PROPEDÉUTICO DE MATEMÁTICAS MODULO I

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1 PROPEDÉUTICO DE MATEMÁTICAS MODULO I ARITMÉTICA Y ALGEBRA Profesor: Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 1

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4 x b x b. cx d bc x bd. Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 4

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7 1 CONCEPTOS ELEMENTALES DE ARITMÉTICA TEMAS QUE SE VEN EN ESTE CAPITULO Número primo bsoluto o simple. Número compuesto. Múltiplo. Submúltiplo, fctor o divisor. Número pr. Número impr. Crcteres de divisibilidd. Divisibilidd por. Divisibilidd por. Divisibilidd por 5. Descomposición de un número en sus fctores primos. Máximo común divisor. Regl pr obtener el M.C.D. por descomposición en fctores primos. Mínimo común múltiplo. Método brevido pr obtener el m.c.m. por descomposición en fctores primos. Sum de rcionles de igul denomindor. Rest de rcionles de igul denomindor. Sum y rest de rcionles de distinto denomindor. Multiplicción de rcionles. División de rcionles. 1.1 NÚMERO ABSOLUTO O SIMPLE Es el que es divisible por si mismo y por l unidd NÚMERO COMPUESTO. O no primo es quel que demás de ser divisible por si mismo y por l unidd es divisible por otro fctor. Ejemplo: 7; 14 es un número compuesto por que demás de ser divisible por 14 y por 1, es divisible, por y Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 7

8 15 es compuesto por que demás de ser divisible por si mismo y l unidd es divisible por y por MÚLTIPLO. Múltiplo de un número, es el número que contiene éste, un número excto de veces. Los múltiplos de un número se formn multiplicndo este número por l serie infinit de los números nturles: 1,,, 4, 5,...; luego todo número tiene infinitos múltiplos. 8 es múltiplo de por que contiene 4 veces l ; 1 es múltiplo de 7 porque contiene veces l 7; Los múltiplos del 6 son: 1 6 = =4 6 = = 0 6 = = 6 Luego 6, 1, 18, 4, 0 y 6 son múltiplos del SUBMÚLTIPLO, FACTOR O DIVISOR. Es el número que está contenido un número excto de veces en otro número. 4 es submúltiplo, fctor o divisor de 1, por que est contenido en 1 tres veces; 5 es fctor de 0, por que est contenido en 0 seis veces. 1.5 NÚMERO PAR. Es todo número múltiplo de. L fórmul generl de los números pres es n, siendo n un número entero culquier, y se impr o impr, pues si es pr, multiplicdo por drá otro número pr, y si es impr, multiplicdo por drá un número pr. Todos los números pres excepto el, son compuestos. 1.6 NÚMERO IMPAR. Es el que no es múltiplo de. L fórmul generl de los números impres es n±1, siendo n un número entero culquier pues n represent un número pr, que umentndo o disminuido en un cntidd drá un número impr. Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 8

9 EJERCICIO Cuántos divisores tiene un número primo?. Cuántos múltiplos tiene un número?. Cuál es el menor múltiplo de un número? 4. Formr cutro múltiplos de cd uno de los números, 5, 7, Si un número es múltiplo de otro. Qué es este número del primero? 6. Cuál es el residuo de dividir un número entre uno de sus divisores? 7. Cuál es el myor divisor de 784?, Y el menor? 8. Son compuestos todos los números pres?, Son pres todos los números compuestos? 9. Son primos todos los números impres?, Son impres todos los números primos? 10. Dig cules son los tres menores números que se pueden ñdir un número pr pr hcerlo impr. 1.7 CARACTERES DE DIVISIBILIDAD. Son cierts señles que nos permiten conocer, por simple inspección, sí un número es divisible por otro. 1.8 DIVISIBILIDAD POR. Un número es divisible por cundo termin en cifr pr o cero. Ejemplos de divisibilidd: 16, 4, 0, 5 y 48 son divisibles por porque terminn en 6, 4, 0, y 8 que son números pres o cero. Ejemplos de no divisibilidd: 1, 4 y 75 no son números divisibles entre porque terminn en 1, y 5 que son números impres. 1.9 DIVISIBILIDAD POR. Un número es divisible por cundo l sum de los vlores bsolutos de sus cifrs es múltiplo de. Ejemplos de divisibilidd: 57 es divisible por cundo l sum de los vlores bsolutos de sus cifrs, = 15, y 15 es múltiplo de. Ejemplos de no divisibilidd: Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 9

10 989 no es divisible por, porque l sum de los vlores bsolutos de sus cifrs, = 6, y 6 no es múltiplo de DIVISIBILIDAD POR 5. Un número es divisible por 5 por que termin en cero o cinco. Ejemplos de divisibilidd: 15 y 0 son divisibles por 5 porque terminn en 5 y 0. Ejemplos de no divisibilidd: y 8 no son divisibles por 5 porque no terminn en cero o cinco. EJERCICIO. 1. Por cuáles de los números, y 5 son divisibles 84, 75 y 16?. Dig por simple inspección, cuál es el residuo de dividir 85 entre, 18 entre 5 y 95 entre.. Dig cuál es l menor cifr que debe ñdirse l número 14 pr que resulte un número de 4 cifrs múltiplo de. 4. Dig que tres cifrs distints pueden ñdirse l número 56 pr formr un múltiplo de, de 4 cifrs. 5. Pr hllr el myor múltiplo de contenido en 745. En cunto se debe disminuir este número? 1.11 DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN SUS FACTORES PRIMOS. Descomponer un número en sus fctores primos es convertirlo en un producto indicdo de sus fctores primos. 6 = y son los fctores primos de 6; 0 = 5, y 5 son los fctores primos del REGLA PARA DESCOMPONER UN NÚMERO COMPUESTO EN SUS FACTORES PRIMOS. Se divide el número ddo por el menor de sus divisores primos; el cociente se divide tmbién por el menor de sus divisores primos y sí sucesivmente con los demás cocientes, hst hllr un cociente primo, que se dividirá por si mismo. Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 10

11 . Descomponer 48 en sus fctores primos = Los fctores primos de 48 son y 1 b. Descomponer 04 en sus fctores primos = Los fctores primos de 04 son, y 17. EJERCICIO. Descomponer en sus fctores los siguientes números MÁXIMO COMÚN DIVISOR. Máximo común divisor de o ms números es el myor número que los divide todos exctmente. Se design por ls iniciles M. C. D.. 18 y 4 son divisibles por, y 6. Hy un número myor que 6 que divid 18 y 4? No Entonces, 6 es el M. C. D. de 18 y 4. b. 60, 100 y 10 son divisibles por, 4, 5, 10 y 0. No hy ningún número myor que 0 que los divid los tres. Entonces 0 es el M. C. D. de 60, 100 y 10. Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 11

12 1.1 REGLA PARA OBTENER EL M. C. D. POR DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS. El M. C. D. de vrios números descompuestos en sus fctores primos es el producto de sus fctores comunes, fectdos de su menor exponente.. Hllr el M. C. D. de 6, 1 y = = 1 4 = 1 Pr hllr el M. C. D. multiplicmos que es el fctor común por estr en ls cutro descomposiciones, fectdo del exponente 1 que es el menor; por que que tmbién está en ls cutro descomposiciones fectdo del exponente 1. Luego el M. C. D. de 6, 1 y 4 es = 6. b. Hllr el M.C.D. de 1, 0 y = = = 1 M.C.D = = 4 EJERCICIO 4. Hllr por descomposición en fctores primos el M. C. D. de: 1. 0 y y y , 77 y , 960, 760 y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO. Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 1

