2 Funciones vectoriales

Transcripción

1 2 Funciones vectoriles 2.1. Definición, dominio, imgen, gráfic Definición de función Un función de vlor vectoril o simplemente un función vectoril (en R n ) vectoril es un función cuyo dominio es un conjunto de números reles y l imgen es un subconjunto de R n. Ls funciones vectoriles se designn medinte letrs myúsculs tles como F, G, etc., o como letrs minúsculs en negrill f, g, etc. Componentes de un Tod function vectoril F(t) definid pr todo t en un intervlo I y con función vectoril vlores en R n es un vector F(t) l cul le corresponden n funciones reles componentes F 1 (t),..., F n (t) que tmbién están definids en I y permiten escribir pr todo t en I. F(t) = (F 1 (t),..., F n (t)) Por ejemplo, de ls funciones f(t) = cost, g(t) = sin t y h(t) = 1 se puede formr l función vectoril F(t) = (cost, sin t, 1) pr todo t en R. Pr cd t, F(t) = cos 2 t + sin 2 t + 1 = 2. L rect l en R n que ps por el punto P y es prlel un vector no nulo d en R n est ddo como el conjunto de todos los puntos X en R n tles que X = P + td pr todo vlor de t rel. En este cso, el punto X es un función de t, por lo cul se puede considerr que l est definid por l función vectoril X(t) = P + td pr todo vlor de t rel. Como puede verse, el dominio de est función vectoril es todo R y l imgen de est función vectoril es l rect l. Por tnto, l gráfic de un función puede ser considerd como su imgen. Tod función (de vlor) rel f definid en un intervlo [, b] d origen un función vectoril F(t) en form nturl. Hciendo F 1 (t) = t, F 2 (t) = f(t) y F 3 (t) = 0 se obtiene l función vectoril F(t) = (t, f(t), 0). A medid que t vri en [, b], el vector F(t) describe un tryectori que coincide con l gráfic de f. Dominio, imgen y En generl, el dominio de un función vectoril F en R n se define como el gráfic dominio común de tods ls funciones esclres componentes de l función vectoril, l imgen como el conjunto de todos los vectores F(t) pr lgún t en el dominio de F y l gráfic se define como su imgen. Es decir, D F = {t R : F(t) est definido} I F = {F(t) : t D F } G F = imgen(f)

2 Ejemplo 2.1. Si F(t) = (t, t + 1, e t ), entonces D F = D t D t+1 Det = R [ 1, ) R = [ 1, ), 2.2. Operciones lgebrics con funciones vectoriles 2.3. Límite Sen F y G funciones vectoriles en R n y f un función rel, ls cules tienen el mismo dominio I. Entonces, pr todo t en I se definen ls siguientes funciones: 1. (F + G)(t) = F(t) + G(t) 2. (F G)(t) = F(t) G(t) 3. (cf)(t) = cf(t) pr tod constnte c 4. (ff)(t) = f(t)f(t) 5. (F G)(t) = F(t) G(t) 6. (F G)(t) = F(t) G(t) cundo n = 3 7. Si el dominio de F contiene l imgen de un función rel g entonces se define l función compuest F g como pr todo t en el dominio de g. (F g)(t) = F(g(t)) Tods ls funciones en est definición son funciones vectoriles en R n, excepto l definid en 5 que represent un función rel. L función vectoril definid en 6 represent un función vectoril en el espcio R 3. Límite de un función Definición 2.2. Se F(t) = (F 1 (t),..., F n (t)) un función vectoril en R n vectoril y un punto que no necesrimente pertenece l dominio de F. Entonces ( ) lím F(t) = lím F 1(t),..., lím F n (t) t t t siempre que ls funciones componentes teng límite en. Se L = (L 1,..., L n ). Es decir, En este cso, lím F(t) = L si y solo si lím t F 1(t) = L 1,..., lím F n = L n. t t lím F(t) = L t quiere decir que cundo t entonces F(t) L. Por definición, el límite de un ( función vectoril en un punto es un vector. Ejemplo 2.3. Se F(t) = t, t2 1 t 1, ) t. Como entonces lím t = 1, t 1 lím t 2 1 t 1 t 1 = 2, lím F(t) = (1, 2, 1). t 1 lím t = 1 t 1 Observe que 1 no pertenece l dominio de ést función vectoril, R {1}, y sin embrgo su límite en 1 existe. 22 Julio C. Crrillo E. Pr uso exclusivo en el slón de clse UIS

3 Proposición 2.4. Supong que ls funciones vectoriles F y G en R n y l función rel f(t) están definids en el mismo dominio y poseen límite en. Entonces ls funciones F ± G, cf (c un constnte culquier), f F, F G y F G (n = 3) tmbién poseen límite en y demás 1. lím(f(t) + G(t)) = lím F(t) + lím G(t) t t t 2. lím(f(t) G(t)) = lím F(t) lím G(t) t t t 3. lím(cf(t)) = c lím F(t) t t 4. lím f(t)f(t) = lím f(t) lím F(t) t t t 5. lím(f(t) G(t)) = lím F(t) lím G(t) t t t 6. lím(f(t) G(t)) = lím F(t) lím G(t) cundo n = 3 t t t 7. Se g un función rel tl que l función compuest F g est definid. Si los límites lím g(t)( L ) y lím F(t) existen, entonces el límite de t t L F g existe en y demás ( ) lím F(g(t)) = F lím g(t). t t 2.4. Continuidd Continuidd en un punto Definición 2.5. Se dice que un función vectoril F(t) en R n es continu en si y solo si cd un de sus componentes es continu en ; ese decir, si y solo si lím F 1(t) = F 1 (),..., lím F n (t) = F n (). t t Así, F(t) es continu en si y solo si lím F(t) = F(). t De los teorems de límite y l definición se obtiene l siguiente proposición. Proposición 2.6. Supongmos que ls funciones vectoriles F y G en R n y l función rel f(t) son continus en. Entonces ls funciones F ± G, cf (c un constnte culquier), ff, F G y F G (n = 3) son tmbién continus en y demás 1. lím t (F(t) ± G(t)) = F() ± G() 2. lím t (cf(t)) = cf() 3. lím t f(t)f(t) = f()f() 4. lím t (F(t) G(t)) = F() G() 5. lím t (F(t) G(t)) = F() G() cundo n = 3 6. Se g un función rel tl que l función compuest F g est definid. Si g es continu en y F(t) es continu en g(), entonces F g es continu en y demás lím F(g(t)) = F(g()). t Demostrción. De 2: Como F es continu en, entonces cd un de sus Pr uso exclusivo en el slón de clse UIS Cálculo en Vris Vribles 23

4 componente es continu en. Así que de ls propieddes de límite lím t (cf(t)) = c lím F(t) t = c ( lím t F 1(t),..., lím t F n (t) Ls otrs prtes se demuestrn de l mism form. ) = c(f 1 (),..., F n ()) = cf(). Continuidd en un Definición 2.7. Un función vectoril F(t) en R n es continu en el interintervlo vlo I si cd componente de F(t) es continu en I. Propieddes de ls Proposición 2.8. Supongmos que ls funciones vectoriles F y G en R n y funciones vectoriles l función rel f(t) son continus en un intervlo I. Entonces ls funciones continus F ± G, cf (c un constnte culquier), ff, F G y F G (n = 3) son tmbién continus en I. Curvs y ecuciones prmétrics de un curv 2.5. Derivd Se g un función rel tl que l función compuest F g est definid. Si g es continu en I y F es continu en g(i ), entonces F g es continu en I. ( Ejemplo 2.9. L función vectoril F(t) = t, t2 +1 t 1, ) t tiene como dominio todo número rel t 0 y diferente de 1. Cd un de ls componentes de F es continu pr todo número rel t 0 y diferente de 1. Por lo tnto, l función F(t) es continu en todo su dominio. Cundo un función vectoril F(t) = (F 1 (t),..., F n (t)) es continu pr todo t I entonces l gráfic C de F(t) se llm un curv. Si C es el conjunto de todos los puntos x = (x 1,..., x n ) entonces se obtiene que C est determind por ls ecuciones x 1 = F 1 (t),..., x n = F n (t), llmds ls ecuciones prmétrics de C. En este cso t es el prámetro. Se F(t) un función vectoril en el plno (R 2 ) o en el espcio (R 3 ) y continu en el intervlo cerrdo [, b]. Cunto t vri de b, l gráfic de l función F(t) describe l curv C de A = F() B = F(b). De este modo, el orden de los reles induce de mner un orden nturl en C cunto t vri de b. Pr cd tiempo t, entonces F(t) = (F 1 (t),..., F n (t)) representrá l posición de l prtícul en el punto P de C. Ejemplo Ls ecuciones prmétrics de l función vectoril F(t) = (cost, sin t, t) son x = cost, y = sin t y z = t. Como x 2 + y 2 = cos 2 t + sin 2 t = 1 entonces l curv C que determin F(t) debe estr en el cilindro de ecución x 2 + y 2 = 1. Como z = t, C debe formr un espirl lrededor del cilindro y que sube medid que ument t. Ejemplo Encuentre l curv C que determinn l intersección del cilindro x 2 + y 2 = 1 y el plno y z = 1. L derivd como un Proposición Se dice que un función vectoril F(t) en R n es derivector vble en t 0 si y solo si cd un de sus componentes es derivble en t 0 ; en este cso se escribe F (t 0 ) = (F 1 (t 0),..., F n (t 0)). 24 Julio C. Crrillo E. Pr uso exclusivo en el slón de clse UIS

5 L derivd puede ser vist como el límite de un cociente de diferenci de vectores: F (t 0 ) = lím h 0 F(t 0 + h) F(t 0 ) h si el límite existe. Proposición Si l función vectoril F es derivble en t 0 entonces F es continu en t 0. L derivd como un Definición Un función vectoril F(t) en R n es derivble en el interfunción vectoril vlo I si cd componente de F(t) es derivble en cd punto del intervlo I. Formuls de l derivd Proposición Si ls funciones vectoriles F y G y l función rel f son derivbles en un intervlo I, entonces ls funciones F ± G, cf (c un constnte culquier), F G, F G son tmbién derivbles en I y demás 1. (F ± G) (t) = F (t) ± G (t) 2. (cf) (t) = c F (t) 3. (ff) (t) = f (t)f(t) + f(t)f (t) 4. (F G) (t) = F (t) G(t) + F(t) G (t) 5. (F G) (t) = F (t) G(t) + F(t) G (t) 6. Se g un función rel tl que l función vectoril F g es definid. Si g (t) y F (t) existen, entonces (F g) (t) tmbién existe y está dd por l regl de l cden (F g) (t) = F (g(t))g (t). Demostrción. Se F(t) = (F 1 (t),..., F n (t)). Entonces (ff)(t) = (ff 1 (t),..., ff n (t)), (ff) (t) = ((ff 1 ) (t),..., (ff n ) (t)). Como l derivd de l k ésim componente de ff es (ff k ) (t) = f (t)f k (t)+ f(t)f k (t) entonces tenemos (ff) (t) = (f (t)f 1 (t) + f(t)f 1(t),..., f (t)f 1 (t) + f(t)f 1(t)) = f (t)f(t) + f(t)f (t). Ls otrs demostrciones son precids y se dejn como ejercicio. De l formul pr l derivd de F G se obtiene el siguiente resultdo. Proposición Si un función vectoril F en R n es derivble y su longitud es constnte en un intervlo bierto I, entonces los vectores F(t) y F (t) son perpendiculres pr cd t en I. Demostrción. Supongmos que F(t) = c pr lgun constnte no negtiv c. Como F(t) F(t) = c 2, entonces F F + F F = 2F F = 0. Por lo tnto F F = 0 en I. Un función vectoril se dice es continumente diferencible si l función y sus derivds son continus. Ejercicio Demuestre que un función vectoril es continumente diferencible si su primer derivd es continu. Pr uso exclusivo en el slón de clse UIS Cálculo en Vris Vribles 25

6 Ecuciones prmétrics Si F es un función vectoril en los espcios R 2 o R 3, entonces se puede de un curv representr geométricmente l gráfic de F. Un función vectoril en R n describe un gráfic ms generl. Si F es continu en un intervlo I, l gráfic C de F se llm curv; o ms precismente que l gráfic de F es l curv C descrit por F. Tmbién se suele decir que C es descrit prmétricmente por F, que I es el intervlo prmétrico, que cd t en I es el prámetro y que x 1 = F 1 (t),..., x n = F n (t) t I son ls ecuciones prmétrics de C. Prmetrizción de un Si F es un función vectoril diferencible en un intervlo 1 I entonces l curv curv C que represent F se llm un curv diferencible, que C es prmetrizd por F y que x 1 = F 1 (t),..., x n = F n (x) pr todo x en I son ls ecuciones prmétrics de C con t el prámetro. Se dice que un curv es prmetrizble si existe un representción de l curv medinte un función vectoril diferencible. Por ejemplo, el circulo con centro en el origen del plno y de rdio r es prmetrizble por l función vectoril F(t) = r(cos t, sen t) pr 0 t < 2π Integrl Integrl definid Definición Se dice que un función vectoril F en R n es integrble en un intervlo [, b] si y solo si cd un de sus componentes es integrble en I. Entonces ( b ) b F(t)dt := F 1 (t)dt,..., F n (t)dt Propieddes de l Proposición Si ls funciones vectoriles F y G son integrbles en integrl [, b], entonces ls funciones F +G, cf pr culquier esclr c y C F pr culquier vector C son tmbién integrbles en [, b] y demás (F(t) + G(t))dt = (cf(t))dt = c F(t)dt + (C F(t))dt = C F(t)dt F(t)dt G(t)dt Proposición Si F y F son integrbles en [, b] entonces F(t)dt F(t) dt. Demostrción. Si C = 1 Si el intervlo tiene puntos extremos, llí se requiere únicmente continuidd F(t)dt 26 Julio C. Crrillo E. Pr uso exclusivo en el slón de clse UIS

7 note que C 2 = C C = C = F(t)dt (C F(t))dt Si C 0, se puede dividir y concluir que C Si C = 0 el resultdo es obvio. C F(t) dt = C F(t) dt. F(t) dt Continuidd, derivd e Los siguientes resultdos relcionn integrbilidd y continuidd de funciointegrl nes vectoriles y son nálogos los resultdos de ls integrles de funciones reles. Proposición Si F es un vectoril continu en [, b] entonces F es integrble en [, b]. Primer teorem Proposición Supongmos que F es un función vectoril continu fundmentl del clculo en [, b]. Si c pertenece [, b] entonces l función vectoril definid por l integrl definid t c F(s)ds pr t b es derivble y demás d dt t c F(s)ds = F(t) pr todo t en (, b). Segundo teorem Proposición Supongmos que F es un función vectoril con derifundmentl del clculo vd continu en un intervlo bierto (, b). Entonces pr culquier c y t en (, b) se tiene 2.7. Movimiento curvilíneo F(t) = F(c) + t c F(s)ds Vector tngente, Vector tngente unitrio, vector norml y plno osculdor Sentido geométrico de l Se C un curv diferencible descrit por un función vectoril R. Suponderivd gmos que el vector R (t 0 ) 0. Cundo h es suficientemente cercno cero, el vector R(t 0 +h) R(t 0 ) ser no nulo y drá l dirección de l rect secnte l s que ps por los extremos de los vectores R(t 0 ) y R(t 0 + h). Se l l rect tngente C en el punto R(t 0 ) y prlel l vector d; por lo tnto, l : X(t) = R(t 0 ) + td. Pr uso exclusivo en el slón de clse UIS Cálculo en Vris Vribles 27

8 Cundo h 0, el vector R(t 0 + h) R(t 0 ) tiende estr muy cercno d. Tomndo el límite encontrmos que d = lím(r(t 0 + h) R(t 0 )) = 0. El problem es que el vector nulo no tiene dirección. Pr resolver est situción, se reemplz el vector R(t 0 + h) R(t 0 ) por el vector R(t 0 + h) R(t 0 ). h Entonces pr un h suficientemente pequeño encontrmos que este vector es prlelo y tiene un longitud myor que el vector R(t 0 + h) R(t 0 ). Por tnto, su limite R R(t 0 + h) R(t 0 ) (t 0 ) = lím, h 0 h que por hipótesis es un vector no nulo, puede ser considerdo como l dirección d de l rect tngente l. Vector tngente y rect Definición Se C un curv diferencible descrit por un función tngente un curv vectoril R(t 0 ). Cundo el vector R (t 0 ) es no nulo, l rect que ps por el extremo de R(t 0 ) y es prlelo R (t 0 ) se llm tngente C en R(t 0 ). El vector R (t 0 ) se llm el vector tngente C en el extremo de R(t 0 ). Tmbién se dice que el vector R (t 0 ) represent l dirección de l rect tngente C en el extremo de R(t 0 ). Ecución vectoril de l De cuerdo con est definición, si R (t 0 ) 0 entonces l ecución de l rect rect tngente tngente C en el extremo de R(t 0 ) puede ser prmetrizd hciendo pr todo esclr t. X(t) = R(t 0 ) + tr (t 0 ) Pr un rect l dd por l ecución X(t) = P + td, con d 0, se obtiene X (t) = d. Así que l rect tngente en cd punto coincide con l. En el circulo de ecución R(t) = r(cos t, sen t), el vector tngente y el rdio vector son perpendiculres: R (t) R(t) = r( sen t, cost) r(cos t, sen t) = r 2 ( sentcost + costsent) = 0. Vector tngente unitrio Como R(t) = 1 y R es diferencible, el resultdo tmbién se puede obtener de l Proposición Definición Supongmos que l curv C es descrit por un función vectoril R que es dos veces diferencible y que R (t) nunc es cero. Entonces en el extremo de cd vector R(t) existe un vector tngente unitrio T(t) = R (t) R (t) Como T(t) = 1 entonces T (t) T(t) = 0. Es decir, en cd punto de l curv el vector T (t) es perpendiculr T(t). 28 Julio C. Crrillo E. Pr uso exclusivo en el slón de clse UIS

9 Vector norml principl El vector T (t) mide l rzón de cmbio de T(t) con respecto t. Como l norm de T(t) es constntemente 1, T(t) puede únicmente cmbir en dirección. Por lo tnto, el vector tngente T(t) mide únicmente cmbio en dirección. Definición Si el vector tngente no cmbi en dirección, entonces T (t) = 0. Si T (t) 0 entonces se puede formr el vector norml principl: N(t) = T (t) T (t) Plno osculdor Este es un vector unitrio en l dirección de T (t) y perpendiculr T(t). L line que ps por el extremo de T(t) y es prlel N(t) se llm line norml en el extremo de T(t). Definición Si el vector tngente unitrio y el vector norml principl existen en un punto de un curv, el plno determindo por estos dos vectores es llmdo el plno osculdor l curv en el punto Velocidd, rpidez y celerción Velocidd, rpidez y Se R un función vectoril con segund derivd. El vector velocidd, o celerción velocidd, en el instnte t est ddo por V (t) = R (t), l rpidez por v(t) = R (t) y l celerción como l rzón de cmbio de l velocidd: A(t) = R (t) = V (t). Proposición El vector celerción A(t) es un combinción linel de T y T dd por l formul Si T (t) 0, entonces A(t) = v (t)t(t) + v(t)t (t). A(t) = v (t)t(t) + v(t) T (t) N(t). Demostrción. De l formul de vector tngente unitrio obtenemos l ecución V (t) = R (t) = R (t) T(t) = v(t)t(t), que es vlid si incluso R (t) = 0. Derivndo obtenemos A(t) = v (t)t(t) + v(t)t (t). L segund formul se obtiene de l definición de vector norml. Componentes tngencil y norml de l celerción Este resultdo demuestr que el vector celerción est siempre en el plno osculdor. Los coeficientes de T(t) y N(t) se llmn componente tngencil y componente norml, respectivmente, de l celerción. De ests componentes se deduce que un cmbio en l velocidd repercute en l componente tngencil, mientrs que un cmbio en l dirección repercute en l componente norml. Ejemplo Un prtícul de ms constnte m inici su movimiento desde l posición inicil R(0) = (1, 0, 0) y con velocidd inicil V (0) = (1, 1, 1). Si l celerción de l prtícul es A(t) = (4t, 6t, 1), determine l velocidd y l posición de l prtícul en tiempo t. Pr uso exclusivo en el slón de clse UIS Cálculo en Vris Vribles 29

10 Solución. Como A(t) = V (t), obtenemos V (t) = (2t 2, 3t 2, t) + C. De l velocidd inicil tenemos V (0) = (1, 1, 1) = C. Entonces V (t) = (2t 2 + 1, 3t 2 1, t + 1). Como R (t) = V (t), integrndo nuevmente obtenemos R(t) = ( 2 3 t3 + t, t 3 t, 1 2 t2 + t ) + D en donde l constnte vectoril D se obtiene de l posición inicil: R(0) = (1, 0, 0) = D. Por tnto, R(t) = ( 2 3 t3 + t + 1, t 3 t, 1 2 t2 + t ). En generl, y de cuerdo con el Segundo Teorem Fundmentl del Clculo (cf. Proposición 2.23), ls integrles vectoriles permiten encontrr l velocidd cundo es conocid l celerción, y l posición cundo es conocid l velocidd: V (t) = V (t 0 ) + t t 0 A(t)dt, R(t) = R(t 0 ) + t t 0 V (t)dt Longitud de rco Longitud de rco Curvs rectificbles Ahor se trt de definir l noción de longitud de rco de un curv C, l C, que se sume es prmetrizd por un función vectoril continumente diferencible. Al igul que en el cso de curvs plns y en el espcio, l longitud de rco se define como l mínim cot superior de tods ls longitudes de ls poligonles que l proximn; o equivlentemente, como el límite de ls longitudes de ls poligonles que proximn l curv. Un curv es rectificble si tiene un longitud de rco, en cso contrrio se dice que l curv no es rectificble. En el cso de curvs plns y en el espcio, ls formuls de longitud de rco se puede escribir en notción vectoril de l form l C [, b] := R (t) dt. Por lo tnto, podemos intuir que un curv es rectificble si l prmetrizción que l represent es continumente diferencible. El propósito es entonces demostrr que est conjetur es ciert. Lem L longitud de rco de un curv continumente diferencible C que es representd medinte l función vectoril R(t) pr todo t [, b], cumple l desiguldd l C [, b] R (t) dt, si l curv es recorrid un sol vez cundo t vri de b. 30 Julio C. Crrillo E. Pr uso exclusivo en el slón de clse UIS

11 Demostrción. Como R es continumente diferencible, entonces su derivd R es continu en [, b]. Así que l integrl nterior existe. Sen = t 0,...,t k, t k+1,...,t n = b los puntos que determinn un prtición rbitrri P de [, b]. Tl prtición d el conjunto de puntos de C: R() = R(t 0 ),..., R(t k ), R(t k+1 ),...,R(t n ) = R(b) y sí l poligonl que conect estos puntos tiene longitud l P = n R(t k+1 ) R(t k ). k=1 De ls Proposiciones 2.20 y 2.23 obtenemos l C [, b] = n R(t k+1 ) R(t k ) = k=1 n tk+1 k=1 t k tk+1 n k=1 R (t)dt t k R (t) dt = R (t) dt. Como P es un prtición rbitrri, ést desiguldd se cumple pr tod longitud l P. Así que como l integrl del ldo derecho existe, est se convierte en un cot superior de tod longitud l P. Por lo tnto, l C [, b] R (t) dt. Función longitud de rco Pr demostrr que relmente l desiguldd es un iguldd se debe definir l función longitud de rco, y demostrr que es un función ditiv. L función longitud de rco permite determinr cunto h vnzdo l prtícul lo lrgo de un tryectori desde el tiempo t. Se R l función vectoril diferencible que represent l curv C. L función longitud de rco s(t) se define como s(t) := t R (τ) dτ si t > y l integrl existe. Cunto t =, s() := 0; lo cul supone que el movimiento comienz cundo t =. Aditividd de l función Si l longitud de rco de l curv C existe y R(t) es un prmetrizción de longitud de rco C en el intervlo [, b] pr todo t 1 < t 2 b, entonces de l ditividd de l integrl se obtiene l propiedd ditiv de l longitud de rco (Ejercicio): s(t 2 ) s(t 1 ) = l C [t 1, t 2 ]. L siguiente proposición relcion l derivd de l función de rco y l rpidez. Proposición Se s l función longitud de rco de un curv continumente diferencible C que es representd medinte l función vectoril R(t) pr todo t [, b]. Entonces s (t) existe pr todo t [, b] y demás, s (t) = v(t). Pr uso exclusivo en el slón de clse UIS Cálculo en Vris Vribles 31

12 Demostrción. Consideremos el cociente de diferencis R(t + h) R(t) h con h > 0. El segmento de rect que une los extremos de los puntos R(t) y R(t + h) tiene longitud menor que el rco que une estos puntos. Por lo tnto, R(t + h) R(t) h s(t + h) s(t) h = l C[t, t + h] h 1 h t+h t R (τ) dτ. Cundo h 0 +, mbos extremos de est desiguldd tienden R (t) y por lo tnto, Similrmente, cundo h 0, Por lo tnto, s(t + h) s(t) lím = R (t). h 0 + h s(t + h) s(t) lím = R (t). h 0 h s s(t + h) s(t) (t) = lím = R (t). h 0 h Como s(t) represent lo longitud de l curv C entre R() y R(t), es clro que l longitud totl de C es por lo tnto l C [, b] = s(b) = R (t) dt. Proposición Se C un curv continumente diferencible y representd medinte l función vectoril R(t) pr todo t [, b]. Entonces C es rectificble y su longitud de rco cumple l ecución l C [, b] = R (t) dt, si l curv es recorrid un sol vez cundo t vri de b. Ejemplo Encuentre l longitud de rco de l curv desde t = 0 t = 1. Solución. y l C [0, 1] = 2 C : R(t) = (2 cost, 2 sint, t 2 ) R (t) = ( 2 sent, 2 cost, 2t), R (t) = t = 1 + t2 dt [ t 1 + t 2 + log(t t 2 ] 1 0 = 2 + log(1 + 2). 32 Julio C. Crrillo E. Pr uso exclusivo en el slón de clse UIS

13 Prmetrizción con respecto l longitud de rco Frecuentemente es conveniente prmetrizr un curv de form independiente del sistem de coordends en l cul se represent. Como l longitud de rco depende de l form de l curv y no del sistem de coordends que l represent, es entonces nturl prmetrizr l curv medinte l longitud de rco. Se C un curv prmetrizd medinte un función vectoril R(t). Si de l ecución s = s(t) se puede despejr t (por ejemplo, si s(t) es inyectiv), entonces t = s(t). Por lo tnto, R(s(t)) representr l prmetrizción de C con respecto l longitud de rco. Ejemplo Pr prmetrizr l hélice circulr R(t) = (2 cost, 2 sent, t) con respecto l longitud de rco desde el punto (2, 0, 0) cundo t crece, primero encontrmos que Curvtur de un curv s = t 0 R (t) dt = t 0 5 dt = 5t. Por lo tnto, t = s/ 5 y l prmetrizción de l hélice circulr con respecto l longitud de rco ser ( R(s) = 2 cos(s/ 5), 2 sen(s/ 5), s/ ) 5 En un rect, el vector tngente unitrio T no cmbi de dirección y por tnto T = 0. Si l curv es no linel, entonces T mide l tendenci de l tngente cmbir de dirección; cmbio que es ms rápido cundo l curv dobl o se tuerce bruscmente. Pr obtener un medid de l rpidez de cmbio de l dirección del vector tngente independiente del sistem de coordends, se clcul l mgnitud de l rzón de cmbio del vector tngente unitrio con respecto l longitud de rco. L mgnitud de este cmbio es un medid de que tnto l curv se cierr, y es llmd l curvtur. Por ejemplo, un rect tiene curvtur cero y un curv que se dobl en form muy cerrd tiene un grn curvtur. Vector curvtur y Definición Dd un curv C, el vector T(s) es llmdo el vector curvtur curvtur de C y su norm es llmd l curvtur de C. κ = dt ds, L regl de l cden y l formul s (t) = v(t) permiten encontrr l curvtur en función de t: dt ds = dt dt dt ds = dt/dt ds/dt = T (t) v(t). Puesto que T (t) = T (t) N(t), obtenemos dt ds = T (t) N(t), v(t) lo cul signific que el vector curvtur y el vector norml tienen l mism dirección que el vector norml principl N(t). Pr uso exclusivo en el slón de clse UIS Cálculo en Vris Vribles 33

14 Proposición Se C un curv dos veces diferencible descrit por un función vectoril R(t) con vector velocidd no nulo R (t). L curvtur de C en el extremo de R(t) es ddo por l formul κ(t) = T (t). v(t) El clculo de l curvtur medinte l formul de l Proposición 2.36 es en generl un proceso lborioso. En el cso de curvs en el espcio, este proceso se puede simplificr. En generl el vector celerción tiene un componente tngencil y un norml: Si T (t) 0, entonces A(t) = v (t)t(t) + v(t)t (t). Por lo tnto, Ddo que V (t) = v(t)t(t), entonces V A = V (v T) + V (v 2 κn) Como T (t) = T (t) N(t) = v(t)κ(t)n(t). A(t) = v (t)t(t) + v 2 (t)κ(t)n(t). = v v T T + v 3 κ T N = v 3 κ T N. T N = T N sen π 2 = 1 entonces se obtiene l siguiente Proposición. Proposición Se C un curv dos veces diferencible descrit por un función vectoril R(t) con vector velocidd no nulo R (t). L curvtur de C en el extremo de R(t) es ddo por l formul κ(t) = V (t) A(t) v 3. (t) Fuerzs definids medinte funciones vectoriles Velocidd y rpidez Cundo un prtícul se mueve en un circulo en el plno con centro en el ngulr origen y rdio r, se puede considerr el ángulo θ que form el rdio con el eje x pr encontrr un prmetrizción. Puede suponerse que este ángulo cmbi en l medid que trnscurre el tiempo. Por lo tnto, l posición puede escribirse como R(t) = r(cos θ(t), sen θ(t)). En este cso θ (t) d l rzón de cmbio del ángulo centrl y es llmd l velocidd ngulr y su vlor bsoluto es llmdo l rpidez ngulr. 34 Julio C. Crrillo E. Pr uso exclusivo en el slón de clse UIS

15 Movimiento circulr El movimiento circulr uniforme es un movimiento con velocidd ngulr uniforme constnte. Si θ(t) = ωt, l función vectoril R(t) = r(cos ωt, senωt) represent un función posición pr el movimiento circulr uniforme. Si ω > 0 el movimiento es en sentido contrrio ls mnecills del reloj; si ω < 0 el movimiento es en sentido de ls mnecills. En culquier cso, En consecuenci, V (t) = rω( sen ωt, cosωt) A(t) = rω 2 (cosωt, senωt) = rω 2 R(t). 1. l velocidd es perpendiculr R, lo cul demuestr que V es tngente l circulo y punt en l dirección del movimiento; 2. l celerción es proporcionl y dirigid lo lrgo de R, puntndo hci el origen y es por tnto perpendiculr l vector velocidd; 3. l rpidez es r ω y l mgnitud de l celerción es rω 2 ; 4. el periodo T del objeto es el tiempo que necesit el objeto pr dr un revolución complet: T = 2π ω = 2πr v ; Fuerz centrípet 5. l mgnitud de l fuerz R necesri pr producir el movimiento circulr uniforme es llmd fuerz centrípet. De l segund ley del movimiento de Newton se obtiene R = mrω 2 = mv2 r. Primer momento En mecánic clásic el momento p de un cuerpo de ms constnte m est definido como p = mv, donde V es su velocidd. Pr indicr l dependenci del tiempo, se escribe p(t) = mv (t). Primer vrición del L celerción del cuerpo est relciondo con l fuerz que ctú sobre él primer momento medinte l segund ley del movimiento de Newton: F(t) = mv (t) = ma(t). Considere un cuerpo de ms constnte m se mueve lo lrgo de l elipse x y2 b 2 = 1 con velocidd ngulr constnte ω. Pr encontrr l fuerz F que ctú sobre el cuerpo, primero se prmetriz l tryectori de l form R(t) = ( cosωt, b senωt). Pr uso exclusivo en el slón de clse UIS Cálculo en Vris Vribles 35

16 Entonces V (t) = ω( senωt, b cosωt) A(t) = ω 2 ( cosωt, b senωt) = ω 2 R(t). Por lo tnto, F(t) = ma(t) = mω 2 R(t). Est fuerz es llmd centrl porque ctú lo lrgo del rdio vector R. Tmbién se llm un fuerz trctor porque su dirección es opuest l del rdio vector. L mgnitud de est fuerz es directmente proporcionl l distnci del objeto l origen. Ejemplo Un fuerz de mgnitud dirigid hci rrib del plno xy es continumente plicd un objeto de ms constnte m. Ddo que el objeto se encuentr originlmente en el punto (0, y 0, z 0 ) con velocidd inicil 2j encuentre 1. L velocidd del objeto t segundos después. 2. L rpidez del objeto t segundos después. 3. El momento del objeto t segundos después. 4. L tryectori que sigue el objeto, en form vectoril y coordends crtesins. Solución. 1. L ecución de l fuerz es En generl, F(t) = ma(t). Así que Integrndo se obtiene F(t) = k. A(t) = m k V (t) = C 1 i + C 2 j + ( m t + C 3 ) k Como V (0) = 2j, se concluye que C 1 = 0, C 2 = 2 y C 3 = 0. Entonces V (t) = 2j + m tk. 2. L rpidez es v(t) = 1 m 4m2 + 2 t El momento es 4. Integrndo de nuevo, mv (t) = 2mj + tk. R(t) = D 1 i + (2t + D 2 )j + ( 2m t2 + D 3 ) k. 36 Julio C. Crrillo E. Pr uso exclusivo en el slón de clse UIS

17 Como R(0) = y 0 j + z 0 k se obtiene D 1 = 0, D 2 = y 0 y D 3 = z 0 y por lo tnto ( ) R(t) = (2t + y 0 )j + 2m t2 + z 0 k, en donde, de cuerdo con ls condiciones del problem, t 0. Como se observ, el desplzmiento horizontl (en l dirección del eje y) es linel, mientrs que el desplzmiento verticl (En l dirección del eje z) es de tipo prbólico. Podemos suponer entonces que l tryectori de l prtícul es de tipo prbólico y en el plno yz. 5. Ls ecuciones prmétrics de l tryectori son x(t) = 0, y(t) = 2t + y 0, z(t) = 2m t2 + z 0. De l segund ecución se obtiene t = y(t) y 0 2 lo cul implic que y(t) y 0 pr todo t 0. Substituyendo en l tercer ecución, y eliminndo t, en donde y y 0. z(t) = 8m (y(t) y 0) 2 + z 0 z = 8m (y y 0) 2 + z 0 Trbjo y energí cinétic Si un objeto de ms constnte m se mueve con velocidd V (t) sujeto l cción de un fuerz F(t), el trbjo W(t) relizdo por l fuerz es el producto esclr W(t) = F(t) V (t) y el numero rel E c (t) := 1 2 mv2 (t) = 1 2 m R (t) 2 es llmdo l energí cinétic del objeto en el tiempo t. En este cso se sume que F es un fuerz que en su tryectori (el flujo que describre l fuerz) ejerce un cción sobre el objeto cundo éste se encuentr en el extremo de R(t) (cf. el cpitulo de Preliminres.) Se puede demostrr que el trbjo es l rt de cmbio de l energí cinétic: F(t) V (t) = d dt (1 2 mv2 (t)) Dinámic de rotciones: torque y momento ngulr L plbr torque proviene de l plbr ltin torcer y es denotdo por l plbr grieg τ. El torque con respecto l origen y producido por l fuerz F en el instnte t es definido por l ecución τ(t) = R(t) F(t). Pr uso exclusivo en el slón de clse UIS Cálculo en Vris Vribles 37

18 El momento ngulr es usulmente denotdo con l letr L. El momento ngulr con respecto l origen se define como L(t) = R(t) (mv (t)). Como l fuerz F es l rzón de cmbio del momento, sí mismo el torque es l rzón de cmbio del momento ngulr: L (t) = R (t) (mv (t)) + R(t) (mv (t)) = V (t) (mv (t)) + R(t) (ma(t)) = 0 + R(t) F(t) = τ(t). Fuerzs centrles Fuerzs centrles son fuerzs que ctún lo lrgo del rdio vector,; i.e., son fuerzs prlels R(t): Fuerzs definids medinte cmpos vectoriles F(t) = f(t)r(t) pr lgun función rel f(t). Obvimente, ls fuerzs centrles no producen torque lguno con respecto l origen: τ(t) = R(t) F(t) = R(t) (f(t)r(t)) = 0. Segund ley del Si un objeto de ms m se mueve lo lrgo de un tryectori R(t) y movimiento de Newton trvés de un cmpo vectoril de fuerzs F, entonces F ejerce en el extremo de R(t) (el punto de plicción de l fuerz y su vez l posición del objeto en el tiempo t) un cción F(R(t)) sobre l objeto. Si el objeto se mueve en R 3, l fuerz F que ctú sobre ell en el extremo de R(t), se relcion con l celerción medinte l segund ley de Newton: F(R(t)) = ma(t). Por ejemplo, pr determinr l tryectori de un objeto de ms m moviéndose lrededor de otro objeto de ms M (considerdo en el origen de R 3 ), se puede usr l ley de grvitción de Newton pr determinr l fuerz: F(R(t)) = GmM R(t) 3R(t). Dd l posición inicil R(0) = R 0 y velocidd inicil R (0) = V 0 de l objeto de ms m, entonces su tryectori R(t) obedece l ley en donde r(t) = R(t). R (t) = GM GM R(t) 3R(t) = r(t) 3 R(t), Supongmos que r(t) = r, un constnte. Integrndo y utilizndo ls condiciones iniciles obtenemos R (t) = GM r 3 t 0 R(τ)dτ + V 0 y por tnto R(t) es dd como solucion de l ecucion integrl no linel R(t) = GM r 3 t µ 0 0 R(τ)dτ dµ + V 0 t + R 0, 38 Julio C. Crrillo E. Pr uso exclusivo en el slón de clse UIS

19 l cul se puede resolver medinte técnics del Análisis Numérico. Ahor bien, cundo el objeto se mueve trvés del cmpo de fuerz, surgen fuerzs de rozmiento R r y fuerzs externs R e que fectn l dinámic del objeto. Usulmente l fuerz de rozmiento se sume proporcionl l velocidd del objeto ( myor velocidd, myor rozmiento) y en dirección opuest l desplzmiento del objeto (ley de cción rección de Newton): pr lgun función rel positiv g. R r (t) = g(t)v (t) De otro ldo, ls fuerzs externs se representn medinte un función vectoril G(t) y se pueden considerr plicds en l mism dirección del desplzmiento. Por lo tnto, l fuerz net que ctú sobre el objeto seri F(R(t)) = R r (t) + R e (t) = g(t)v (t) + G(t). De l segund ley de Newton se obtiene l ecución diferencil vectoril de segundo orden junto con ls condiciones iniciles mr (t) + g(t)r (t) = G(t) con t 0, R(0) = R 0, R (0) = V 0. Trbjo El trbjo W relizdo por l fuerz F en el extremo de R(t) se define como el producto de l componente de l fuerz lo lrgo de l tngente de l tryectori en el extremo de R(t); es decir, W(t) = F(R(t)) V (t) Pr uso exclusivo en el slón de clse UIS Cálculo en Vris Vribles 39

20 Ejercicios Un prtícul se mueve lo lrgo de un circulo de rdio r velocidd constnte v. Encuentre l rpidez ngulr y l mgnitud de l celerción. 2. Un prtícul se mueve de lo lrgo de l curv descrit por R(t) = ( cosπt + bt 2, sen πt bt 2 Encuentre l velocidd, rpidez, l celerción y l mgnitud de l celerción cunto t = Un prtícul se mueve de form tl que R(t) = (t, b sen t). Demuestre que l mgnitud de l celerción de l prtícul es proporcionl l distnce de l prtícul l eje x. 4. Un prtícul se mueve de form tl que R(t) = (2, t 2, (t 1) 3 ). Cundo es l velocidd mxim? 5. Demuestre que si l celerción de un prtícul es dd por l ecución de l form A(t) = b 2 R(t), entonces l tryectori de l prtícul puede ser escrit como R(t) = cosbt A + sen bt B en donde A y B son constntes vectoriles rbitrris. Explique el significdo de A y B. Sugerenci: Recuerde que l solución de l ecución diferencil x (t) = b 2 x(t) puede ser escrit de l form x(t) = c 1 cosbt + c 2 sen bt. 6. En un punto P de coordends (x(t), y(t), z(t)) de su movimiento un objeto de ms m est sujeto un fuerz F(t) = mπ 2 ( cosπt, b senπt), en donde y b son constntes positivs. Ddo que R(0) = (0, b) y V (0) = ( πb, 1) son l posición y l velocidd inicil del objeto, encuentre en el tiempo t = 2: ) l velocidd, b) l rpidez, c) l celerción, d) el momento, e) el trbjo, f ) l energí cinétic, g) el momento ngulr, h) el torque, 7. Un objeto de ms m se mueve de l form R(t) = 1 2 ( (e ωt + e ωt ), b(e ωt e ωt ) ). ) Cul es l velocidd inicil? b) Demuestre que l fuerz es centrl y repulsor. c) Que implicciones tiene l prte (b) con respecto l momento ngulr y el torque? Verifique sus respuests medinte clculo directo. 40 Julio C. Crrillo E. Pr uso exclusivo en el slón de clse UIS