Madrid OPOSICIONES AL CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA EN LA ESPECIALIDAD DE MATEMÁTICAS

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1 OPOSICIONES AL CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANA SECUNDARIA EN LA ESPECIALIDAD DE MATEMÁTICAS Mdrid. Se M el uno medio de un cuerd P Q de un circunferenci. Por M se rzn ors dos cuerds AB y CD: L cuerd AD cor l cuerd P Q en un uno X; y l cuerd BC cor l cuerd P Q en un uno Y: Demosrr que M es mbién el uno medio de XY: M es el uno medio del segmeno P Q y ls cuerds AB y CD sn or M: Ls cuerds AD y BC corn P Q en los unos X e Y: Se r de demosrr que M es el uno medio del segmeno XY: Tenemos l iguldd de los ángulos = y = ; or ser ángulos inscrios que brcn el mismo rco. Por no los riángulos 4DMA y 4BMC son semejnes y enemos que DA DM = BC BM Trcemos desde el cenro de l circunferenci, O; erendiculres ls cuerds AD y BC; y sen E y F esos unos de core. Ess erendiculres corn ls cuerds en sus unos medios, luego es DA = DE y BC = BF: Susiuyendo en (*) qued () DE DM = BF BM ) DE DM = BF BM Con es relción y l iguldd de los ángulos = ; resul que son semejnes los riángulos 4DME y 4BMF; or no se iene l iguldd de los ángulos = : MATEMÁTICAS C/Crgen 9 Mdrid Tlf:

2 Uniendo O con M; con X y con Y; llmndo y los ángulos que se formn, resul que en el rlelogrmo OM XE enemos dos ángulos recos, \OM X y\oex; orque los segmenos rzdos desde el cenro vn los unos medios de ls cuerds. Por no, los unos O; M; X y E esán en un circunferenci, o dicho de oro modo el cudriláero es inscriible en un circunferenci or ener dos ángulos ouesos recos, en es circunferenci los ángulos y son inscrios que brcn el mismo rco, el rco XM; luego = : De modo nálogo en el rlelogrmo OMY F se ienen dos ángulos recos or lo que sus curo vérices erenecen un circunferenci, siendo igules los ángulos inscrios en ell = : Como hemos demosrdo l rinciio que = ; enemos nlmene que = : Así que los riángulos 4OMX y 4OMY son igules, or ener el ldo OM en común, los ldos MX = MY y los ángulos = : Luego M es el uno medio del segmeno XY: Es roiedd es conocid como eorem de l mrios or l form de l gur..) Reresenr grá cmene l función f() = ln.b) Hllr según los vlores de k R el número de soluciones de l ecución k ln = :.c) Esudir si l sucesión de nid recurrenemene or = e =3 ; n+ = n ln n es convergene y, en cso rmivo, clculr el límie. ) L función esá de nid en (; ) [ (; +) y es coninu y derivble en esos inervlos. Su derivd rimer es f () = ln (ln ) ; que es osiiv en (e; +) y negiv en (; ) [ (; e); or lo que l función f() es creciene en (e; +) y decreciene en (; ) [ (; e): En consecuenci l función iene un mínimo relivo en = e; siendo f(e) = e: Además, l ser decreciene en (; ) y ser nulo el límie siendo demás lim! f()! lim f() +!! + ln = ; ln = y lim!+ f() = lim!+ ln = +; MATEMÁTICAS C/Crgen 9 Mdrid Tlf:

3 resul que l imgen, o recorrido, de l función es Im f = ( función es ; ) [ (e; +); y l grá c de l b) A rir de l grá c, según sen los vlores de k en el eje de ordends, se iene que: Si es k > e; hy dos soluciones, un en (; e) y or en (e; +): Si es k = e; hy un únic solución, que es = e: Si es k [; e); no hy solución. Si es k < ; hy un solución únic en el inervlo (; ): c) Tenemos que = e =3 < e y que ln e =3 = 3 < ; luego = = e=3 ln =3 > e=3 = : Además, si los érminos de l sucesión se mnienen en el inervlo, n (; e); es ln n < ; y enonces n+ = n > n ; ln n or lo que l sucesión es creciene y como n+ = n ) ln n = n < ) n < e; ln n n+ l sucesión esá cod sueriormene. Al ser un sucesión creciene y cod sueriormene, será convergene. De igul modo, si los érminos de l sucesión se mnienen en el inervlo (e; +); es ln n > y enonces n+ = n < n ; ln n or lo que l sucesión es decreciene y cod inferiormene or e; luego convergene. Pr el vlor = e =3 es = e=3 ln e = 3 =3 e=3 ' ; 9 > e: Es decir, el érmino erenece l inervlo (; ); ero los siguienes érminos esán en el inervlo (; +); luego rir de l sucesión es decreciene y cod inferiormene, luego es convergene. Se S el límie. Tomndo límies en l eresión n+ = n ln n ; y l ser el logrimo neerino un función coninu, que ermie ermur el límie y l función, resul que lim n n+ n n lim n (ln n ) = lim n n ln(lim n n ) ) S = S ln S ) ln S = ) S = e: MATEMÁTICAS C/Crgen 9 Mdrid Tlf:

