re p r e s e n tac i ó n Mat r i c i a l d e

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1 Unidd 8 re p r e s e n tc i ó n Mt r i c i l d e Un trnsformción linel Ojetivos: Al inlizr l unidd, el lumno: Asocirá cd trnsformción linel un mtriz. Relcionrá los conceptos de núcleo, imgen, rngo nulidd de un trnsformción con los correspondientes conceptos de ls mtrices. Encontrrá ls representciones mtriciles de ls trnsformciones lineles jo cmio de ses. Mnejrá el concepto de mtrices similres o semejntes.

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3 Álgerlinel Introducción En l unidd nterior vimos que si A es un mtriz de, l trnsformción : R R tl que (u) Au es un trnsformción linel. En est unidd vmos ver que pr tod trnsformción linel : V W eiste un mtriz socid l trnsformción de tl mner que (v) Av pr tod v en V. 8.. Representción mtricil de un trnsformción linel En est sección veremos cómo socir culquier trnsformción linel un mtriz. Definición 8.. Sen V W dos espcios vectoriles de dimensión n m, respectivmente, se : V W un trnsformción linel, entonces eiste un mtriz A de orden m n llmd mtriz de trnsformción o representción mtricil de que stisfce (v) Av pr tod v en V. Vemos lgunos ejemplos de trnsformciones entre espcios vectoriles vmos construir un representción mtricil de cd un de ells. Ejemplo ) Consideremos l trnsformción linel refleión : R R, tl que (, ) (, ). Vmos encontrr l representción mtricil de, es decir, queremos un mtriz A de orden, tl que (, ) A(, ). i) Primero tomremos un se de R encontrremos ls imágenes jo de est se. Pr este cso vmos tomr como se de R l se cnónic {e, e } usremos ls propieddes de trnsformción linel; es decir, (u + v) (u) + (v) (cu) c(u). 77

4 Unidd 8 78 Como e (, ) e (, ), entonces (e ) (, ) (, ) (, ) (e ) (, ) (, ) ii) Vmos construir l mtriz A cus columns son estos vectores (e ) (e ): A Entonces, si u (, ) es culquier vector de R : Au (, ) (u) por lo tnto, A es un representción mtricil de. ) Se : R R l trnsformción linel definid por +. Vmos encontrr un representción mtricil de. En este cso l mtriz A será un mtriz de. i) Encontrremos ls imágenes jo de un se de R. omremos l se cnónic {e, e } de R. ( e ) +, ( e ) ( ) +. () ii) Construimos l mtriz A cus columns son ls imágenes de los vectores de est se: A Entonces si u (, ) es culquier vector de R :

5 Álgerlinel 79 A u + ( ) u, por lo tnto, A es un representción mtricil de. c) Consideremos l trnsformción linel : P P definid por ( + + ) + +. Vmos construir un representción mtricil pr. En este cso como, dim P es dim P es 4, l mtriz A será de 4. i) Consideremos l se {,, } pr P. Encontrremos ls imágenes de estos vectores jo : (), ( ), ( ). ii) Construmos l mtriz A cus columns son ls imágenes de estos vectores: A entonces, si p + + es culquier vector de P, tenemos que Ap + + ( + + ) (p) por tnto A es un representción mtricil de.

