PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2013 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES

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1 PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 013 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva 1, Ejercicio, Opción A Reserva 1, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva 3, Ejercicio, Opción A Reserva 3, Ejercicio, Opción B Reserva 4, Ejercicio, Opción A Reserva 4, Ejercicio, Opción B Septiembre, Ejercicio, Opción A Septiembre, Ejercicio, Opción B

2 Los beneicios de una empresa en sus primeros 8 años vienen dados, en millones de euros, por la unción 3 t B( t) 3t 9t 0 t 8 4 donde la variable t indica el tiempo transcurrido, en años, desde su undación. a) Estudie la monotonía y los extremos de Bt (). b) Dibuje la gráica de Bt () en el intervalo 0,8 y explique, a partir de ella, la evolución de los beneicios de esta empresa en sus 8 años de existencia. SOCIALES II JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN A a) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: 3t B '( t) 6t 9 0 t ; t 6 4 (0, ),6 6,8 Signo B' + + Función C D C,6. La unción es creciente en el intervalo: (0, ) 6,8 y decreciente en el intervalo: Tiene un máximo relativo en el punto (,8) y un mínimo relativo en (6,0). Calculamos los extremos absolutos. Para ello vemos los valores que toma la unción en los extremos del intervalo 0,8. - B(0) 0 - B(8) 8 Por lo tanto, el máximo absoluto es 8 y se alcanza para t y t 8. El mínimo absoluto es 0 y se alcanza para t 0 y t 6 b) Hacemos la gráica de la unción: Viendo la gráica, observamos que los beneicios crecen en los años (0, ) 6,8 y decrecen en,6.

3 Sea ( x ) una unción cuya unción derivada, '( x ), tiene por gráica una parábola que corta al eje OX en los puntos ( 1,0) y (5,0) y con vértice (, 4). a) Estudie razonadamente la monotonía de ( x ). b) Determine las abscisas de los extremos relativos de la unción ( x ). c) Halla la ecuación de la recta tangente a la graica de ( x ) en el punto de abscisa x, sabiendo que () 5. SOCIALES II JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN B Esbozamos la gráica con los datos que nos dan: a) Viendo la gráica se deduce que: (, 1) ( 1,5) (5, ) Signo '( x ) + + Función ( x ) C D C La unción es creciente en el intervalo: (, 1) (5, ) y decreciente en el intervalo: ( 1,5). b) Tiene un máximo relativo en el punto de abscisa x 1 y un mínimo relativo en el punto de abscisa x 5. c) La recta tangente en x, es: y () '() ( x ). - () 5 - '() 4 Sustituyendo, tenemos: y 5 4 ( x ) y 4x 13

4 Estudie la derivabilidad de la unción x e si x 0 ( x) 1 si 0 x 3 x x si x SOCIALES II RESERVA 1. EJERCICIO. OPCIÓN A 6 3 x a) La unción exponencial e es continua y derivable en. Las unciones: 1 y x 6x, son unciones polinómicas y, también, son continuas y derivables en. Por lo tanto, sólo debemos estudiar la continuidad y derivabilidad en x 0 y x 3. Estudiamos la continuidad en x 0. x lim e 1 x0 lim lim (0) 1 Es continua en x 0 lim 1 1 x0 x0 x0 Estudiamos la continuidad en x 3. lim 1 1 x3 lim lim No es continua en x 3 y, por lo tanto, tampoco es lim ( x 6x) 11 x3 x3 x3 derivable. Estudiamos la derivabilidad en x 0 x e si x 0 Calculamos la unción derivada: '( x) 0 si 0 x 3 x 6 si x 3 y como: '(0 ) 1 '(0 ) '(0 ) '(0 ) 0 No es derivable en x 0 Por lo tanto, la unción ( ) x es derivable en 0,3

