Part IV. Modelos para la volatilidad. Series de Tiempo. Germán Aneiros Pérez. Introducción. Procesos ARCH: Construcción. Procesos GARCH: Estimación

Transcripción

1 Sris d idntificación Part IV Modlos para la volatilidad Sris d

2 Modlos para la volatilidad Sris d idntificación Comnzamos indicando la notación gnral qu utilizarmos n st tma: y 1, y 2,..., y T : sri d timpo obsrvada. {Y t } t : procso gnrador d la sri obsrvada. Sris d

3 Modlos para la volatilidad Sris d idntificación Existn sris tmporals stacionarias cuyas caractrísticas no pudn sr xplicadas o modlizadas a través d procsos ARMA gnrals. Concrtamnt, dichas sris prsntan: Dpndncia tmporal, pro no d tipo linal (ruido blanco dpndint). Colas más psadas qu las d la distribución normal (sto s, surgn valors altos o bajos más frcuntmnt qu n l caso gaussiano). Rachas o agrupaminto d valors altos (bajos) a lo largo dl timpo; sto s, s altrnan príodos d valors altos (bajos) con príodos d valors mdios. Sris d

4 Modlos para la volatilidad Sris d idntificación Muchas d stas sris prtncn al campo d las finanzas. Un jmplo son las sris d rndimintos (o ganancias rlativas) d un capital (accions, bonos,...), ntndindo qu si x t s l valor dl capital n l instant t, ntoncs su rndiminto n dicho instant s y t = xt x t 1 x t 1. Nota: Cuando y t s pquño, s costumbr utilizar la aproximación y t ln ( xt x t 1 ) = ln (x t ) ln (x t 1 ). Sris d

5 Modlos para la volatilidad Sris d idntificación Rndimintos dl IBEX 35 Fas y fap Sris d

6 Modlos para la volatilidad Sris d Fas Rndimintos dl IBEX 35 idntificación Sris d

7 Modlos para la volatilidad Sris d idntificación El objtivo d st tma s la construcción d s stocásticos qu san capacs d xplicar las caractrísticas ants nombradas. Dichos procsos, cuya varianza marginal db sr constant (pus son stacionarios), vrificarán qu: La varianza condicionada al pasado no s constant, sino qu dpnd d dicho pasado (htrocdasticidad condicional). D sta forma, introducn dpndncia ntr los cuadrados dl procso y su pasado; sto s, dpndncia tmporal no linal. En gnral, valors altos (bajos) d la varianza condicionada van sguidos d valors altos (bajos). Esto gnrará l agrupaminto a lo largo dl timpo d valors altos (bajos) d la sri. Sris d

8 Modlos para la volatilidad Sris d idntificación Como s indica n la transparncia antrior, los s n custión imponn condicions a la varianza condicionada. Por tanto, lo qu n ralidad modlizan s la varianza condicional (o volatilidad), por lo qu son s para la volatilidad. La volatilidad s un concpto sumamnt important dntro dl campo d las finanzas, pus pud considrars como una mdida d la actividad financira, o d la incrtidumbr n las prdiccions. Los s qu studiarmos n st tma srán utilizados tanto para comprndr la dinámica d la sri como para fctuar prdiccions d valors futuros d la volatilidad. Sris d

9 Modlos para la volatilidad Sris d idntificación El procso {Y t } s dic qu s un ARCH(1) (AutoRgrsiv Conditional Htroscdastic) si admit una rprsntación dl tipo: dond Y t = σ t Z t sindo σ 2 t = α 0 + α 1 Y 2 t 1, α 0 > 0 y α 1 0 son constants. {Z t } son v.a. i.i.d. sgún una distribución N (0, 1). Z t s indpndint d {Y t k, k 1} para cualquir t. Sris d

