ÍNDICE TEMA TEORÍA EJERCICIOS. En este documento se puede encontrar: (página) PROPORCIONALIDAD / MAGNITUDES PROPORCIONALES 1 -

Transcripción

1 MAT En este documento se puede encontrar: ÍNDICE TEMA TEORÍA (página) EJERCICIOS (página) PROPORCIONALIDAD / MAGNITUDES PROPORCIONALES 1 - REGLA DE TRES SIMPLE 6 REGLA DE TRES COMPUESTA 10 REPARTOS PROPORCIONALES 5 19 PORCENTAJES 5 Página 1

2 MAT PROPORCIONALIDAD RAZÓN: razón de dos números es el cociente indicado de ambos. Es decir, la razón de los dos números a y b es a:b, o lo que es lo mismo, la fracción b a. PROPORCIÓN: es la igualdad de dos razones. Así, por ejemplo: b a = d c. Ejemplo: La proporción se compone de 4 términos, a, b, c y d, de los cuales a y d se llaman etremos, mientras que b y c se llaman medios. En una proporción, el producto de los medios es igual al producto de los etremos: a d b c. En el ejemplo anterior: 10 = 5 6 Como puedes comprobar, esta propiedad nos permitiría escribir la proporción de diferentes modos, permutando los medios o los etremos entre sí: MAGNITUDES PROPORCIONALES Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando: a) A una cantidad determinada de la primera, le corresponde una cantidad determinada de la segunda. b) Al multiplicar o dividir una de ellas por un número, la otra queda multiplicada o dividida por el mismo número. Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando: a) A una cantidad determinada de la primera, le corresponde una cantidad determinada de la segunda. b) Al multiplicar o dividir una de ellas por un número, la otra queda dividida o multiplicada por el mismo número. Son magnitudes directamente proporcionales, por ejemplo, el espacio recorrido por un coche y el tiempo empleado (justo en el doble de tiempo habré recorrido el doble de espacio); el dinero que tengo y la cantidad de un producto que puedo comprar (eactamente con el triple de euros puedo comprar el triple de bombones); etc. Mientras que como ejemplos de magnitudes inversamente proporcionales, podríamos encontrar el número de obreros y el tiempo necesario para realizar un trabajo (el doble de obreros tardarán justo la mitad de tiempo); la velocidad de una coche y el tiempo que tarda en hacer un trayecto (si reduce su velocidad a la mitad, tardará el doble de tiempo); etc. REGLA DE TRES: E INVERSA Consiste en aplicar de un modo práctico la proporcionalidad, de forma que podamos hallar cualquiera de los términos de una proporción, conociendo los otros tres. Vamos a verlo con ejemplos: 1. Problema. Sabiendo que 5Kg de naranjas cuesta.50, calcular el precio de 1kg. Página

3 MAT Primero de todo: Es una proporción directa o inversa? Es directa, ya que Kg costarán eactamente el doble que 1kg; más kilos, más dinero cuesta. Entonces: 5kg.50 1kg multiplicamos en cruz 1 : 5 = = 4 Sabemos cuánto vale 5, que es 4; pero queremos saber cuánto vale, es decir, los euros que me cuestan 1kg de naranjas. 5 = 4 es una igualdad, o lo que es lo mismo, tenemos un signo igual ( = ) entre dos términos, uno a la izquierda (5 ), y otro a la derecha, que es 4. Queremos que la quede sola a un lado del igual, en otras palabras, pasar el 5 al otro lado del igual. Dado que 5 está multiplicando (a la ), el 5 que nos queremos quitar pasa al otro lado del igual dividiendo, y lo epresamos como una fracción. Tendremos: 5 = 4 = 5 4 = 8.4 Significa que 1kg de naranjas cuestan 8.4, 8 euros y 40 céntimos. Cuidado con algo muy MUY importante: las magnitudes han de ser siempre homogéneas. Si en vez de preguntarnos cuánto costaban 1kg hubiese sido el coste de 800 gramos, no podríamos poner 800 debajo de los 5 en la proporción, ya que los 5 son kilos y los 800, gramos. Habría que poner todo en lo uno o lo otro, es decir, o arriba ponemos 5000 gramos, o abajo 0.8kg. Quedaría así: 5kg.50 o bien 5000 gramos kg 800 gramos El resultado de hacerlo de una u otra manera es indiferente, es decir, el resultado final es el mismo (puedes comprobarlo como ejercicio). Este cuidado con las magnitudes es fundamental, por eso estate siempre atento a no mezclar litros con metros cúbicos, euros con céntimos, Km. con metros, días con horas o con minutos. Otro problema: si un coche circula a una velocidad de 90Km/hora y tarda 8 horas en ir de Madrid a Cádiz, cuánto tardará si aumenta su velocidad a 10 km/h. Para empezar, es inversa, porque a más velocidad, tardará menos horas. Lo planteamos: 90 km/h 8 horas 10 km/h horas multiplicamos en paralelo : 90 8 = = 10 Igual que antes, queremos tener sola a la, y no multiplicando por 110; entonces pasamos el 100 al otro lado del igual, dividiendo, en forma de fracción: 70 7 X = = = 6 horas PROBLEMAS PROPUESTOS, CON LOS RESULTADOS : a) Por un grifo salen 6m cada 10 horas. Qué cantidad de agua saldrá en una semana? (Resultado: m ). (Atención horas < > semana). 1 Porque es una regla de tres directa. Como veremos en el siguiente ejercicio, se multiplica en paralelo en la regla de tres inversa. Porque es una regla de tres inversa. Lo primero de todo, comprueba si son directas (a más, mas; a menos, menos) o inversas (a más, menos; a menos, más). Página