5 1 si x 1 Sea la unción: ( x) x x 6x 6 si x 1 a) Estudie la continuidad y la derivabilidad de la unción. b) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráica de ( x ) en el punto de abscisa x 0. SOCIALES II RESERVA 1. EJERCICIO. OPCIÓN B 1 a) La unción racional x x 6x 6 es continua y derivable en.por lo tanto, solo tenemos que estudiar la continuidad y la derivabilidad en x 1. es continua y derivable en. La unción polinómica Estudiamos la continuidad en x 1 1 lim 1 x1 x lim lim (1) Es continua en x 1 x1 x1 lim x 6x 6 1 x1 Estudiamos la derivabilidad en x 1 Calculamos la unción derivada: '( x) 1 ( x) si x si x 6 1 x 1 y como: '(1 ) 1 '(1 ) '(1 ) '(1 ) 4 Por lo tanto, la unción es continua en y derivable en 1. b) La recta tangente en x 0, es: y (0) '(0) ( x 0). No es derivable en x (0) 1 '(0) 4 Sustituyendo, tenemos: y ( x 0) y x 4 4

6 x x si x Consideremos la unción ( x) x 11 si 4 x 5 a) Estudie la derivabilidad de la unción ( x ) en el punto de abscisa x 4. b) Represente gráicamente la unción ( x ) e indique dónde alcanza su máximo y su mínimo absolutos. Cuál es el valor del máximo? Y del mínimo? SOCIALES II. 013 RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A a) Estudiamos la continuidad en x 4 lim x 6x 5 3 x4 lim ( x) lim ( x) 3 La unción es continua en x 4 lim x 11 3 x4 x4 x4 Calculamos la unción derivada: x 6 si x 4 '( x) si x 4 y como: '(4 ) '(4 ) '(4 ) '(4 ) La unción es derivable en x 4 b) Representamos la unción. Máximo absoluto (3, 4), mínimo absoluto (5,1)

7 1 3 1 Sea la unción ( x) x x x 3 3 a) Determine sus máximos y mínimos relativos. b) Consideremos la unción g( x) '( x). Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráica de la unción g( x, ) en el punto de abscisa x. c) Dibuje la gráica de g( x ) y de la recta tangente calculada en b). SOCIALES II. 013 RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B a) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: x x x x x '( ) 0 ; 1,1 1, (, ) Signo B' + + Función C D C Tiene un máximo relativo en el punto 19, 3 y un mínimo relativo en 11 1, 6. b) La ecuación de la tangente es: y g() g '() ( x ) g() 4 g '( x) x 1 g '() 1 5 Sustituyendo, tenemos que: y g() g '() ( x ) y 4 5( x ) y 5x 6 c) Dibujamos las dos unciones:

8 x 1 si x 3 Sea la unción ( x) x 3 si 3 x x 1 si x a) Estudie la continuidad y derivabilidad de ( x ) en su dominio. b) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento. c) Calcule los extremos relativos. SOCIALES II. 013 RESERVA 3. EJERCICIO. OPCIÓN A a) La unción polinómica x 1 es continua y derivable en. La unción polinómica x 3 es continua y derivable en. La unción polinómica x 1 es continua y derivable en.por lo tanto, solo tenemos que estudiar la continuidad y la derivabilidad en x 3 y x. Estudiamos la continuidad en x 3 lim x 1 6 x3 lim lim ( 3) 6 Es continua en x 3 lim x 3 6 x3 x3 x3 Estudiamos la continuidad en x lim x 3 1 x lim lim () 1 Es continua en x lim x 1 1 x x x Estudiamos la derivabilidad en x 3 y x Calculamos la unción derivada: 4x si x 3 '( x) 1 si 3 x y como: 1 si x '( 3 ) 1 '( 3 ) '( 3 ) '( 3 ) 1 '( ) 1 '( ) '( ) '( ) 1 No es derivable en x 3 No es derivable en x Por lo tanto, la unción es continua en y derivable en 3,. b y c) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: 4x 0 x 0, que no está en su dominio. Tiene un mínimo relativo en,1. (, 3) 3,, Signo '( x ) + Función D C

9 3 Sea la unción ( x) x 4 x 4x a) Halle los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inlexión. b) Obtenga la ecuación de la recta tangente a la gráica de en el punto de abscisa x c) En el punto de abscisa x 1, la unción es creciente o decreciente? SOCIALES II. 013 RESERVA 3. EJERCICIO. OPCIÓN B a) Calculamos la segunda derivada y la igualamos a cero: ''( x) 6x 48 0 x 8, que no está en su dominio. (,8) 8, Signo ''( x ) + La unción es cóncava en el intervalo (,8) inlexión en 8, 99. Función Cn Cx y convexa en el intervalo b) La ecuación de la tangente es: y ( ) '( ) ( x ) 3 ( ) ( ) 4 ( ) 4 ( ) 11 x x x '( ) '( ) ,. Tiene un punto de Sustituyendo, tenemos que: y ( ) '( ) ( x ) y 11 11( x ) y 11x 11 c) Calculamos la primera derivada '( x) 3x 48x 4 '(1) 3 (1) es decreciente