13 Mínimo común múltiplo de dos o más números, es el menor número que contiene un número excto de veces cd uno de ellos. Se design por ls iniciles m.c.m.. 6 contiene exctmente 9 y 6; 18 tmbién contiene exctmente 9 y 6. Hy lgún número menor que 18 que conteng exctmente 9 y 6? No. Entonces 18 es el m.c.m de 9 y 6. b. 60 es divisible por, y 4; 48, 4 y 1 tmbién son divisibles por, y 4. Como no hy ningún número menor que 1, que se divisible por, y 4 tendremos que 1 es el m.c.m. de, y MÉTODO ABREVIADO PARA OBTENER EL m.c.m POR DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS. Se divide cd uno de los números ddos por su menor divisor; lo propio se hce con los siguientes cocientes hst obtener que todos los cocientes sen 1. El máximo m.c.m. es el producto de todos los divisores primos.. Hllr el m.c.m. de 6, 9 y El número que no es divisible por un fctor 1 5 primo se repite debjo, como se hizo con el y 15 que no son divisibles por. 1 b. Hllr el m.c.m de 4, 1, 18 y m.c.m = = 8 9 = 7 EJERCICIO 5. Hllr el m.c.m. de los siguientes números: 1. 8 y 1. 9 y y y , 15 y , 9 y , 18 y , 4 y , 7, 10 y , 48 y 108 Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 1

14 1.17 SUMA DE RACIONALES DE IGUAL DENOMINADOR. REGLA: Se sumn los numerdores y est sum se divide entre el denomindor común Por ultimo se simplific el resultdo si se puede. Ejemplo: Sumr RESTA DE RACIONALES DE IGUAL DENOMINADOR. REGLA: Se restn los numerdores y est diferenci se divide entre el denomindor común. Por ultimo se simplific el resultdo si se puede. Ejemplo: Restr SUMA Y RESTA DE RACIONALES DE DISTINTO DENOMINADOR. REGLA: Se simplificn los rcionles ddos si se puede. Después de ser irreducibles se reducen l mínimo común denomindor y se procede como en los dos csos nteriores.. Sumr Simplificndo tendremos: b. Restr Simplificndo tendremos: NOTA: Si el número que se v sumr o restr es un número entero, este número tiene de denomindor 1. Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 14

15 . Sumr b. Restr EJERCICIO 6. Efectur: MULTIPLICACIÓN DE RACIONALES. REGLA: Pr multiplicr dos o ms rcionles se multiplicn los numerdores y este producto se divide entre el producto de los denomindores, y el resultdo se simplific si se puede. Ejemplo: Multiplicr Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 15

16 DIVISIÓN DE RACIONALES. Propedéutico de Mtemátics, Modulo I REGLA: Pr dividir dos rcionles se multiplic el numerdor del primer rcionl por el denomindor del segundo rcionl y este producto se divide entre el producto del denomindor del primer rcionl por el número del segundo rcionl, se simplific si se puede. Ejemplo: Dividir NOTA: Si el número que se v multiplicr o dividir es un número entero, este número tiene de denomindor b Efectur EJERCICIO Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 16

17 LENGUAJE ALGEBRAICO. TEMAS QUE SE VEN EN ESTE CAPITULO. Algebr. Notción lgebric. Signos de operción. Expresión lgebric. Fórmuls. Iguldd. Ecución. Término lgebrico. Coeficiente. Bse exponente, potencil. Monomio. Polinomio. Trducción de expresiones lgebrics l lenguje común y vicevers. Vlores numéricos de ls expresiones lgebrics..1 ALGEBRA. El lgebr es un cienci cuyo objeto es simplificr y generlizr ls cuestiones reltivs los números.. NOTACIÓN ALGEBRAICA Los símbolos usdos en Algebr pr representr ls cntiddes son los números y letrs. Los números se emplen pr representr cntiddes conocids y determinds. Ls letrs se emplen pr representr cntiddes, y sen conocids o desconocids. Ejemplo:, b, c, x, y, etc.. SIGNOS OPERACIÓN L sum (+ ms); L multiplicción ( por); l rest ( menos); l división ( entre). Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 17

18 Ejemplo: Sum ( + b); Rest ( b); (8 + 4) (8 4) Multiplicción ( b); División ( b); (8 4) (8 4).4 EXPRESIÓN ALGEBRAICA. Es l representción de un símbolo lgebrico o de un o más operciones lgebrics. Ejemplo:, 5x, b c, 5x y x.5 FORMULAS. Áre de un rectángulo = Bse Altur: A = b h.6 IGUALDAD. Es l expresión de que dos cntiddes o expresiones lgebrics tienen el mismo vlor. b c ; x 4x 5 ; x x ECUACIÓN. Es un iguldd en l que hy un o vris cntiddes desconocids llmds incógnits y que solo es verdder pr ciertos vlores de ls incógnits. x 1 5 ; x 5x 6 0 ; x y 10.8 TÉRMINO ALGEBRAICO. Es un expresión lgebric que const de un solo símbolo o de vrios símbolos no seprdos entre sí por el signo + ò. Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 18

19 4, b, 6xy, x Los elementos de un término son cutro: SIGNO (+ o ), COEFICIENTE, PARTE LITERAL GRADO (reltivo un letr o bsoluto). Y Ejemplo: 5 b c Grdo con respecto : º grdo b º grdo c 1 er grdo Grdo bsoluto: 6º grdo Signo Coeficiente Prte Literl GRADO ABSOLUTO de un término; es l sum de los exponentes de sus fctores literles..9 COEFICIENTE. Es el número o letr que indic cuántos sumdos igules se tomn. = + ( veces) b = b + b + b ( veces) ne = e + e + e + (n sumndos igules e).10 BASE, EXPONENTE, POTENCIA. Convencionlmente el producto 55 se escribe: 5 ; el de 55 5 = 5. 5 se lee CINCO AL CUADRADO, o 5 elevdo l ª potenci. b se lee b CÚBICA, o b elevd l ª potenci. Y en generl, n se lee l ENÉSIMA, o elevd l enésim potenci. En ls expresiones 5, b, n, los números 5, b y se llmn BASE. El numerito (o letr) escrit rrib l derech de l bse, se llm EXPONENTE, e indic el número de fctores igules l bse que hy en el producto. 9 (Potenci) (Potenci) POTENCIA de un número es un producto (indicdo o efectudo) de dos o más fctores igules ese número..11 MONOMIO. Es un expresión lgebric que const de un solo término. Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 19

20 x y, 5b, 4.1 POLINOMIO., 6 xyz, b c Es un expresión lgebric que const de más de un término. b ( términos); x y ( términos); x x x 7 (4 términos) BINOMIO: Es un polinomio que const de ms de un término. 6 m x b ; x y ; 8 b 4 TRINOMIO: Es un polinomio que const de tres términos. b c ; ; 6x 8y + x 5x 6.1 TRADUCCIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS AL LENGUAJE COMÚN Y VICEVERSA.. Escribe l sum de r, s y t: r + s + t. b. L sum del cudrdo de x, el cubo de y y l quint potenci de z: x + y + z 5. c. Siendo m un número entero, escribe los dos números enteros consecutivos posteriores m: m + 1 y m + d. Tengo $b; después recibo $6 y por ultimo pgo un cuent de $d. Cuánto me qued? $ (b + 6 d) e. Compro t mnzns por $v. Cuánto me h costdo cd mnzn? v Cd mnzn cuest: $ t.14 VALORES NUMÉRICOS DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Es el resultdo que se obtiene l sustituir ls letrs por vlores numéricos ddos y efectur después ls operciones indicds. Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 0

