1.1 DEFINICIÓN 1.2 ENFOQUE GEOMÉTRICO 1.3 IGUALDAD 1.4 OPERACIONES

Transcripción

1 Moisés Villea Muñoz Vectores e,,,. DEFINICIÓN. ENFOQUE GEOMÉTRICO. IGUALDAD.4 OPERACIONES Los pares ordeados, que a se ha tratado, so los que llamaremos ectores de. Pero el iterés ahora es ser más geerales.

2 Moisés Villea Muñoz Vectores e,,,. DEFINICIÓN U ector de es u cojuto ordeado de úmeros reales, los cuales so llamados compoetes. Lo deotaremos de la siguiete maera: ( ) x, x,, x Si el ector tiee dos compoetes, u par ordeado ( x, ), será u ector de. Si el ector tiee tres compoetes, u tera ordeada u ector de. ( xz,, ), será Cosiderar a los ectores de como pares ordeados o a los ectores de como teras ordeadas, os permite obteer sus propiedades algebraicas, pero existe otras que resulta cuado se defie ua represetació del ector e el plao cartesiao o e el sistema tridimesioal.. ENFOQUE GEOMÉTRICO U ector de se lo represeta e el Plao Cartesiao como u segmeto de recta dirigido. Supoga que se tiee los putos P ( x, ) P ( x, ). Si trazamos u segmeto de recta dirigido desde P hacia P teemos ua represetació del ector PP ( x x ), (, ) P x (, ) P x PP x

3 Moisés Villea Muñoz Vectores e,,, Este ector puede teer muchas otras represetacioes equialetes e el plao cartesiao. Ua represetació equialete útil es aquella que se realiza ubicado al ector co el orige como puto de partida. Surge características importates cuado obteemos ua represetació geométrica de u ector. Características como la logitud del segmeto de recta, la medida de la icliació de este segmeto hacia dode aputa la flecha que se ubica este segmeto. ( x, ) θ x.. MAGNITUD O NORMA Sea ( x, ) u ector de R. La magitud o orma de deotada como, se defie como: x + Note que la orma sería la logitud del segmeto de recta que defie el ector. Es decir, sería la distacia etre los putos que lo defie. Para ( x x ) sería ( x x ) + ( ),

4 Moisés Villea Muñoz Vectores e,,,.. DECCIÓN La direcció de ( x, ) está defiida por la medida del águlo de icliació de la líea de acció del segmeto de recta; es decir, por el águlo θ. Obsere que: θ arcta x Si el águlo θ es medido e setido atihorario se dirá que tiee direcció positia, caso cotrario se lo cosidera egatio. Para ( x x ), sería θ arcta x x.. SENTIDO El setido de ( x, sobre el segmeto de recta. ) lo defie la flecha dibujada Para P P ( x x ), teemos: (, ) P x PP (, ) P x x 4

5 Moisés Villea Muñoz Vectores e,,, La represetació Geométrica para u ector de sería aáloga a. Supoga que se tiee los putos x, z P x, z. Si P ( ) ( ),, P P trazamos u segmeto de recta dirigido desde hacia teemos ua represetació del ector PP ( x x, z z ), z P ( x, z ), P ( x, z ), x Su represetació co puto de partida el orige sería:. z P ( x,, z) x La magitud o orma de ( x,, z ) se defie como: x + + z 5

6 Moisés Villea Muñoz Vectores e,,, Para ( x x, z z ), sería: ( x x ) + ( ) + ( z ) z La direcció de ( x,, z) está defiida por la medida de los águlo que forma la líea de acció del segmeto de recta co los ejes x,, z z γ α β x Los águlos α, β γ so llamados Águlos Directores. Obsere que: Cosα x x x + + z Cosβ x + + z Cosγ x + + z 6

7 Moisés Villea Muñoz Vectores e,,, Ejercicio. Demostrar que cos α + cos β + cos γ Para más dimesioes o dispoemos de iterpretació geométrica. Pero podemos hacer geeralizacioes. Si ector x, x, x,, x ), etoces la orma del ( se defie como: x + x + x + + x. IGUALDAD Sea ectores de ( x, x, x,, x ) (,,,, ). Etoces, si sólo si: ( x ) ( x ) ( x ) ( ) x.4 OPERACIONES.4. SUMA Y RESTA Sea dos ectores de tales que ( x x x ) ( ) Etoces:,,,,,,, +. La suma de co, deotada como, se defie como: ( ) + x+, x +,, x + 7