10 Calcule las derivadas de las siguientes unciones: 3 ( x 5) a) ( x) 3 x 7 b) g( x) e x ( x 5 x ) xln(1 x ) c) hx ( ) x 3 SOCIALES II. 013 RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN A a) '( x) 3 3 ( x 5) x (3 x ) ( x) ( x 5) x ( x 5) (4 x ) (3 x ) (3 x ) b) g '( x) 7 e x ( x 5 x ) e x ( x 5 x ) (1 10 x) e x ( x 5 x ) 35x 13x c) x 1ln(1 x ) x ( x 3) 1 x ln(1 x ) 1 x h'( x) ( x 3) (1 x )( x3) (1 x ) ln(1 x ) x ( x 3) (1 x ) x ln(1 x )

11 3 x 1 si x 1 Se considera la unción ( x) x 4x 3 si x 1 a) Determine el dominio y estudie la continuidad de la unción. b) Obtenga los extremos de la unción. c) Estudie su curvatura. SOCIALES II. 013 RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN B 3 a) La unción polinómica x 1 es continua y derivable en. La unción polinómica x 4x 3 es continua y derivable en.por lo tanto, solo tenemos que estudiar la continuidad en x 1. Estudiamos la continuidad en x 1 3 lim x 1 0 x 1 lim lim (1) 0 Es continua en x 1 lim x 4x 3 0 x1 x1 x 1 Por lo tanto, el dominio de la unción es. b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: '( x) 3x 0 x 0. '( x) x 4 0 x (,0) 0,1 1,, Signo ''( x ) La unción tiene un máximo en,1. Función C C C D c) Calculamos la segunda derivada y la igualamos a cero: ''( x) 6x 0 x 0. ''( x) (,0) 0,1 1, Signo ''( x ) + Función Cn Cx Cn La unción es cóncava en el intervalo (,0) (1, ) y es convexa en el intervalo 0,1. Tiene un punto de inlexión en 0, 1 y otro en 1,0

12 En una empresa el número de montajes diarios realizados por un trabajador depende de los 11t 17 días trabajados según la unción M( t), t 1, donde t es el número de días t 1 trabajados. a) Cuántos montajes realiza el primer día? Cuántos días necesitará para realizar cinco montajes diarios? b) Qué ocurrirá con el número de montajes diarios si trabajara indeinidamente? c) El dueño de la empresa cree que el número de montajes aumenta con los días de trabajo. Estudiando la unción, justiique si es cierta dicha creencia. d) Dibuje la graica de la unción. SOCIALES II SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN A a) M (1). Se realizan montajes el primer día t t 60 11t 17 t 43. Se necesitan 43 días. t 1 11t b) Calculamos lim M( t) 5'5. Luego, si se trabaja indeinidamente se obtienen 5 5 t t 1 montajes diarios. c) Calculamos la derivada de la unción. 11( t1) (11t17) 98 M '( t) 0 No (t1) (t1) Vemos que M '( t) 0 para cualquier valor de t, luego, la unción es creciente y, por lo tanto, el dueño de la empresa lleva razón. d) Dibujamos la unción

13 x bx si x 1 Sea la unción ( x) x a si x a) Determine los valores de a y b para que dicha unción sea continua en x y, además, tenga un mínimo en x 1. b) Para a y b 6, determine la ecuación de la recta tangente a la graica de la unción en el punto de abscisa x. SOCIALES II SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN B a) Estudiamos la continuidad en x lim x bx 1 4 b 1 5 b x 5 b 4 a a b 1 lim x a 4 a x Como tiene un mínimo en x 1, la primera derivada en ese punto debe valer cero, luego: '(1) 0 1 b 0 b Sustituyendo en la otra ecuación tenemos que: a 1 a 3 b) La unción es: ( x) x x si x 6 1 x si x. Calculamos la recta tangente en x ( ) ( ) 6 ( ) 1 17 '( x) x 6 '( ) ( ) 6 10 y ( ) '( ) ( x ) y 17 10( x ) y 10x 3