APLICACIONES LINEALES.

Transcripción

1 APLICACIONES LINEALES. INTODUCCIÓN: APLICACIONES ENTE CONJUNTOS. Ua aplicació etre dos cojutos A y B es ua regla que permite asigar a cada elemeto de A, uo de B. La aplicació del cojuto A e el cojuto B se idica mediate : A B o bie A B. El cojuto A se llama cojuto iicial, y el B cojuto ial. Si la aplicació asiga al elemeto a A el elemeto b B, diremos que b es la image de a, lo que se deota por (a) = b. La regla ha de estar iequívocamete deiida, de modo que para todos y cada uo de los elemetos de A, esté claro qué elemeto de B es su image. Clasiicació de las aplicacioes: Se dice que ua aplicació es iyectiva si o hay dos elemetos que tega imágees iguales. Ua aplicació iyectiva crea ua copia de A detro de B. Se dice que ua aplicació es suprayectiva (o sobreyectiva) si todos los elemetos del cojuto ial B ha sido utilizados. Se dice que ua aplicació es biyectiva si es a la vez iyectiva y suprayectiva. Ua aplicació biyectiva establece ua igualdad etre los cojutos A y B, pues a cada elemeto de A le correspode uo de B, y a cada elemeto de B, exactamete uo de A. Si es biyectiva existe su iversa, deotada 1 : A B, que deshace lo hecho por. Ejemplos: 1. La aplicació del cojuto de la població española mayor de edad e el cojuto de los úmeros aturales, que asiga a cada ciudadao su úmero de DNI. Es iyectiva, pues o hay dos persoas co el mismo DNI. No es suprayectiva, pues o todos los úmeros se utiliza.. La aplicació del cojuto de los úmeros reales e el cojuto de los reales positivos, + que asiga a cada úmero su cuadrado: x x No es iyectiva, pues hay úmeros co el mismo cuadrado (p.ej. y ). Es suprayectiva, pues todos los reales positivos so el cuadrado de algú úmero. E este capítulo deiiremos aplicacioes etre espacios vectoriales. Neila Campos ÁLGEBA LINEAL Aplicacioes Lieales 1

2 APLICACIONES LINEALES. POPIEDADES Deiició: Aplicació lieal Dados dos espacios vectoriales V y W, y dada ua aplicació : V W, diremos que es lieal si coserva las combiacioes lieales, es decir: dada ua combiació lieal etre vectores de V, sus imágees e W veriica la misma combiació: si u = α v+ β w (e V) etoces u = α v + β w (e W) dode u, v, w so respectivamete las imágees de u, v, w. Esto se puede expresar tambié así: (1) (α v+ β w) = α (v) + β (w) para v, w V ( La image de ua combiació lieal, es la combiació lieal de las imágees. ) Tambié es equivalete a airmar que se coserva la suma y el producto por escalares: () (a) (v+ w) = (v) + (w) para v, w V (b) (α v) = α (v) para v V, α escalar. Por tato, a la hora de probar si ua aplicació es lieal, podemos utilizar idistitamete (1) o (). Las aplicacioes lieales tambié se puede llamar homomorismos. Puede tambié deiirse aplicacioes e subespacios vectoriales, pues éstos ucioa como espacios vectoriales. Por ejemplo, S={(α, α) : α } es u subespacio de y e él podemos deiir la aplicació lieal S ( α, α) ( α,4 α,5 α) Ejemplos. 1. Cosideremos la siguiete aplicació de e y veamos si es lieal: (x,y,z) (x, z) Vamos a comprobar que se cumple la airmació () aterior. (a): Veamos que (v+ w) = (v) + (w) para cualesquiera v, w : Sea dos vectores geéricos de, v=(a,b,c), w= (a, b, c ), etoces (v + w) = ( (a,b,c) + (a, b, c ) ) = (a+a, b+b, c+c ) = ( (a+a ), c+c ) (v) + (w) = (a,b,c) + (a,b,c ) = (a, c) + (a', c ) = ( a+a, c+c ) so iguales. Neila Campos ÁLGEBA LINEAL Aplicacioes Lieales

3 (b): Veamos que (α v) = α (v) para cualesquiera v Sea u vector geérico v=(a,b,c) de α (v) = α (a,b,c) = α (a, c) = (α a, α c) (α v) = (α (a,b,c)) = (α a, α b, α c) = (α a, α c), α escalar. y u escalar α, etoces: so iguales. Como (a) y (b) se cumple para vectores geéricos, cocluimos que la aplicació es lieal. 4. Veamos ahora la siguiete aplicació de e : g 4 (x,y) (x, y, x+y,1 ) Si ecotramos u caso cocreto e que o se cumpla (a) o (b), la aplicació ya o será lieal. E eecto, (1,0) (1,0,1,1) (,0) (,0,,1) Por tato g o es lieal. Al multiplicar u vector por, su image o ha quedado multiplicada por. Por su importacia o sigiicado geométrico, destacamos alguas aplicacioes lieales: 1. Aplicació idetidad: de u espacio vectorial e sí mismo. Asiga a cada vector el mismo vector. V u id V u. Aplicació ula: etre dos espacios vectoriales V y W, asiga a todo vector de V el vector cero de W. V W u 0. Giros: puede hacerse e el plao o el espacio ( ó ). Por ejemplo la siguiete aplicació e hace girar a todos los vectores del plao 45º e setido atihorario: (x,y) ( x- y, x+ y ) 4. elexioes o simetrías: e el espacio podemos relejar los vectores como e u espejo, respecto a u plao dado. E el plao podemos hacerlo respecto a ua recta. Por ejemplo, la siguiete aplicació es ua simetría e, respecto del plao XZ. (x,y,z) (x,- y,z) Neila Campos ÁLGEBA LINEAL Aplicacioes Lieales

4 5. Homotecias: Multiplica los vectores por u cierto escalar (el mismo para todos los vectores). Si el escalar es mayor que 1, se trata de ua dilatació, mietras que si es meor que 1 se trata de ua cotracció. La siguiete homotecia puede represetar la dilatació del 1% de ua lámia de metal bajo el eecto del calor: (x,y) (1.01x, 1.01y) 6. Proyeccioes: So aplicacioes que lleva todos los vectores del espacio a u cierto plao, sobre el que proyectamos. La siguiete aplicació trasorma cualquier pieza tridimesioal e su vista e alzado (proyecció sobre el plao XZ). (x,y,z) (x,0,z) Propiedad: Si : V W es ua aplicació lieal, la image del vector cero de V siempre es el vector cero de W. Demostració: Deotemos por 0 V y 0 W el vector cero de V y de W respectivamete. Etoces, partiedo de cualquier vector v V, teemos: ( 0 V ) = ( v v) = (v) (v) = 0W Observació. Esta propiedad puede utilizarse para probar que ua aplicació o es lieal, pues si o cumple esta propiedad o podrá serlo. (Si la cumple, podrá ser lieal o o.) Teorema: Trasormació de subespacios. a) Ua aplicació lieal : V W trasorma subespacios de V e subespacios de W. Dado S u subespacio de V, su image se deota por (S). Es el subespacio de W ormado por las imágees de todos los vectores de S. b) El subespacio (S) tiee dimesió meor o igual que la dimesió de S. Además se tiee que si la aplicació es iyectiva, etoces se coserva las dimesioes, es decir, (S) tiee la misma dimesió que S. Observar el sigiicado geométrico de este teorema: ya que los subespacios de so rectas, plaos..., el apartado a) airma que éstos o puede trasormarse, por ua aplicació lieal, e líeas curvas o supericies curvas. El apartado b) sigiica que ua recta o puede, por ejemplo, trasormarse e u plao (la dimesió o puede aumetar). U plao podrá trasormarse e otro plao; e ua recta; o e u puto { 0 }. Neila Campos ÁLGEBA LINEAL Aplicacioes Lieales 4

5 Teorema: image de u sistema geerador. Sea : V W lieal, y sea S u subespacio de V. Etoces, la image de u sistema geerador de S es u sistema geerador de (S). Es decir: si v 1,... v r geera S, etoces (v 1 ),..., (v r ) geera (S). Ejemplo. Usaremos el teorema aterior para calcular cuál es la image de u subespacio. Sea la aplicació lieal: (x,y,z) (x+y+z, x+y+6z ) Calculemos la image del subespacio S= {(α+β, α, α β) : α,β }. Para ello hallamos primero u sistema geerador de S, que es (1,1,1), (1,0, 1). La image de este sistema geerador es: (1,1,1) = (4,1) (1,0, 1) = ( 1, ) Por tato (S) será el subespacio de geerado por (4,1) y ( 1, ). Notar que estos o orma base de (S), pues o so idepedietes. Ua base de (S) podría ser (4,1), o bie (1,), por ejemplo. Teorema: image de cojutos depedietes e idepedietes. Sea : V W lieal. La image de u cojuto liealmete depediete es otro cojuto liealmete depediete. No está asegurado que la image de u cojuto idepediete siga siedo idepediete (esto sólo está asegurado si la aplicació es iyectiva). Observació. Si teemos e cueta que ua base es u sistema geerador liealmete idepediete, veremos que de los dos teoremas ateriores se desprede que ua base de S o tiee por qué trasormarse e ua base de (S). Sólo si es iyectiva está asegurado que sea así. NÚCLEO E IMAGEN. Observemos que determiados vectores de V puede teer como image el 0. Esto ocurre al meos co W 0V, pero tambié puede ocurrir co más vectores de V. Por ejemplo, e la aplicació el vector (0,0) tiee como image (x,y) (x-y, x-y ) (0,0), pero lo mismo le ocurre a (1,1), y tambié a todos los vectores de la orma (λ, λ). Neila Campos ÁLGEBA LINEAL Aplicacioes Lieales 5

6 Deiició: Núcleo. Se llama úcleo de al cojuto de los vectores de V cuya image es Ker() (del iglés kerel=úcleo). Es decir, Ker() = {v V : (v) = 0W } El úcleo podrá ser solamete { 0 }, o podrá ser u subespacio mayor. 0W. Se deota por Deiició: Subespacio image. Dada : V W lieal, se llama subespacio image de (o simplemete image de ) al cojuto de las imágees de todos los vectores de V. Se deota por Im(). Se puede deotar tambié por (V), pues es la image de todo el espacio iicial V. Segú el teorema de trasormació de subespacios, Im() es u subespacio de W, cuya dimesió es meor o igual que dim(v). La dimesió de Im() tambié ha de ser dim(w), pues está coteido e W. Además, si v 1,... v so u sistema geerador de V, etoces sus imágees (v 1 ),..., (v ) so u sistema geerador de Im(). Por tato, el úcleo es u subespacio de V, y la image lo es de W. Las dimesioes de ambos está relacioadas por la siguiete órmula: dode es la dimesió del espacio iicial V. dim( Im() ) + dim( Ker() ) = Ejemplos. 1) Calcular el úcleo y la image de la aplicació lieal (x,y,z) (x+y+z, x+y+6z ) Image: Partimos de u sistema geerador del espacio iicial, por ejemplo la base caóica (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). Sus imágees so: (1,0,0) = (1,) (0,1,0) = (1,) (0,0,1) = (,6) Por tato Im() está geerada por (1,), (1,), (,6). Elimiado los vectores que so combiació lieal de los demás, obteemos que ua base de Im() es { (1,) }. Así pues, la dimesió de Im() es 1. Neila Campos ÁLGEBA LINEAL Aplicacioes Lieales 6

7 Núcleo: Hay que ecotrar los vectores cuya image es (0,0), es decir, los (x,y,z) tales que (x+y+z, x+y+6z) = (0,0) por tato x+y+z =0 sistema compatible idetermiado cuya solució geeral es: x+y+6z =0 (α, β, α β) : α, β Estos so todos los vectores que orma el úcleo, es decir Ker() = { (α, β, α β) : α,β } De esta expresió paramétrica podemos obteer ua base de Ker(): { (,0, 1), (0,, 1) } Por tato la dimesió del úcleo es. Observemos que se veriica la órmula: 1 + =. ) Calcular el úcleo y la image de la aplicació lieal (x,y) (x-y, -x-y ) Núcleo: Hay que ecotrar los vectores cuya image es (0,0), es decir, los (x,y) tales que (x+y, x y) = (0,0) x+y=0 x y = 0 por tato este sistema es compatible determiado y por tato su úica solució es x=0, y =0. Por ello el úico vector e Ker() es (0,0). Image: De la órmula dim( Im() ) + dim( Ker() ) = obteemos que dim( Im() ) =. Y como Im() está coteida e el espacio ial espacio. Por tato, Im() =., como dim( Ker() ) es cero,, si su dimesió es ha de ser todo el CLASIFICACIÓN DE APLICACIONES. Ua aplicació lieal : V W puede ser iyectiva, suprayectiva, igua de las dos cosas o ambas (y e ese caso es biyectiva). Veremos cómo esto se relacioa co el cálculo del úcleo e image. Suprayectividad: Im() es u subespacio de W, que puede ocupar todo W o o. Si existe elemetos de W que esté uera de Im(), éstos o será image de igú elemeto de V. Por tato, : V W será suprayectiva si Im() ocupa todo W: Im() = W. Para comprobar esto basta comparar las dimesioes: e eecto, como Im() siempre está coteido e W, cuado sus dimesioes coicida tedremos que Im() = W. Así pues, es suprayectiva cuado dim ( Im() ) = dim(w). Neila Campos ÁLGEBA LINEAL Aplicacioes Lieales 7

8 Iyectividad: E pricipio habría que comprobar si existe dos vectores de V cuyas imágees sea iguales. Pero esto viee acilitado por el siguiete resultado: Teorema. es iyectiva si y sólo si su úcleo es solamete {0 V }. Demostració: Si hay u vector v además de 0 V e el úcleo, ambos tiee la misma image 0 W, co lo que ya o sería iyectiva. Y por otra parte, si o es iyectiva etoces hay dos vectores u, v co imágees iguales, (u) = (v), y etoces tedremos (u) (v) = 0 (u v) = 0 así el vector u v está e el úcleo, luego éste ya o es {0 V } Gracias a esto, para comprobar la iyectividad basta calcular el úcleo. Tambié es suiciete coocer la dimesió, puesto que Ker() = { 0 V } es equivalete a que su dimesió sea 0. Así pues, es iyectiva cuado dim ( Ker() ) = 0. Ejemplos. 1) Cosideramos la aplicació del ejemplo 1) aterior (x,y,z) (x+y+z, x+y+6z ) Como ya hemos calculado el úcleo y la image, teemos: dim( Im() ) = 1 o es suprayectiva. dim ( Ker() ) = 0 o es iyectiva. ) Ejemplo ) aterior: (x,y) (x-y, -x-y ) dim( Im() ) = es suprayectiva. dim ( Ker() ) = 0 es iyectiva. Por tato es biyectiva. ) Ua aplicació : uca podrá ser iyectiva: pues como Im() está coteida e, su dimesió es y así dim( Im() ) + dim( Ker() ) = es imposible que dim( Ker() ) sea 0 Neila Campos ÁLGEBA LINEAL Aplicacioes Lieales 8

9 4) Ua aplicació : 4 uca podrá ser suprayectiva: dim( Im() ) + dim( Ker() ) = es imposible que dim( Im() ) sea ) Las aplicacioes destacadas que hemos señalado al pricipio del tema: - La idetidad es biyectiva. - La aplicació ula o es iyectiva i suprayectiva. - Los giros, simetrías y homotecias so biyectivas. - Las proyeccioes so suprayectivas pero o iyectivas. Observació. Cuado la aplicació es iyectiva, la órmula dim( Im() ) + dim( Ker() ) = idica que Im() tiee la misma dimesió,, que el espacio iicial. Así pues, dada : V W iyectiva, Im() es ua copia de V detro de W. Por ejemplo, dada la siguiete aplicació iyectiva, (x,y) (x+y, x-y, 0 ) el subespacio Im() está geerado por las imágees de la base caóica: (1,0)= (1,1,0) (0,1)=(1, 1,0). Como (1,1,0) y (1, 1,0) so liealmete idepedietes, Im() tiee dimesió. Así, Im() es u plao e y por tato ua copia del cojuto iicial detro de. MATIZ ASOCIADA A UNA APLICACIÓN LINEAL. Veremos que hay ua relació etre las matrices y las aplicacioes lieales, tato es así que cada matriz represeta ua aplicació, y cada aplicació se puede idetiicar co ua matriz. Para itroducir esto, partimos del cocepto de rago de ua aplicació. Deiició: ago de ua aplicació lieal. Se llama rago de ua aplicació lieal a la dimesió de su subespacio image. Se deota por rg(). Es decir: rg() = dim( Im() ). Neila Campos ÁLGEBA LINEAL Aplicacioes Lieales 9

10 Ejemplo. Calculemos el rago de la siguiete aplicació: Para ello hemos de hallar Im() y su dimesió. (x,y,z) (x+y+z, y+z) Partiedo de u sistema geerador de, (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) hallamos sus imágees, (1,0,0)=(,0) (0,1,0)=(,1) (0,0,1)=(1,1) Estos tres vectores de geera Im(), pero sólo dos de ellos so liealmete idepedietes, por lo que la dimesió de Im() es. Así pues, rg() =. Observació. E el ejemplo aterior, para calcular el rago de, hemos calculado el rago (es decir, el úmero de vectores idepedietes) de la amilia de vectores (,0), (,1), (1,1). Esto equivale, colocado estos vectores e columas, a calcular el rago de la matriz (e este caso rago ). Veremos que esta matriz cumple u papel importate respecto a la aplicació. Deiició: Matriz asociada a ua aplicació. Dada ua aplicació lieal : V W, se llama matriz asociada a (e bases caóicas) a la matriz que cotiee e sus columas las imágees de la base caóica de V. Propiedades. 1) La matriz de : m es de tamaño m x. ) Si A es la matriz asociada a, el rago de la aplicació (es decir, la dimesió del subespacio image) es el rago de A (que puede calcularse escaloado la matriz, etc). ) La matriz A asociada a puede utilizarse para calcular la image de cualquier vector. E eecto, si multiplicamos la matriz A por el vector v (e columa), obteemos el vector m (v) (tambié e columa). Ejemplo. Dada la aplicació (x,y) (x+y, x-y, 0) su matriz asociada será de tamaño x. A v = (v) Colocamos e las columas las imágees de la base caóica de : Neila Campos ÁLGEBA LINEAL Aplicacioes Lieales 10

11 (1,0)= (1,1,0) (0,1)=(1, 1,0). así obteemos la matriz A = Utilicemos la matriz para calcular la image del vector v=(,) = -1 por tato (v) = (5, 1,0) 0 (lo que puede comprobarse aplicado al vector v y obteiedo el mismo resultado). Observació. Dada ua aplicació lieal podemos calcular su matriz asociada; pero tambié al revés: dada cualquier matriz A de tamaño m x, podemos iterpretarla como la matriz de ua aplicació : m, puesto que co la matriz ya sabemos calcular las imágees y por tato está determiada la aplicació. Así pues, hay ua idetiicació etre aplicacioes lieales y matrices. Ecuació de ua aplicació lieal. a11 a1 Sea : m, co matriz asociada A =. am 1 a m Deotemos por (x 1,..., x ) u vector del cojuto iicial, y por (y 1,..., y m ) su image e m. Etoces teemos, segú lo aterior, a a 11 1 m 1 a a m x1 y1 = (ecuació matricial) x y m lo que tambié se puede escribir e orma o matricial, resultado y 1 = a 11 x a 1 x y m = a m1 x a m x Esta es la ecuació de, que es la expresió que permite calcular la image (y 1,..., y m ) a partir del vector (x 1,..., x ). Neila Campos ÁLGEBA LINEAL Aplicacioes Lieales 11

12 Ejemplo. E el ejemplo aterior, teemos dada por su matriz Si deotamos por (x 1, x, x ) los vectores del cojuto iicial y por (y 1, y ) sus imágees, la ecuació de será x 1 x x 1 = y1 es decir y y 1 = x 1+x +x y = x + x Cálculo del úcleo e image mediate la matriz asociada. Supogamos que teemos ua aplicació lieal : V W y su matriz asociada A. Núcleo: Los vectores del úcleo so los v tales que (v)= 0, es decir, A v= 0. Basta por tato platear el siguiete sistema homogéeo de ecuacioes: x1 A 0 = x 0 Si es compatible idetermiado, su solució se expresará mediate parámetros, y ésa será la orma paramétrica de Ker(). Si es compatible determiado etoces solamete tiee la solució ula, por lo que el úcleo estará ormado solamete por el vector 0, Ker() = { 0 }. Image: Las columas de A so las imágees de la base caóica, por tato so imágees de u sistema geerador del espacio iicial V. Así pues dichas columas so u sistema geerador de Im(). Por tato: Im() es el espacio geerado por las columas de A. Dichas columas o tiee por qué ormar ua base de Im(); para obteer ésta habrá que suprimir las columas que depeda liealmete de las demás (por ejemplo, escaloado la matriz y quedádoos co las columas pivotales). Ejemplo. Sea la aplicació dada por la matriz A= ; calcular bases de su úcleo e image. 1 1 Notemos que, ya que A es de tamaño x, la aplicació será :. Neila Campos ÁLGEBA LINEAL Aplicacioes Lieales 1

13 1 0 1 x 0 Núcleo: esolvemos el sistema 0 y = 0, obteiedo la solució (λ, λ, λ), que 1 1 z 0 es la orma paramétrica de Ker(). Por tato ua base de Ker() es (1, 1,1). Image: Es el subespacio de geerado por las tres columas de la matriz A. Como A tiee rago, ua de las columas depede liealmete de las demás. Escaloado la matriz se ve que los pivotes queda e las columas 1ª y ª, por tato os quedamos co 1 0 las columas 0 y como base de Im(). 1 Fialmete podemos ver, como comprobació, que dim( Ker() ) + dim( Im() ) = 1 + =. MATIZ DE UNA APLICACIÓN EN DISTINTAS BASES. La matriz de ua aplicació que hemos cosiderado hasta ahora, es la matriz llamada estádar o e bases caóicas. Cuado o se airme lo cotrario se tratará de la matriz estádar. Ahora bie, si ijamos e los espacios iicial y ial otras bases, etoces podemos trabajar co coordeadas e dichas bases. Podemos etoces ecotrar ua expresió de adecuada a estas coordeadas. (Nota. A partir de aquí, coviee repasar el puto COODENADAS Y CAMBIOS DE BASE del tema Espacios Vectoriales). Deiició: Matriz de ua aplicació e bases cualesquiera. m Sea : ua aplicació lieal, y cosideremos e el espacio iicial ua cierta base B, y e el espacio ial otra base B. Etoces se deie la matriz de e bases B y B como la matriz M que cotiee e sus columas las imágees de los vectores de la base B, expresadas e coordeadas respecto de B. Ejemplo. Sea la aplicació (x,y) (x+y, x-y, 0) y cosideremos las bases siguietes: - E el espacio iicial la base B = { (1,1), (1, 1) } - E el espacio ial la base B = { (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1) } Calculemos la matriz de e bases B y B. Para ello hallamos las imágees de la base B: Neila Campos ÁLGEBA LINEAL Aplicacioes Lieales 1

14 (1,1) = (,0,0) (1, 1) = (0,,0) Estas imágees, (,0,0) y (0,,0), e el espacio ial ha de expresarse e coordeadas respecto de la base B. Esto puede hacerse plateado sistemas o bie utilizado la matriz de cambio de base (ver Tema Espacios Vectoriales). Por ejemplo mediate sistemas: (,0,0) = α (1,0,0) + β (1,1,0) + γ (1,1,1) α=1, β=1, γ= 1, es decir, (1,1, 1) so las 1 coordeadas de (,0,0) e base B y por tato 1 es la primera columa de la matriz M. 1 (0,,0) = α (1,0,0) + β (1,1,0) + γ (1,1,1) α=1, β= 1, γ=1, es decir, (1, 1,1) so las 1 coordeadas de (,0,0) e base B y por tato 1 es la seguda columa de la matriz M Así teemos M = 1-1, la matriz de e bases B y B Propiedades. 1) La matriz de : e bases cualesquiera es de tamaño m x, al igual que la matriz estádar. ) El rago de la aplicació ( = dimesió del subespacio image) tambié puede calcularse mediate el rago de M, siedo M la matriz e bases cualesquiera. 4) La matriz M e bases B y B puede utilizarse para calcular imágees de vectores, cuado trabajamos co coordeadas e base B e el espacio iicial y co coordeadas e base B e el espacio ial. E eecto, si multiplicamos la matriz M por el vector v (e columa y expresado como m coordeadas e base B), obteemos el vector (v) (tambié e columa y expresado como coordeadas e base B ). Es decir, M x1 = x y y 1 m x1 siedo las coordeadas de v e base B, y siedo x image (v) expresada e base B. y y 1 m las coordeadas de su Neila Campos ÁLGEBA LINEAL Aplicacioes Liealess 14

15 Ejemplo. Cosideremos la aplicació del ejemplo aterior, y hallemos la (x,y) (x+y, x-y, 0) image del vector v=(5,). Vamos a hacerlo de dos maeras: e bases caóicas, y e las bases B y B deiidas ateriormete: - E el espacio iicial la base B = { (1,1), (1, 1) } - E el espacio ial la base B = { (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1) } E bases caóicas: La image de (x,y) es simplemete (x+y, x-y, 0) por lo que (v)=(8,,0). E bases B y B : Las imágees puede calcularse mediate la matriz M que ya hemos hallado: M= Para ello expresamos v e base B: (4,) = α(1,1)+ β(1, 1) α=4, β=1, luego (4,1) so las coordeadas de v e base B. Multiplicado la matriz M por estas coordeadas e columa, obteemos = 5 - Así pues, la image de v es (5,, ) e coordeadas e base B. Veamos que esto coicide co la image (v)=(8,,0) obteida ates: Que las coordeadas de (v) e base B sea (5,, ) sigiica, por deiició de coordeadas, que: (v)= 5 (1,1,0) + (1,0,1) (0,1,1) = (8,,0), eectivamete. elació etre la matriz estádar y la matriz e otras bases. Sea : V W ua aplicació lieal co matriz asociada A e bases caóicas. Cosideremos otras bases, B base de V y B base de W. Cosideremos las siguietes matrices de cambio de base e cada espacio: E V: P es la matriz de cambio de la base B a la caóica, y P -1 de la caóica a B. E W: Q es la matriz de cambio de la base B a la caóica, y Q -1 de la caóica a B. Etoces se tiee la igualdad: M = Q 1 A P Neila Campos ÁLGEBA LINEAL Aplicacioes Lieales 15

16 Esto puede represetarse mediate el siguiete esquema: V b. caóica P -1 P A W b. caóica Q 1 Q base B M base B Tambié es posible cambiar de base sólo e el espacio iicial, o sólo e el espacio ial: 1) Aquí M es la matriz e la base caóica y B (es decir, sus columas cotiee las imágees de la base caóica, expresadas como coordeadas e B ). Etoces teemos: M = Q 1 A (Podemos cosiderar que P es la matriz idetidad) V b. caóica M A W b. caóica Q 1 base B Q V W ) Ahora M es la matriz e B y la base A caóica (es decir, sus columas b. caóica b. caóica cotiee las imágees de la base B, P -1 P expresadas como coordeadas e base caóica). M base B Etoces teemos: : M = A P Ejemplo: Dada la aplicació (x,y) (x+y, x-y, 0) (Podemos cosiderar que Q es la matriz idetidad) ya hemos calculado ateriormete la matriz e bases caóicas, que es A= y su matriz e bases B={(1,1),(1, 1)}, B ={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}, que es M = 1-1, -1 1 Los cambios de base so: 1 1 E el espacio iicial : el cambio de B a la base caóica es P= 1 1 (P se halla colocado e columas los vectores de B expresados e base caóica). El cambio iverso, de la base caóica a B será P 1. Neila Campos ÁLGEBA LINEAL Aplicacioes Lieales 16

17 E el espacio ial : el cambio de B a la base caóica es Q= (Q se halla colocado e columas los vectores de B expresados e base caóica). El cambio iverso, de la base caóica a B será Q 1. Se cumplirá etoces que M = Q 1 A P. Así pues, tambié podríamos haber hallado M de la siguiete maera: M = Q 1 A P = = MATICES EQUIVALENTES. La equivalecia es ua relació etre matrices que se puede deiir de cuatro ormas dieretes: 1) Dos matrices A y B so equivaletes (se deota A ~ B) si so matrices de la misma aplicació lieal, e distitas bases. ) Dos matrices A y B so equivaletes si se puede pasar de ua a otra mediate operacioes elemetales por ilas y posiblemete tambié por columas (permutar líeas; multiplicar ua líea por u escalar o ulo; sumar a ua líea u múltiplo de otra) ) A y B so equivaletes si existe P, Q matrices cuadradas iversibles tales que B=PAQ. 4) Dos matrices so equivaletes si tiee la misma dimesió mx y el mismo rago Ejemplo. Dadas las matrices A= y B = , observamos que ambas tiee dimesió x4 y rago. Así, por la airmació 4) aterior, A y B so equivaletes. Esto sigiica, por ), que A se puede trasormar e B mediate operacioes elemetales por ilas y posiblemete tambié por columas. Tambié sigiica, por 1), que tato A como B so matrices de ua cierta aplicació lieal e 4 distitas bases. Esta aplicació deberá ser : (puesto que así su matriz será x4) y deberá ser rg()= ( es decir, dim(im())= ), puesto que así la matriz de tedrá rago. Neila Campos ÁLGEBA LINEAL Aplicacioes Lieales 17

18 COMPOSICIÓN DE APLICACIONES. Si teemos dos aplicacioes lieales : V W y g: W U, podemos deiir la aplicació compuesta h=g, cosistete e aplicar a cada vector y después g. h : V W U v (v) g( (v) ) La matriz de la aplicació compuesta se obtiee multiplicado las matrices de y de g. Si A es la matriz de y M es la matriz de g, etoces M A es la matriz de h. (E bases caóicas). Si se trata de otras bases se veriica ua relació similar. Supogamos que: - B es base de V, B ' lo es de W, y B '' lo es de U. - A es la matriz de e bases B y B ' - M es la matriz de g e bases B ' y B '' - Etoces el producto M A es la matriz de h e bases B y B ''. Ejemplo Sea las aplicacioes 4 y (x,y) (x, y, x+y, x-y ) g 4 (x,y,z,t) (x, x y, z+t) 1 0 La matriz de e base caóica es A= La matriz de g e base caóica es B= Por tato la aplicació compuesta h=g tiee como matriz e base caóica B A= = que es de dimesió x puesto que h comieza e y acaba e. Neila Campos ÁLGEBA LINEAL Aplicacioes Lieales 18