21 . Hllr el vlor numérico de 6xy pr x = ; y = 4 6xy 6()(4) 48 b. 7bc bd pr b = 4, c =, d = bc bd 7 c. m mn n pr m =, n = 5 m mn n d. b d e c t b d e c t pr =, b = ½, c = ⅓, d = 5, e = ¼, t = Usr letr pr indicr. EJERCICIO Lrgo, ncho y lto de un curto.. Tres veces tu ltur.. Precio de un mnzn, de dos mnzns, de seis mnzns, de n mnzns. Escribir ls respuests correspondientes. 4. L distnci d es igul l velocidd v por el tiempo t. 5. El áre A del trpecio se obtiene multiplicndo l semisum de ls bses B y b por l ltur h. 6. El volumen V del cilindro es el producto del áre A de ls bse por l ltur h. Decir de que grdo son los monomios siguientes: (ejercicios 7, 8 y 9) Con respecto cd letr Con respecto tods sus literles. 7. 7xyz bc 9. 5 m nr s 10. Si m es un número pr, escribe los tres números pres consecutivos posteriores de m. 11. Tengo que correr t km., en cinco dís. En el primer cmino u km., en el tercero w km., y en el curto x km. Cuánto me flt por recorrer? 1. Escribe el triple de x con el doble de v y l mitd de y. 1. Cuánto importr l compr de (m ) cbllos (n + ), pesos cd uno? 14. Compre x sombreros por s pesos. A como hbrí slido cd sombrero si hubier comprdo menos por el mismo precio? Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 1

22 15. El áre de un cmpo rectngulr es r m y el ncho mide 8m. Exprese el lrgo. 16. Si un utomóvil recorrido (z + ) km., en w hors. Cuál es su velocidd por hor? 17. Tengo $ r y cobro $ s. si todo el dinero que tengo lo empleo en comprr (t + ) cmiss. A cómo sle cd cmis? 18. En l plnt bj de un edificio hy z hbitciones. En el segundo piso hy triple número de hbitciones que en el primero; en el tercero l mitd de ls que hy en el primero. Cuánts hbitciones tiene el edificio? 19. René tiene x pesos; Rfel tiene l mitd de lo de René; Fernndo l tercer prte. L sum de lo que tienen los tres es menor que 5000 pesos. Cuánto flt est sum pr ser igul 5000 pesos? Hllr el vlor numérico de ls siguientes expresiones pr: x =, y =, u = ⅓, v = ½, z = 5, w = ¼ 0.. x u uv v x y. y 1 4x 1 w u v xy y 1. Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin

23 LOS NÚMEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS. TEMAS QUE SE VEN EN ESTE CAPITULO Números positivos y negtivos. Vlor bsoluto de un número. Números opuestos o simétricos. Representción grfic en el eje numérico (enteros rcionles e irrcionles). Adición. Sum de dos o más números positivos. Sum de dos o más números negtivos. Sum de un número positivo y otro negtivo. Sum de vrios números lgebrics de diferentes signos. Sustrcción o rest de números lgebricos. Regl de los signos de un producto. Potenci de un número lgebrico. División de números lgebrics. Regl de los signos de un cociente. Propiedd distributiv de los signos..1 LOS NÚMEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS. Ls pérdids y ls gnncis, ls temperturs sobre cero o bjo cero, etc., constituyen evidentemente, diferentes clses de cntiddes. Los números con que se designn ls gnncis, ls temperturs sobre cero, ls ltitudes norte, etc. Se llmn números positivos y se indicn convencionlmente nteponiéndoles el signo +, como (+ 5) o simplemente 5. Los números que sirven pr indicr pérdids, temperturs bjo cero, ltitudes sur, etc. se llmn números negtivos y se h convenido en representrlos nteponiéndoles el signo. Así ( 50) represent un pérdid; ( 5º) referidos tempertur, indic 5 grdos bjo cero, 18 grdos de ltitud, indic un lugr situdo en el hemisferio sur. Si un número positivo no está precedido de ningún signo, se consider como positivo; por tnto, 5 es lo mismo que VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO. Es el vlor ritmético de un número. Ejemplo: Vlor bsoluto de 5 es 5. Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin

24 . NÚMEROS OPUESTOS O SIMÉTRICOS. Son dos números lgebricos que solo difieren por el signo. + 9 y 9; + b y b; 5 y 5; 7 x y 7x son simétricos..4 REPRESENTACIÓN GRÁFICA EN EL EJE NUMÉRICO (ENTEROS RACIONALES E IRRACIONALES). El conjunto de los números lgebricos lo formn los números positivos, los números negtivos y tmbién el cero. OPERACIONES CON NÚMEROS ALGEBRAICOS POSITIVOS Y NEGATIVOS.5 ADICIÓN 1. AXIOMA DE UNIFORMIDAD. L sum de dos números es siempre igul, es decir, únic, sí: si = b y c = d, tenemos que: c b d. 5 + = 8; 1 + = ; + = 5. AXIOMA DE EXISTENCIA. L dición es siempre posible. Es decir es siempre posible efectur est operción con o más números y el resultdo es tmbién un número. + b = c 5 + = 7. AXIOMA DE CONMUTATIVIDAD. El orden de los sumndos, no lter l sum o totl. + b = b + Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 4

25 5 + = AXIOMA DE ASOCIATIVIDAD. Los sumndos se pueden grupr de diferentes forms y siempre d el mismo totl. ( + b) + c = + (b + c) = ( + c) + b 5. AXIOMA DEL ELEMENTO NEUTRO. Hy un número y solo un número, el cero, de modo que: + 0 = 0 + = pr culquier vlor de. De hí que el cero recib el nombre de elemento neutro de l sum = = = = 4 6. AXIOMA DE EXISTENCIA DEL INVERSO ADITIVO. Pr todo número pr rel 0 ( diferenci de cero) corresponde un número rel y sólo uno x, de modo que + ( ) = 0. Este número se llm inverso ditivo, opuesto o simétrico de y se represent por.. + ( ) = 0 inverso o simétrico de b = 0 8 inverso o simétrico de 8.6 SUMA DE DOS O MÁS NÚMEROS POSITIVOS. REGLA: Se sumn los vlores bsolutos de los números y l resultdo obtenido se le ntepone el signo +.. ( + 4 ) + ( + ) = 4 + = + 7 = 7 b. ( + ) + ( + ) + ( + 8 ) = = + 1 = 1 c ( + 9 ) + ( + 7 ) + ( + 5 ) + ( + 6 ) = = + 7 = 7.7 SUMA DE DOS O MÁS NÚMEROS NEGATIVOS. REGLA: Se sumn los vlores bsolutos de los números y l bsoluto obtenido se le ntepone el signo.. ( 4 ) + ( ) = 4 = 7 Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 5