6 Unidd 8 Esto nos indic que podemos considerr un trnsformción linel como función o como mtriz. En l unidd nterior, sección 7., definimos los conceptos de imgen, rngo, núcleo nulidd de un trnsformción linel, en l unidd 4 fueron definidos los conceptos de rngo, núcleo, nulidd e imgen de un mtriz; sin emrgo, hor que vemos que ls trnsformciones lineles ls mtrices están relcionds, tendrán lgun relción estos conceptos? El siguiente resultdo nos responde est pregunt. eorem 8.. Se : V W un trnsformción linel se A un representción mtricil de, entonces: i) imgen imgen A C A ii) ρ(τ) ρ(a) iii) nu N A iv) ν(τ) ν(a) Recordemos que N A núcleo de A C A imgen de A. Usremos lgunos de los ejemplos nteriores pr ver l vlidez de este resultdo. Ejemplo ) Consideremos l trnsformción linel refleión : R R, tl que (, ) (, ). Vmos encontrr el núcleo, l imgen, el rngo l nulidd de el núcleo, l imgen, el rngo l nulidd de un representción mtricil de pr ver si son igules. i) Núcleo nulidd de. nu {(, ) en R tles que (, ) (, )} pero (, ) (, ) (, ), entonces, por tnto, nu (, ) l nulidd de ν(τ). ii) Imgen rngo de. 8 Recordemos que ν(τ) + ρ(τ) dim R, entonces, como ν(τ), el rngo de ρ(τ) de donde l imgen de R.

7 Álgerlinel 8 iii) Encontrremos el núcleo, imgen, rngo nulidd de un representción mtricil de. Se A un representción mtricil de. Consideremos l mtriz umentd ; como est mtriz está digonlizd, tenemos que de donde N A {(, )} ν(a). De l mism mtriz otenemos que {(, ), (, )} formn un se pr C A. Como C A Imgen de A, entonces ρ( A). Los resultdos nteriores confirmn el teorem. ) Consideremos l trnsformción linel : R R 4 definid por: z z z z Usremos el teorem nterior pr encontrr l imgen el núcleo de. Vmos encontrr un representción mtricil de, considerndo ls imágenes de l se cnónic de R formndo un mtriz cus columns sen estos vectores: ( ) e, ( ) e, ( ) e A

8 Unidd 8 Digonlizndo l mtriz umentd otenemos de donde z por tnto N A {(,, )}, ν(a), ρ( A), lo que signific que i) el núcleo de nulidd de es nu {}, ν(τ). ii) L imgen gen {(,,, ), (,,, ), (,,, )} el rngo de es ρ( ). Ejercicio. Encuentr l representción mtricil de ls siguientes trnsformciones lineles usndo ls ses cnónics en cd cso: ) : R R tl que (, ) (,, ) ) : R R tl que (, ) (, ) c) : R R tl que (, ) (,, + ) d) : R R tl que (,, z). Encuentr el núcleo l imgen de ls siguientes trnsformciones lineles usndo el teorem 8.: ) : R R tl que (, ) + + z ) : R R tl que + + 4z z 5 + 8z 8

9 8.. Mtriz de un trnsformción pr ses no estándr Álgerlinel En l sección nterior construimos mtrices de trnsformciones lineles usndo l se cnónic pr los espcios vectoriles. Sin emrgo, podrímos preguntrnos: qué psrá si tommos otr se diferente? L mtriz seguirá siendo l mism? Cómo cmirá? En est sección dremos respuest cd un de ests pregunts. eorem 8.. Sen V un espcio vectoril de dimensión n, W un espcio vectoril de dimensión m : V W un trnsformción linel. Se {v, v,..., v n } un se pr V {w, w,..., w m } un se pr W. Entonces eiste un mtriz únic A de orden m n tl que pr todo vector en V se tiene que [( )] A( ) Este teorem nos indic que cd vez que tomemos ses diferentes pr los espcios vectoriles de un trnsformción linel tendremos un representción mtricil diferente. Medinte un ejemplo vmos construir l mtriz socid un trnsformción linel tomndo ses diferentes ls cnónics. omremos un ejemplo que hemos mnejdo con el fin de comprr ls representciones mtriciles. Ejemplo Se : R R l trnsformción linel definid por +. Vmos construir un representción mtricil de usndo dos ses distints ls cnónics pr R R. Si encontrmos ls imágenes jo de los vectores de l se cnónic 8

