Parte 1. Anillos y Módulos Capítulo 4. Anillos y módulos Noeterianos 4.7. Dominios de Dedekind

Transcripción

1 arte 1. Anillos y Módulos Capítulo 4. Anillos y módulos Noeterianos 4.7. Dominios de Dedekind De nición Sea R un anillo conmutativo, se dice que R es un anillo hereditario (AH) si cada ideal de R es proyectivo. Si R es además un dominio de integridad, entonces se dice que R es un dominio de Dedekind (DD). Ejemplo (i) Todo dominio de ideales principales es un dominio de Dedekind. (ii) Sean K 1 ; K 2 cuerpos. Entonces, K 1 K 2 es un AH pero no es un DD. (iii) Z[ p 5] es un DD pero no es un DI. En efecto, Z[ p 5] no es un DFU ya que 9 presenta por lo menos dos factorizaciones distintas en producto de irreducibles: 9 = 3:3 = 2 + p 5 p p 2 5. Esto hace que Z[ 5] no sea un DI. Veamos ahora que Z[ p 5] es un DD. Teorema Sea R un AH y sea M un R-módulo libre nitamente generado. Entonces, cada submódulo N de M es isomorfo a una suma directa nita de ideales de R, y en consecuencia N es proyectivo. Demostración. Si M = 0, entonces N = 0 y la condición se cumple trivialmente. Sea M 6= 0 y sea X = fx 1 ; :::; x n g una base de M. Vamos a probar el teorema por inducción sobre n. n = 1: Sea N M =< x 1 > = R, entonces N es isomorfo a un submódulo de R, es decir, N es isomorfo a un ideal de R. Supongamos que cada submódulo de un módulo libre de dimensión n 1 es una suma directa nita de ideales de R, y sea N M, donde X = fx 1 ; :::; x n g es una base de M. Cada elemento v 2 N se representa en forma única en la forma v = r 1 :x r n :x n, de nimos entonces : N! R v 7! r n Nótese que es un homomor smo donde Im () = I es un ideal de R, se tiene entonces el homomor smo sobreyectivo : N! I; por hipótesis I es 1

2 proyectivo y entonces N = N() N 0, donde N 0 = I. ero N () = N \ (< x 1 > < x n 1 >) es submódulo del módulo libre < x 1 > < x n 1 >. or inducción, N () es isomorfo a una suma directa nita de ideales de R, N () = I 1 I t. En total, N = I 1 I t I, y el teorema está probado. Corolario Sea R un AH y sea M un R-módulo proyectivo nitamente generado. Entonces, (i) M es suma directa nita de ideales de R. (ii) Si N un submódulo de M. Entonces, N es proyectivo. Demostración. (i) Sabemos que M es sumando directo de un R-módulo libre F de dimensión nita, por lo tanto, M es submódulo de F. or el teorema anterior, M es suma directa nita de ideales de R. (ii) N es entonces un submódulo de F, nuevamente por el teorema anterior, N es proyectivo. Nota El Teorema es válido removiendo la hipótesis de nitud, es decir, si R es AH, entonces cada submódulo de un R-módulo libre es isomorfo a una suma directa de ideales de R. De igual manera, en el Corolario 4.7.4, si M es proyectivo, entonces M es suma directa de ideales de R, y si N es un submódulo de M entonces N es también proyectivo. La prueba se puede consultar en [Rotman, p. 121], y por razones de completez la vamos a incluir. Teorema Sea R un AH. (i) Sea M un R-módulo libre. Entonces, cada submódulo N de M es isomorfo a una suma directa de ideales de R, y en consecuencia N es proyectivo. (ii) Sea M proyectivo y N M, entonces N es proyectivo. Demostración. (i) Si M = 0 el resultado se tiene trivialmente. Sea M 6= 0 y sea X = fx g 2K una base de M; sabemos que M = 2K < x >. uesto que el lema de Zorn implica el principio de buena ordenación, podemos suponer que K es un conjunto bien ordenado, es decir, cada subconjunto de K tiene primer elemento, y además que K es totalmente ordenado. ara cada 2 K de nimos 2