26 b. ( ) + ( 6 ) + ( ) = 6 = 11 c. ( 5 ) + ( 8 ) + ( 9 ) + ( 11 ) = =.8 SUMA DE UN NÚMERO POSITIVO Y OTRO NEGATIVO. REGLA: Se encuentr l diferenci ritmétic de los vlores bsolutos de mbos números y l resultdo obtenido, se le ntepone el signo del número myor.. ( + 6 ) + ( ) = 6 = + 4 = 4 b. ( 8 ) + ( + 5 ) = = c. ( + 7 ) + ( 7 ) = 7 7 = 0.9 SUMA DE VARIOS NÚMEROS ALGEBRAICOS DE DIFERENTES SIGNOS. REGLA: Se sumn todos los números positivos y todos los números negtivos, plicndo los csos 6 y 7 y luego se restn los resultdos, plicndo el cso 8.. ( +7 ) + ( +4 ) + ( ) + ( 5 ) = ( 7+4 ) + ( 5 ) = ( +11 ) + ( 7 ) = + 4 = 4 b. ( +5 ) + ( ) + ( ) + ( +4 ) + ( 1) = ( 5+4 ) + ( 1) = ( +9 ) + ( 6 ) = 9 6 = + = c. ( 9 ) + ( 0 ) + ( +16 ) + ( +14 ) + ( 9 ) + ( 0 )= ( ) + ( ) = ( +0 ) + ( 58 ) = 0 58 = 8 Sumr los siguientes números: EJERCICIO ( + 4 ) + ( + ) + ( + 5 ) + ( + 11 ). ( + 8 ) + ( 5 ) + ( 4 ) + ( + 6 ) + ( ). ( 9 ) + ( 8 ) + ( ) + ( 6 ) + ( + 5 ) 4. ( + 1 ) + ( 1 ) + ( ) + ( 6 ) + ( + 5 ) 5. ( 8 ) + ( 6 ) + ( 9 ) + ( 5 ) + ( 4 ) 6. ( + 7 ) + ( 6 ) + ( 5 ) + ( ) + ( ) Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 6

27 .10 SUSTRACCIÓN O RESTA DE NÚMEROS ALGEBRAICOS. L rest es operción invers de l sum, por tnto; pr restr números lgebricos, se procede l invers de l sum. REGLA: Pr hllr l diferenci entre dos números se sum l minuendo el sustrendo cmbiándole el signo.. ( + 8 ) ( + 4 ) = ( + 8 ) + ( 4 ) = 8 4 = + 4 = 4 b. ( + 8 ) ( 4 ) = ( + 8 ) + ( + 4 ) = = + 1 = 1 c. ( 8 ) ( + 4 ) = ( 8 ) + ( 4 ) = 8 4 = 1 d. ( 8 ) ( 4 ) = ( 8 ) + ( + 4 ) = = 4 En l rest pueden suprimirse tmbién los préntesis precedidos del signo, teniendo cuiddo de cmbir el signo del número escrito entre préntesis. Ejemplo: ( + 8 ) ( 7 ) = = + 15 = 15 Igul ps cundo el préntesis contiene vrios términos.. ( + 9 ) ( 4 + ) = = 16 = + 14 = 14 b. ( + 5 ) + ( 8 ) ( ) + ( 15 ) = = = +1 = 1 EJERCICIO 10. Restr los siguientes números: 1. ( + 1 ) ( + 15 ). ( 16 ) ( + 5 ). ( 1 ) ( 15 ) 4. ( 1 ) ( + 1 ) 5. [ ( + 6 ) + ( ) + ( + )] [ ( 9 ) + ( 4 )] 6. [ ( + ) + ( ) ( + 5 )] [ ( 9 ) + ( 8 )].10 MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ALGEBRAICOS. 1. AXIOMA DE UNIFORMIDAD. El producto de dos números es siempre igul, es decir, único, sí si = b c bd. y c = d, tenemos que: Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 7

28 = 6 = = 10. AXIOMA DE EXISTENCIA. L multiplicción es siempre posible. Es decir, siempre es posible efectur est operción, pr dos o más números culesquier y el resultdo es tmbién un número. b = c = 6. AXIOMA DE CONMUTATIVIDAD. El orden de los fctores no lter el producto. b = b. Ejemplo: = = 6 4. AXIOMA DE ASOCIATIVIDAD. Los fctores se pueden grupr de diferentes forms y siempre d el mismo producto. ( b ) c = ( b c) Ejemplo: 5. AXIOMA DE DISTRIBUTIVIDAD. ( ) 5 = ( 5 ) = ( 5 ) Con respecto de l sum tenemos que ( + b ) c = c + bc. Ejemplo: 6. AXIOMA DEL ELEMENTO NEUTRO. ( + ) 5 = = = 5 Hy un número y sólo un número, el uno (1) de modo que 1 = 1 = pr culquier vlor de. De hí que el uno recib el nombre de elemento neutro de l multiplicción. 5 1 = 1 5 = = 1 7 = 7 7. AXIOMA DE EXISTENCIA DEL INVERSO MULTIPLICATIVO. Pr todo número rel 0 ( diferente de cero) corresponde un número rel y sólo uno x, de modo 1 1 que 1. Este número se llm inverso multiplictivo o reciproco de y se represent por. Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 8

29 inverso o reciproco de b. 1 inverso o reciproco de..1 REGLA DE LOS SIGNOS DE UN PRODUCTO. 1. El producto de dos números lgebricos del mismo signo es positivo. ( + ) ( + ) = + 6 = 6 ( ) ( ) = + 6 = 6. El producto de dos números lgebricos de distinto signo es negtivo. Estos resultdos pueden indicrse como sigue: ( + ) ( ) = 6 ( 5 ) ( + ) = 10 ( + ) ( + ) = + ( ) ( ) = + ( + ) ( ) = ( ) ( + ) = Ejemplo del producto de vrios números:. ( 5 ) ( + 4 ) ( ) ( + ) = + 10 = 10 b. ( + 5 ) ( 4 ) ( ) ( ) = 10.1 POTENCIA DE UN NÚMERO ALGEBRAICO. 1. L potenci de un número positivo es siempre positiv. ( + ) 5 = ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) = + = Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 9

30 . L potenci de un número negtivo es positiv si el exponente es pr. ( 5 ) = ( 5 ) ( 5 ) = 5 ( ) 4 = ( ) ( ) ( ) ( ) = 81. L potenci de un número negtivo es negtiv si el exponente es impr. ( ) = ( ) ( ) ( ) = 8 ( ) 5 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 4 EJERCICIO 11. Efectur ls siguientes multiplicciones. 1. ( + 1 ) por ( + 4 ). ( + 9 ) por ( 8 ). ( 6 ) por ( 9 ) 4. ( 15 ) por ( + ) 5. [( 8 ) + ( 6 )] por [( ) + ( 4 )] 6. [( + 5 ) ( + 4 )] por [( 8 ) + ( + 8 )] 7. ( ) 8. ( ) 4 9. ( 5 ) DIVISIÓN DE NÚMEROS ALGEBRAICOS. Pr dividir se procede igul que en l multiplicción pero dividiendo..14 REGLA DE LOS SIGNOS DE UN COCIENTE. 1. El cociente de dos números lgebricos de igul signo es positivo. ( + 10 ) ( + ) = +5 ( 10 ) ( ) = + 5 = 5. El cociente de dos números lgebricos de diferente signo es negtivo. Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 0

31 ( + 1 ) ( ) = 4 ( 1 ) ( + ) = 4 Estos resultdos pueden indicrse como sigue: ( + ) ( + ) = + ( ) ( ) = + ( + ) ( ) = ( ) ( + ) =.15 PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DE LA DIVISIÓN. Pr dividir un sum lgebric entre un número, se divide cd sumndo entre dicho número y luego se sumn los resultdos prciles. Ejemplo: Dividir: ( 4 ) + ( + 15 ) + ( 9 ) entre ( ), tmbién se puede indicr como sigue: [( 4) ( 15) ( 9)] () [( 4) ( )] [( 15) ( )] [( 9) ( )] ( 8) ( 5) ( ) EJERCICIO 1. Dividir los siguientes números: 1. ( + 15 ) entre ( + ). ( 9 ) entre ( ). ( 5 ) entre ( + 5 ) 4. ( + 8 ) entre ( 7 ) 5. [( 9 ) + ( + 8 ) + ( + 7 )] entre [( ) + ( + 6 )] 6. [( 6 ) ( 6 )] entre [( + 9 ) + ( 7 )] Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 1

32 4 LAS OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS. TEMAS QUE SE VEN EN ESTE CAPITULO Grdo de un polinomio. Términos semejntes. Reducción de términos semejntes. Adición. Sustrcción. Signos de grupción. Supresión de signos de grupción. Introducción de signos de grupción. Multiplicción. Ley de los signos. Signo del producto de ms de dos fctores. Ley de los exponentes. Csos de l multiplicción. Regl pr l multiplicción de monomios. Regl pr multiplicr un polinomio por un monomio. Regl pr l multiplicción de polinomios. Potenci de un monomio. Potenci de un polinomio. División. Ley de los signos de l división. Ley de los exponentes en l división. Csos de l división. Regl pr dividir dos monomios. Regl pr dividir un polinomio entre un monomio. Regl pr dividir dos polinomios. 4.1 GRADO DE UN POLINOMIO. El grdo de un polinomio puede ser bsoluto y con relción un letr. GRADO ABSOLUTO: Es el grdo de su término de myor grdo. x 5x x x x 6x y 4 x y + x y y 4º Grdo 5º Grdo GRADO CON RELACIONA A UNA LETRA. Es el myor exponente de dich letr en el polinomio. Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin

33 x x x 4x 6x y 4 5 (6º grdo con respecto l y 4º con respecto l x) (4º grdo con respecto l x y 5º con respecto l y) 4. TÉRMINOS SEMEJANTES. Son quellos que solo difieren por sus coeficientes numéricos y tienen l mism prte literl con los mismos exponentes.. 5b, 7b, 14b son semejntes por b. b. 5 b, 8 b 1, b son semejntes por b. 4 c. 5b y 6 b no son semejntes por que b es diferente de b. 4. REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES. REGLA: Se sumn seprdmente los coeficientes precedidos del signo + y los coeficientes precedidos del signo ; luego se restn ls dos sums y se pone el resultdo, fectdo el signo de l sum myor.. 7m m + 4m m = ( 7m + 4m ) + ( m m ) = 11m 5m = 6m b = ( ) + ( ) = 0 8 = ADICIÓN. OPERACIONES CON POLINOMIOS. En l sum lgebric se pueden distinguir dos csos: 1. SUMAR DOS O VARIOS MONOMIOS.. SUMAR DOS O VARIOS POLINOMIOS. REGLA: Pr sumr expresiones lgebrics se escriben uns continución de ls otrs con sus propios signos y se reducen los términos semejntes si los hy. Sumr los monomios siguientes:. 5, 4b, 7b, 6; Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin

34 ( + 5 ) + ( 4b) + ( + 7b) + ( 6 ) = 5 4b + 7b 6 = 5 6 4b + 7b = + b = b b. b, 4b, 4, 5, b, 4b; b 4b b + 4b = b + b 4b = 4b 1 L sum de polinomios se reduce l sum de monomios. Ejemplo: Sumr el siguiente polinomio: 4 + 9b m con 5 + b + 5 ( 4 + 9b m ) + ( 5 + b + 5 ) = 4 + 9b m b + 5 = b + b m = + 10b 6 + 8m L sum de vrios polinomios tmbién puede hcerse en column. Ejemplo: Sumr: x y x ; 4x x y ; 5 1 x y x x x y 4x x y 1 x x y x x y Pr sumr términos frccionrios se hce como en Aritmétic, tomndo los coeficientes de los términos lgebricos. 1 1 De x 4x x se tomn, 4 y Así Sumr: EJERCICIO b c; 5b c + ; c 4b. 5x + xy y; y xy + x ; y xy 8x. x + xy; 65 xy + y ; 65 xy + y 4. x x ; 5 x x ; 7 x + x 4 ; x 1 1 x Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 4

35 4.5 SUSTRACCIÓN. Propedéutico de Mtemátics, Modulo I En l rest lgebric, se pueden considerr dos csos. 1. EL SUSTRAENDO EN UN MONOMIO.. EL SUSTRAENDO EN UN POLINOMIO. REGLA: Se escribe el minuendo con sus propios signos y continución el sustrendo con los signos cmbidos y se reducen los términos semejntes si los hy. En cso de que el sustrendo se un polinomio se le cmbi de signo todos los términos del polinomio. NOTA: De hecho podemos considerr l sustrcción como un sum lgebric después de hberle cmbido el signo l sustrendo. Restr 5x + 8x de 9x + 6x Sustrendo (Est l derech de l plbr restr) Minuendo Restr:. 5 bc de x: x ( 5bc ) = x + 5bc b. 8x de nx 15x + 4 ( nx 15x + 4 ) ( 18 ) = nx 15x x = nx 7x + 4 c. b b + 4b de 4 4b b + b ( 4 4b b + b ) ( b b + 4b ) = 4 4b b + b b + b + 4b = 5 b + 6b EJERCICIO Restr 4m mn + n de 6n mn + 4m. De 4 b + b entre 5b b +. De 5 x x 1 + x entre x 1 + x + x 4. Restr 1 4 b + c de + b c 4.6 SIGNOS DE AGRUPACIÓN. Los signos de grupción o préntesis son de cutro clses: el préntesis ordinrio ( ), el préntesis ngulr o corchete [ ], ls llves { } y el vínculo o brr. Los signos de grupción se emplen pr indicr que ls cntiddes encerrds en ellos deben considerrse como un todo, o se, como un sol cntidd. Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 5

36 4.7 SUPRESIÓN DE SIGNOS DE AGRUPACIÓN. REGLA: 1. pr suprimir signos de grupción precedidos del signo +, se dej el mismo signo que teng cd un de ls cntiddes que se hlln dentro de él.. pr suprimir signos de grupción precedidos del signo, se cmbi el signo cd un de ls cntiddes que se hlln dentro de él. Suprimir los préntesis en ls siguientes expresiones:. + ( b c ) + ( + b ) = + b c + b = c b. 5x + ( x y ) [ y + 4x ] + ( x 6 ) = 5x x y +y 4x + x 6 = x 6 EJERCICIO 15. Simplificr suprimiendo los signos de grupción y reduciendo términos semejntes [ ( + b )]. 4x + [ ( x xy ) + ( y + xy) ( x + y ) ]. + { ( + b ) ( + b c ) + } 4. 4m { m + ( n ) + [ 4n ( m + 1 )] INTRODUCCIÓN DE SIGNOS DE AGRUPACIÓN. REGLA: 1. Pr introducir cntiddes dentro de un signo de grupción precedido del signo +, se dej cd un de ls cntiddes con el mismo signo que teng.. Pr introducir cntiddes dentro de un signo de grupción precedido del signo, se cmbi el signo cd un de ls cntiddes que se incluye en él.. Introducir los dos términos últimos de l expresión dentro de un préntesis precedido del signo +. b + c d 4 = b + ( c d 4 ) b. Introducir todos los términos menos el primero, en un préntesis precedido del signo. + b ( + b ) ( + b ) = [ b + ( + b ) + ( + b)] EJERCICIO 16. Introducir todos los términos, menos el primero, en un préntesis precedido del signo b c + d. x x y + xy y. x + y + ( x y ) 4. 4m n + ( m + n ) + ( m n) Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 6