8 Moisés Villea Muñoz Vectores e,,,. La resta de co, deotada como defie como:, se ( ) x, x,, x Ejemplo + Sea V ( 5,,) V (, 0, ), dos ectores de, hallar V V V V SOLUCIÓN: Sumado algebraicamete las respectias compoetes teemos: ( ) V+ V 5+,+ 0, + ( ) (,, ) ( ) ( ) V V 5, 0, ( ) 8,,.4.. ENFOQUE GEOMÉTRICO Sea la represetació que se muestra a cotiuació para los ectores ( x ), ( x ), Cosiderado ua represetació equialete de de tal forma que esté ubicado a cotiuació de 8

9 Moisés Villea Muñoz Vectores e,,, Defiiedo el ector Ahora teemos que ( x, ), obsere la figura aterior: ( x x, ) ( x, ) ( x ), Por tato ; es decir: + El ector de la diagoal maor del paralelogramo que susteta lo ectores es el ector suma de co. Por otro lado, defiamos el ector 4, obsere la figura: ( x x ) ( x, ) ( x ), 4, 9

10 Moisés Villea Muñoz Vectores e,,, El ector de la diagoal meor del paralelogramo que susteta lo ectores es el ector diferecia. PREGUNTA: Cómo se represetaría?. Para, el asuto es aálogo z ( x, z ), + ( x, z ), x.4.. PROPIEDADES Sea, ectores de, etoces: + +. la suma es comutatia la suma es asociatia. 0, Dode 0 ( 0,0,,0) + 0 tal que. es llamado Vector Neutro 4., tal que Dode es llamado Vector Ierso Aditio de + 0 0

11 Moisés Villea Muñoz Vectores e,,,.4. MULTIPLICACIÓN POR ESCALAR Sea α sea ( x, x,, x ) u ector de. Etoces: α α( x, x,, x ) ( αx, αx,, αx ) Ejemplo Sea ( 5,,) u ector de, hallar SOLUCIÓN: ( ) ( ) 5,, 5, 6, Ejemplo ( ) Sea dos ectores de tales que:, 0, ( 5,,). Hallar el ector SOLUCIÓN: ( ) ( 6,0, 4 5,6, (, 6, 7) ).4.. ENFOQUE GEOMÉTRICO Si α R o, etoces:. Si α > magitud que, el ector. Si 0 < α < el ector meor magitud que. Si α < el ector α represeta u ector de maor magitud de setido cotrario que α represeta u ector de α represeta u ector de maor

12 Moisés Villea Muñoz Vectores e,,, 4. Si < < 0 α el ector α represeta u ector de meor magitud de setido cotrario que.4.. PROPIEDADES α,, α + α + α α, β, ( α + β) α + β αβ,, αβ ( αβ) α, α α.4.. VECTORES UNITARIOS U ector u es UNITARIO si sólo sí su orma es igual a, es decir: u Ejemplo El ector u, es uitario porque u + + U ector puede ser expresado de la forma u por tato

13 Moisés Villea Muñoz Vectores e,,, u Ejemplo Hallar u ector uitario para el ector (,, ) SOLUCIÓN: Aplicado la fórmula u u teemos: (,, ) u 4 u (,, ) 4 u,, comprobado u u u VECTORES PARALELOS Sea dos ectores de. Etoces so paralelos si sólo si el uo es múltiplo escalar del otro; es decir: k Obsere lo siguiete. ( x x x ) ( ) Si paralelos etoces,,, ( ) ( ( ) (,,, ; si so k x, x,, x k,,, ) x, x,, x k, k,, k ) Por igualdad de ectores x kx k x k

14 Moisés Villea Muñoz Vectores e,,, o tambié x x x k Se coclue que, cuado los ectores so paralelos, existe proporcioalidad etre sus compoetes. Ejemplo El ector (, ) es paralelo al ector ( 6, 4) porque o tambié 6 4 porque Por otro lado. Note que cualquier ector de expresado e térmios de los ectores R, ( x, i (,0 ) j ( 0,) ), puede ser ( x, ) x(,0 ) + ( 0, ) x i + Es decir, teemos otra represetació algebraica del ector. j Ejemplo El ector (, ) puede ser expresado de la forma i j U ector de R, (,0,0 ) ( x,, z i ( 0,,0 ) j k ( 0,0,) ectores, ), puede ser expresado e térmio de los ( x,, z) x(,0,0 ) + ( 0,,0 ) + z( 0,0, ) Ejemplo x i + El ector (, 5, ) tambié se lo puede deotar de la forma i 5 j + k j+ z k 4