10 Modlos para la volatilidad Sris d idntificación El procso ARCH(1) vrifica: Si α 1 < 1 ntoncs s ruido blanco, y Var (Y t Y t 1 ) = σt 2. Si 3α1 2 < 1 ntoncs: 1 Sus cuadrados admitn la rprsntación AR(1) Yt 2 = α 0 + α 1 Yt a t, dond l ruido blanco {a t } no s indpndint. 2 Las colas d su distribución son más psadas qu las d Z t. A partir d stas propidads, obsrvamos qu l ARCH(1) captura caractrísticas prsnts n cirtas sris financiras (ruido blanco dpndint, colas psadas y rachas d valors altos (bajos) a lo largo dl timpo; para obsvar sto último, rcuérds qu σ 2 t = α 0 + α 1 Y 2 t 1 ). Sris d

11 Modlos para la volatilidad Sris d idntificación El procso {Y t } s dic qu s un ARCH(r) si admit una rprsntación dl tipo: dond Y t = σ t Z t sindo σ 2 t = α 0 + α 1 Y 2 t α r Y 2 t r, α 0 > 0 y α 1,..., α r 0 son constants. {Z t } son v.a. i.i.d. sgún una distribución N (0, 1). Z t s indpndint d {Y t k, k 1} para cualquir t. Sris d

12 Modlos para la volatilidad Sris d idntificación El procso ARCH(r) vrifica: Si r i=1 α i < 1 ntoncs s ruido blanco, y Var (Y t Y t 1,..., Y t r ) = σ 2 t. Si 3 ( r i=1 α i) 2 < 1 ntoncs: 1 Sus cuadrados admitn la rprsntación AR(r) Yt 2 = α 0 + α 1 Yt α r Yt r 2 + a t, dond l ruido blanco {a t } no s indpndint. 2 Las colas d su distribución son más psadas qu las d Z t. D manra análoga a lo qu ocurría con los procsos ARCH(1), d las propidads antriors s dduc qu l ARCH(r) captura caractrísticas prsnts n cirtas sris financiras. Sris d

13 Modlos para la volatilidad Sris d idntificación En la práctica, cuando s trabaja con sris rals qu prsntan htrocdasticidad condicional, s ha obsrvado qu l ARCH(r) ncsita un ordn r alto para qu d forma razonabl haya podido gnrar a una d dichas sris. Esto conllva la ncsidad d stimar muchos parámtros. Est problma vin solvntado a través d los s ARCH gnralizados, qu prsntamos a continuación. Sris d

14 Modlos para la volatilidad Sris d idntificación idntificación El procso {Y t } s dic qu s un GARCH(1,1) (Gnralizd ARCH) si admit una rprsntación dl tipo: dond Y t = σ t Z t sindo σ 2 t = α 0 + α 1 Y 2 t 1 + β 1σ 2 t 1, α 0 > 0 y α 1, β 1 0 son constants. {Z t } son v.a. i.i.d. sgún una distribución N (0, 1). Z t s indpndint d {Y t k, k 1} para cualquir t. Sris d

15 Modlos para la volatilidad Sris d idntificación idntificación El procso GARCH(1,1) vrifica: Si α 1 + β 1 < 1 ntoncs s ruido blanco, y Si 3 ( α1 1 β 1 ) 2 < 1 ntoncs: Var (Y t Y t 1, Y t 2,...) = σ 2 t. 1 Sus cuadrados admitn la rprsntación ARMA(1,1) Yt 2 = α 0 + (α 1 + β 1 ) Yt a t β 1 a t 1, dond l ruido blanco {a t } no s indpndint. 2 Las colas d su distribución son más psadas qu las d Z t. D manra análoga a lo qu ocurría con los procsos ARCH, d las propidads antriors s dduc qu l GARCH(1,1) captura caractrísticas prsnts n cirtas sris financiras. Sris d

16 Modlos para la volatilidad Sris d idntificación idntificación Rprsntación ARCH( ) d un GARCH(1,1) A partir d la xprsión d la volatilidad dl GARCH(1,1): σ 2 t = α 0 + α 1 Y 2 t 1 + β 1σ 2 t 1, pud obtnrs qu, si α 1 + β 1 < 1 y α 1, β 1 > 0, ntoncs σ 2 t = α 0 1 β 1 + α 1 i=0 βi 1 Y 2 t i 1. Es dcir, l GARCH(1,1) pud intrprtars como una ARCH d ordn infinito. Ést s l motivo por l qu l GARCH(1,1) (qu únicamnt contin 3 parámtros) s capaz d modlizar sris qu, si fusn modlizadas por un ARCH(r), ncsitarían qu r fus alto. Sris d

17 Modlos para la volatilidad Sris d idntificación idntificación El procso {Y t } s dic qu s un GARCH(r,s) si admit una rprsntación dl tipo: Y t = σ t Z t sindo σ 2 t = α 0 + r i=1 α iy 2 t i + s j=1 β jσ 2 t j, dond α 0 > 0 y α i, β j 0 (i = 1,..., r; j = 1,..., s) son constants. {Z t } son v.a. i.i.d. sgún una distribución N (0, 1). Z t s indpndint d {Y t k, k 1} para cualquir t. Nota: La notación qu utiliza l R n lo qu a los órdns dl GARCH(r,s) s rfir s distinta a la qu usualmnt aparc n los txtos (qu s la qu nosotros utilizamos): lo qu para nosotros s un GARCH(r,s) para l R s un GARCH(s,r). Sris d

18 Modlos para la volatilidad Sris d idntificación idntificación El procso GARCH(r,s) vrifica: Si r i=1 α i + s j=1 β j < 1 ntoncs s ruido blanco, y Var (Y t Y t 1, Y t 2,...) = σt 2. ( r ) i=1 Si 3 α 2 i 1 s j=1 β j < 1 ntoncs: 1 Sus cuadrados admitn la rprsntación ARMA Yt 2 = α 0 + max{r,s} i=1 (α i + β i ) Yt i 2 + a t s j=1 β jσt j 2, dond l ruido blanco {a t } no s indpndint (hmos dnotado α i = 0 para i > r y β j = 0 para j > s). 2 Las colas d su distribución son más psadas qu las d Z t. D manra análoga a lo qu ocurría con los procsos ARCH, d las propidads antriors s dduc qu l GARCH(r,s) captura caractrísticas prsnts n cirtas sris financiras. Sris d

19 Modlos para la volatilidad Sris d idntificación idntificación La sri d timpo... ha sido gnrada por un procso con htrocdasticidad condicional (GARCH)? El gráfico d la sri frnt al timpo db mostrar stacionaridad, con agrupaminto d valors altos (bajos). Las colas d la distribución dbn sr más psadas qu las d la normal. La fas y la fap d la sri dbn sugrir qu ha sido gnrada por un procso d ruido blanco. La fas y la fap d la sri d los cuadrados dbn sugrir qu dicha sri ha sido gnrada por un procso ARMA. Sris d

20 Modlos para la volatilidad Sris d idntificación Suposicions gnrals: La sri y 1,..., y T ha sido gnrada por un procso GARCH(r,s) Y t = σ t Z t dond σ 2 t = α 0 + r i=1 α iy 2 t i + s j=1 β jσ 2 t j, vrificándos qu: r i=1 α i + s j=1 β j < 1. Los órdns r y s son conocidos. Objtivo: Estimar los parámtros α 0, α 1,..., α r, β 1,..., β s. Método: Máxima vrosimilitud condicionada. Sris d