4 MAT b) Si por 19kg de azúcar nos dan kg de café, cuánto nos dan por 1 tonelada de azúcar? (Resultado: 105.6kg). (1Tm = 1000kg). c) Tres obreros han realizado una obra en 4 horas y 40 minutos. Cuánto habrían tardado 8 obreros? (Resultado: 1hora y 45 minutos) (Cuidado con los tiempos: 1h 100 minutos) d) Una motocicleta a 6km/h tarda 7horas y 0 minutos en hacer un recorrido. A qué velocidad debería ir para hacerlo en 1 hora y 0 minutos. (Resultado: 180km/h). (De nuevo, cuidado al pasar las horas a minutos, o los minutos a horas). e) Un coche recorre 15km en 5 horas y 15 minutos. Cuánto recorre en 17 horas. (Resultado: 100km). ( Cuidado, una vez más, con los minutos!). f) Cuánto cuesta imprimir un teto 6 páginas, si imprimir 16 páginas cuesta 1. (Resultado: 147 ) REGLA DE TRES COMPUESTA La regla de compuesta permite resolver cualquier tipo de problema de proporcionalidad compuesta. Seguimos para ello estos pasos: 1. Se ponen los datos en bloques, igual que con la Regla de simple, colocando siempre la incógnita en el último bloque.. Se estudia la relación de todos y cada uno de los bloques con el último, el de la incógnita.. Se transforman los bloques en producto de fracciones, y se iguala a la fracción resultante del último bloque, siempre en éste con la incógnita en el denominador. 4. En cada bloque del primer término, si la relación es directa numerador y denominador se quedan deja como están; si es inversa, el numerador pasa a denominador, y viceversa. 5. Se calcula la proporción: producto de medios es igual a producto de etremos. Veamos un ejemplo: Si 18 máquinas mueven 100 m de tierra en 1 días, cuántos días necesitarán 4 máquinas para mover 1600 m de tierra? 18 máquinas 100 m 1 días 4 máquinas 1600 m D I Si 18 máquinas tardan 1 días, 4 máquinas (más máquinas) tardarán menos días inversa Si para 100 m se necesitan 1 días, para más m (1600), se necesitarán más días directa Entonces: también simplificamos días Página 4

5 MAT REPARTOS PROPORCIONALES Los problemas de repartos proporcionales son aquéllos en que de una determinada cantidad debe repartirse de forma proporcional a otras cantidades; este reparto puede ser directo o inverso. Si, por ejemplo, queremos repartir una determinada cantidad entre personas, en función directa de A, B y C, las cantidades que le corresponde a cada uno serían a, b y c, respectivamente, calculadas como sigue: Y se calculan separadamente las cantidades. Con el ejemplo anterior, si se quisiera repartir la cantidad inversamente proporcional a A, B y C, sería: Y se vuelve a calcular separadamente cada cantidad. AUMENTOS Y DISMINUCIONES PORCENTUALES ENCADENADAS El número por el que hay que multiplicar la cantidad inicial para obtener la cantidad final se llama índice de variación. a. En aumentos porcentuales, el índice de variación es 1 más el aumento porcentual epresado en forma decimal. b. En una disminución porcentual, el índice de variación es 1 menos la disminución porcentual puesta en forma decimal. c. Para encadenar aumentos y disminuciones porcentuales, se multiplica la cantidad inicial por los índices de variación de los sucesivos pasos; el orden NO influye en el resultado final (el orden de los factores no afecta al producto). Ejemplo: Un ordenador costaba, antes de impuestos, 450 ; primero le rebajaron un 5%, y después, un 7,5% adicional; si el IVA es del 1%, cuál es el precio final? Solución las rebajas del 5% y del 7,5% significan que pagamos el 95% y 9,5% del precio: euros de precio final Página 5

6 MAT PROBLEMAS RESUELTOS Regla de SIMPLE 1. Dos Kg y medio de patatas cuestan Cuánto cuestan tres Kg y medio?.5 Kg Kg ; ; ; ; ; ; = Un coche ha recorrido 0Km en 18 minutos. Si sigue a la misma velocidad, qué distancia recorrerá en el próimo cuarto de hora? 0Km X 18 minutos 15 minutos ; ; ; = 5Km 18. Cuatro operarios tardan 10 horas en limpiar un solar. Cuánto tardarían 5 operarios? 4 hombres 10 horas 5 hombres ; = 8 horas 5 INVERSA 4. Una cuadrilla de soladores, trabajando 8 horas diarias, renuevan la acera de una calle en 15 días; cuánto tardarían trabajando 10 horas al día? 8 horas 15 días 10 horas INVERSA ; ; = 1 días Un paquete de 500 folios pesa 1.8Kg. Cuánto pesará una pila de 850 folios? 500 folios 850 folios 1.8Kg ; ; ; ; =.06Kg En una fuente se ha tardado 4 segundos en llenar un cántaro de 0 litros. Cuánto se tardará en llenar un bidón de 50 litros? 4 segundos 0 litros X 50 litros ; ; ; ; = 40 segundos 0 Página 6

7 MAT 7. Un albañil, trabajando 8 horas al día, construye una pared en 15 días. Cuántas horas deberá trabajar cada día para realizar el mismo trabajo en 1 días? 8 horas 15 días X 1 días INVERSA ; ; ; = 10 horas 1 8. Con una motobomba que etrae agua de un pozo, se ha tardado 18 minutos en llenar una cisterna de litros. Cuánto se tardará en llenar otra cisterna de 5000 litros? 18 minutos litros X 5000 litros ; ; ; ; = minutos 9. El dueño de un supermercado abona una factura de 70 por un pedido de 15 cajas de aceite; cuánto le costarían 1 cajas? cajas X 1 cajas ; ; 6 ; ; 64 9; = Una piscina tiene desagües; si se abren, la piscina se vacía en ¾ de hora. Cuánto tardará en vaciarse si se abren los tres? desagües 45 minutos desagües INVERSA ; ; ; = 0 minutos = ½ hora 11. Una máquina embotelladora llena 750 botellas en un cuarto de hora; cuántas botellas llena en hora y media? 750 botellas 15 minutos 90 minutos ; ; ; = 4500 botellas 15 En fracciones: 750 botellas ¼ hora / horas ; ; 750 ; = 4500 botellas Página 7

8 MAT 1. Un tractor, trabajando 8 horas diarias, labra un campo en 9 días. Cuánto tardaría en hacer el mismo trabajo si las jornadas fuesen de 1 horas al día? 8 horas / día 9 días 1 horas / día ; ; = 6 días 1 INVERSA 1. Juan ha recibido 0 por un trabajo de 5 horas. Cuánto cobrará si trabaja 8 horas? 0 5 horas 8 horas ; 4 8; = Dos socios han invertido y 4000, respectivamente, para formar un negocio. Si el primero, a la hora de repartir beneficios, ha percibido 1446, cuánto recibirá el segundo? ; ; ; 4 48; = En un reconocimiento médico de 10 niños, el 15% presenta problemas de caries. Cuántos niños son? 100 niños 15 caries 10 niños ; ; ; ; ; = 18 niños Una tienda hace unos descuentos del 10%. Cuánto pagaremos por un balón que marca 18.5? ; = Por 5 nos dieron 5.6$. Cuántos dólares nos darán por 18? 5 5.6$ ; ; = 16.07$ 5 Página 8