10 84 Unidd 8 entonces l mtriz A es un representción mtricil de con respecto ls ses cnónics de R R. Encontrremos otr representción mtricil pero est vez usndo ses diferentes: Sen,,, ses pr R R, respectivmente. ) Otendremos ls imágenes de los vectores de l se jo l trnsformción linel :, 5 6. ) El siguiente pso es escriir estos vectores en términos de l se : + + c c c c resolviendo el sistem de ecuciones socido c c c tenemos que c por lo tnto ls coordends del vector en términos de l se es

11 Álgerlinel c c c c resolviendo el sistem de ecuciones socido c c c tenemos que c 4 7 por lo tnto ls coordends del vector en términos de l se es c) Se A l mtriz cus columns son estos vectores: A 4 7 Vmos pror que A es l representción mtricil de con respecto ls ses. Se (, ) culquier vector de R con respecto l se cnónic. i) Vmos encontrr sus coordends con respecto l se. + +

12 Unidd 8 resolviendo el sistem de ecuciones socido + tenemos que Por lo tnto, ls coordends del vector en términos de l se es ii) Ahor encontrremos A A A 4 7 iii) Vmos encontrr ls coordends en l se : ( ) por lo tnto A A es otr representción mtricil de. Resumiendo lo nterior tenemos: Procedimiento pr clculr l mtriz de un trnsformción linel : V W con respecto ls ses {v, v,..., v n } {w, w,..., w m } pr V W respectivmente: Pso. Se clculn ls imágenes de los elementos de l se. (v i ) pr i,,..., n. Pso. Se epresn ests imágenes en términos de l se. [(v i )] Pso. L mtriz A cus columns son los vectores otenidos en el pso es l representción mtricil de con respecto ls ses. 86

13 Álgerlinel El digrm de l figur 8. nos ofrece un interpretción gráfic de [ ( ) ] A( ), donde se muestr que eisten dos cminos pr llegr l mismo resultdo. Figur 8.. El ejemplo nos llev preguntrnos: pr qué usr otr se que no se l cnónic cundo los cálculos son, como en este ejemplo, más complicdos? L respuest es que con frecuenci es posile encontrr un se pr que l mtriz de un trnsformción con respecto se un mtriz digonl. Esto es importnte pues es mu sencillo trjr con mtrices digonles demás de que tiene grndes ventjs, como veremos más delnte. Ejemplo 4 En este ejemplo encontrremos dos representciones mtriciles de l mism trnsformción linel usndo dos conjuntos de ses diferentes, tnto pr R como pr R. + Consider l trnsformción linel : R R tl que. z z Sen,, se de R, se pr R. ) Vmos encontrr l representción mtricil de con respecto. i) Primero encontrmos ls imágenes de los vectores de l se jo l trnsformción 87

14 88 Unidd 8,,. ii) Ahor determinremos ls coordends de los vectores encontrdos en i) con respecto l se resolviendo los sistems de ecuciones socidos cd vector: / / + + / / + + iii) Determinmos l mtriz A cus columns son los vectores que se encontrron en ii). A 4 / / / / Ést es l representción mtricil de con respecto ls ses. ) Vmos hor encontrr l representción mtricil de con respecto ls ses cnónics de R R. i) Primero encontrmos ls imágenes de los vectores de l se cnónic:,,. ii) Ahor construimos l mtriz A cus columns son estos vectores: A

15 Álgerlinel Ést es l representción mtricil de con respecto ls ses cnónics. Ddo que ls mtrices A A de los ejemplos nteriores son representciones mtriciles de l mism trnsformción linel, eistirá lgun relción entre ms? En l siguiente sección nos ocupremos de ello. Ejercicio. Determin l representción mtricil de cd trnsformción linel con respecto ls ses indicds: ) : R R tl que ;, + ) : R R tl que ;,, z z c) : R R tl que (, ) (, );, d) : R R tl que (, ) (, );,,. Usndo el teorem 8., encuentr l imgen de los siguientes vectores utilizndo l trnsformción linel del inciso ) nterior, tomndo como ses ls indicds en el inciso: ) (,, ) ) (,, ) c) (,, ) d) (,, ) 89