21 Modlos para la volatilidad Sris d idntificación La aplicación dl método d máxima vrosimilitud xacta rquir l conociminto d la distribución dl procso, qu n gnral dsconocmos. Por st motivo, los stimadors s suln obtnr maximizando la vrosimilitud condicionada. Esto s: ARCH(1): S slccionan los valors d α 0 y α 1 qu maximizan a la función d vrosimilitud condicionada a Y 1 : 1 L (α 0, α 1 Y 1 ) = T ( t=2(2πσt 2 ) xp ) T t=2 Nota: Rcuérds qu σ 2 t = α 0 + α 1 Y 2 t 1. Y 2 t 2σ 2 t Sris d

22 Modlos para la volatilidad Sris d idntificación GARCH(1,1): S slccionan los valors d α 0, α 1 y β 1 qu maximizan a la función d vrosimilitud condicionada a Y 1, considrando σ 2 1 = 0: L ( α 0, α 1, β 1 Y 1, σ1 2 = 0) = 1 T ( t=2(2πσt 2 ) xp ) T t=2 Y 2 t 2σ 2 t Nota: Rcuérds qu σ 2 t = α 0 + α 1 Y 2 t 1 + β 1σ 2 t 1. GARCH(r,s): S gnraliza la xprsión antrior, condicionando ahora a Y 1,..., Y max{r,s} y considrando σ 2 1 = = σ2 s = 0. Sris d

23 Modlos para la volatilidad Sris d idntificación Bajo cirtas condicions, s tin qu los stimadors propustos son asintóticamnt normals. Nota: En algunos txtos, la suposición d gaussianidad dl procso {Z t } qu intrvin n la dfinición dl procso GARCH (rcuérds qu Y t = σ t Z t ) no s impusta, dando lugar a una dfinición más flxibl. Si adoptamos sta nuva dfinición, s sigu mantnindo la normalidad asintótica d los stimadors basados n la vrosimilitud gaussiana condicionada. Sris d

24 Modlos para la volatilidad Sris d idntificación Una vz qu un GARCH ha sido stimado, la tapa d diagnosis o chquo d las hipótsis básicas ralizadas sobr él s raliza d modo análogo a lo hcho n los s Box-Jnkins y FARIMA. En l caso d los GARCH, las hipótsis s imponn sobr Z t (= Y t /σ t ), por lo qu los rsiduos a analizar pasan a sr Ẑ t = Y t / σ t, dond σ 2 t s la varianza condicional o volatilidad ajustada n l instant t. S trata ntoncs d contrastar qu {Ẑt } son i.i.d. con mdia 0 y varianza 1 (a la vista d la dfinición más flxibl nombrada n la antrior transparncia, la normalidad no s strictamnt ncsaria; sin mbargo, l comportaminto d los stimadors s mjor si s vrifica). Sris d

25 Modlos para la volatilidad Sris d idntificación Los órdns r y s dl GARCH s slccionan a través d alguno d los critrios AIC, AICc o BIC ya utilizados n la slcción d s Box-Jnkins, con las prtinnts modificacions provocadas por l método d stimación utilizado. Concrtamnt, db tnrs prsnt qu: El númro d obsrvacions utilizadas n la stimación s T max{r, s} (sta cantidad intrvin n la construcción d las funcions AICc y BIC). En la xprsión d las funcions AIC, AICc y BIC, la función d vrosimilitud L db sr sustituida por la función d vrosimilitud condicionada. Sris d

26 Modlos para la volatilidad Sris d idntificación Suposicions gnrals: S dispon d una sri d timpo y 1,..., y T gnrada por un procso stocástico {Y t } t. Suposicions particulars: {Y t } t tin una structura GARCH con parámtros conocidos. Objtivo: Prdcir, a partir d la sri obsrvada y 1,..., y T (y basándos n la structura GARCH), l valor d la volatilidad dl procso dntro d k príodos d timpo; sto s, prdcir l valor d σ 2 T +k. Notación: Dicha prdicción (con orign n T y horizont k) srá dnotada por σ 2 T (k). Sris d