9 MAT 18. Si un coche que circula a 60Km/hora tarda 8 horas en recorrer un trayecto, cuánto tardará otro a 80Km/hora? 60Km / hora 80Km / hora ; ; = 6 horas horas INVERSA 19. Un satélite da 8 vueltas a la Tierra en 40 minutos. Cuántas dará en 10 horas? 8 vueltas 40 minutos 600 minutos ; ; 60; = 10 vueltas Vemos un relámpago y 5 segundos más tarde oímos el trueno; y sabemos que la velocidad del sonido es de 40metros/segundo. A qué distancia se encuentra la tormenta, sabiendo que el relámpago y el trueno se producen en el mismo instante? 1 segundo 40 metros 5 segundos 5 40; = 1700 metros = 1.7Km 1. Un ordenador equipado con un procesador de 400Mhz descifró una clave secreta en 40 minutos. Qué potencia debería tener para haberlo conseguido en 10 minutos? 400 Mhz 40 min X 10 min INVERSA ; ; 400 4; = 1600Mhz 10. Un liquen rojo de montaña ha crecido 6mm en años. Cuántos cm crece cada siglo? 0.6 años 100 años ; ; ; = 0 centímetros. Un deportista ha necesitado 10 segundos para recorrer una distancia a 6Km/hora. Cuánto tardaría en recorrer la misma distancia un leopardo que se mueve a 110Km/ hora? 6Km / hora 10 segundos 110Km / hora ; ; =.7 segundos INVERSA Página 9

10 MAT PROBLEMAS DE REGLA DE COMPUESTA 4. Si 5 obreros, trabajando durante 8 horas, pintan 4Km de carretera, cuántos obreros, trabajando 10 horas, se necesitarían para pintar 15Km? 8 horas 4 Km 5 obreros 10 horas 15 Km ; ; ; = 75 obreros 5. Un peregrino ha recorrido 600 Km del camino de Santiago en 0 días a razón de 6 horas diarias. Cuántos Km podría recorrer a la misma velocidad en 0 días, a 5 horas al día? 0 días 6 horas / día 600Km 0 días 5 horas / día ; ; = 750 Km Obéli empleó 5 horas para comerse 10 jabalíes de 600 Kg cada uno; cuántas horas precisará para dar cuenta de 1 jabalíes de 400 Kg cada uno? 10 jabalíes 600 Kg 5 horas 1 jabalíes 400 Kg ; ; ; = 4 horas 7. Sabiendo que trenes de 1 vagones cada uno pueden transportar 1800 pasajeros, cuántos pasajeros pueden transportar 4 trenes de 10 vagones cada uno? trenes 1 vagones 1800 viajeros 4 trenes 10 vagones ; ; ; = 000 viajeros Página 10

11 MAT 8. Una taladradora perfora 15 metros cada día trabajando 8 horas diarias. Cuánto perforarán taladradoras trabajando 6 horas diarias? 1 taladradora 8 horas / día 15 metros taladradoras 6 horas / día ; ; ; =.5 metros A causa de los 90 pozos que etraían 40 Hm anuales de agua se han agotado en 100 años los recursos hídricos de una zona. Cuánto habrían tardado en agotarse con 0 pozos etrayendo 5 Hm? 90 pozos 40 Hm 100 años 0 pozos 5 Hm ; ; ; = 600 años Un taller, trabajando 8 horas diarias, ha necesitado 5 días para fabricar 1000 piezas. Cuántos días necesitará para fabricar 000 piezas en turnos de 10 horas diarias? 8horas / día 1000 piezas 5 días 10 horas / día 000 piezas ; ; ; ; = 1 días 1. Si grifos iguales tardan 5 horas en llenar un depósito de 10 m, en cuánto tiempo llenarían un depósito de 8 m grifos como los anteriores? grifos 10 m 5 horas grifos 8 m ; ; 8 0 ; = 6 horas Página 11