3 M = < < x > M +1 = < x >= M < x > M 0 = 0 donde 0 el primer elemento de K. Sea N M; cada elemento z 2 N\ M +1 admite una representación única en la forma z = u + r:x, donde u 2 M. De nimos : N\ M +1! R por (z) = r; nótese que es un R-homomor smo y su imagen es un ideal de R, rede nimos entonces : N\ M +1! Im () y este homomor smo es sobreyectivo, puesto que Im () es proyectivo entonces N\ M +1 = N () N, donde N = Im (). ero N () = N\ M. Veamos que N = 2K N. En primer lugar veamos que N = 2K N : puesto que para cada 2 K, N N, entonces 2K N N; supongamos que no se alcanza la igualdad. ara cada z 2 N M = [ 2K M +1, existe tal que z 2 M +1 ; sea z el menor tal que z 2 M z+1; suponemos entonces que existen z 2 N tales que z =2 2K N, escojamos uno de tales z con la condición de que z sea mínimo. Entonces, z 2 N \ M z+1, por lo tanto, z = u + v, donde u 2 N\ M z y v 2 N z. Se sigue entonces que u = z v 2 N, pero u =2 2K N (de lo contrario z 2 2K N ), pero como u 2 M z, entonces u < z, lo cual es contradictorio. Se tiene entonces que N = 2K N. ara terminar, veamos que la suma es directa: supongamos que 0 = v 1 + +v n, con v i 2 N i y podemos asumir que 1 < < n. Entonces, v v n 1 = v n 2 N n \ (N \ M n ) = 0. De manera recurrente encontramos que c 1 = = 0 = c n. Así pues, N es isomorfo a una suma directa de ideales de R. Como cada ideal es proyectivo, entonces N es proyectivo. (ii) Si M es proyectivo, entonces es un submódulo de un módulo libre, por lo tanto N es un submódulo de un módulo libre, y por la parte (i), N es proyectivo. Del teorema anterior resultan las generalizaciones de la roposición y de los Corolarios y de la Sección 6. Corolario Sea R un DI. 3

4 (i) Sea M un R-módulo libre. Entonces, cada submódulo N de M es libre, y dim(n) dim(m). (ii) Si M proyectivo entonces M es libre. Demostración. (i) uesto que cada DI es un AH (realmente un DD) entonces dado N M, N es isomorfo a una suma directa de ideales de R, pero estos son principlaes, y por lo tanto libres. En total, N es libre. Usando la notación de la demostración del teorema anterior se tiene que N = 2K N ; teniendo en cuenta que algunos N pueden ser nulos, entonces dim (N) card(k) = dim(m). (ii) Sea M proyectivo, entonces M es un submódulo de un módulo libre, luego por (i), M es libre. De nición Sea R un dominio de integridad y K su cuerpo de fracciones. Un R-submódulo no nulo I de K es un ideal fraccionario de R si existe 0 6= r 2 R tal que ri R. Además, se de ne I 1 = f 2 K j I Rg. roposición (i) I 1 es un ideal fraccionario de R y además I 1 I R. (ii) Sea I R un ideal no nulo de R, entonces I es un ideal fraccionario de R. Demostración. (i) I 1 6=? ya que existe r 6= 0 en R (y por lo tanto en K) tal que ri R, luego r 2 I 1. Es claro que I 1 es un R-submódulo no nulo de K. Sea a r 2 I no nulo, entonces para cada 2 I 1 se tiene que a r 2 R, es decir, a r I 1 R, luego ai 1 R, donde a 6= 0 es de R. (ii) I es un R-submódulo no nulo de K; además, 1:I R. De nición Un ideal fraccionario I de R es invertible si I 1 I = R. roposición (i) Sea F(R) la colección de ideales fraccionarios de R. Entonces, F (R) es un monoide conmutativo. (ii) Sea I(R) la colección de ideales invertibles de R. Entonces es un grupo abeliano. (iii) Si I es un ideal fraccionario invertible, entonces I es nitamente generado. Demostración. (i) Se de ne un producto en F (R) por 4

