MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

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1 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL UNIDAD 4 M.Sc. JIMMY DELGADO VILLCA 1. PARAMETRO Y ESTADIGRAFO Se entiende por parámetro a una característica o atributo de la población, en otras palabras se la puede entender como una medida estadística calculada o determinada a partir de la población total, como por ejemplo, la media aritmética, desviación típica, etc. Por su parte un estadígrafo, es una medida resumen que describe una característica de la muestra; es decir, que a las cifras descriptivas que se obtienen como función de una muestra reciben el nombre de estadígrafos, tales como la media, desviación típica, etc. 1

2 Símbolos para estadígrafos y parámetros Medida Símbolo para el estadístico (Muestra) Símbolo para el parámetro (Población) Media Aritmética X µ (se lee miu ó mu ) Desviación estándar s δ (se lee sigma ) Número de elementos o n N casos Proporción p P ( ) ESTADÍGRAFO POBLACIÓN Conjunto de Elementos que presentan una característica común y que es objeto de estudio POBLACIÓN Extracción Muestra MUESTRA Parte de los elementos o subconjuntos de una Población que se selecciona Para el estudio de esa característica PARÁMETRO Generalización de Hallazgos 2

3 2. CLASES DE MEDIDAS ESTADISTICAS a) Medidas de Posición De posición: son aquellos que describen la posición que ocupa la distribución respecto a un valor de la variable, se distinguen dos tipos: los estadígrafos de tendencia central y los de localización. Los primeros brindan información sobre el centro de la distribución, los más importantes y más usados son: la media aritmética, la media geométrica, la media armónica, la media cuadrática y la mediana. Pero muchos libros de estadística también se nombran a la moda como medida central. Los del segundo tipo, señalan la localización de los valores más frecuentes o de valores extremos, los más usados son la moda y los cuantiles. b) Medidas de Dispersión Indican cuan dispersos están los datos; mientras mayor sea su valor, más dispersos se encuentra las observaciones (datos). Las más utilizadas son aquellas que indican la concentración de los valores del conjunto de datos alrededor de su valor medio o promedio. El más importante de ellos es la varianza y otros asociados a ésta como la desviación típica y el coeficiente de variación. c) Medidas de forma Indican la forma de la curva (o polígono) de distribución de frecuencias y en especial su simetría o asimetría y forma más o menos aplastada o en punta. 3

4 3. PARÁMETROS CENTRALES También llamados Medidas de tendencia central, estos valores como se menciono anteriormente, tienden a ocupar posiciones centrales o intermedias entre el menor y mayor valor del conjunto de datos a partir de la cual se calculan éstos. Los más usados son: la media aritmética, mediana y moda. Media Mediana Moda 4. MEDIA ARITMÉTICA a) Definición Se la puede definir como el promedio aritmético, es la medida de tendencia central más conocida, familiar y de mayor uso, también es fácil de calcular ya sea de datos no tabulados como de datos tabulados. Se simboliza como: X, y es la suma de todos los valores dividida por el número de casos. b) Utilización La media aritmética es una medida solamente aplicable a mediciones por intervalos o de razón (Proporcional), carece de sentido por variables medidas en un nivel nominal u ordinal. 4

5 c) Obtención Para datos sin tabular: Su fórmula es: N 1 N X i N X Siendo X = Media Aritmética X = Suma de las puntuaciones N = Número de casos o población total de datos Ejemplo: Datos sobre edad: 2, 3, 6, 8, 11 años años 5 5 Descripción: El promedio o la Media Aritmética de las edades es de 6 años. Es decir, si los 5 niños tuvieran las misma edad, todos coincidirían en la edad de 6 años. 5

6 Ejercicios: Considérense los siguientes datos: 3, 8, 4, 10, 6, 2. Se pide calcular su media aritmética. En una oficina 9 personas que trabajan en ella hicieron las siguientes contribuciones para ayudar a un compañero que tubo un accidente: 5, 5, 5, 10, 10, 10, 10, 15, 20 Bs. calcula la media aritmética Ejercicios: El profesor de la materia de estadística desea conocer el promedio de las notas finales de los 10 alumnos de la clase. Las notas de los alumnos son: 3,2-3,1-2,4-4,0-3,5-3,0-3,5-3,8-4,2-4,0. Cuál es el promedio de notas de los alumnos de la clase? Se tienen las edades de cinco estudiantes universitarios de 1er año, a saber: 18, 23, 27, 34 y 25. Calcular la media aritmética. Si las notas de un alumno en las distintas asignaturas de un curso durante una evaluación fuuron:7; 5; 6.5; 3.7; 5; 6.2; hallar la nota media de evaluación. 6

7 Para datos tabulados sin agrupar en intervalos de clase: Su fórmula es: Siendo: X N X = Media Aritmética X = Suma de las puntuaciones F = Frecuencia absoluta N = Número de casos o Población total de datos F Ejemplo: TITULADOS SEGÚN MATERIAS REPROBADAS FAC. HUMANIDADES 2004 Nº DE MATERIAS (X) F TOTAL 52 FUENTE: REGISTROS SIS, 2004 X X F 0x6 = 0 2x16 = 32 4x14 = 56 5x11 = 55 7x4 = 28 8x1 =

8 ,4 MATERIAS Descripción: El promedio o la Media Aritmética de materias reprobadas por los titulados de la Facultad de Humanidades, en la gestión 2004, fue de 3,4 materias. ESTUDIANTES SEGÚN PESO PESO (Kg) F TOTAL 8

9 Para datos agrupados en intervalos de clase: Su fórmula es: M C N F Siendo: X = Media Aritmética X = Suma de las puntuaciones F = Frecuencia absoluta MC = Marca de Clase N = Número de casos o Población total de datos Ejemplo: ESTUDIANTES DE 4TO DE SECUNDARIA SEGÚN COCIENTE INTELECTUAL-2007 CCOCIENTE INTELECTUAL (x) F TOTAL 72 MC MC X F 87 x 7 = x 17 = x 24 = x 12 = x 7 = x 5 = 710 MC X F = 7958 FUENTE: Resultados prueba de inteligencia 9

10 ,53 C.I. Descripción: El coeficiente intelectual promedio de los estudiantes de 4to de secundaria es de 110,53 puntos. Estatura (Plg) F Mc McxF TOTAL 10

11 Peso (X) F Mc McxF TOTAL Media Aritmética Global y Ponderada Se entiende por Media Aritmética Global como el promedio de varios promedios o de diferentes grupos, donde se multiplica cada uno de los promedios por sus respectivas poblaciones, cuyas cantidades se suman, y este resultado se divide entre la suma de todas las poblaciones. X ( N ) X ( N ) X G N1 N2 N3... ( N )... X N i i ( N ) i 11

12 Se denomina Media ponderada de un conjunto de números al resultado de multiplicar cada uno de los números por un valor particular para cada uno de ellos, llamado su peso y obteniendo a continuación la media aritmética del conjunto formado por los productos anteriores. Se utiliza la media ponderada cuando no todos los elementos componentes de los que se pretende obtener la media tienen la misma importancia. X ( P) X ( P ) X P P1 P2 P3... ( P )... X P i i ( P) i Ejemplo: Un profesor rindió una prueba de suficiencia para optar a un cargo jerárquico. Logró las siguientes calificaciones finales. Calcular el promedio general de las puntuaciones alcanzadas. Materias Créditos Puntuación A 4 60 B 6 55 C 3 70 D 5 40 E

13 Solución: X ( P) X ( P ) X P P1 P2 P3... ( P )... X P i i ( P) i P 4(60) 6(55) 3(70) 5(40) 4(80) Ejercicios: Se tiene los promedios de notas de 4 Grupos en la materia de Estadística, con ellos calcular la Media Aritmética global. GRUPO MEDIA POBLACIÓN A 48,4 54 B 55,6 67 C 37,6 59 D

14 Solución: X ( N ) X ( N ) X G N1 N2 N3... ( N )... X N i ( N ) i i P (48,4)(54) (55,6)(67) (37,6)(59) (33)(71 ) d) Ventajas de la Media Aritmética Es un concepto familiar a la mayoría de las personas e intuitivamente claro. Es una medida que puede ser calculada y es única, ya que cada conjunto de datos tiene una y sólo una media. En el cálculo de la media, es tomada en cuenta cada observación del conjunto de datos. La media es una medida digna de confianza, por que se determina con mayor certeza que otras características de un conjunto de datos. 14

15 e) Desventajas de la Media Aritmética La media puede verse afectado por valores extremos que no son representativos del resto de las observaciones: por ello, cuando se está utilizando esta medida en un análisis, vale la pena advertir la representatividad de los valores extremos y la influencia que estos tienen sobre el resultado. Ejemplo: Edades: 22, 19, 18, 23, 25, 45 valor extremo No se puede calcular la media aritmética para un conjunto de datos que tiene intervalos de clase abiertos en los extremos. Ejemplo: EDAD (X) MC F Y MÁS? 4 15

16 No se puede calcular la media aritmética para variables Cualitativas. Ejemplo: ESTADO CIVIL F XxF Casado 10? Soltero 30? Viudo 2? Divorciado 4? Concubino 15? 5. MEDIANA a) Definición La mediana es la medida de tendencia central que divide a la distribución de datos en dos partes iguales, es decir que es la puntuación por encima de la cual se encuentra el 50% de los datos y debajo de la cual se encuentra el otro 50% de los datos de la distribución. Su símbolo es Me. b) Utilización La mediana es una medida propia de los niveles de medición ordinal, intervalar y proporcional. (Variables cualitativas ordinales y cuantitativas) 16

17 VARIABLE ORDINAL: ESTATURA 7º 3º 4º 5º 6º 2º 1º c) Obtención Para datos sin tabular: Ejemplo 1: datos de 9 alumnos sobre peso (N = 9 impar) Ordenar de menor a mayor: datos Me = 20 Kg. 4 datos Descripción: El 50% de los niños tiene un peso igual o menor a 20 Kg. y el otro 50%, un peso igual o mayor a 20 Kg. 17

18 Ejemplo 2 : ( N = 10 par) Ordenar de menor a mayor: datos 4 datos Me = 21+23/2 = 22 Kg. Descripción: El 50% de los niños tiene un peso igual o menor a 22 Kg. Para datos tabulados sin agrupar: Ejemplo: TITULADOS SEGÚN MATERIAS REPROBADAS FAC. HUMANIDADES 2004 Nº DE MATERIAS (X) F Fa LUGAR = N/ TOTAL FUENTE: REGISTROS SIS, /2 = 26 > Y + próximo Me = 4 Materias Descripción: El 50% de los titulados reprobó una cantidad de materias igual o menor a 4. 18

19 Para datos agrupados en intervalos de clase: Su fórmula es: Siendo: i N Me LRI fa. a. f 2 el Me = Mediana LRI = Límite real inferior = Límite inf. - 0,5 i = Recorrido de intervalo (Límite superior Límite inferior) + 1 Fel = Frecuencia abs. del intervalo elegido N = Población total Faa = Frecuencia acumulada anterior Ejemplo: ESTUDIANTES SEGÚN NOTAS 2º CICLO U.E. CEIVO NOTAS (X) F Fa TOTAL FUENTE: Registro pedagógico, noviembre de 2002 Lugar N/2 = 176/2 = 88 LRI = 45 0,5 = 44,5 i = (49 45) + 1 = 5 fel = 50 fan = 75 Me Me Me Me 5 44, ,5 (13 ) 50 44,5 1,3 45,8 puntos Descripción: El 50% de los estudiantes del 2do Ciclo de la U.E. CEIVO, tienen una nota igual o menor a 45,8 puntos. 19

20 Peso (X) F Fa TOTAL Grupos de edades F Menores de 1 año años adelante 3 TOTAL 20

21 d) Ventajas de la Mediana La mediana es fácil de entender y puede ser calculado a partir de cualquier clase de datos, aún para datos agrupados en intervalos de clases abiertas en los extremos, salvo que la mediana caiga en una clase abierta. La mediana está afectada por el número de observaciones (N) y no por la magnitud de cualquier valor extremo. Se puede encontrar la mediana inclusive de datos cualitativos ordinal. e) Desventajas de la Mediana Se debe organizar los datos antes de realizar cualquier tipo de cálculo para determinar la mediana, esto consume tiempo para cualquier conjunto de datos con muchos elementos. Ciertos procedimientos estadísticos que usan la mediana son mucho más complejos que aquellos que usan la media. La mediana no es adecuado a manipulaciones algebraicas posteriores. 21

22 6. MODA a) Definición Se denomina modulo o moda y se define como aquel valor de la variable el cual se repite más veces o presenta la frecuencia más alta. Tiene como símbolo Mo. Una distribución de datos puede ser unimodal cuando presenta solo una moda o bimodal cuando presenta 2 valores de moda, o multimodal cuando presenta 3 o más modas. 22

23 b) Utilización Es la medida de tendencia central menos utilizada ya que su valor no es muy preciso y por eso se la considera una medida de primera aproximación, se puede calcular a partir de niveles de medición nominal, ordinal, intervalar y proporcional. (Variables cualitativas y cuantitativas) c) Obtención Para datos sin tabular: Ejemplo: Datos sobre edad: Mo = 15 años (se repite más veces que los otros valores) Descripción: La mayor parte de los sujetos tiene una edad de 15 años. Ejemplos: Hallar la moda de la distribución: 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 M o = 4 Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa frecuencia es la máxima, la distribución es bimodal o multimodal, es decir, tiene varias modas. 1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9 M o = 1, 5, 9 Cuando todas las puntuaciones de un grupo tienen la misma frecuencia, no hay moda. 2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9 23

24 Para datos tabulados sin agrupar: Ejemplo: TITULADOS SEGÚN MATERIAS REPROBADAS FAC. HUMANIDADES 2004 Nº DE MATERIAS REPROBADAS (X) F TOTAL 52 FUENTE: REGISTROS SIS, 2004 Buscar valor con mayor frecuencia Mo = 2 Materias Descripción: La mayor parte de los titulados reprobó 2 materias. Para datos agrupados en intervalos de clase: Su fórmula es: Mo L RI i Siendo: LRI = Límite Real Inferior i = Recorrido de intervalo Δ1 = Delta uno (Resta de la mayor frecuencia y la frecuencia anterior a esta) Δ2 = Delta dos (Resta de la mayor frecuencia y la frecuencia posterior a esta)

25 Ejemplo: ESTUDIANTES SEGÚN NOTAS 2º CICLO U.E. CEIVO NOTAS (X) F TOTAL 176 FUENTE: Registro pedagógico, noviembre de 2002 Mo Mo Mo Mo Ubicar el intervalo con la mayor frecuencia LRI = 45 0,5 = 44,5 i = 5 Δ1 = = 5 Δ2 = = , 5, 5, 5, ,8 puntos Descripción: La mayor parte de los estudiantes sacó una nota de 45,3 puntos. d) Ventajas de la Moda La moda se puede usar como una localización tanto para datos cualitativos como cuantitativos. La moda no está afectada por valores extremos, aún si los valores altos son muy altos y los valores pequeños muy pequeños, se escoge el valor más frecuente del conjunto de datos como el valor modal. La moda se puede calcular aún cuando una o más de las clases sea abiertas en los extremos. 25

26 e) Desventajas de la Moda Muy a menudo no hay un valor modal, por que el conjunto de datos no contiene valores que se repitan más de una vez. Otras veces cada valor es la moda, porque cada uno aparece el mismo número de veces. Claramente la moda no es una medida útil en estos casos. Cuando el conjunto de observaciones contiene dos, tres o más modas, éstas son difíciles de interpretar y comparar. 7. RELACIÓN ENTRE Mo, MEDIA Y Me EN DISTRIBUCIONES SIMÉTRICAS Y ASIMÉTRICAS 1. En una distribución de frecuencias simétrica cuya representación gráfica es acampanada y además unimodal, coinciden exactamente en el mismo valor, la media, mediana y moda. Media Mdn Mo 26

27 2. Si la distribución tiene la forma acampanada, es unimodal, pero no tiene simetría, las tres medidas toman valores diferentes, y la mediana queda comprendida generalmente entre la moda y la media aritmética. Si la distribución es más alargada para valores grandes de la variable (asimetría a la derecha o positiva), entonces la situación general es: X > Me > Mo Mo Me Media 27

28 Si la distribución es más alargada para valores pequeños de la variable (asimetría a la izquierda o negativa), entonces la situación general es: X < Me < Mo Media Me Mo 28

29 De los dos anteriores casos se puede concluir que cuando la población tiene sesgo, la mediana es la mejor medida de la ubicación, puesto que siempre se encuentra entre la Mo y X. 3. Si la distribución es moderadamente asimétrica y unimodal, se cumple aproximadamente la relación: X Mo = 3(X Me) Resumen de las Medidas de Tendencia Central ESCALA TIPO DE VARIABLES MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN PROPORCIONAL INTERVALAR Cuantitativa discreta y/o continua Cuantitativa discreta y/o continua Mo Me X Mo Me X ORDINAL Cualitativa ordinal Mo Me NOMINAL Cualitativa nominal Mo 29