27 Modlos para la volatilidad Sris d idntificación Procso ARCH(1): con orign n T y horizont 1 Las prdiccions (a cualquir horizont) s basan n la xprsión d la volatilidad: σ 2 t = α 0 + α 1 Y 2 t 1. Para prdcir con orign n T y horizont k = 1 utilizamos: σ 2 T +1 = α 0 + α 1 Y 2 T. Pusto qu conocmos l valor tomado por Y T (y T ), la prdicción buscada s: σ 2 T (1) = α 0 + α 1 y 2 T. Sris d

28 Modlos para la volatilidad Sris d idntificación Procso ARCH(1): con orign n T y horizont 2 Particularizando la xprsión gnral d la volatilidad al instant T+2, tnmos qu: σ 2 T +2 = α 0 + α 1 Y 2 T +1. En bas a sta xprsión, y prdicindo YT 2 +1 a través d su spranza condicional (sto s, a través d la varianza condicional d Y T +1 : σ T 2 (1)), s obtin: σ 2 T (2) = α 0 + α 1 σ 2 T (1). Est procdiminto rcursivo nos prmit obtnr prdiccions a cualquir horizont k, y s fácilmnt gnralizabl a procsos ARCH(r). Sris d

29 Modlos para la volatilidad Sris d idntificación Procso GARCH(1,1): con orign n T y horizont 1 Las prdiccions (a cualquir horizont) s basan n la xprsión d la volatilidad: σ 2 t = α 0 + α 1 Y 2 t 1 + β 1σ 2 t 1. Para prdcir con orign n T y horizont k = 1 utilizamos: σ 2 T +1 = α 0 + α 1 Y 2 T + β 1σ 2 T. Pusto qu conocmos los valors tomados por Y T y σ 2 T, la prdicción buscada s: σ 2 T (1) = α 0 + α 1 y 2 T + β 1σ 2 T. Sris d

30 Modlos para la volatilidad Sris d idntificación Procso GARCH(1,1): con orign n T y horizont 2 Particularizando la xprsión gnral d la volatilidad al instant T+2, tnmos qu: σ 2 T +2 = α 0 + α 1 Y 2 T +1 + β 1σ 2 T +1. En bas a sta xprsión, y prdicindo tanto YT 2 +1 como σ2 T +1 a través d σ T 2 (1) (véans las dos transparncias antriors) s obtin: σ 2 T (2) = α 0 + (α 1 + β 1 ) σ 2 T (1). Est procdiminto rcursivo nos prmit obtnr prdiccions a cualquir horizont k, y s fácilmnt gnralizabl a procsos GARCH(r,s). Sris d

31 Modlos para la volatilidad Sris d idntificación Para finalizar, prsntamos un jmplo con n l qu s hac uso d gran part d lo xpusto n st capítulo. La sri qu analizarmos s la sri d rndimintos diarios (n porcntaj) dl IBEX 35, dsd l hasta l (xcpto fins d smana y fstivos); sto s, analizamos la sri: y t = 100 (ln (x t ) ln (x t 1 )), dond x t s l valor dl IBEX 35 obsrvado n l instant t. Sris d

32 Modlos para la volatilidad Sris d 1: Idntificación d la prsncia d htrocdasticidad condicional Rndimintos dl IBEX 35 Rndimintos dl IBEX 35 idntificación Sris d

33 Modlos para la volatilidad Sris d idntificación Rndimintos IBEX 35 Rndimintos al cuadrado Sris d

34 Modlos para la volatilidad Sris d idntificación S ha chquado la idonidad d un procso d ruido blanco como gnrador d la sri d rndimintos, y ha rsultado adcuado (ruido blanco no gaussiano). S ha idntificado al mjor (BIC) procso ARMA qu haya podido gnrar a la sri: ha rsultado sr un ARMA(0,0) sin constant; sto s, ruido blanco. Sris d