5 IJ = f n i i j i 2 I; i 2 J; n 1g: Esta es una operación binaria interna en F (R) ya que IJ es un R- submódulo no nulo de K, y además rsij R, con r; s no nulos de R tales que ri R; sj R. Es claro que esta operación es asociativa y que IJ = JI; además el neutro de este producto es R. (ii) Sea I 2 I(R), entonces II 1 = R = I 1 I, es decir, cada elemento de I(R) tiene inverso. (iii) uesto que II 1 = R, entonces 1 = n i i, con i 2 I; i 2 I 1, luego si es un elemento cualquiera de I se tiene que = n i ( i ), pero cada i 2 R, entonces I =< 1 ; :::; n >. ara la prueba del Teorema necesitamos la siguiente caracterización de los módulos proyectivos. Lema (Teorema de la base proyectiva). Sea R un anillo conmutativo y sea M un R-módulo. M es proyectivo si y sólo si existe una colección fx i g i2i de elementos de M y una colección f' i : M! Rg i2i de R-homomor smos tales que: (i) ara cada x 2 M se tiene que ' i (x) = 0 para casi todo 2 I (ii) Dado x 2 M; x = i2i ' i(x): x i : Demostración. )) Sea : F! M un homomor smo sobreyectivo, donde F es un R-módulo libre, entonces existe : M! F tal que = 1 M ; sea ff i g i2i una base de F ; dado x 2 M; (x) = i2i r i:f i donde r i = 0 para casi todo i 2 I: Se de ne x i = (f i ) y los homomor smos i : M! R x 7! i (x) = r i 5

6 Nótese que x = ( )(x) = i2i (r i:f i ) = i2i r i:x i = i2i i(x): x i : () Sea F = R (I) el módulo libre cuya base tiene cardinalidad igual a la del conjunto I, y sea ff i g i2i una base de F ; de nimos : F! M tal que (f i ) = x i ; entonces es sobre. Sea : M! F de nido por (x) = i2i i(x):f i ; es entonces un R-homomor smo y se tiene que ( )(x) = i2i i(x): (f i ) = i2i i(x):x i = x, es decir, = 1 M. Teorema (Rotman, p. 125) Sea R un DI e I R un ideal no nulo de R. I es invertible si y sólo si I es proyectivo. Demostración. )) Sea I R invertible, entonces 1 = n i i, con i 2 I; i 2 I 1. De nimos ' i : I! R por ' i () = i, con 2 I. Nótese que ' i es un R-homomor smo; además = n i ( i ) = n ' i () i. Las colecciones f 1 ; :::; n g y f' 1 ; :::; ' n g satisfacen las condiciones del lema anterior, por lo tanto, I es proyectivo. () Sea I un ideal proyectivo, entonces I posee una base proyectiva f k g k2k con R-homomor smos f' k : I! Rg k2k ; sea 6= 0 en I, entonces de nimos k = ' k() 2 K 0, nótese que k no depende de la escogencia de. En efecto, sea 0 6= 0 en I, entonces 0 ' k () = ' k ( 0 ) = ' k ( 0 ), luego ' k() = ' k( 0 ). Entonces, sea 6= 0 en I jo, tenemos pues sólo 0 un número nito de elementos k, digamos 1 ; ::: n 2 K 0. Nótese que = n ' k () k = n n k k = k k, luego 1 = n k k. Esto garantiza que I < 1 ; ::: n >= R. Nótese que < 1 ; ::: n > es un ideal fraccionario de R. Corolario Sea R un DD. Entonces R es Noeteriano. Demostración. Sea I un ideal de R, si I = 0 entonces I es nitamente generado. Sea I 6= 0, entonces I es proyectivo, y por lo tanto, invertible. ero un ideal invertible es nitamente generado. 6