Principio de inducción y Sumatorias

Transcripción

1 Semana06[1/14] 3 de abril de 007

2 Principio de inducción: Primera forma Semana06[/14] Una categoría importante de proposiciones y teoremas es la de las propiedades de los números naturales. Aquí tenemos, por ejemplo ( n Æ) n < n ( n Æ) (n es primo n ) n es impar ( n 1) 3 n+1 + n+ es divisible por 7 En general, si p(n) es una proposición cuya variable libre n pertenece a Æ, las distintas formas del principio de inducción nos proporcionan proposiciones equivalentes a la proposición ( n n 0 ) p(n) Estas formas alternativas nos facilitarán en muchos casos obtener una demostración de la propiedad buscada. Principio de inducción, primera forma Consideremos la proposición ( n n 0 ) p(n) donde n 0 Æ es un número natural fijo. La primera forma del principio de inducción nos dice que esta proposición es equivalente a p(n 0 ) [( n n 0 ) p(n) p(n + 1)]

3 Principio de inducción: Ejemplos Semana06[3/14] Observemos los siguientes ejemplos: Proposición Demostrar que ( n Æ) 3 n+1 + n+ es divisible por 7 Demostración. El caso base es n = 0. Aquí, tenemos que demostrar que es divisible por 7 Pero esto es verdadero, pues = = 7. Supongamos ahora que tenemos un n Æ tal que se cumple la propiedad, es decir que 3 n+1 + n+ es divisible por 7.Con esta información, a la cual llamamos hipótesis inductiva, tenemos que demostrar que 3 (n+1)+1 + (n+1)+ es también divisible por 7. Gracias a la hipótesis inductiva, tenemos que existe un k Æ tal que 3 n+1 + n+ = 7k. Entonces: 3 (n+1)+1 + (n+1)+ = 3 n+3 + n+3 = 9 3 n+1 + n+ = (7 3 n n+1 ) + n+ donde esta descomposición la hacemos de modo de poder factorizar el término 3 n+1 + n+. Continúa...

4 Principio de inducción: Ejemplos Semana06[4/14] Continuación demostración. Así, continuamos desarrollando 3 (n+1)+1 + (n+1)+ = 7 3 n+1 + (3 n+1 + n+ ) = 7 3 n+1 + 7k = 7 (3 n+1 + k) }{{} Æ por lo que concluimos que 3 (n+1)+1 + (n+1)+ es divisible por 7. Gracias al principio de inducción, la propiedad en cuestión es cierta.

5 Principio de inducción: Ejemplos Semana06[5/14] Proposición Demostrar que ( n 1) n = n(n + 1) Demostración. El caso base a demostrar en esta ocasión es n = 1.Aquí, tenemos que demostrar que 1 = 1 (1 + 1) lo que es cierto. Supongamos ahora que la propiedad vale para algún n 1 (hipótesis inductiva). Debemos demostrar que la propiedad también es cierta para n + 1. Es decir, que En efecto: (n + 1) = (n + 1)(n + ) (n + 1) = n + (n + 1) n(n + 1) = + (n + 1) n(n + 1) + (n + 1) = (n + 1)(n + ) = y se concluye la veracidad de la propiedad gracias al principio de inducción.

6 Principio de inducción: Segunda forma Semana06[6/14] La segunda forma del principio de inducción nos dice: Principio de inducción, segunda forma La proposición es equivalente a p(n 0 ) ( n n 0 ) p(n) [ ] ( n > n 0 ) [p(n 0 )... p(n 1) p(n)] Como ejemplo de la aplicación de esta forma del principio de inducción, recordemos que los números compuestos son los números naturales mayores que 1 que poseen un divisor distinto de 1 y de sí mismos, es decir, si n : n es compuesto ( d {,...,n 1}) d n Recordemos también que los números primos son los que no son compuestos.

7 Principio de inducción: Ejemplo Semana06[7/14] Proposición Todo número natural n posee al menos un divisor que es un número primo. Es decir, ( n )( p número primo) p n Demostración. Utilizaremos segunda forma de inducción. El caso base es n =, para el cual observamos que p = es un número primo tal que p n. Hagamos ahora el paso inductivo: Sea n >, y supongamos que para todo valor k =, 3,...,n 1 se tiene que k posee un divisor primo. Separamos por casos: Si n es primo, entonces p = n es un número primo tal que p n. Si n no es primo, entonces existe un natural d {,...,n 1} tal que d n.por hipótesis inductiva y notando que d < n, entonces existe un número primo p tal que p d. Tenemos entonces que p d y d n, y gracias a que es una relación transitiva, obtenemos que p n.

8 Fórmulas de recurrencia Semana06[8/14] Consideremos el siguiente set de igualdades, al cual llamaremos recurrencia: x 0 = a x n+1 = f(x 0,...,x n ) ( n 0) Las recurrencias nos permitirán una forma alternativa de definir secuencias de números, como por ejemplo x 0 = x n+1 = + x n ( n 0) define la secuencia, 4, 6, 8, 10,... de números pares positivos. Una cualidad importante de las fórmulas de recurrencia es que son altamente compatibles con las demostraciones que utilizan principio de inducción. Por ejemplo, consideremos la fórmula de recurrencia x 0 = 1 x n+1 = 1 + ( xn ) ( n 0) Demostraremos que ( n Æ) x n. Demostración. Lo haremos utilizando primera forma de inducción. El caso base resulta ser cierto pues corresponde a demostrar que x 0 (recordemos que x 0 = 1). Supongamos ahora que para algún n Æ se tiene que x n. Se tiene, entonces, que x n+1 = 1 + con lo que x n+1, y se concluye la demostración. ( xn ) x = 1 + n =

9 Fórmulas de recurrencia Semana06[9/14] Consideremos la secuencia de números definida por la recurrencia f 1 = 1 f = 1 f n+ = f n+1 + f n ( n Æ) la cual se llama secuencia de números de Fibonacci. Sus primeros términos son f 1 = 1 f = 1 f 3 = f + f 1 = = f 4 = f 3 + f = + 1 = 3 f 5 = f 4 + f 3 = 3 + = 5 f 6 = f 5 + f 4 = = 8. Observación Los números de Fibonacci están relacionados con muchos elementos de la naturaleza. Visita para más detalles.

10 Fórmulas de recurrencia: Números de Fibonacci Semana06[10/14] Entre muchas propiedades que cumplen, demostraremos la siguiente: Propiedad ( n 1) f 4n es divisible por 3 Demostración. La demostraremos usando primera forma de inducción. El caso base es n = 1, en el cual tenemos que probar que f 4 es divisible por 3. Esto es directo, pues como ya vimos, f 4 = 3. Para el paso inductivo, supongamos que f 4n es divisible por 3 para algún n 1. Existe, entonces, un k Æ tal que f 4n = 3k. Debemos demostrar que f 4(n+1) es divisible por 3 Desarrollemos este término, utilizando la fórmula de recurrencia que cumplen los números de Fibonacci: f 4(n+1) = f 4n+4 = f 4n+3 + f 4n+ = (f 4n+ + f 4n+1 ) + (f 4n+1 + f 4n ) = f 4n+ + f 4n+1 + f 4n = (f 4n+1 + f 4n ) + f 4n+1 + f 4n = 3f 4n+1 + f 4n = 3f 4n+1 + 3k = 3(f 4n+1 + k) con lo que f 4(n+1 también es divisible por 3, que era lo que deseábamos.

11 Sumatorias Introducción Semana06[11/14] Sea a 0, a 1, a,...,a n una secuencia de números reales. En esta sección estudiaremos propiedades y métodos de cálculo para su suma a 0 + a 1 + a a n Introduciremos para este efecto una notación especial: Al símbolo le llamaremos sumatoria. Más generalmente: a 0 + a 1 + a a n = Sumatoria Si a M, a M+1,..., a N es una secuencia de números reales, definimos su sumatoria por recurrencia: n k=0 a k M k=m a k = a M n a k = a n + k=m n 1 k=m a k ( n = M + 1,...,N) En este capítulo estudiaremos propiedades y métodos de cálculo para sumatorias de diversos tipos.

12 Sumatorias Sumatorias: Propiedades Semana06[1/14] La sumatoria cumple la siguiente lista de propiedades: Propiedades 1 Suma de la secuencia constante igual a 1. 1 = (J I + 1) Sea λ Ê, y sean (a k ) n k=1, (b k) n k=1 dos secuencias..1 Factorización de constantes. λ a k = λ a k. Separación de una suma. 3 Traslación del índice, si s Æ. (a k + b k ) = a k = a k + J+s +s a k s b k

13 Sumatorias Sumatorias: Propiedades Semana06[13/14] 5 Separación en dos sumas, si I L < J. a k = L a k + k=l+1 a k 6 Propiedad telescópica. (a k a k+1 ) = a I a J+1 Demostración. Demostraremos (1) y (6). Para (1): Lo haremos por inducción sobre J I. Caso base J = I: debemos demostrar que I 1 = (I I + 1) lo cual es directo, pues ambos lados valen 1. Supongamos ahora que J 1 = (J I + 1). Entonces J+1 1 = = 1 + (J I + 1) = (J + 1) I + 1 Continúa...

14 Sumatorias Sumatorias: Propiedades Semana06[14/14] Continuación demostración. Para (6): Nuevamente por inducción sobre J I. Si J = I, el resultado se reduce a demostrar que I (a k a k+1 ) = a I a I+1 lo cual es directo gracias a la definición de sumatoria. Supongamos ahora que J (a k a k+1 ) = a I a J+1. Entonces J+1 (a k a k+1 ) = (a J+1 a J+ ) + (a k a k+1 ) = (a J+1 a J+ ) + (a I a J+1 ) = a I a J+