37 5. x { xy + [ ( x xy ) + y ] } 6. x x + [ 4x + ] x ( x + ) MULTIPLICACIÓN Es un operción que tiene por objeto, dds dos cntiddes llmds fctores, hllr un tercer cntidd, llmd producto. Ejemplo: fctores b = c producto. LEY CONMUTATIVA DE LA MULTIPLICACIÓN. El orden de los fctores no lter el producto. Ejemplo: 5 = 5 = 10 b = b b. LEY ASOCIATIVA DE LA MULTIPLICACIÓN. Los fctores de un producto pueden gruprse en culquier modo. Ejemplo: b c d = ( b ) ( c d ) = ( b c ) d LEY DE LOS SIGNOS. Signo del grupo de dos fctores. En este cso l regl es: signos igules dn + y signos diferentes dn. ( + ) ( + b ) = +b ( ) ( b ) = + b ( + ) ( b ) = b ( ) ( +b ) = b Lo nterior se puede resumir diciendo: + por + d + por d + + por d por d Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 7

38 SIGNO DEL PRODUCTO DE MAS DE DOS FACTORES. En este cso l REGLA es:. el signo del producto de vrios fctores es +, cundo tiene un número pr de fctores negtivos o ninguno. ( ) ( b ) ( c ) ( d ) = [ ( ) ( b )] [ ( c ) ( d ) ] = ( + b ) ( + cd ) = b c d b. El signo del producto de vrios fctores es, cundo se tiene un número impr de fctores negtivos. ( ) ( b ) ( c ) = [( ) ( b )] ( c ) = ( + b ) ( c ) = b c LEY DE LOS EXPONENTES. Pr multiplicr potencis de l mism bse, se sumn los exponentes y l sum se pone como exponente de l bse. 4 = ( ) ( ) ( ) = 4++ = 9 CASOS DE LA MULTIPLICACIÓN. En l multiplicción lgebric se distinguen tres csos: 1. MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS.. MULTIPLICACIÓN DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO.. MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS. REGLA PARA LA MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS Se multiplicn los coeficientes con todo y signo de cuerdo con l ley de signos, continución se escriben ls letrs en orden lfbético, poniéndoles sus exponentes de cuerdo con l Ley de los Exponentes. Multiplicr:. por ; tendremos: = ( ) ( + ) = 6 5 b. ( 4 x ) ( x ) ( x ) = ( 4 ) ( ) ( 1) ( ++1 ) = 1 5 x 5 c. ( 18x y ) ( 6y ) ( x y ) = ( 18 ) ( 6 ) ( 1 ) ( x + ) = 108 x 5 y 6 Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 8

39 REGLA PARA MULTIPLICAR UN POLINOMIO. Se multiplic el monomio por cd uno de los términos del polinomio con todo y signo y se seprn los productos sí obtenidos con sus signos. Multiplicr:. x 6x + 7 por 4x, tendremos: ( x 6x + 7 ) (4 x ) = ( x ) ( 4x ) ( 6x ) (4x ) + 7 ( 4x ) = 1x 4 4x + 8x b. ( + m) = ( + m) ( + m) = (9 + 1m + 4m ) ( + m) = m + 1m + 18 m + 4m + 8m = m + 6m + 8m Multiplicr : EJERCICIO ( 5 b c) ( 7 b c 4 ) 1. ( x y) ( 5 xy 10 ) ( x ) ( 4 x y). ( x b x 1 ) ( x+1 b ) ( b x ) 4. b + b por b 1 5. m 1 n mn 5 m n por 8 mn 6. ( x xy + y ) ( x y) 7. (4 + b) ( b) 8. ( m 4mn + n ) ( 4 5 n) 9. ( x 1 x + x 1 ) (4 x x 1 ) 10. ( bc ) 11. ( 4 x bc x 1 ) 4 1. Simplificr ( + b) [ + b ( + ) (b )] 4.19 DIVISIÓN Es un operción que tiene por objeto, ddo el producto fctores (divisor), hllr el toro fctor (cociente). de dos fctores (dividendo) y uno de los Ejemplo: Divisor b c r Cociente Dividendo Residuo Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 9

40 4.0 LEY DE LOS SIGNOS DE LA DIVISIÓN. L ley de los signos en l división es l mism que en l multiplicción: signos igules d + y signos diferentes d. + entre + d + b b b b b b b b entre d + entre d entre + d 4.1 LEY DE LOS EXPONENTES EN LA DIVISION Pr dividir potencis de l mism bse se dej l mism bse y se le ponen de exponente l diferenci entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor.. Dividir 4 b 4 b ( b) = = b b b. Dividir 5 4 b c ( 4 5 b c b) = = 5 b c b c. Dividir 16 mx y 5 xy 16mx y 16mx 16 = = = mx 5xy REGLA PARA DIVIDIR UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO. Se divide uno de los términos del polinomio entre el monomio seprndo los cociente prciles con sus propios signos. b c m b m c m b m c m (LEY DISTRIBUTIVA DE LA DIVISIÓN). Dividir 6 b + 9 b entre 6 b 9 b b b b. Dividir 4 x 8 10 x 6 5 x 4 entre x 4 Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 40

41 x 10 x 5 x 4 x 10 x 5 x 4 x 5 x x x x x REGLA PARA DIVIDIR DOS POLINOMIOS. 1. Se orden el dividendo y el divisor y se en orden scendente o descendente con respecto un mism letr.. Se divide el término del dividendo entre el primer término del divisor y se obtiene sí el primer término del cociente.. Este primer término del cociente se multiplic por todo el divisor y el producto obtenido se rest del dividendo, pr lo cul se les cmbi todos de signo, escribiendo cd término debjo de su semejnte. Si lgún término de este producto no tiene ningún término semejnte se el pone prte, de cuerdo con l ordención del dividendo y el divisor. 4. Se divide el primer término obtenido de l rest nterior y se vuele dividir entre el primer término del divisor obtenido l segundo término del cociente. Este segundo término se multiplic por el divisor y el producto obtenido se rest del dividendo cmbiándole de signos. Se vuelve dividir el primer término del segundo resto entre el primero del divisor y se efectún ls divisiones nteriores hst que el resto del dividendo de cero o el polinomio se de menor grdo que el divisor.. Dividir x x entre x + 1 Explicción: x x + 1 x x x x x x + 0 El dividendo (x x ) y el divisor (x + 1) están ordendos en orden descendente con respecto x. Por lo generl se orden descendentemente por costumbre, pero tmbién se puede hcer en orden scendente. Se divide el primer término del dividendo (x ) entre el primer término del divisor (x) y tenemos x x = x. Este es el primer término del cociente. Luego se multiplic este término del cociente (x) por el divisor (x + 1) y tenemos x(x + 1) = x + x, como este producto lo tenemos que restr del dividendo le cmbimos de signo y result: x x. Estos productos con sus signos cmbidos los colocmos debjo del dividendo (x términos semejntes y hcemos l reducción que result x y bjmos el. x ) con sus Volvemos dividir el primer término del resto del dividendo ( x) entre el primer término del divisor (x) y tenemos ( x) x = que es le segundo término del cociente. Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 41

42 Este segundo término del cociente ( ) lo multiplicmos otr vez por el divisor (x + 1) y tenemos (x + 1) = x cmbiándoles de signo pr l rest nos d x + que lo vmos reducir del dividendo, resultándonos el residuo igul cero. b. Dividir x x entre x Ordenndo descendentemente con respecto l x tenemos: x + 5 x + x 8x + 15 x + x 5x x 15 0 c. Dividir 6 x xy y entre y + x Ordenndo tnto dividendo (6 x xy y ) como divisor (y + x) en orden descendente con respecto l x tenemos: x y x + y 6x xy y 6x xy 4xy y 4xy + y 0 NOTA: tmbién se pudo hber ordendo con respecto l letr y. d. Dividir x 5x + 7 entre x 4 x 1 x + x 5x + 7 x + 4x x + 7 x 4 El residuo ( ), no tienen x, sí que es de grdo cero con respecto l x, luego quí se detiene l operción porque el dividendo es de grdo inferior que el divisor y el resultdo es: x 1 x 4 Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 4

