() (). Regla del cociente. División de funciones Sea h()= (),la derivada será h ()=() ()() () () [()] Como se puede observar es un producto de funciones, para derivar se utiliza: h ()=() ()+() () Identificación de los términos en la función ()= 3 ()= ()= 3=( 3)
9 Calculamos las derivadas ()=1 ()= 1 ( 3) (1) ()= ( 3) Simplificando Aplicando la regla del producto para ()= 3 ()=() ()+() () ()=() ( 3) +( 3) (1) Remplazando en la fórmula ()= ( 3) +( 3) ()=( 3) ( +( 3)) ()=( 3) ( + 3) Simplificar la expresión Factorizar ( 3) por facto común Simplificar, romper paréntesis ()=( 3) ( 3) Operar términos semejantes ()= ( ) () Pasar el término ( 3) al denominador cambia de signo el exponente por propiedad de potenciación ()= ( ) Convertir el término del denominador en radical. Respuesta Ejemplo : derivar ()= () () Como se puede observar es un cociente de funciones, para derivar se utiliza: h ()= () ()() () [()] Identificación de los términos en la función ()= ()= ()= 1 Calculamos las derivadas ()=3 ()= () () Aplicando la regla de cociente para ()= ()= () ()() () [()] ()= () ( )( ) () () Remplazar en la fórmula ()= () ()= () Realizar operaciones Reducción de términos semejantes, respuesta
10 Como se puede observar es un producto de funciones, para derivar se utiliza: h ()=() ()+() () Identificación de los términos en la función ()= (7 ) ()= ()=(7 ) Calculamos las derivadas ()= (4) ()=4 ()= (7 ) 1 ()= 1 (7 ) Aplicando la regla del producto para ()= (7 ) ()=() ()+() () Remplazando en la fórmula ()=( ) 1 (7 )+((7 )) (4 ) ()= 1 (7 ) +4(7 ) Organizar y simplificar ()= ( 1(7 )+4(7 )) Factorizar por factor común ()= ( 1(7 )+4(7 )) Respuesta. Ejemplo 4: derivar ()= ( ) () () Como se puede observar es un cociente de funciones, para derivar se utiliza: h ()= () ()() () [()] Identificación de los términos en la función ()= ( ) ()=(3 ) () () ()= + Calculamos las derivadas ()= 1 (3 ) (1 ) ()= 1 3 =4 ()=3 Aplicando la regla de cociente para ()= ( ) ()= () ()() () [()] ()= ( ) ( ) ( ) Remplazando en la fórmula
11 ()= ( ) ( ) Realizar operaciones y organizar ()= ( ) ( ) ()= ( ) ( ) Factorizar por factor común, respuesta Función Derivada Ejemplos Constante y=c y'=0 y=8 y'=0 Identidad y=x y'=1 y=x y'=1 Funciones Potenciales Funciones Exponenciales Funciones Logarítmicas
12 Funciones Trigonométricas Derivadas de sumas, restas, productos y cocientes de funciones
13 EJERCICIOS PROPUESTOS Aplicando los teoremas adecuados realizar las siguientes derivadas: 1. ()= 18. =3 3. ()= ()=6 5. h()= =( 1)(5 +6) 7. ()=(7 3 ) 8. ()=4 9. = 10. ()= ( ) 11. ()= = 14. ()=( 1 ) 15. h()=( 13)( +3 ) 16. =ln (4 5) 17. ()=( + 1) 18. = 19. ()= 0. ()=
14 EJERCICIOS PROPUESTOS Aplicando los teoremas adecuados realizar las siguientes derivadas: 1. f (x) =. Dada f (x) = x 1 x 1 + x comprobar que la derivada es: x 4x + 1 (1 + x ) 3 3. Derivar implícitamente la función f(x) = y + 3x + x 1 + y encontrando x ' 4. Comprobar que el resultado de la derivada de y = x a x + a. sen 1 x a es a x 5. Calcular y' si se tiene que y está definido en forma implícita por la ecuación: ln (x + y) = x + y 6. Utilizando la derivación logarítmica para la función 7. Calcular la derivada de 8. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por f(x)=ln(x-1) en el punto (1,0).
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