16 Unidd Mtriz de un trnsformción jo cmio de ses En l sección nterior vimos que un sol trnsformción linel podí tener muchs mtrices socids dependiendo de ls ses que se considerrn. En est sección veremos cuál es l relción que gurdn ess mtrices por qué uns son mejores que otrs en términos de simplificción de cálculos. El siguiente resultdo nos muestr l relción eistente entre ls mtrices socids un trnsformción linel ls mtrices de cmio de ses tnto en el dominio como en el codominio. eorem 8.. Sen : V W un trnsformción linel, ses de V W, respectivmente, se C un representción mtricil de con respecto ls ses cnónics sen A l mtriz de trnsición de l se cnónic de V A l mtriz de trnsición de l se cnónic de W, entonces, si A es l representción mtricil de con respecto ls ses se tiene que A A CA L siguiente figur nos muestr gráficmente el significdo de este teorem, donde se muestr que eisten tres cminos pr otener el mismo resultdo: C Figur 8.. 9

17 Álgerlinel Est relción es importnte pues l mtriz A puede ser un mtriz digonl. Vemos vrios ejemplos: Ejemplo 5 En estos ejemplos encontrremos un representción mtricil digonl de cd un de ls trnsformciones utilizremos pr ello el teorem 8.. ) Consideremos l trnsformción : R R definid por + 5 Encontrremos l representción mtricil de con respecto ls ses, i) Encontrremos l mtriz de trnsición de ls nuevs ses l se cnónic. Se A A l mtriz de trnsición de ls nuevs ses l se cnónic, vmos encontrr l mtriz de trnsición de l se cnónic l se, es decir, queremos encontrr A. Utilizndo el procedimiento estudido en l unidd tenemos que: A ii) Vmos encontrr l representción mtricil de referente ls ses cnónics. Pr ello encontrremos ls imágenes de l se cnónic jo construiremos l mtriz cus columns son estos vectores: 5, ; C 5 9

18 Unidd 8 iii) Vmos usr el teorem 8. pr encontrr l representción mtricil de con respecto ls ses, Se A A CA 5 iv) Comproremos que l mtriz A es l representción mtricil de con respecto ls ses : Se (, ) un vector de R, entonces A A 4 4 por tnto A es l representción mtricil de respecto ls ses. Oserv que en este cso l representción mtricil es un mtriz digonl. ) Encuentr l mtriz de l trnsformción : R R definid por 4 4 con respecto ls ses +,, del dominio codominio, respectivmente. i) El primer pso es encontrr ls mtrices de trnsición de l ses l se cnónic. Ests mtrices son quells cus columns son los vectores de ls ses 4 A A ii) El segundo pso consiste en encontrr l mtriz invers de A : Digonlizndo l mtriz umentd otenemos A 4 / 8 / 4 / 8 / 9

19 Álgerlinel iii) El tercer pso es otener l mtriz de l trnsformción con respecto ls ses cnónics, pr ello tenemos que encontrr ls imágenes de los vectores de l se cnónic jo : 4 ; Construir l mtriz C cus coordends son estos vectores: 4 C iv) El curto pso es otener l mtriz de con respecto ls ses usndo el teorem: A A CA 4 / 8 / 4 4 7/ 8 7/ 4 / 8 / / 8 / v) Vmos compror que efectivmente ést es l mtriz de con respecto : omemos un vector (, ) en R otengmos su imgen jo : 4 + Ahor usquemos ls coordends de este vector con respecto l se : Resolviendo el sistem de ecuciones socido tenemos (***) Escrimos el vector (, ) en términos de l se multipliquémoslo por A: 9

20 Unidd Resolviendo el sistem de ecuciones socido tenemos que Al multiplicrlo por A otenemos + 4 A 7/ 8 7/ 7 8 (***) / 8 / Oservemos que ls dos epresiones mrcds con (***) son igules, por lo que podemos segurr que A es l mtriz de respecto ls ses. mién podemos tener el cso en que el cmio de ses no se entre ses cnónics, sino entre otrs ses diferentes. El siguiente teorem nos muestr el procedimiento. eorem 8.4. Se : V V un operdor linel donde V es un espcio vectoril de dimensión n. Sen {v, v,..., v n } {w, w,..., w n } ses de V se P l mtriz de trnsición de. Si C es l mtriz de con respecto, entonces l mtriz A P CP es l mtriz de con respecto l se. Vemos el procedimiento pso pso con el siguiente ejemplo: Ejemplo 6 94 Se : R R definid por +. Sen,

21 Álgerlinel, ses de R. Se C / l representción mtricil de con respecto l se. Queremos encontrr l representción mtricil de con respecto l se.. Encuentr l mtriz de trnsición P de l se l se : Pr ello deemos escriir los vectores de en términos de l se, es decir, tenemos que encontrr los vlores de de l siguiente cominción linel resolver los sistems socidos pr cd vector: + + / 4 / / 4 / P es l mtriz cus columns son estos vectores. P / / 4 / 4 /. Encontremos hor l invers de P digonlizndo l mtriz umentd: / / 4 / 4 / de donde P. Por último encontremos l mtriz A P CP: A P CP / / / 4 / 4 / 4. Vmos confirmr que A es l mtriz de con respecto l se : Se (, 4) un vector de R. 95

22 Unidd 8 L imgen de (, 4) jo con respecto l se es: Multiplicndo A por ls coordends de (, 4) respecto l se tenemos que: 4, entonces A 6 4 por lo que A es l mtriz de con respecto l se. Ejercicio. Consider el operdor linel : R R tl que + Sen,, ses pr R. ) Encuentr l mtriz de con respecto l se. ) Encuentr l mtriz de trnsición de l se l se. c) Encuentr l mtriz de trnsición de l se l se. d) Encuentr l mtriz de con respecto l se usndo el teorem Se : R R tl que + + Sen E E ls ses cnónics pr R R, respectivmente. Sen, se de R,, se de R. 96

23 Álgerlinel Determin l mtriz que represent respecto : ) E E ) c) Clcul (, ) usndo: ) l definición de. ) l mtriz del inciso ). ) l mtriz del inciso ) Mtrices similres o semejntes En l sección nterior vimos que se puede otener l representción mtricil de un operdor linel con respecto cierts ses si se conoce l representción mtricil con respecto ls ses cnónics ls mtrices de trnsición de est se l cnónic vicevers. Es decir, hlmos de encontrr mtrices de l form A P CP. Ests mtrices tienen propieddes importntes que nos pueden udr simplificr los cálculos más delnte. Definición 8.. Sen A mtrices de orden m n, entonces es similr A si eiste un mtriz no singulr (que tiene invers) P tl que P AP Est definición nos dice que ls mtrices de un operdor linel con respecto distints ses son similres. omremos lguns representciones mtriciles de un operdor linel proremos que en efecto son similres. Ejemplo 7 Consideremos el operdor linel : R R definido por + 5 C es l representción mtricil de con respecto l se 5 cnónic de R 97

24 Unidd 8 A es l representción mtricil de con respecto l se, Vmos pror que A C son similres: i) Consideremos l mtriz de trnsición de l se l se cnónic: P P es un mtriz no singulr, su invers es P ii) Vmos encontrr P CP: P CP 5 de donde tenemos que A P CP, por lo tnto, A C son similres. Ls mtrices similres tienen ls siguientes propieddes:. A es similr A.. Si es similr A, entonces A es similr.. Si A es similr es similr C, entonces A es similr C. eorem 8.5. Sen A mtrices similres de orden n n, entonces son representciones mtriciles del mismo operdor linel : V V con respecto dos ses distints pr V. Este teorem nos hl de que en relidd dos mtrices similres no son más que dos mners distints de representr el mismo operdor linel. 98