35 Modlos para la volatilidad Sris d idntificación 2: Idntificación (BIC) dl GARCH S ha utilizado l critrio BIC para slccionar los órdns r y s dl GARCH qu sugrirmos como gnrador d la sri. Dichos valors s han slccionado dntro dl rango {0,..., 4}. El con mnor BIC ha rsultado sr un GARCH(3,0) (r=3, s=0); sto s, un ARCH(3), l cual admit la rprsntación dond Y t = σ t Z t, σ 2 t = α 0 + α 1 Y 2 t 1 + α 2Y 2 t 2 + α 3Y 2 t 3. Sris d

36 Modlos para la volatilidad Sris d idntificación 3: dl GARCH idntificado Las stimacions d sus parámtros a través dl método d máxima vrosimilitud condicionada han rsultado: α 0 = ( ), α 1 = ( ), α 2 = ( ) y α 3 = ( ). Sris d

37 Modlos para la volatilidad Sris d 4: dl ARCH(3) idntificación Rsiduos Rsiduos Sris d

38 Modlos para la volatilidad Sris d idntificación Rsiduos H 0 : µ Z = 0 p valor = H 0 : Normalidad Jarqu-Bra: p valor = Shapiro-Wilk: p valor = H 0 : σ 2 Z = 1 p valor = Rsiduos al cuadrado Sris d

39 Modlos para la volatilidad Sris d idntificación Como conclusión dl studio ralizado, tnmos qu un ARCH(3) rsulta adcuado como gnrador d la sri d rndimintos dl IBEX 35. En un principio, podmos considrar qu {Z t } son gaussianas, si bin s vrdad qu los contrasts d normalidad los pasan d manra muy justa. A continuación, mostramos varios gráficos n los qu comparamos l comportaminto d la sri d rndimintos dl IBEX 35 con l d la sri d los rsiduos dl ARCH(3) ajustado. Sris d

40 Modlos para la volatilidad Sris d Rndimintos dl IBEX 35 v.s. Rsiduos dl ARCH(3) idntificación Rndimintos dl IBEX 35 Rsiduos dl ARCH(3) Sris d

41 Modlos para la volatilidad Sris d idntificación Rndimintos dl IBEX 35 Rsiduos dl ARCH(3) Sris d

42 Modlos para la volatilidad Sris d idntificación Cuadrado d los rndimintos dl IBEX 35 Cuadrado d los rsiduos dl ARCH(3) Sris d

43 Modlos para la volatilidad Sris d idntificación La volatilidad (varianza condicional) ajustada sigu la cuación: σ 2 t = Y 2 t Y 2 t Y 2 t 3. A continuación, hacindo uso d sta cuación, comparamos los rndimintos dl IBEX 35 con su dsviación típica condicional ajustada. Admás, prdcimos dicha dsviación típica a un horizont k = 1. Sris d

44 Modlos para la volatilidad Sris d Rndimintos y σ t σ t y σ T (1) idntificación Sris d

45 Modlos para la volatilidad Sris d idntificación A lo largo d st tma: S ha construido la clas d s GARCH (para modlizar la volatilidad). S han propusto algunos métodos para dtctar la prsncia d htrocdasticidad condicional. S han propusto stimadors para los parámtros dl GARCH y s han mostrado algunas d sus propidads asintóticas. S han construido prdictors para valors futuros d la volatilidad. Sris d

46 Modlos para la volatilidad Sris d idntificación Por último, s convnint indicar qu n ocasions la sri d rndimintos (u otro tipo d sris, spcialmnt d datos financiros) a analizar no srá ruido blanco, sino qu prsntará structura d dpndncia linal (ARMA). En stos casos (sris financiras), rsulta frcunt qu l ruido blanco dl ARMA prsnt htrocdasticidad condicional. Si s así, podmos modlizar dicho ruido blanco (los rsiduos dl ARMA) a través d un GARCH. En conjunto, habrmos ajustado un ARMA (para la spranza condicional) y un GARCH (para la varianza condicional). Sris d