43 Dividir. EJERCICIO b 5 c 4 entre 4b c. 4 x 5 y 4 z entre x 4 y z. m + mn entre m 4. x 6xy + 5x y entre x 5. m 4 5 m entre 5 m 6. x + x entre x m 1 + 8m entre m entre 5 9. m 4m entre + m 10. x x y + 10x y 4 + xy 4 1x 4 y entre x 4xy 5x y Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 4

44 5 PRODUCTOS NOTABLES. TEMAS QUE SE VEN EN ESTE CAPITULO Producto notble. Cudrdo de un binomio. Producto de l sum por l diferenci de dos cntiddes. Cubo de un binomio. Producto de dos binomios que tienen un término común. Producto de dos binomios de l form ( x + b ) ( cx + d ) Producto ( ± b ) ( ± b ± b ). División sintétic o brevid. PRODUCTO NOTABLE. Se llmn productos notbles, ciertos productos que por simple inspección, se les puede escribir su resultdo, sin necesidd de efectur l multiplicción. En l list siguiente precen lguns de ls formuls de productos notbles que son útiles en diversos problems de multiplicción y fctorizción. Se recomiend que el estudinte memorice ests seis formuls, tods ls cules pueden estblecerse por multiplicción direct. b b b 1. b. b b. b b b b 4. x x b x b x b 5. x b cx d cx d bc x bd b b 6. b b Efectundo el producto tenemos: b b b b b b b b b b O se: Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 44

45 Lo mismo sucede pr: b b b b b Efectundo el producto tenemos: b b b b b b b O se: b b b Lo cul puede expresrse en un sol formul que es l siguiente: b b b Luego: el cudrdo de l sum o diferenci de dos cntiddes, es igul l cudrdo de l primer cntidd más o menos (dependiendo este signo del signo que teng el binomio), el doble de l primer cntidd por l segund más el cudrdo de l segund cntidd.. Desrrollr (y + 5) Cudrdo del primero. (y) = y Doble del primero por el segundo.. (y) (5) = 10y Cudrdo del segundo (5) = 5 Luego: (y + 5) = y + 10y + 5 b. Desrrollr ( 6b ) Cudrdo del primero. () = 9 Doble del primero por el segundo.. () (6b ) = 6b Cudrdo del segundo. (6b ) = 6b 4 Luego: ( 6b ) = 9 6b + 6b Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 45

46 EJERCICIO 19. Escribir el resultdo de los siguientes productos notbles: 1. b. 9 4 m. 5 x y 4. 5 m 4 n 5. x y 6. 4 r s PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES Se el producto b b efectundo l multiplicción obtenemos: b b b b b 0 b b O se: b b Luego: El producto de dos binomios conjugdos es igul l cudrdo de l primer cntidd menos le cudrdo de l segund cntidd.. Desrrollr: (m + x) (m x) Cudrdo del primero (m) = m Cudrdo del segundo (x) = x Luego: (m + x) (m x) = m x b. Desrrollr: ( b ) ( + b ) = ( ) (b ) = 4 9b 6 Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 46

47 EJERCICIO 0. Escribir el resultdo de los siguientes productos notbles: 1. b b. 5x y5x y x yx y 5. x x x y x y 5 5 CUBO DE UN BINOMIO Se b b b b, efectundo el producto tendremos: b b b b Como Luego: b b b b b b b b b b b b O se: ( + b) = + b + b + b Lo mismo sucede pr: ( b) = b + b b Lo cul puede expresrse en un sol formul que es l siguiente: b b b b Luego: El cubo de l sum o diferenci de dos cntiddes es igul l cubo de l primer cntidd más o menos (dependiendo este signo del que teng el segundo término del binomio), el triple de l primer cntidd elevd l cudrdo por l segund cntidd más el triple de l primer cntidd por l segund elevd l cudrdo, más o menos el cubo de l segund cntidd. Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 47

48 . Desrrollr (x + 4) x 4 x x 4 x 4 4 x 1 x 4 8 x 6 4 b. Desrrollr: (x 8y ) x 8 y x x 8 y x 8 y 8 y 8 x 9 6 x y 8 4 x y 5 1 y EJERCICIO 1. Escribir el resultdo de los siguientes productos notbles: 1. x 1. x y. 5 m 4 n PRODUCTO DE DOS BINOMIOS QUE TIENEN UN TÉRMINO COMÚN. Sen los binomios (x + ) y (x + b). Su producto es: x x x x b x b x b x b b O se: ()()() x x b x b x b Luego: Al producto de dos binomios que tiene un término común, es igul l cudrdo del término común, más l sum lgebric de los términos no comunes por el término común, más el producto lgebrico de los términos no comunes. Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 48

49 . Efectur (x + 5) (x + ) Cudrdo del término común..(x) = x Sum lgebric de los no comunes por el común... (5 + ) x = 7x Producto lgebrico de los no comunes (5)() = 10 Luego: (x + 5) (x + ) = x +7x + 10 b. Efectur: (m + 8) (m 10) Cudrdo del término común.. (m) = m Sum lgebric de los comunes por el común. (8 10) = m Producto lgebrico de los no comunes... (8) ( 10) = 80 Luego: (m + 8) (m 8) = m m 80 EJERCICIO. Escribir el resultdo de los siguientes productos notbles: 1. ( z 8)( z 5). ( x 7)( x ). ( m 6)( m ) 4. ( 6)( 5) 5. ( x )() y x y 6. ( )( 7) n p n p 5.6 PRODUCTO DE DOS BINOMIOS DE LA FORMA (x + b) (cx + d). Sen los binomios ()() x b c x d. Su producto es: x b c x c x d b c x d x b d c x d b c x b d O se: ()()() x b c x d c x d b c x b d Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 49

50 . Efectur (x + ) (5x + 4) 1 0 x 1 ( x )( 5 x 4) 1 0 x 8 x 1 5 x x x x 8 x b. Efectur: (4m ) (m + 5) 4 4 ( 4 m )( m 5) 1 ( m0 9)( )( 5) 1m m m EJERCICIO. Escribir el resultdo de los siguientes productos notbles: 1. (x + ) (x 1). (m ) (m + ). (6x + 4) (x 5) 4. (4n 4 + 1) (8n 4 1) 5.7 PRODUCTO () b POR () b b El producto de ests dos expresiones es: b b b b b b b b 0 0 b O se : ()() b b b b, lo mismo ocurre pr: Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 50

51 ()() b b b b Lo cul puede expresrse en un sol fórmul que es l siguiente:. Efectur ( m )( 4 m 6 m 9) ()() b b b ( m )( 4 m 6 m 9)( )( ) m 8 7 m b. Efectur ( 4 x )( y1 6 x1 x y 9) y 4 ( 4 x )( y1 6 x1 x y 9)( 4)( ) y 6 4 x 7 y x y 4 6 EJERCICIO ( )( 9 6 4) ( 6 b 1)( 6 b 6 b 1) ( )( x4 y 6 x 9) x y y ( 1 8)( ) DIVISIÓN SINTÉTICA O ABREVIADA Trtándose de l división de un polinomio en x entre el binomio de l form x ±, puede obtenerse el cociente con much rpidez, sin seguir el procedimiento ordinrio, emplen l división sintétic. Se l división de 5x + x 4x + entre x, que suele disponerse como sigue: Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 51

52 5 x 1 x 0 x x x x x 1 0 x 1 x 4 x 1 x 4 x 0 x 0 x Como primer brevición, se puede dejr de escribir los productos de cd término del cociente por el término del divisor y poner solmente los productos del segundo término del divisor, con los signos cmbidos. Después, sumndo estos resultdos con el dividendo, se obtiene: 5 x 1 x 0 x x x x x 4 x x 1 x 0 x Obsérvese que los coeficientes de los diversos grdos de x en 5x + x + 0x + 4 son los coeficientes de los términos del cociente, y que 4 es el residuo. Se puede, por tnto, como ultim brevición, suprimir ls x y poner, demás, (+) en vez de ( ) en el divisor, porque l producto de ( ) por cd término del cociente hy que cmbirle el signo pr efectur l rest. Result, pues, l operción en l siguiente form: De lo nterior se deduce l siguiente REGLA: 1º. El grdo del cociente es inferior en 1 l dividendo: º. El cociente del primer término del cociente es igul l del primer término del dividendo. º. Cd uno de los demás, es igul l nterior multiplicdo por el segundo término del divisor, con el signo cmbido, más el cociente del término correspondiente del dividendo. 4º. El último número, es el residuo de l división. 5º. Si fltr lgun potenci del el dividendo, se suplirá dándole cero como coeficiente. Ejemplo: Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 5

53 5 Dividir 5 x x x 4 entre x 5 4 Se supone 5 x 0 x 0 x x x El cociente es: 4 5x 15x 45x 1x 97 ; y el residuo º.Si el primer término del divisor tiene un coeficiente diferente de 1, puede plicrse tmbién l división sintétic, previ división de los términos del dividendo y de los del divisor entre dicho coeficiente, y procede después como en los ejemplos expuestos. EJERCICIO 5. Hllr por división sintétic, el cociente y el residuo de ls divisiones siguientes: entre 4. x + x 10 entre x + 5. m m + m entre m entre + 5. y 4 +4y 5y 48 entre y + 6. z 6 z 5 z + z + z entre z + 1 Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 5

54 6 FACTORIZACIÓN Fctorizción de polinomios. Fctor común. Trinomio cudrdo perfecto. Diferenci de cudrdos. Cutrinomio cubo perfecto. TEMAS QUE SE VEN EN ESTE CAPITULO Trinomio de segundo grdo de l form Trinomio de segundo grdo de l form Sum o diferenci de cubos perfectos. x b x b. cx d bc x bd. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS. Fctorizr un expresión lgebric es hllr dos o más fctores cuyo producto es igul l expresión propuest. En l list siguiente precen ls formuls de fctorizción. Se recomiend que el estudinte memorice ests siete formuls de productos notbles, excepción de l primer. 1. m n -() r m n r () b b b b ()() b b b () b b b x ()()() b x b x x b cx ()()() d bc x bd x b cx d b ()() b b b FACTOR COMÚN. REGLA: pr fctorizr un polinomio cuyos términos tienen un fctor común monomio, se divide el polinomio entre ese fctor común y se indic el producto del divisor por el cociente obtenido. Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 54

55 . Descomponer Por que b. Descomponer contiene el fctor común y 15b 0b 15b 0b 15b 15b 1 y, luego: tiene el fctor común 15 b, luego: 0 15 b b b ( ) (1 ) b b b b por que c. Descomponer 15m 5m 10m 4 El fctor común es 5m, luego: Fctorizr por fctor común: 1. x xy 9 1b 1m np 18m n m m 6m x y z x z x y m 5m 10m 5( m m m) EJERCICIO 6. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO. REGLA: Pr fctorizr un trinomio cudrdo perfecto, se extre l ríz cudrd de los términos cudráticos y se indic l elevción l cudrdo del binomio formdo por ess ríces, seprds por el signo del término que es su doble producto, esto es: () b b b. Fctorizr: n n 1 Ríz cudrd del primer término n : n Ríz del tercer término 1: 1 Doble producto de ests ríces: (n) (1)=n Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 55

56 Luego: El signo es + por + n Propedéutico de Mtemátics, Modulo I n n 1( n1) b. Descomponer m n mn 9m 0mn 5n Ordenndo primermente tendremos: Ríz cudrd del primer término 9m : m Ríz cudrd del tercer término 5n : 5n Doble producto de ests ríces: (m) (5n) = 0mn 9m 0mn 5( n 5) m n Luego: El signo es menos ( ) porque 0mn tiene menos ( ) c. Fctorizr: 4 b 9b Luego: b b 9b b 4 Fctorizr: m m 4 y y 1 x x y y b 9b 9m 5n 0mn z z EJERCICIO DIFERENCIA DE CUADRADOS REGLA: Se extre l ríz cudrd, l minuendo y l sustrendo y se multiplic l sum de ests ríces cudrds por l diferenci entre l ríz del minuendo y l del sustrendo, esto es: b ()() b b 4. Fctorizr: b c Ríz cudrd del minuendo b : b Ríz cudrd del sustrendo c 4 : c Luego: b c ()() b c b c 4 Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 56

57 b. Descomponer: 9m 16 n 6 Ríz cudrd del minuendo 9 m : m Ríz cudrd del sustrendo 16 n 6 : 4n Luego: 9 m 1 6( n 4)( m n4) m n 6 c. Fctorizr: x x 1 4 Luego: x 1 x 1 x 1 1 x 1 x x x Fctorizr: x b 4. 5 x 9 y z x y 4 z EJERCICIO. 8 CUATRINOMIO CUBO PERFECTO. REGLA : Pr fctorizr un cutrinomio cubo perfecto, después de ordenr el cutrinomio, se extre l ríz cúbic de los términos primero y curto que son los cúbicos y se indic l elevción l cubo del binomio formdo por ess ríces, seprds por el signo del segundo término, esto es: b () b b b. Descomponer: 8m + 1m + 6m + 1 Como efectivmente es un cutrinomio y est ordendo, tenemos: Ríz cúbic del primer término 8m : m Ríz cúbic del curto término 1: 1 Segundo término: ()(1) m 1 m Tercer término: ()(1) m 6 m Como el segundo término 1 m tiene signo +, luego: 8 m 1 m 6 m 1( m1) Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 57

58 b. Fctorizr: 15 x y 7 y + 15 x 5 x y Ordenndo: 15 x 5 x y + 15 x y 7 y Ríz cúbic del primer término 15 x : 5 x Ríz cúbic del curto término 7 y : y Segundo término: (5)() x y 5 x y Tercer término: (5)() x y 1 5 xy Como los signos de los términos son lterntivmente positivos y negtivos, luego: 1 5 x 5 x y 1 5 xy 7(5 y ) x y Fctorizr: x x x b 1 b 8 b 7 x 5 4 x y 6 xy 8 y 6 4 m 9 m n 7 m n 7 n b 4 0 b 1 5b 6 4 x 7 y x y x y EJERCICIO 9 TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO DE LA FORMA x () b x b REGLA: Un trinomio de l form nterior proviene del producto de dos binomios cuyo primer término es x (llmdo tmbién término común y los segundos términos son tles que dn por sum lgebric el coeficiente de x y por producto lgebrico el coeficiente del término independiente, esto es: x x ()()() b x b x x b 7 x 1. Descomponer: El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer término es l ríz de x, o se: x. ()() x En el primer binomio del producto se pone + porque el segundo término del trinomio + 7x tiene +. En el segundo binomio se pone el signo que result de multiplicr el signo de + 7x por el signo de + 1 y se tiene que + por + dn +, o se: ()() x Ahor como en estos binomios tenemos signos igules, buscmos dos números cuy sum se 7 y cuyo producto se 1. Estos números son: y 4, luego: x x x x x x 7 1 ( )( 4) Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 58