12 MAT. Hemos pagado 1800 a un grupo musical por actuar días en las fiestas del barrio durante horas diarias. Cuántos días podremos pagar con 600 si actúan durante horas diarias? 1800 horas / día días 600 horas / día ; ; ; = 4 días. Un ciclista consumió 4800Kcal para completar 8 etapas de 0 Km cada una. Cuántas Kcal necesitará para completar 5 etapas de 40 Km cada una? 8 etapas 0 Km / etapa 4800 Kcal 5 etapas 40 Km / etapa ; ; ; = 4000 Kcal 4. Por 5 días de trabajo con una jornada de 8 horas diarias me han pagado 480. Cuánto ganaré por 10 días si la jornada se reduce a 5 horas diarias? 5 días 8 horas / día días 5 horas / día ; ; ; = 600 Una lavadora industrial, trabajando 8 horas diarias durante 5 días, ha lavado 1000 Kg de ropa. Cuántos Kg de ropa lavará en 1 días trabajando 10 horas al día? 5 días 8 horas / día 1000Kg 1 días 10 horas / día ; ; ; = 000 Kg Página 1

13 MAT 5. Un ganadero necesita 750Kg de pienso para alimentar 50 vacas durante 10 días; durante cuántos días podrá alimentar 40 vacas con 1800Kg de pienso? 750 Kg 50 vacas 10 días 1800 Kg 40 vacas ; ; ; ; = 0 días 6. Para llenar un depósito hasta una altura de 0.80m se ha necesitado un caudal de 0 litros por minuto durante una hora y 0 minutos. Cuánto tiempo tardará en llenarse el mismo depósito con un caudal de 15 litros/minuto hasta una altura de 90cm? 80cm 0 l / m 4/ horas 90cm 15 l / m / ; ; ; = horas 7. Trabajando 8 horas diarias, 1 obreros terminan un trabajo en 5 días. En cuánto tiempo lo terminarían 5 obreros trabajando 10 horas al día? 1 obreros 8 h / día 5 días 5 obreros 10 h / día ; ; ; = 48 días 8. En 1 días, 0 electricistas, trabajando 10 horas diarias, colocan 6Km de tendido eléctrico. Cuántos días necesitarían 5 electricistas para colocar 15Km de tendido trabajando 8 horas al día? 0 hombres 10 horas / día 6 Km 1 días 5 hombres 8 horas / día 15 Km ; ; ; = 45 días Página 1

14 MAT 9. Para calentar litros de agua desde 0º Centígrados a 0ºC se ha necesitado 1Kcal. Si queremos calentar litros de agua de 10ºC a 60ºC, cuántas Kilocalorías son necesarias? litros (+) 0º C 1Kcal litros (+) 50º C 0 1 ; ; X =.75 Kilocalorías En una mina, una cuadrilla de 6 mineros abren una galería de 0 metros de longitud en 17 días. Si otra cuadrilla tiene 17 mineros, cuántos metros de galerías abrirán en 0 días? 6 mineros 17 días 0 metros 17 mineros 0 días ; ; ; 5 0 ; = 150 metros Una cuadrilla de albañiles, trabajando 10 horas al día, han construido 600m de pared en 18 días. Cuántos m construirán en 15 días, trabajando 8 horas diarias? 10 horas 18 días 600m 8 horas 15 días ; ; ; ; = 400m Un granjero ha necesitado 94 Kg de pienso para alimentar a 15 vacas durante 7 días. Durante cuántos días podría alimentar a 10 vacas si dispusiese de 840 Kg de pienso? 94Kg 15 vacas 7 días 840Kg 10 vacas ; ; ; ; =0 días Página 14

15 MAT 4. Una ecavadora, trabajando 10 horas al día, abre una zanja de 1000 metros en 8 días. Cuánto tardaría en abrir una zanja de 600 metros, trabajando 1 horas diarias? 10 horas 1000 m 8 días 1 horas 600 m ; ; ; ; = 4 días Si se abren bocas de riego con un caudal de 1.5 litros por segundo cada una, un aljibe se vacía en 8 horas. Durante cuánto tiempo daría servicio el aljibe si se abrieran 4 bocas de riego con un caudal de 0.9 litros por segundo cada una? bocas 1.5 litros / sg 8 horas 4 bocas 0.9 litros / sg ; ; ; ; = 10 horas Cincuenta terneros consumen 400 Kg de alfalfa a la semana. Calcular: a. El consumo de alfalfa por ternero y día. b. Los Kg de alfalfa necesarios para alimentar a 0 terneros durante 15 días c. Los días que se podría alimentar a 10 terneros si se dispone de 600Kg de alfalfa Apartado a/ 50 terneros 7 días 400Kg 1 ternero 1 día ; ; ; ; = 1 días Apartado b/ 50 terneros 7 días 400Kg 0 terneros 15 días y Página 15

16 MAT ; y ; y ; ; 0 15 y Apartado c/ y y = 600 Kg 50 terneros 400Kg 7 días 10 terneros 600Kg z ; z ; z ; z = 5 días z En un taller de confección, con 6 máquinas tejedoras, se han fabricado 600 chaquetas en diez días. Calcular: a. La cantidad de prendas que se fabricarían con 5 máquinas en 15 días. b. El número de máquinas necesarias para fabricar 750 prendas en 15 días. c. Los días que se tardarían en fabricar 750 prendas trabajando sólo con 5 máquinas. Apartado a/ 6 máquinas 10 días 600 chaquetas 5 máquinas 15 días ; z ; z ; z = 750 chaquetas 5 15 z 60 Apartado b/ 10 días 600 chaquetas 6 máquinas 15 días 750 chaquetas y ; y ; ; y y y = 5 máquinas Página 16

17 MAT Apartado c/ 6 máquinas 600 chaquetas 10 días 5 máquinas 750 chaquetas z ; z ; z ; z = 15 días Una lavadora industrial, trabajando 8 horas diarias durante 5 días, ha lavado 1000Kg de ropa. Cuántos Kg de ropa lavará en 1 días trabajando 10 horas diarias? 8 horas 5 días 1000Kg 10 horas 1 días ; ; ; = 000Kg de ropa Una alfombra sintética, de 1.80m de larga por 90cm de ancha, ha costado 7. Cuánto costará otra alfombra de la misma calidad que tiene m de larga y 1.0m de ancha? 1.8 m 0.9m 7 metros 1.m ; ; ; ; 5 ; = Cinco encuestadores, trabajando 8 horas diarias, completan los datos para un estudio de mercado en 7 días. Cuánto tardarán en hacer el mismo trabajo 9 encuestadores trabajando 10 horas al día? 5 encuestadores 8 horas 7 días 9 encuestadores 10 horas ; ; ; ; = 1 días Página 17

18 MAT REPARTOS PROPORCIONALES 50. Repartir 1000 euros en partes directamente proporcionales a las edades de, 5 1. Sean, y z las partes que le corresponderán a, 5 y 1 años, respectivamente. Calculando cada parte, una a una: 50 = 50= Repartir 0 euros a personas de edades, 5 y 10, de forma inversamente proporcional. Sean a,b,c las cantidades correspondientes a, 5 y 10 años, respectivamente. 5. Se va a repartir una herencia de euros que deja un adinerado abuelo a sus tres nietos de 4, 6 y 18 años, en función de sus edades. Calcular cuánto le toca a cada uno, tanto si el reparto es directamente proporcional a las edades, como si lo es inversamente. (Sólo lo hacemos de la primera forma, pero se puede resolver de las ) REPARTO MENTE PROPORCIONAL 4 años a 6 años b 18 años c 4 años le corresponde al nieto de le corresponde al nieto de 6 años le corresponde al nieto de 18 años Si sumamos las tres cantidades: = , que es la cantidad que queríamos repartir. Observemos que el nieto mayor tiene el triple de edad que el pequeño, y le corresponde eactamente el triple de dinero. Página 18

19 MAT REPARTO INVERSAMENTE PROPORCIONAL 4 años 6 años y 18 años z nieto de 4 años euros le corresponden al euros le corresponden al nieto de 6 años euros le corresponden al nieto de 18 años Si sumamos las tres cantidades: = , que es la cantidad que queríamos repartir. Vemos que al pequeño, que tiene un tercio de la edad del mediano, le corresponde el triple eacto que a éste. ATENCIÓN! La cantidad que le corresponde al mayor cuando se reparte de forma directamente proporcional NO es la misma que le corresponde al pequeño cuando se reparte de forma inversamente proporcional; etc. Página 19