CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E MAYO-2001, 13 H

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1 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E MAYO-200, H () Dada la función definida por f() = 2, determinar: Intervalos de crecimiento y de decrecimiento; máimos y mínimos locales; intervalos de concavidad hacia arriba y de concavidad hacia abajo; puntos de infleión; asíntotas verticales y asíntotas horizontales. A partir del análisis anterior, hacer un esbozo de la gráfica de f. (2) Un trozo de alambre de 0 m de largo, se corta en dos partes; una se dobla para formar un cuadrado y la otra para formar un triángulo equilátero. Cuánto debe medir cada parte para que el área total encerrada sea: (a) máima, (b) mínima? () De acuerdo con la teoría de la relatividad, la masa m de un objeto que viaja a una velocidad v, está dada por m 0 m =, v2 donde m 0 es la masa del objeto en reposo y c es la velocidad de la luz. (a) Eplicar qué ocurre cuando v se acerca a la velocidad de la luz (b) Eplicar por qué sólo tiene sentido calcular lím m v c (4) Un incendio forestal se etiende en forma circular, con un radio que aumenta con una rapidez de 5 pies/min. Con qué rapidez está cambiando el área incendiada, cuando el radio es de 200 pies? Está aumentando o disminuyendo? (5) Sea f: R R una función continua en R cuya primera derivada f tiene la siguiente gráfica: f() c A partir de esta gráfica de f, determinar dónde la función f es creciente y dónde es decreciente. Eplicar además, cómo es la tangente a la gráfica de f en = 2, =, =2 & =. canek.azc.uam.m: 2/ / 2006.

2 2 EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E0700 Respuestas () Dada la función definida por f() = 2, determinar: Intervalos de crecimiento y de decrecimiento; máimos y mínimos locales; intervalos de concavidad hacia arriba y de concavidad hacia abajo; puntos de infleión; asíntotas verticales y asíntotas horizontales. A partir del análisis anterior, hacer un esbozo de la gráfica de f. Dominio: D f = R {0 }. Raíces o ceros de f() 2 =0 2 = = = ±. Podemos escribir f() = =. Derivamos f () = = = 2 +9 (*) 4 4 y de aquí calculamos los puntos críticos: f () =0 2 +9=0 2 =9 = = ±. El signo de la derivada viene dado por la epresión ( 2 9) = ( + )( ). Usamos entonces la tabla Signo de Intervalo + ( + )( ) < (< ) << + + >(> ) + + Vemos entonces que f() es decreciente para (, ) y para (, + ); f() es creciente para (, 0) y para (0, ). Con estos datos concluimos que = esunmínimo local; = es un máimo local. Para calcular la segunda derivada, derivamos ( ): f () =2 6 5 = 2 6 = Para calcular los puntos de infleión f () =0 2( 2 8) = = 0 = ± 2. La segunda derivada se factoriza entonces f () =2 ( + 2)( 2) 5.

3 EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E0700 El signo de la segunda derivada viene dado por + 2, 2 &. Usamos la tabla para conocer el signo de f () Signo de Intervalo f () < 2(< 0 < 2) 2 <<0(< 2) + + ( 2) < 0 << > 2(> 0 > 2) Vemos entonces que f() es cóncava hacia abajo para (, 2 ) ( 0, 2 ) ; f() es cóncava hacia arriba para ( 2, 0 ) ( 2, + ). Con estos datos concluimos que = 2 & = 2 son puntos de infleión. Calculamos lím f() = lím 2 =0 ±. ± ± Por lo tanto, y = 0 es una asíntota horizontal. Vemos claramente que una asíntota vertical es = 0. comportamientos laterales de la función en este caso Calculamos los siguiente límites para ver los lím f() = 0 lím f() = 0 + ( 0 ( 0 + ) =+ ; ) =. Con todo la anterior vamos a hacer un bosquejo de la gráfica. Calculamos la función en algunos puntos: f() La función es impar. La gráfica de la función f() es:

4 4 EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E0700 f() 2 2 (2) Un trozo de alambre de 0 m de largo, se corta en dos partes; una se dobla para formar un cuadrado y la otra para formar un triángulo equilátero. Cuánto debe medir cada parte para que el área total encerrada sea: (a) máima, (b) mínima? Tomamos un alambre de 0 m de largo y lo dividimos en dos pedazos como se ve en la figura siguiente: 0 Alambre 0 Con los pedazos formamos las figuras: 4 4 h 0 Cuadrado 0 Triángulo 6 Si se tiene una pedazo de alambre de longitud y formamos un cuadrado, cada lado mide. Si se tiene 4 otro pedazo de alambre de longitud 0 y formamos un triángulo equilátero, cada lado mide 0. Para calcular la altura del triángulo usamos el teorema de Pitágoras, con lo que tenemos: [ ] 2 [ ] 2 h 2 = (0 ) (0 ) =( )(0 )2 = 6 (0 )2 h = (0 ). 6

5 EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E El área encerrada por ambas figuras es: ( ) 2 A() = (0 ) (0 ) = (0 )2. Ésta es la función de la que deseamos calcular su máimo y mínimo absolutos. Dominio de esta función: D A =[0, 0]. Cuando = 0, formamos sólo el triángulo y cuando = 0, formamos sólo el cuadrado. Calculamos la derivada A () = (0 )( ) = = (*) Calculamos la segunda derivada A () = 9+4 > Lo cual nos indica que la función A() es cóncava hacia arriba. El punto crítico que encontraremos será un mínimo absoluto. Igualamos a cero la primera derivada usando ( ): =0 = Es necesario evaluar la función A() en los etremos de su dominio para compararlos entre sí: A(0) = A(0) = 00 6 = 0 4 =6.25. Evaluamos en el mínimo también ( 40 ) A y entonces: (a) El área máima encerrada es cuando formamos un cuadrado de lado 0 4. (b) El área mínima encerrada es cuando se forma un cuadrado con un perímetro de longitud y con el resto del alambre formamos el triángulo. () De acuerdo con la teoría de la relatividad, la masa m de un objeto que viaja a una velocidad v, está dada por m 0 m =, v2 donde m 0 es la masa del objeto en reposo y c es la velocidad de la luz. (a) Eplicar qué ocurre cuando v se acerca a la velocidad de la luz Calculamos: lím m = lím cm 0 v c v c c2 v =+. 2 (b) Eplicar por qué sólo tiene sentido calcular lím m v c Puesto que v<c. c 2

6 6 EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E0700 (4) Un incendio forestal se etiende en forma circular, con un radio que aumenta con una rapidez de 5 pies/min. Con qué rapidez está cambiando el área incendiada, cuando el radio es de 200 pies? Está aumentando o disminuyendo? La figura relacionada con el incendio es: r La relación entre el área del incendio y el radio del mismo es A(r) =πr 2. Pero el radio está cambiando a una velocidad conocida de 5 pies/min. Es decir, depende del tiempo, es una función del tiempo. Por lo tanto el área depende también del tiempo: A(t) =πr 2 (t). Podemos entonces derivar esta epresión A (t) =2πr(t)r (t). Ésta es una relación entre derivadas para todo t. En particular, en un momento t 0 se tienen los datos especificados en el enunciado: A (t 0 )=2πr(t 0 )r (t 0 )=2 π = 2000 π pies 2 /min. > 0. El área está aumentando en ese momento t 0. (5) Sea f: R R una función continua en R cuya primera derivada f tiene la siguiente gráfica: f() 2 2 A partir de esta gráfica de f, determinar dónde la función f es creciente y dónde es decreciente. Eplicar además, cómo es la tangente a la gráfica de f en = 2, =, =2 & =. La función es creciente cuando la derivada es positiva; para (, 2) ( 2, ) (2, + ). La función es decreciente cuando la derivada es negativa, es decir, para (, 2).

7 EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E En = 2 la tangente es vertical. En = la tangente es horizontal, paralela al eje, con pendiente cero. De hecho tiene aquí un máimo local porque la derivada cambia de signo de positivo a negativo. En = 2 la tangente es horizontal, paralela al eje, con pendiente cero. De hecho tiene aquí unmínimo local porque la derivada cambia de signo de negativo a positivo. En = la tangente no eiste. La gráfica tiene un salto. Por la izquierda tiene pendiente y por la derecha tiene pendiente 2.