25 Álgerlinel Ejemplo 8 ) Sen A D mtrices similres de ; entonces eiste un mtriz invertile P de tl que / / A P DP donde P / / Se : R R un operdor linel tl que si (, ) es un vector de R, entonces () D; esto implic que D es l representción mtricil de con respecto l se cnónic, por tnto +. + Se, se pr R, entonces P trnsición de l se cnónic. es l mtriz de Proremos que A es l representción mtricil de con respecto l se ; es decir, que si (, ) es un vector de R, entonces [()] A[] i) Primero encontrremos ls coordends de con respecto l se : [] (, ) tles que + + resolviendo el sistem otenemos que + + por tnto [] ( )/ ( + )/ ii) Ahor encontrremos ls coordends de l imgen () con respecto l se. 99

26 Unidd 8 Usndo el procedimiento nterior tenemos que + ( 4 )/ + ( + )/ iii) Por último, multiplicremos l mtriz A por el vector en términos de l se : ( )/ ( )/ A[ ] ( + )/ 4 ( + )/ por lo tnto [()] A[] lo que signific que A es l mtriz de con respecto l se. De quí podemos otener un procedimiento pr construir representciones mtriciles de un operdor linel en culquier se con sólo conocer l representción mtricil de respecto l se cnónic. Procedimiento pr encontrr representciones mtriciles en ses no cnónics Pso. Encontrr l representción mtricil C de l trnsformción linel en términos de l se cnónic. Pso. Encontrr l mtriz de trnsición de l se nuev l se cnónic P; est mtriz es l que tiene como columns los vectores de l nuev se. Pso. Encontrr l mtriz invers de l mtriz nterior P utilizndo el procedimiento visto en l unidd 4. Pso 4. Otener un mtriz similr A P CP, ést será l mtriz de l trnsformción en términos de l nuev se. Ejemplo 9 Se C 5 un mtriz de de modo que : R R está definid por () C se, un se pr R.

27 Álgerlinel Queremos encontrr l mtriz de socid l se. Pso. En este cso l representción mtricil de con respecto l se cnónic es C. Pso. Formmos l mtriz P cus columns son los vectores de. P Pso. Encontrmos l invers de P. de donde P Pso 4. Otenemos l mtriz A P CP A P CP Pso 5. Vmos pror que A i) Encontremos C 5 5 pero resolviendo el sistem socido tenemos que , por lo tnto, ii) Ahor queremos A

28 Unidd 8 + resolviendo el sistem socido + tenemos que +, por lo tnto + ; A Podemos concluir que A es l mtriz de socid l se. Ejercicio 4. Se : R R un operdor linel definido por + E l se cnónic, otr se pr R. Sen A l representción mtricil de con respecto E C l representción mtricil de con respecto. Encuentr l mtriz P tl que C P AP.. Se : R R un operdor linel definido por + Sen,, ses de R. ) Encuentr A, l representción mtricil de con respecto. ) Determin D, l representción mtricil de con respecto. c) Determin P, l mtriz de trnsición de l se l se. d) Verific que D P AP.

29 Álgerlinel Ejercicios resueltos. Encuentr un representción mtricil de l trnsformción linel + z : R R tl que z z + Se {e (,, ), e (,, ), e (,, )} l se cnónic de R. i) Vmos encontrr ls imágenes de estos vectores jo : (,, ) ; (,, ) ; (,, ) ; ii) Ahor formremos l mtriz A cus columns son estos vectores: A Se (,, z) un vector de R, entonces: + z A z z + z z por lo tnto, A es un representción mtricil de.. Encuentr el núcleo l imgen de l trnsformción linel: + + z : R R tl que. z z Vmos usr el teorem 8., pr ello necesitmos un representción mtricil de. i) Consideremos ls imágenes jo de l se cnónic de R.

30 4 Unidd 8 ( ) e ; ( ) e ; ( ) e ii) Formremos un mtriz con estos vectores como columns: A iii) Digonlizndo l mtriz tenemos: de donde ρ(a) ν(a). Esto nos llev que imgen gen {(, ), (, )} R. Además tenemos que z z + de donde z z, por tnto z z z z z nu gen {(,, )}.. Encuentr l mtriz de l trnsformción linel : R R tl que + con respecto ls ses, l imgen de los vectores (, ) (, ) usndo l mtriz socid. i) Encuentr l imgen de los elementos de : ; ii) Escrie estos vectores respecto l se : + + resolviendo el sistem + tenemos

31 Álgerlinel 5 de donde + + resolviendo el sistem + tenemos que ;, por tnto iii) Form l mtriz A cus columns son estos vectores: A iv) Encuentr ls coordends de los vectores (, ) (, ) en términos de l se. (Usremos el mismo procedimiento del sistem socido.) v) Vmos encontrr ls imágenes de los vectores usndo l mtriz A: 4 4 A 6 4 A 4. Se : R R definid por z z z Se E l se cnónic pr R,, otr se pr R. ) Determin l representción mtricil de con respecto i) E ii) E

32 6 Unidd 8 iii) E iv) ) Clcul (,, ) usndo i) l definición. ii) l mtriz otenid en ). iii) l mtriz otenid en ). iv) l mtriz otenid en ). v) l mtriz otenid en 4). Solución ) i) E,, encontrremos ls imágenes de los vectores de E: Como E es l se cnónic, ls imágenes están escrits en es se. Formmos l mtriz A cus columns son estos vectores: A ; ést es l mtriz de con respecto l se E. ii) E,,,, Esto signific que el dominio tiene como se E el codominio. Encontrmos ls imágenes de l se E como en el inciso nterior.,,

33 Álgerlinel 7 Ahor vmos escriir estos vectores en términos de l se : + + c c Resolviendo el sistem de ecuciones pr cd uno de los vectores tenemos:,, A es l mtriz que tiene estos vectores como columns: A es l mtriz de con respecto E. iii),, E,, Esto signific que hor el dominio trj con l se el codominio con l E. Encontrremos primero ls imágenes de los vectores de l se :,, Como E es l se cnónic no tenemos que cmir estos vectores. Formmos l mtriz A con estos vectores como sus columns. A es l mtriz de con respecto ls ses E.

34 8 Unidd 8 iv),, Signific que vmos usr l se tnto en el dominio como en el codominio. Encontrmos ls imágenes de los vectores de como en el inciso nterior:,, Es necesrio escriir estos vectores en términos de l se resolviendo los sistems de ecuciones correspondientes:,, Se A 4 l mtriz que tiene estos vectores como columns: A 4 es l mtriz de con respecto l se. ) (,, ) i) Usndo l definición () ( ) () () ( ) ii) Usndo l se E l mtriz A E E

35 Álgerlinel 9 iii) Usndo ls ses E l mtriz A 4 E iv) Usndo ls ses E l mtriz A 4 E 4 v) Usndo l se l mtriz A Se : R R definid por A donde A.

36 Unidd 8 Se 5, se de R. 4 Encuentr l representción mtricil de con respecto prue que es similr A. ) Vmos encontrr l representción mtricil de con respecto. Pr ello encontremos ls imágenes de los vectores de : A, A 4 7 Ahor encontrremos ls coordends de estos vectores con respecto l se :, 9 7 Vmos construir l mtriz D cus columns son estos vectores. Entonces D l se. es l representción mtricil de con respecto ) Ahor vmos pror que es similr A. Se P l mtriz cus columns son los vectores de : P 5 4 Otengmos l mtriz P digonlizndo l mtriz: , entonces P 4 5 Proremos que D P AP 4 5 P AP D por lo tnto, D A son mtrices similres.

