Resuelve. Unidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss. BACHILLERATO Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II. Ecuaciones e incógnitas

Transcripción

1 Unidd. