CAPÍTULO. Continuidad

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1 CAPÍTULO Continuidad. Continuidad en intervalos Una función es continua en un conjunto si es continua en cada punto del conjunto. Entonces, una función es continua en un intervalo abierto.a; b/ si es continua en cada.a; b/. Una función f es continua en un intervalo cerrado Œa; b si es continua en el intervalo abierto.a; b/, si en a es continua por la derecha si en b es continua por la izquierda, o sea que f./ D f.a/ que f./ D f.b/.!a C!b Definiciones análogas se dan para la continuidad de funciones en intervalos de la forma Œa; C/ así como. ; b. Resultados mu importantes son los siguientes: Una función polinomial es continua en todo R. Una función racional es continua en todo su dominio. La composición de funciones continuas es continua. Ejemplo.. Obtener los intervalos de continuidad de las siguientes funciones:. f./ D 0 6 C.. g./ D C. canek.azc.uam.m: / 5/ 008

2 Cálculo Diferencial e Integral I. h./ D.. ˇ./ D p. 5../ D p. H 6. ı./ D p C 5.. Por ser una función polinomial, f es continua en toda la recta real R.. Por ser una función racional, g es continua en todo su dominio que es D g D R.. Por ser una función racional, h es continua en todo su dominio, que es D h D { R 0 } D { R } D R f ; g : Es decir, h es continua en los intervalos. ; / ;. ; /.; C/ :. Si consideramos que ˇ./ D p & ˇ./ D, podemos afirmar que.ˇ ı ˇ/./ D ˇ./. Y debido a que ˇ & ˇ son funciones continuas en todo R, entonces ˇ (por ser una composición de funciones continuas) es continua en todo R. 5. El dominio de./ D p es D D { R 0 } D { R 0 } D { R 0 } : La función es continua en D D. ; 0. Puede considerarse como una composición de funciones continuas: compuesta con p. 6. El dominio de la función ı./ D p C 5 es D ı D { R C 5 0 & 0 } D D { R 5 &. C /. / 0 } D { D Œ 5; C/ R. C /. / D 0 } D D Œ 5; C/ f ; 0; g : La función ı es continua en los intervalos Œ 5; / ;. ; 0/ ;.0; /.; C/ :

3 . Continuidad en intervalos Ejemplo.. Dada la función f./ D 6, obtener: H. Dominio, raíces e intervalos de continuidad.. Discontinuidades su clasificación.. Asíntotas verticales horizontales.. Un bosquejo de la gráfica.. Por ser f una función racional, es continua en todo su dominio. Éste es: D f D R { R D 0 } D R { R D } D R f ; g : Es decir, f es continua en los intervalos Raíces:. ; / ;. ; /.; C/ :. C /. / f./ D 0, D 0, C D 0 o bien D 0,, D o bien D : Pero debido a que D 6 D f, entonces D no puede ser raíz. Por lo tanto f tiene sólo una raíz que es D.. La función f es discontinua en D en D. Para clasificar estan discontinuidades debemos indagar la eistencia de los ites: f./ & f./.!! a. En D 6 f./ D!! D!. C /. / D!. /. C / D D D 5 D 5 ) ) f./ D 5! ) f./ sí eiste.! Entonces f tiene en D una discontinuidad removible o evitable. Cómo remover o evitar la discontinuidad en D? Obtenemos que D f que f./ D 5. Concluimos que la curva D f./ tiene (! una interrupción en el punto ; 5 ) (. Es decir, el punto ; 5 ) no pertenece a la curva. La discontinuidad se remueve o se evita definiendo f. / D 5.

4 Cálculo Diferencial e Integral I b. En D 6 f./ D!! D! : Como!. / D D 0 &!. / D D, podemos asegurar que! f./ D! f./ D! C! C D D ( ) D C; 0 ( ) D : Por lo tanto,! f./ no eiste. Luego, f tiene en D una discontinuidad esencial infinita.. Podemos asegurar entonces que la recta D es una asíntota vertical además es la única. Para hallar las asíntotas horizontales calculamos: 6 f./ D!! D! 6 0 C ( D! D D : ( Entonces, f tiene sólo una asíntota horizontal que es la recta D. ) 6 ) D. Un bosquejo de la gráfica de f es D f./ D Ejemplo.. Dada la función f./ D C :

5 5. Continuidad en intervalos 5. Obtenga su dominio sus raíces.. Determinar los intervalos de continuidad clasificar sus discontinuidades.. Dé las ecuaciones de sus asíntotas horizontales verticales.. En base a la información obtenida en los incisos anteriores haga un bosquejo de la gráfica de f. H. Dominio: D f D R f R j D 0g. D. / D. /. C / D 0, D 0; D ; entonces D f D R f0; g : Las raíces deberían ser los puntos donde C D 0 ; sin embargo C D. / es cero solamente si D, pero 6 D f. Entonces, la función f./ no tiene raíces.. La función f./ es continua en todo su dominio. En D 0 tiene una discontinuidad infinita pues f./ D!0!0 C D!0. /. /. C / D!0. C / D : Así D 0 es una asíntota vertical. En D también tiene una discontinuidad infinita, pues f./ D!!. /. /. C / D! D ; e igualmente. C / D también es una asíntota vertical; pero en D la discontinuidad es removible pues f./ D!!. /. /. C / D!. C / D 0 D 0 : Obsérvese que la función f podría ser continua en D, al definir f./ D 0.. En el inciso anterior vimos que D 0 que D son asíntotas verticales.

6 6 6 Cálculo Diferencial e Integral I Para hallar las asíntotas horizontales calculamos ( C C ) f./ D D ) D!!! ( D! Entonces D 0 es asíntota horizontal.. El bosquejo de la gráfica de la función f es: C D 0 0 C 0 0 D 0 D 0 : D f./ Ejemplo.. Determinar los valores de las constantes a, b R para que la función h definida por { C si 6 Œ ; I h./ D a C b si Œ ; ; sea continua en todos los reales. H La función h./ es continua en todos los reales ecepto posiblemente en D & D. Para que la función sea continua en D se debe cumplir que: por lo que! )! h./ D h. /;! h./ D h./ )! C. C / D.a C b/ )! C ) C D a b I

7 7. Continuidad en intervalos 7 o sea, a b D I para que sea continua en D se debe cumplir que: por lo que h./ D h./;!! h./ D h./ )! C )!.a C b/ D. C / )! C ) a C b D C ; o sea, a C b D 5 : Así para que h./ tenga ite en D en D se deben cumplir las condiciones a b D I a C b D 5 : Éste es un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Sumando las ecuaciones obtenemos: 8a D ) a D : Sustituendo este valor en la primera ecuación, tenemos ( ) b D b D ) b D C D ) b D : Con estos valores de a, b la función que resulta es C si < I h./ D C si Œ ; I C si > ; cua gráfica es

8 8 8 Cálculo Diferencial e Integral I 5 D h./ Por la forma en que ha sido construida la gráfica se cumple que: Además h./ D & h./ D 5 :!! h. / D. / C. / D D & h./ D h. / ) h./ es continua en D I! h./ D./ C./ D C D 5 &! h./ D h./ ) h./ es continua en D : Ejemplo..5 A partir de la gráfica de una función f D f./ obtener lo que se solicita a continuación:. Los intervalos de continuidad de la función f.. Las ecuaciones de las asíntotas de f.. Los ites siguientes:

9 9. Continuidad en intervalos 9 a. f./;! b. f./;! C c. f./;!0 d. f./;! e. f./;! C f. f./;! g.! f./. H. La función f es continua en:. ; /, Œ ; 0/,.0; / en Œ; /.. La asíntota vertical es D la horizontal es D.. a. f./ D ;! b. f./ D ;! C c. f./ D ;!0 d.! f./ D ; e.! C f./ D 0; f.! f./ D ; g.! f./ D. Ejemplo..6 Para la curva D f./ D, obtener: dominio, raíces paridad; intervalos de continuidad, discontinuidades su clasificación; asíntotas verticales horizontales. H Dominio: D D { R 6D 0 } D { R. C /. / 6D 0 } D R f g. Raíz: D 0 cuando D 0. Es par, pues. /. / D. Como es una función racional es continua en todo su dominio discontinua en D donde tiene discontinuidades infinitas a que: f./ D!!. C /. / D &! Comprobamos por esto que D son asíntotas verticales como. C /. / D : tenemos que D f./ D!! es asíntota horizontal. D D ; Funciones continuas en intervalos cerrados Las funciones continuas en intervalos cerrados tienen algunas propiedades importantes las cuales iremos viendo paulatinamente.

10 0 0 Cálculo Diferencial e Integral I Teorema del Valor Intermedio. Sea f una función continua en cierto intervalo I sean a, b números en I. Si 0 es un número que está entre f.a/ & f.b/ entonces eiste al menos un 0 entre a & b tal que f. 0 / D 0. Ejemplo..7 Usar el teorema del Valor Intermedio para probar que la curva D C interseca con la recta D 6 en el intervalo Œ;. C se H La función polinomial f./ D C C es continua en todo R, por lo tanto es continua en el intervalo Œ;. Además, f./ D C C D también f./ D C C D : Como 0 D 6 está entre D f./ & D f./, entonces, por el teorema del Valor Intermedio, eiste al menos un 0.; / tal que f. 0 / D 6. Como esto sucede, las curvas D C C & D 6 se intersecan. D f./ D f./ 6 D f. 0 / D 6 D f./ 0 Nota: al intersecarse las curvas D C C & D 6 sucede que C C D 6, C C 6 D 0, C 5 D 0 : Igualdad que se cumple cuando es solución de la ecuación C 5 D 0 o bien cuando es raíz de la función g./ D C 5. El teorema de Valor Intermedio garantiza la eistencia de ceros o raíces de funciones continuas: Si f es continua en Œa; b & f.a/ f.b/ < 0, es decir, si f.a/ & f.b/ tienen signos diferentes [0 está entonces entre f.a/ f.b/], eiste una raíz c.a; b/ de f, esto es, f.c/ D 0.

11 . Continuidad en intervalos Ejemplo..8 Mostrar que la ecuación C 9 D 0 tiene al menos una solución en el intervalo Œ;. H La función polinomial g./ D C 9 es continua en todo R por lo tanto es continua en el intervalo Œ;. g./ D./ C 9 D 7 & g./ D./ C 9 D 9 : Como g./ D 7 < 0 como g./ D 9 > 0, entonces 0 D 0 está entre g./ & g./. Por lo tanto por el teorema del Valor Intermedio eiste al menos un 0.; / tal que g. 0 / D 0. Entonces, en el intervalo.; / eiste al menos una solución de la ecuación: C 9 D 0. 9 D g./ 0 7 También, por el teorema del Valor Intermedio, si una función continua en un intervalo cerrado no tiene raíces en él, entonces f./ > 0 para toda en el intervalo o bien f./ < 0 para toda en el intervalo. Ejemplo..9 Aplicación del teorema del Valor Intermedio a la función f./ D a C b C c. H La función cuadrática f./ D a C b C c es continua en R. Si b ac < 0, la función no tiene raíces en R, luego f./ > 0 o bien f./ < 0 en R, como habíamos adelantado a. Basta evaluar la cuadráticas en un punto, para conocer su signo en todos los reales. Por ejemplo en D 0.. f.0/ D c > 0, entonces f./ > 0 para R.

12 Cálculo Diferencial e Integral I. f.0/ D c < 0, entonces f./ < 0 para R. Asimismo entre dos raíces consecutivas de una función polinomial la función es positiva siempre o bien es negativa siempre. Igualmente, una función polinomial de grado impar tiene al menos una raíz real. En efecto: f./ D a 0 n C a n C a n C C a n C a n D ( D n a 0 C a C a C C a n C a ) n : n n Cuando! C o bien!, el segundo factor tiende a a 0 0. Tenemos que:.!c f./ tiene el mismo signo que a 0, luego ha puntos donde f./ tiene el mismo signo que a 0.. Por otro lado,! f./ tiene el signo contrario al de a 0, luego también ha puntos donde f./ tiene el signo contrario al de a 0. Por lo que entre ambos tipos de puntos por lo menos ha una raíz real. Ejemplo..0 Demostrar que la ecuación 5 C 5 6 D 0 tiene al menos una solución real. H La función polinomial g./ D 5 C 5 6 es continua en toda la recta real. Y considerando que g./ D 5 C 5 6 D ( 5 C 5 ) 6 I ( ) 5! 5 D &!!C 5 D C & Podemos afirmar lo que sigue: (. g./ D [ 5!!!C ( C 5 )] 6 D. 5 C C D > 0I ) D > 0 : Y se puede asegurar entonces la eistencia de un número a < 0 tal que g.a/ < 0. (. g./ D [ 5!C!C C 5 )] 6 D C. 5 Eiste entonces un número b > 0 tal que g.b/ > 0.

13 . Continuidad en intervalos. Como g.a/ < 0 como g.b/ > 0, entonces 0 D 0 está entre g.a/ & g.b/. Por lo tanto, por el teorema del Valor Intermedio, eiste al menos un a < 0 < b tal que g. 0 / D 0. Entonces, eiste al menos una solución real de la ecuación 5 C 5 6 D 0. Este mismo resultado también se puede obtener directamente observando que: g.0/ D 6 < 0 & g./ D 8 > 0 I luego, 5 C 5 6 D 0 tiene al menos una solución 0 entre 0. 8 D g./ 6 0 Ejemplo.. Verifique que la ecuación C de longitud / que contenga dicha raíz. D 0 tiene una raíz entre 0. Proporcione un intervalo H La función f./ D C es continua en R en particular en Œ0;. Se tiene que f.0/ D < 0 que f./ D > 0, por lo que en el intervalo.0; / la función f tiene al menos una raíz, según el teorema del Valor Intermedio. Además ( ) ( ) f D C D 8 C D 8 < 0: ( ) Por lo que f./ tiene una raíz en el intervalo ;. Por otro lado ( ) D ( ) C f D 7 6 C D 6 > 0: ( Por lo tanto f./ tiene una raíz c en el intervalo ; ) que es de longitud.

14 Cálculo Diferencial e Integral I Ejemplo.. Sea f W Œ ;! R la función definida por f./ D 8 98 C 87 C C 85 7 : Evalúe f. /, f. /, f.0/, f./, f./. Cuántas raíces reales tiene al menos el polinomio f./ en el intervalo Œ ;? H Evaluando tenemos que. f. / D 9 00I. f. / D 890I. f.0/ D 8I. f./ D 68I 5. f./ D 8 78: Ya que f es una función continua en todo R, por ser polinomial, entonces f es continua en el intervalo Œ ;. Por ser f. / < 0, f. / < 0, f.0/ > 0, f./ < 0 & f./ > 0, según el teorema del Valor Intermedio, la función f tiene al menos una raíz en los intervalos. ; 0/,.0; / &.; /. Luego la función f tiene al menos raíces reales en el intervalo Œ ;. Teorema de los Valores Etremos. Si f W Œa; b! R es una función continua, entonces: Eisten c & d Œa; b tales que f.c/ f./ f.d/ para Œa; b. Por el teorema de los Valores Etremos el teorema del Valor Intermedio, tenemos que el rango de una función continua definida en un intervalo cerrado es otro intervalo cerrado, a saber, Œf.c/; f.d/. Máimo valor de f./ D f./ f.d/ a c d b f./ Œf.c/; f.d/ Mínimo valor de f./ f.c/ Ejercicios.. Soluciones en la página??

15 5. Continuidad en intervalos 5. Sea f./ D 5 C 7 9; demuestre que ha, al menos, un número a entre 0 & 0 tal que f.a/ D El costo de fabricación de q automóviles eléctricos, en miles de pesos, es de C.q/ D 5q C q C I mientras que el ingreso, también en miles de pesos, es de I.q/ D q 5q : Demostrar que eiste un valor entre & 0, de la variable q, donde la fábrica ni gana ni pierde.. Sea f : Œ;! R la función definida por f./ D 0 : Eiste un punto a Œ; tal que f.a/ D 5? Justifique su respuesta.. La temperatura T (en ı C) a la que el agua hierve está dada por la fórmula T.h/ D 00:86 0:05 p h C :0 ; donde h es la altura sobre el nivel del mar (medida en metros). Use el teorema del Valor Intermedio diga si entre los metros sobre el nivel del mar ha una altitud a la cual hierve a 98 ı C. Justifique su respuesta. 5. Verifique que la ecuación C D 0 tiene una raíz entre 0 &. Dé un intervalo de longitud que contenga a dicha raíz. 6. Determinar un intervalo de longitud 0:5 que contenga a una raíz de la ecuación CC D Dada la función f./ D { C si < 0I. C / si 0 : a. Calcular f. / & f./. b. Eiste c. ; / tal que f.c/ D 0? 8. Sea el polinomio p./ D C : Aproime en el intervalo Œ; una raíz del polinomio con error menor que. 9. Sea f W R! R una función continua tal que f. 0/ D, f. / D, f./ D 0, f./ D 8 que f./ D 5. Determine el número de raíces que, al menos, tiene la función f en qué intervalos se encuentran. 0. Verifique que la ecuación D 0 tiene una raíz real en el intervalo Œ; determine un intervalo de longitud = que contenga a dicha raíz.. Determine un intervalo de longitud = en el que la ecuación C D 0 tenga una raíz.

16 6 6 Cálculo Diferencial e Integral I. Considere la función f : R! R definida por f./ D 6 6 C tiene al menos una raíz positiva otra negativa. : Pruebe que esa función. Encuentre un intervalo en donde la función h./ D 5 7 C tiene una raíz.. Un polinomio pasa por los puntos. 5; 0/,.; /.7; /. Cuántas raíces tiene como mínimo? Justifique su respuesta. 5. Muestre que la función h./ D 5 C 5 tiene al menos una raíz en los números reales. 6. Halle un intervalo de longitud no maor que 0. donde se encuentre una raíz del polinomio:./ D C 6 60 C : 7. Dada la función f./ D 5 C, verifique que eiste un número c tal que f.c/ D 0. Es decir, justifique que la función tiene una raíz. 8. Dada la función f./ D C C ; obtener un intervalo en donde la función tenga al menos una raíz. Justifique su respuesta. 9. Considere la función determinar: si 6D 6D I g./ D 6 C 8 si D I a. Dominio raíces. b. Intervalos de continuidad clasificación de discontinuidades. c. Ecuaciones de las asíntotas verticales horizontales. d. Bosquejo gráfico. 0. Considere la función: determine: si 6D I g./ D si D I a. Dominio raíces. b. Intervalos de continuidad clasificación de sus discontinuidades. c. Ecuaciones de sus asíntotas verticales horizontales. d. Bosquejo gráfico.. Para la función f./ D C, determine: a. Los puntos de discontinuidad su clasificación. b. Los intervalos de continuidad.

17 7. Continuidad en intervalos 7 c. Las asíntotas verticales horizontales. d. Por último esboce su gráfica.. Considere la función g./ D C : a. Obtener las ecuaciones de las asíntotas horizontales verticales de esta función g. b. Encontrar el dominio, las raíces los intervalos de continuidad de la función. c. Bosquejar su gráfica.. Sea la función f./ D 5 C C. a. Determinar dominio raíces. b. Hallar intervalos de continuidad clasificar las discontinuidades. c. Encontrar las ecuaciones de las asíntotas horizontales verticales. d. En base a lo anterior, hacer el esbozo gráfico de f.. Sea la función g./ D C. Encuentre: raíces, discontinuidades su clasificación, 8 C 5 asíntotas e intervalos de continuidad. Bosqueje su gráfica. 5. Considere la función f./ D C C 7 C : a. Proporcione dominio, raíces e intervalos de continuidad. b. Determine las ecuaciones de las asíntotas horizontales verticales. c. Haga un esbozo gráfico de la función f. 6. Considere la función f./ D C a. Proporcione dominio, raíces e intervalos de continuidad de la función f. : b. Obtenga las ecuaciones de las asíntotas verticales horizontales de la función f. c. Dibuje la gráfica halle el rango de la función f. 7. Sea f./ D 6 C C, hallar: a. Dominio raíces. b. Intervalos de continuidad, clasificando las discontinuidades. c. Ecuaciones de las asíntotas horizontales verticales. d. Esbozo gráfico de f. 8. Considere la función f./ D 9.

18 8 8 Cálculo Diferencial e Integral I a. Proporcione dominio, raíces e intervalos de continuidad de la función f. b. Obtenga las ecuaciones de las asíntotas verticales horizontales de la función f. c. Dibuje la gráfica halle la imagen de la función f. 9. Considere la función h./ D 8 5 : a. Obtener el dominio, raíces e intervalos de continuidad. b. Hallar las ecuaciones de las asíntotas horizontales verticales. c. Bosquejar la gráfica de la función h. 0. De la función f./ D C 7 C 0, encontrar: a. Dominio, raíces, puntos de discontinuidad su clasificación. b. Las ecuaciones de las asíntotas verticales horizontales. c. El bosquejo de su gráfica.. De la función f./ D 6 C C, encontrar: a. Dominio, raíces, puntos de discontinuidad su clasificación. b. Las ecuaciones de las asíntotas verticales horizontales. c. El bosquejo de su gráfica.. Para la función f./ D C C, determinar: a. Dominio, raíces e intervalos de continuidad. b. Discontinuidades su clasificación. c. Asíntotas verticales horizontales. d. Un esbozo de la gráfica.. Para la función f./ D a. Dominio, raíces paridad. ; determine: b. Ecuaciones de las asíntotas verticales de las asíntotas horizontales. c. Discontinuidades su clasificación. d. Esbozo gráfico rango.. Para la función f./ D, determine: a. Los puntos de discontinuidad su clasificación. b. Las ecuaciones de las asíntotas verticales horizontales.

19 9. Continuidad en intervalos 9 c. Un esbozo de la gráfica. 5. Dada f./ D C C. a. Determinar su dominio sus raíces. b. Clasifique sus puntos de discontinuidad. c. Encuentre las ecuaciones de sus asíntotas horizontales verticales. d. Haga un bosquejo de su gráfica. 6. Para la función f./ D, obtener: a. Dominio puntos de intersección con el eje. b. Intervalos de continuidad. c. Ecuaciones de las asíntotas verticales horizontales. d. Bosquejo gráfico. 7. Sea la función f./ D C. Encontrar el dominio las raíces, clasificar sus discontinuidades, encontrar sus asíntotas verticales horizontales hacer un bosquejo de la gráfica. 8. Para la función f./ D C 6 C C, determine: a. Dominio raíces. b. Intervalos de continuidad. Puntos de discontinuidad su clasificación. c. Asíntotas verticales horizontales. d. Esbozo gráfico rango. 9. Para la función f./ D C, determine: a. Dominio raíces. b. Puntos de discontinuidad su clasificación. c. Asíntotas verticales horizontales. d. Esbozo gráfico de f. 0. Para la función f./ D C 6 C 5 C 6, determinar: Dominio raíces; intervalos de continuidad tipo de discontinuidades; asíntotas verticales horizontales; dibujar la gráfica.. Para la función f./ D C, determine:

20 0 0 Cálculo Diferencial e Integral I a. Dominio, raíces paridad. b. Clasificación de discontinuidades. c. Ecuaciones de las asíntotas verticales horizontales. d. Esbozo gráfico rango de f.. Para la función f./ D C 8, determinar: dominio raíces; intervalos de continuidad tipo de discontinuidades; asíntotas verticales horizontales; su gráfica.. Sea la función f./ D C : Encontrar el dominio las raíces; clasificar sus discontinuidades, encontrar sus asíntotas verticales horizontales; además hacer un bosquejo de la gráfica.. Para la función f./ D 8, realice lo siguiente: a. Determine su dominio raíces. b. Mencione sus tipos de discontinuidad. c. Encuentre las ecuaciones de las asíntotas horizontales verticales. d. Haga un esbozo de la gráfica de f. 5. Para la curva D, obtener: dominio, raíces paridad; intervalos de continuidad, discontinuidades su clasificación; asíntotas verticales horizontales. 6. Dada la función f./ D C 7 C 6 C ; obtenga: Dominio raíces; intervalos de continuidad puntos de discontinuidad (clasificados); asíntotas verticales horizontales. 7. Hallar dónde es continua la función p C p si ; 0I h./ D 5 si D : 8. Si la representación gráfica de una función f es:

21 . Continuidad en intervalos D f./ 6 a. Hallar su dominio. b. Encontrar además los siguientes ites: i. f./;!c ii. f./i! iii. iv.!a f./; f./;!a C v.!a f./. Para a D, 0. c. Obtener las asíntotas horizontales verticales, los intervalos de continuidad la clasificación de las discontinuidades 9. a. Dar una posible gráfica para una función f que sea continua en su dominio R f ; 0; g que satisfaga las condiciones: i. f./ D 0I! ii. iii.!c! f./ D CI f./ D I iv. f./ D I! C f./ D CI v.!0 vi. f./ D I!0 C vii. f./ D 0I! viii. f./ D I! i. f./ D 0: b. Clasifique sus discontinuidades.

22 Cálculo Diferencial e Integral I Ejercicios.. Continuidad en intervalos, página??. f.0/ D 9 ; f.0/ D 56; eiste a.0; 0/, tal que f.a/ D La ganancia de la fábrica cuando se fabrican q automóviles: G.q/ D q 5q q 5q ; G./ D 00 G.0/ D 66; eiste q Œ; 0 tal que G.q/ D 0.. Eiste al menos un punto a.; / tal que f.a/ D 5.. Eiste h. 000; 500/ tal que T.h/ D 98 ı C. ( 5. La raíz podría estar en ; ) ; 6. este intervalo tiene longitud D. ( ) ;. 7. a. f. / D 6; f./ D 6; b. no eiste tal c. 8. Éste es uno de los posibles intervalos: Œ:6; :8. 9. La función f tiene al menos tres raíces en. 0; /. 0. f./ < 0 f./ > 0, eiste al menos un c.; / tal que f.c/ D 0; [ en ; 9 ] de longitud eiste al menos una. raíz. [ ; ].. f.0/ D < 0I f./ D > 0; entre 0 eiste una raíz; entre 0 ha otra raíz.. Entre 0 eiste una raíz de la función.. Entre 7 la función tiene al menos una raíz. 5. Eiste una valor c.0; / tal que f.c/ D ( 8 ; ) ; /. 8. Œ ; a. D g D R f g. No tiene raíces; b. en D g./ tiene una discontinuidad removible; en D g./ tiene una discontinuidad esencial infinita; g./ es continua en R f ; g D. ; /.; /.; C/; c. D es una asíntota vertical; d. D 0 es una asíntota horizontal. D g./ 0. a. D g D R ; g./ no tiene raíces; b. ha una discontinuidad removible en D ; la función es continua en R f g; c. la función no tiene asíntotas verticales; D es asíntota horizontal.

23 . Continuidad en intervalos d. c. D g./ D g./. a. f./ no es continua en D ni en D ; en D ha una discontinuidad esencial; ha una discontinuidad re- en D movible; b. f./ es continua en. ; / [. ; / [.; /; c. D es una asíntota horizontal; d. D es una asíntota vertical.. a. D f D R f ; g; f tiene sólo una raíz, que es D ; b. f es continua en. ; /. ; /.; C/; f tiene en D una discontinuidad removible; una discontinuidad es- f tiene en D encial infinita; c. la recta D es una asíntota vertical; d. la recta D es una asíntota horizontal de f. D f./ D f./. a. La recta D es asíntota horizontal; las rectas D & D son asíntotas verticales; b. D g D R f g; no tiene raíces; g es continua en. ; /. ; /.; C/.. La única raíz de g./ es D ; g./ es continua en. ; /.; 5/.5; C/; la discontinuidad en D es removible; en D 5 la discontinuidad es esencial; D 5 es asíntota vertical; D es asíntota horizontal;

24 & %$ #"! Cálculo Diferencial e Integral I la gráfica es: c. D g./ ; «5 7 D f./ 5. a. D f D R f ; g; raíces: D ; la función es continua en todo su dominio; eiste una discontinuidad removible en D una discontinuidad esencial (infinita) en D ; b. D es una asíntota horizontal; c. la ecuación de la asíntota vertical es D. D f./ 5 R f D R f g. 7. a. D f D R { ; 0; } ; la única raíz de f es D ; b. intervalos ( de continuidad:. ; /,. ; 0/, 0; ) ( ) ; C ; la discontinuidad en D es infinita; la discontinuidad en D 0 es removible; la discontinuidad en D también es removible; c. la única asíntota vertical es la recta D ; d. D es la única asíntota horizontal. 0; «D f./ ; 9 «5 6. a. D f D R f ; g; f tiene sólo una raíz: D ; f es continua en. ; /. ; /.; /; b. la recta D es la única asíntota vertical; la recta D es la única asíntota horizontal; 8. a. D f D R f ; g; sólo ha una raíz: D ; es continua en todo su dominio; D f D. ; /. ; /.; C/; b. D es una asíntota vertical; D es una asíntota horizontal;

25 , +* ) ('.- / 0 / 5. Continuidad en intervalos 5 c. en D se tiene una discontinuidad removible; D f./ en D se tiene una discontinuidad esencial infinita; b. D es una asíntota horizontal; D es una asíntota vertical. R f D R f g. 5 D f./ 9. a. D h D R f 5; 5g; raíces: D ; h es continua en. ; 5/ [. 5; 5/ [.5; /; b. D 5 & D 5 son asíntotas verticales; c. la recta D es la única asíntota horizontal. 5 5 D h./ 0. a. D f D R f5; g; la raíz es: D 6; en D ha una discontinuidad removible; en D 5 ha una discontinuidad esencial infinita; b. D es una asíntota horizontal; D 5 es una asíntota vertical.. a. D f D R f ; g; D es la única raíz de f./; f./ es continua en su dominio: D f D. ; /. ; /.; /; b. en D la función tiene una discontinuidad infinita; c. D es la única asíntota vertical de la función; d. D es asíntota horizontal. D f./ D f./ a. D f D R f0g; raíces: D ; es impar; b. D 0 es asíntota vertical; D 0 es asíntota horizontal;. a. D f D R f ; g; raíces: D ; c. en D 0 la discontinuidad es infinita.

26 6 8 5 ;: < 6 Cálculo Diferencial e Integral I d. D f./ b. en. ; /. ; /.; C/ f./ es continua; c. D D son asíntotas verticales; d. D es asíntota horizontal. El rango de f es R.. a. En D ha una discontinuidad removible; en D 0 ha una discontinuidad infinita; b. D 0 es una asíntota vertical; c. D es la asíntota horizontal. D f./ D f./ 7. D f D R f0; g; la única raíz de f es D ; f es continua en su dominio; en D 0 la discontinuidad es infinita en D es removible; D 0 es una asíntota vertical; D 0 es asíntota horizontal. 5. a. D f D R f ; g; la raíz es D ; b. en D ha una discontinuidad infinita; en D la discontinuidad es removible; c. D es la asíntota vertical; d. D es la asíntota horizontal a. D f D R f g; ; 5 «D f./ la gráfica interseca al eje cuando D ; 6 D f./ 8. a. D f D R f ; g; f tiene una raíz: D ; b. f es continua en. ; /,. ; / en. ; C/; f tiene discontinuidades en D D ; una discontinuidad re- f tiene en D movible; una discontinuidad es- f tiene en D encial; en c. D es una asíntota vertical es la única; D es la única asíntota horizontal de f.

27 >= B? DC 7. Continuidad en intervalos 7 d. D f./ 5 D D es una asíntota horizontal. D f./ 6 0 El rango es R f D R { ; 5 }. 9. a. D f D R f ; g; la raíz de f es D ; b. f tiene discontinuidades en D en D ; en D f tiene una discontinuidad removible; f tiene en D una discontinuidad esencial infinita; c. D es una asíntota vertical; D es una asíntota horizontal.. a. D f D R f0g; raíz D ; f no es par ni impar; b. f es continua en. ; 0/.0; C/; f tiene una discontinuidad en D 0, esencial; c. D 0 es una asíntota vertical; D 0 es una asíntota horizontal; d. El rango de f es R. d. D f./ ; «D f./. D f D R f g; 0. D f D R f ; g; f tiene sólo una raíz: D 0; f es continua en. ; /. ; /. ; C/; la única raíz de f es D ; la función es continua en. ; /. ; /.; C/; la discontinuidad en D es removible; la discontinuidad en D es esencial; la discontinuidad en D es esencial infinita; la recta D es una asíntota vertical; D es una asíntota vertical; la discontinuidad en D es removible;

28 8 HG HG FE I KJ 8 Cálculo Diferencial e Integral I la recta D es asíntota horizontal. d. ; «D f./ D f./. D f D R f 0; g; D es raíz; f es discontinua en D 0 en D ; f tiene en D 0 una discontinuidad removible; f tiene en D una discontinuidad esencial infinita; D es una asíntota vertical; D es una asíntota horizontal. 5. D f D R f ; g; raíz: D 0; f es una función par; f es continua en. ; /. ; /.; C/; f tiene dos discontinuidades, D & D. Son esenciales; D D son asíntotas verticales; D es una asíntota horizontal. 6. D f D R { } ; ; la función es continua en su dominio; ( ) ( ) D f D ; ;.; C/; D f./ es discontinua en D en D ; en D la discontinuidad es removible; la discontinuidad en D es esencial infinita; D es asíntota vertical; D es asíntota horizontal.. a. D f D R f g; la única raíz es D 0; b. la función es discontinua en D en D ; en D eiste una discontinuidad removible; la discontinuidad en D infinita; c. D es una asíntota vertical; D es una asíntota horizontal. es esencial 7. h./ es continua en todo su dominio: Œ0; C/. 8. a. D f D R f0; g; b. f./ D 0; f./ D I!! f./ D ; f./ D 6;!! C!!0!0!! f./ no eiste; f./ D ; f./ D!0 C ; f./ D ; f./ D C; f./ D! C ; f./ no eiste;

29 NM L 9. Continuidad en intervalos 9 c. D 0 es la única asíntota horizontal; 9. D es la única asíntota vertical; MNMN la función f./ es continua en. ;. ; 0/,.0; / en.; C/;, en D ha una discontinuidad (esencial) de salto; en D 0 la discontinuidad es removible; en D la discontinuidad también es esencial infinita. en D salto; ha una discontinuidad esencial de en D 0 ha una discontinuidad esencial infinita; en D ha una discontinuidad removible.