37 Álgerlinel 6. Se : R R definid por A donde A 4. Se, se de R. Encuentr l mtriz D de reltiv l se si semos que es similr A. ) Primero encontrremos l mtriz P cus columns son los vectores de : P ) usquemos l mtriz invers de P: 5 / 5 / P / 5 5 / c) Encontremos l mtriz D tl que D P AP: 5 / 5 / 4 5 / 5 / D P AP / 5 5 / 5 5 / 5 5 / 5 Entonces D es l mtriz de reltiv l se. Ejercicios propuestos. Encuentr un representción mtricil de l trnsformcion linel: : R R tl que +. Encuentr el núcleo l imgen de l trnsformción linel : R R tl que + z z z + mtricil de. usndo el teorem 8. un representción

38 Unidd 8. Consider l trnsformción linel : R R tl que z z z Sen,, ses pr R : ) Encuentr l representción mtricil de con respecto ls ses. ) Encuentr l imgen de los siguientes vectores con respecto l se usndo l mtriz socid del inciso nterior: ) [(,, )] ) [ (,, )] ) [ (,, )] 4. Se : R R tl que z z + Sen E E ls ses cnónics pr R R, respectivmente. Sen,, se de R,, se de R. ) Determin l mtriz de respecto ) E E ) ) Encuentr el vlor de (,, ) ) usndo l definición. ) usndo l mtriz de ). ) usndo l mtriz de ).

39 Álgerlinel 5. Encuentr l mtriz de l trnsformción : R R definid por 4 () A donde A con respecto l se,. Us el hecho de que deen ser similres.

40 Unidd 8 Autoevlución. Si : R R tl que (,, z) (z,, ) es un trnsformción linel, un representción mtricil de es: ) ) c) d). Si A es un representción mtricil de l trnsformción linel, entonces ) C A ) nulidd de imgen de A. c) núcleo de kernel de A. d) imgen de A rngo de.. Es l representción mtricil de : R R tl que z z respecto ls ses / 5 / ) 7/,, 5 con 4

41 Álgerlinel ) / 7/ 5 / c) 5 d) 5 4. Se : R R tl que + z z Sen,, un se pr R E l se cnónic de R. L mtriz de con respecto E es: ) ) c) d) 5. Si A son mtrices similres: ) PA P ) PA P 5

42 Unidd 8 c) PA P d) PA P 6. Si : V V es un trnsformción linel, ses de V A l representción mtricil de con respecto D l representción mtricil de con respecto, entonces ) A D ) A D c) A D son similres. d) A D son semejntes. 7. Si A es un mtriz tl que : R R está definid por () A, es un se pr R D es l representción mtricil de con respecto, entonces P AP donde P es ) l mtriz de trnsición de l se l se cnónic. ) l mtriz de trnsición de l se cnónic l se. c) l mtriz de con respecto l se. d) l mtriz de con respecto l se cnónic. 6

43 Álgerlinel Respuests los ejercicios Ejercicio. ) ) c) d) (,, ). ) nu {}; imgen R ) nu gen {( /, ½, )}; imgen gen {(,, 5), (,, )} Ejercicio. / ) A / ) A c) A / d) A 8/ 7

44 Unidd 8. ) [(,, )] (,, 4) ) [(,, )] (,, ) c) [(,, )] (,, ) d) [(,, )] (4,, ) Ejercicio. 5/ / ) C 4/ / / ) P / c) P d) A P CP. ) A 7/ 4/ ) A / 5/ / / c) ) ( ) 4 () + + ) A E E 4 8

45 Álgerlinel ) 7 4 / / 5 A 5 / / / / / / 4/ Ejercicio 4. P. 4/ / ) A 5/ / / / ) D / 5/ / / c) P 5/ / d) P / / P 5/ / AP / / / 5/ Respuests los ejercicios propuestos. A. nu gen {(,, ), (,, )}; imgen gen {(, )}. ) ) (,, ) (6,, 4) (,, ) (4,, ) (,, ) (,, ) 9

46 Unidd 8 4. ) ) A / ) A / ) ) ) 7/ ) / 5 5) Respuests l utoevlución. ). c). ) 4. ) 5. ) 6. c) 7. )

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