4 Así que l sucesión recurrene que comienz en iene or límie e: 3. Se g : R! R un función derivble en R y dos veces derivble en cero, siendo demás g() = : Esudir l derivbilidd de f : R! R de nid or f() = ; f() = con f() = g () y g() = : Es f() de clse C? g() d; 6= ; L función g() es un función coninu en el inervlo (; ] r odo rel, or ser cociene de funciones coninus. En el uno = ; enemos, licndo l regl de L Hôil l ser g() derivble, que g() g () lim = = g () = f() = ;!! sí que l función es coninu en el inervlo [; ] r odo : Si de nimos l función G() = g() d; l ser coninu l función subinegrl, el eorem fundmenl del Cálculo nos segur que G() es derivble en R y que r odo rel es G () = g() ; siendo demás G() = : Si es 6= ; el enuncido es f() = G() G() y or no G() G() lim f() = G () G g() ()!!!! = : Como en el enuncido es f() = ; resul que l función f() es coninu r odo R: Esudiemos l derivbilidd de f(): Si es 6= ; como es f() = g() d; cociene de funciones derivbles y el denomindor no es nulo, f() es derivble r odo 6= : Si es = ; enemos que f f(h) f() () h! h f(h) h! h h! h h h g() d ; el eorem del vlor medio licdo l función subinegrl en el inervlo [; h] nos grniz que h g() d = h g() ; con [; h]; 4 MATEMÁTICAS C/Crgen 9 Mdrid Tlf:

5 y como h! )! ; y l función g() f () h! h h! g (h) h = h hg() g() es coninu en = y lim! g(h) h! h h! g (h) h = g (); h! g(h) h = = ; qued = donde hemos licdo dos veces l regl de L Hôil y hemos uilizdo que g() es dos veces derivble en el origen. Luego, f() es derivble en = y or no es derivble r odo rel. Vemos hor si f() es de clse C ; es decir, si su derivd es coninu. Como es f() = g() d; derivndo como cociene, si es 6= ; es f () = g() R g() d = g() g() d ; sí que f () es coninu, or ser cociene y diferenci de coninus, si 6= : Vemos hor el cso = ; en ese cso es f () = g () y resul lim f g() g() g() () g() d lim d:!!!! El rimer límie lo hemos clculdo nes y en el segundo volvemos licr el eorem del vlor medio en el inervlo [; ]; con < < ; resulndo lim f () =! g () lim! g() = g() g () lim =! g () g () = : En conclusión, f () es coninu en R fg y lo es mbién en = si se d l condición de que se g () = : 4. El cenro de un lz de un ciudd es un escio eonl con form de riángulo isósceles. En dicho riángulo, l bse (ldo desigul) y l lur ienen l mism longiud, siendo es igul meros. Un eón rvies dicho riángulo en líne rec, enrndo or un re culquier de l bse y sliendo or uno de los oros dos ldos. Si l dirección del cmino reco que sigue es leori, cuál es l robbilidd de que recorr un disnci igul o suerior meros denro de l zon ringulr nes de bndonrl? Se OAB el riángulo que form l re eonl siendo OA l bse. El ángulo es ecmene = rcg = = rcg; es decir, g = : Suongmos que el eón enr or un uno P disnci de O; con un dirección : MATEMÁTICAS C/Crgen 9 Mdrid Tlf:

6 Considermos l vrible bidimensionl dd or y : El vlor de es un uno de l bse con disribución uniforme, [; ] y es un ángulo en el inervlo [; ]: Ls vribles son indeendienes orque el uno de enrd y l dirección son leorios. Así que los csos osibles son odos los unos del recángulo [; ] [; ]; y los csos fvorbles l suceso serán los que cumln l condición dd. Pr deerminr los vlores que cumlen l condición de hcer un recorrido myor o igul que meros, con cenro en el uno P rzmos un circunferenci de rdio que core los oros dos ldos. Sen y los ángulos corresondienes, odo ángulo comrendido enre ellos veri c l condición edid, vése l gur. Pr deerminr los vlores de y se considern los ángulos y de l gur y se lic el eorem de los senos los riángulos en que esán, resulndo: sen = sen ) = rcsen sen sen = sen ) = rcsen sen : Los vlores de y son or no = = rcsen sen = + = + rcsen sen : L robbilidd edid se obiene como cociene enre ls áres, sí que Áre con condición P (recorrer ) = = d d = ( Áre ol )d = = + rcsen sen + + rcsen sen d = = ( )d + rcsen sen d + rcsen sen d : Se iene que g = ) + g = ) cos = ) cos = ) sen = 4 ) sen = ; MATEMÁTICAS C/Crgen 9 Mdrid Tlf:

7 donde solo se consider el vlor osiivo orque el ángulo es un ángulo gudo. Qued enonces que P (recorrer ) = ( ) + rcsen d + ( ) rcsen d : L rimer inegrl se clcul con el cmbio = ; siendo d = d; resulndo rcsen = d = rcsen d = L segund inegrl se hll con el cmbio = rcsen d: resulndo ( ) = ; es decir ( ) rcsen d = = rcsen = ; siendo d = d;! d = = rcsen d; resuldo coincidene con l rimer inegrl. Es conocido que, inegrndo or res con u = rcsen y dv = d; se iene rcsen d = rcsen d = = rcsen + d = rcsen + + C: Por no qued = rcsen d = h rcsen + i = = = rcsen r 4 + = + : En conclusión, se obiene nlmene que " P (recorrer ) = ( + ) + + # = = = Es lógico que el resuldo no deend del vlor del enuncido, y que l robbilidd, como cociene de dos áres, es indeendiene del mño. Se odí hber suueso = ; sin érdid de generlidd. Con los vlores de y de = rcg ' ; 7 49; se obiene P (recorrer ) = ; 6 3: MATEMÁTICAS C/Crgen 9 Mdrid Tlf: