FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS
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- Tomás Ortíz Arroyo
- hace 6 años
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1 . FUNCIONES LINEALES FUNCIONES LINEALES CUADRÁTICAS Aquéllas cua fórmula es un polinomio de grado. = + 9ºESO Se corresponden con los fenómenos de proporcionalidad; es decir, que la variación de la '' sea proporcional a la variación de la ''. En este caso la '' varía el doble de la ''. Su gráfica es una recta. Por eso se llaman funciones lineales. Para representarlas basta conocer dos puntos o valores de la misma. El término independiente me da el valor inicial. Su epresión, en general, es de la forma: = m + n m: pendiente. Nos da una medida de su inclinación. m> creciente; m< decreciente. Es la constante de proporcionalidad que eiste entre las dos variables. n: ordenada en el origen. Valor inicial o en el. Valor de la '' para '' = Ejemplos: = + = = Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente. Ejemplos: Dar la fórmula de una recta paralela a =. De todo lo anterior hacer las tablas de valores las gráficas comentar los aspectos de crecimiento decrecimiento valor inicial; así como el de paralelismo. Preguntar cuánto vale la pendiente la ordenada en el origen de cada una de ellas.. CÁLCULO DE LA FUNCIÓN LINEAL GRÁFICAS La gráfica de las funciones de proporcionalidad es una RECTA que pasa por el origen de coordenadas. Distancia recorrida andando a Km/h Fórmula: Tabla: Cálculo: Gráfica: (h) (Km) = = = 6 9 = = = = Funciones lineales cuadráticas 9.
2 Para dibujar su gráfica a partir de la fórmula, basta obtener un punto después trazar la recta que une dicho punto con el origen de coordenadas. Por ejemplo, aquí tenermos las gráficas de dos funciones de proporcionalidad: = = Tabla : Gráfica: Tabla : Gráfica: 6 PENDIENTE DE UN SEGMENTO Para hallar la pendiente o inclinación de un segmento que une dos puntos procederemos así: Gráfica: Par de puntos: Cálculo: (, ) (, 7) 7 m 7 Halla la pendiente de los diferentes tramos de la gráfica siguiente: Tramo : Calculo: Tramo : Cálculo: Tramo : Cálculo: Tramo : Cálculo: Funciones lineales cuadráticas 9.
3 PENDIENTE DE UNA RECTA: Una recta es una gráfica de pendiente constante. Por lo tanto, para hallar la pendiente de una recta se eligen dos puntos cualesquiera se halla la pendiente del segmento que los une. Gráfica: Par de puntos: Cálculo: 5 m m Si la pendiente es POSITIVA la recta es creciente Si la pendiente es NEGATIVA la recta es decreciente. La pendiente de una recta coincide con la constante de proporcionalidad de dicha recta. Así las fórmulas de la funciones anteriores es fácil deducirlas: = 5 ; =. RECTAS QUE NO COMIENZAN EN EL ORIGEN Son las rectas que no empiezan en el cero. Es decir, las funciones de proporcionalidad cuo valor inicial no es cero. Por ejemplo: Un tai cuesta 5 Pts de bajada de bandera más 5 Pts por kilómetro recorrido. Aquí el valor inicial no es sino 5. La fórmula difiere un poco de las de proporcionalidad. Aparece un término constante. En este caso es 5: = Para hacer su gráfica basta hacer una tabla con dos valores (suficientes para dibujar una recta) = Gráfica: 5 65 Importe (Pts) 6 Recorrido(Kms) Estas funciones tienen un elemento más: Funciones lineales cuadráticas 9.
4 = n + m n: ordenada en el origen m: pendiente En el caso anterior: n = m = Para comparar los dos tipos de gráficas: Valor inicial Valor inicial = Gráfica: = + Gráfica: 7 n = m = n = m = Tienen la misma pendiente pero diferente valor inicial u ordenada en el origen. En la gráfica siguiente calcula la ordenada en el origen la pendiente. Fíjate en los puntos señalados. Cálculos: Fórmula: Ahora debes hacer lo mismo sabiendo que la tabla de una recta contiene estos dos puntos. Haz la gráfica para audarte. Funciones lineales cuadráticas 9.
5 5 9 Gráfica: Cálculos: Fórmula: FÓRMULA A PARTIR DE LA TABLA SIN VALOR INICIAL Cómo obtener la fórmula a partir de una tabla que no contiene el valor inicial? = n + m Gráfica: Cálculos: Pendiente: m 6 Sustituimos en la fórmula: = n + Haz lo mismo con la siguiente tabla: = + Ordenada en el origen: Sustituimos un valor de la tabla despejamos n = n + > n = = n + m Gráfica: Cálculos: 5 Pendiente: m = Ordenada en el origen: Fórmula: Funciones lineales cuadráticas 9. 5
6 A PARTIR DE LA TABLA Para hallar la fórmula de una función lineal nos bastaría con conocer dos valores o puntos de la función. Se resuelve por igualación. Ejemplo: Calcular la fórmula de la recta o función lineal que tiene los siguientes valores o pasa por los siguientes puntos: A(, ) B(, 5) A(, ) B(, 6) A PARTIR DE LA PENDIENTE UN PUNTO Ejemplo: P(5, ) m = P(, ) m = / P(, ) m =. FUNCIONES CUADRÁTICAS Se dice función cuadrática porque su fórmula es de grado. Fórmula: cálculo: 6 8 gráfica: Fórmula: cálculo: gráfica: Funciones lineales cuadráticas 9. 6
7 El punto más significativo de una parábola es su vértice. Se trata del punto más bajo o más alto de la curva. La parábola es simétrica respecto del eje vertical que pasa por este punto. Si el vértice está abajo se dice cóncava la parábola convea si está arriba. eje de simetría vértice vértice cóncava convea En general, la fórmula de una función cuadrática es del tipo: a b c. Para representar una parábola lo más importante es calcular su vértice. Esto se consigue con la fórmula siguiente: Vértice: = b a Ejercicio. Dibuja la parábola = + Intervalos de crecimiento decrecimiento. En la naturaleza nos encontramos con esta curva la parábola en numerosas situaciones. Por ejemplo en la traectoria de un chorro de agua, en la de un proectil, en el movimiento de algunos astros en los focos antenas parabólicas.. CORTES CON LOS EJES Los cortes de una función con los ejes de coordenadas se obtienen para = para = respectivamente. FUNCIÓN LINEAL. RECTA Ejemplos: Cortes con los ejes de: = + 6 = 5 5 FUNCIÓN CUADRÁTICA. PARÁBOLA Ejemplos: = 6 +8 = + = CORTES DE DOS RECTAS. RECTA PARÁBOLA RECTAS Para hallar el punto de corte de dos rectas resolveremos el sistema de ecuaciones que determinan. Por ejemplo, sean las rectas: r: = + s: = + 6 Obtenemos el punto de corte que resulta ser el (, 5). Ejercicio: Halla el punto de corte de: = + con = 6 Funciones lineales cuadráticas 9. 7
8 POSICIONES RELATIVAS Dos rectas: Se cortan: Son paralelas: Si sus pendientes son distintas: m m Si sus pendientes son iguales: m = m = + corta a la recta = = + es paralela a = = RECTAS HORIZONTALES VERTICALES Son rectas horizontales las paralelas al eje. Su pendiente es ; es decir, m =. por tanto su ecuación es de la forma: = n Son rectas verticales las paralelas al eje. Su ecuación es de la forma: = a = = Ejercicio. Representa las siguientes rectas: = = = = RECTA PARÁBOLA Una recta una parábola tienen tres posiciones relativas, a saber: SIN CORTE TANGENTE. corte SECANTE. cortes Para averiguar sus posiciones relativas, conocidas sus ecuaciones, lo haremos resolviendo el sistema de ecuaciones que determinan: Ecuaciones: Recta: = + Parábola: = + Funciones lineales cuadráticas 9. 8
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