15 Moisés Villea Muñoz Vectores e,,, Co lo aterior surge la siguiete defiició.4..5 COMBINACIÓN LINEAL Sea,,,, ectores de. Ua Combiació Lieal de estos ectores es ua expresió de la forma: a+ a+ a+ + a dode a, a, a,..., a Obsere que el resultado de la combiació lieal es otro ector de. Ejemplo Co los ectores (,) ( 5, ) al formar la siguiete combiació lieal teemos: El resultado el ector ( 7,5) (,) ( 5,) (,9) ( 0,4) ( 7,5) Tambié puede ser posible expresar u ector e combiació lieal de otros ectores. Ejemplo Exprese ecuetre la combiació lieal del ector (,) ( 5,) SOLUCIÓN: (, ) La combiació lieal (, ) e térmios de (,) ( 5, ) sería: α + β (, ) α(,) + β(5,) Ahora, el objetio sería determiar el alor de α β. e térmios de 5

16 Moisés Villea Muñoz Vectores e,,, Resoliedo el sistema, obteemos: α + β Por tato (,) (,) + (5,) α + 5β α + β α β Ejercicios propuestos.. Sea u (,, ), (,,5 ), w (, 4,). Calcular: a) u c) u w b) + 5w d) u 4+ 7w. Dados los ectores, 4,, 4, 6 4,,5. Halle u ector 4 tal que , 4,5 ( ) a) 5,, 8 b) 5,, 8 c) 5,, 8 d) 5,, 8 e) 5,, 6. Sea los ectores de R,,, 4,,,, 4,8,, 4, 0, 0. Etoces u ector ( ) ( ) tal que + 4, es: ( ) ( ) (7,7, 4) 6,8,9) c) ( 6,8,9) a) b) ( ( 7,7,4) ( 7, 7, 4) d) e) 4. Sea los ectores (,, 0), (,, ) 4 ( 4,, 7), determie los alores de a b para que la combiació a+ b sea erdadera: a) a 0. b 7 d) a 4. b b) a 8. b 7 e) Elija esta opció si a b o existe c) a 0. b 7 5. Dados los ectores (,, ); (,,0 ); ( 0,,7 ); (,5,), etoces para que se cumpla que k + k + k ; el alor de debe ser: a) - b) -5 c) - d) 5 e) k + + k k 6

17 Moisés Villea Muñoz Vectores e,,,.4. PRODUCTO PUNTO (PRODUCTO ESCALAR) Sea x x x ( ) ( ),,,,,, ectores de. El producto puto de, deotado como, se defie como: ( ) ( x, x, x,, x,,,, x + x + x + + x Note que el resultado del producto puto es u úmero real. ) Ejemplo Si (,) (, 4) etoces ( )( ) ( )( ) Ejemplo Hallar SOLUCIÓN: para (, 0, ) ( 5,,) (, 0, ) ( 5,,) ()( 5) + (0)() + ( )() Ejemplo Sea dos ectores de tales que:,,, ( ( ), 0,, ). Hallar SOLUCIÓN: ( )() + ()(0) + ()( ) + ( )() 7

18 Moisés Villea Muñoz Vectores e,,,.4.. PROPIEDADES Sea ectores de. Etoces:. El producto escalar es comutatio. + + El producto escalar es distributio. α β αβ Además, si ( ) x, x,, x etoces (,,, ) (,,, ) x x x x x x x + x + + x Por lo tato o tambié.4.. ENFOQUE GEOMÉTRICO Supoga que θ es el águlo que forma etre si los ectores. Cosideremos el triágulo: Aplicado la le del coseo, teemos: 8

19 Moisés Villea Muñoz Vectores e,,, + cosθ Aplicado propiedades simplificado: cosθ cosθ cosθ Fialmete, resulta que: cosθ La utilidad de la última expresió la obseramos e el siguiete ejemplo. Ejemplo Hallar el águlo θ que forma los ectores SOLUCIÓN: Aplicado la propiedad teemos: Por tato: (, ) (, ) (, ) (, ) (, )(,) ( )( ) 4 cos θ θ arccos π 5 6 Ejercicio Propuesto.. Dados los ectores: (,, ) (,,0 ) el resultado de la operació: es: a) b) -9 c) -68 d) 9 e) - 9

20 Moisés Villea Muñoz Vectores e,,,. Sea los ectores de R, (,,), (,, ) ( 0,,0 ). Etoces el alor de + ( ) ( 4,0,0) a) 0, 4,0 b)-4 c) d) e)4. Sea, ectores de R, tales que: ( 5,) ( 7, ). Etoces u ector tal que: 8 4 es: a) ( 4,6) b) ( 6,9 c) ( 6,4 ( 6,0) ( 4,9 ) d) e) ) ) ) 4. Sea, ectores de tales que:,,, 5,,0 ( 0.4,0. Etoces al efectuar la operació 4 6 se obtiee como resultado: a)54 b)0 c)84 d)84 e)5 ( ) ( ).4.. VECTORES ORTOGONALES 0 Sea dos ectores de. Etoces so ortogoales si sólo si Ejemplo Los ectores (,, ) (,,) so ortogoales, porque ()( ) + ()() + ( )() 0 medida de El hecho de que 90, es decir 0 π θ. Porqué? sigifica que el águlo etre ellos tiee E este caso se dice que so ectores perpediculares. 0

21 Moisés Villea Muñoz Vectores e,,, Este cocepto puede se utilizado e problemas de diseño, como el siguiete: Ejemplo Dados los ectores ( a,, ) ( 5 ), a,, ecotrar los alores 4 de " a " para que sea ortogoales. SOLUCIÓN: Para que sea ortogoales se debe cumplir que 0, etoces ( ) 5 5 a,, (, a, ) a a por lo tato a 6a 7 a 4 a a 0 a VECTORES ORTONORMALES Los ectores,,,, de so ORTONORMALES si sólo i j cuado i j si: i j 0 cuado i j Es decir, u cojuto de ectores es ortoormal si sólo si está costituido por ectores que so uitarios ortogoales a la ez.

22 Moisés Villea Muñoz Vectores e,,, Ejemplo ( ) ( 0,) Los ectores i,0 j so ortoormales porque i, j i j 0 Ejemplo Los ectores iˆ (,0,0), ˆj (0,,0), kˆ (0,0,) i j i k j k 0 además i j k so ortoormales, porque Ejercicios Propuestos.. Sea ectores e, tales que,,,,. Ua de las siguietes proposicioes es VERDADERA idetifíquela: a) so ortogoales. b) so paralelos. c) d) e),0,. Sea los ectores de: ( k,, k ) (,, k). Determie los alores de k tales que sea ORTOGONALES. a) b) - c)- - d)- e)0 -. La SUMA DE LOS VALORES de " a " que hace que los ectores a, a, a,, SEAN ORTOGONALES, es: a)- b)- c)- d) 0 e) ( ) ( ) ( ) 4. Sea los ectores A,,, B 4,, C,0, ecotrar el alor de t, tal que A+ tb sea ortogoal a C. ( ) ( ) a b 5. Si se tiee los ectores,, 0 b, a,, si so ortogoales a, a,, etoces los alores de, respectiamete so:. a) b) - c) - d) - - e) - 6. Sea, ectores de R tales que:,,,,, b+. Etoces el VALOR de b para que sea ortogoal a es: a) 5 7 ( ) ( ) b) c) d) e) 5

23 Moisés Villea Muñoz Vectores e,,,.4..5 PROYECCIONES PROYECCIÓN ESCALAR pro La proecció escalar de sobre, deotada como, es la magitud de la sombra que hace sobre. Obsere la figura. pro Del triágulo teemos : cosθ. Despejado, resulta: pro cosθ Multiplicado diidiedo por resulta: pro cosθ u

24 Moisés Villea Muñoz Vectores e,,, PROYECCIÓN VECTORIAL El ector proecció de sobre, deotada como pro pro u u, es: Realice el trabajo aálogo para obteer la proecció escalar la proecció ectorial de sobre. 4

25 Moisés Villea Muñoz Vectores e,,,.4..6 DESCOMPOSICIÓN ORTOGONAL Supoga que se tiee dos ectores ortogoales otro ector, como se muestra e la figura. Supoga que se desea descompoer (expresar) e térmios de C + C. E la expresió realizado el producto puto co despejado, teemos: C + C C C 0 Aálogamete, realizado el producto puto ahora co, ecotramos: 5

26 Moisés Villea Muñoz Vectores e,,, Es decir: C + C C C 0 Obsere que: C + C u u + + u Pr o + Pr o u Ejemplo Sea (, ) (,5 ) u u, Tal que SOLUCIÓN ectores de R. Hallar dos ectores ortoormales u sea paralelo a u sea ortogoal a. Lo que queremos hacer, es ecotrar dos ectores u u tales que: 6

27 Moisés Villea Muñoz Vectores e,,, Primero, hallamos u ector uitario e la misma direcció (paralelo) de ( ), Etoces u, 0 0 SEGUNDO, hallamos u ector que sea ortogoal a. 0 Obsere que Pr o etoces:. Pro Luego 7 5 (, ) (, ) u (, ) 7

28 Moisés Villea Muñoz Vectores e,,, Ejemplo Exprese determie la combiació lieal del ector (, ) ectores ortogoales u, u 0 0 (, 0 0 ). SOLICIÓN: Como u u so ectores ortoormales, empleamos la formula Pr o + Pr o u u + u u Utilizado esta propiedad o es ecesario resoler sistema alguo e térmio de los Ejercicios Propuestos.4. Sea (,) (, ). Descompoer e dos ectores, u ector X paralelo a u ector Y ortogoal a. + V. Sea los ectores V ˆ i ˆj 4kˆ V ˆ i + ˆj kˆ. a) Determiar la proecció ectorial de sobre el ector. V V b) Calcular la compoete de perpedicular a. Resp. X (, ) Y (, ) V ( 5, 5 0 ), V Resp. a) Pr o V b) PRODUCTO VECTORIAL. PRODUCTO CRUZ ( ) Sea x, z x, z ectores de, (, R. El Producto Vectorial de co deotado como se defie como: (, ( ), ) z z x z x z x x )

29 Moisés Villea Muñoz Vectores e,,, Ua maera práctica para obteer el resultado de la operació Producto Cruz etre dos ectores es resoler el siguiete determiate, para la primera fila: i j k Ejemplo. Sea (,, ) (,, 0) etoces x x i j i j 5k k 0 z z.4.4. PROPIEDADES. Sea, ectores de. El ector es tato perpedicular a como a. El setido del ector se lo puede obteer empleado la mao derecha. Mietras los dedos se dirige desde hacia, el pulgar idica la direcció de.. 9

30 Moisés Villea Muñoz Vectores e,,, Si etoces // 0 6. α α α α De la última expresió, empleado la propiedad del producto escalar, se obtiee u resultado mu importate: [ ] θ θ θ θ cos cos cos se Fialmete: seθ.4.4. APLICACIONES CALCULO DEL ÁREA DEL PARALELOGRAMO SUSTENTADO POR DOS VECTORES. Sea dos ectores, o paralelos. Obsere la figura: θ h 0

31 Moisés Villea Muñoz Vectores e,,, Tomado como base a, teemos: Area base altura h Obsere que h seθ etoces Area seθ Y por la propiedad del producto cruz: Area Ejemplo Hallar el área del triágulo sustetado por los ectores (,, 0) SOLUCIÓN: (,, ) El área del triágulo sustetado por dos ectores es la mitad del área del paralelogramo sustetado por los ectores, es decir: i Area Triágulo j Como i j 5k etoces k 0 Area Triágulo ( ) + ( ) + ( 5) 0 Ejemplo Hallar el área del triágulo que tiee por értices los putos (,,0), (,, ) (,0,) SOLUCIÖN: Primero se forma dos ectores etre los putos dados, tomado arbitrariamete el orde de estos putos; luego se procede de maera aáloga a lo mecioado ateriormete debido a que el área del triágulo es la mitad del área del paralelogramo. P (,, ) (,,0) P P (,0, )

32 Moisés Villea Muñoz Vectores e,,, P P, 0 ( ), 0 E este caso, P P (, ( ), 0) ( 0,, ) ( ) (,, ) Etoces, i j 0 i j 9k k Area Triágulo () + ( ) + ( 9) CALCULO DEL VOLUMEN DEL PARALELEPÍPEDO SUSTENTADO POR TRES VECTORES Sea, tres ectores. Obsere la figura. h h h Tomado como base el paralelogramo sustetado por, la altura del paralelepípedo será la proecció escalar de sobre, etoces: Volume Area base altura Dode Area base altura h Pr o Por tato. Volume Fialmete, simplificado resulta:

33 Moisés Villea Muñoz Vectores e,,, Volume Esta última expresió es deomiada, EL TRIPLE PRODUCTO ESCALAR de los ectores,, su iterpretació es el olume del paralelepípedo sustetado por los ectores,. Obsere además que o importa el orde de operació de los ectores, por qué?. Ejemplo ( ) Hallar el olume del paralelepípedo sustetado por los ectores,,, (,0, ) ( ),,. SOLUCIÖN. Por lo defiido ateriormete, Volume u Ejercicios propuestos.4. Sea los ectores A A iˆ 5 ˆj + kˆ B iˆ + ˆ j B k. Calcule los alores de A x x B z para los cuales B es paralelo a: a) al eje A x b) al eje Resp. a) A 5 5 x B A 5 4 z b) x B 5 4 z. Calcular el área del triágulo que tiee sus értices e los putos (-,,4); (,,7) ; (4,,6) Resp. Area. Dados tres ectores ( 5,,6), (,8, ), (, 7,4 ) forma u tetraedro co értice e el orige. Determiar su altura desde el orige. Resp. h U tetraedro tiee por base el triágulo de értices (.-6,-), (4,4,-) (-,-,); Si el értice opuesto es el puto (8,0,6), determie su altura. 74 z ˆ Resp. h 5. Sea u ectores o ulos, diferetes tales que: w u+, w u, w u+. Hallar w w w Resp

34 Moisés Villea Muñoz Vectores e,,, Misceláeos. Demuestre que: a. ( DESIGUALD DE SCHWARZ) b. + + (DESIGUALDAD TRIANGULAR) c. k k ; k. Determie si las proposicioes so erdaderas o falsas. Justifique formalmete. a. Si so ectores uitarios etoces + b. Si so ectores ortogoales etoces + c. Si so ectores ortogoales etoces + d. Si so ectores ortogoales etoces + + e. Si so ectores ortogoales etoces f. Si etoces g. Si los ectores so paralelos etoces + h. Si so ectores de R, dode etoces so ortogoales. u u + i. Sea,, ectores e el plao tales que u 7, u, u 5u u + u. Si u u 4 etoces so ortogoales. j. Si so ectores de R α α R. Si + +, etoces + + k. Si so ectores de R etoces. ( ) l. Si los ectores ( 0,0, a),, 4,0 ( 0, 4,6) forma u paralelepípedo cuo olume es 0 u, etoces a 0. 4

35 Moisés Villea Muñoz Vectores e,,,. Sea ectores uitarios. Si los ectores so ortogoales. Hallar la medida del águlo θ que forma etre sí los ectores. Resp. π θ 4. Sea ectores de, tales que (,) (, 0). Determie los alores de λ, de tal forma que los ectores + λ λ sea ortogoales. Resp. λ ± + j 5. Sea 4i j, i j 6i 7 ; determiar escalares k m tales que k + m. Resp. k 4, m 5 6. Sea θ ( ) θ π 0, el águlo que forma los ectores, Si, 5 4,, determie el alor de la 4 4 ta θ. Resp. ta θ X 7. Determie u ector, perpedicular al ector 4i 5 j que tega ua logitud de 0 uidades. Resp. X 50 i Sea i j, i + 4 j 7i 8 j ; determiar escalares k m tales que k + m. Resp. k, m 5 9. Sea V u ector diferete de cero, etoces, demostrar que si U es u ector cualquiera, el ector U V W U V V es ortogoal a V j 0. Demuestre que si U es ortogoal a V a W, etoces U es ortogoal a para escalares cualquiera. c d cv + d W. Demostrar que el área del triágulo, cuos értices so los extremos de los ectores C, es B A C A. Demostrar que el olume del tetraedro de aristas A+ B, B+ C C+ A es el doble A B del olume del tetraedro de aristas,.. Pruebe que las diagoales de u rombo (paralelogramo co lados iguales) so perpediculares. C A, B 5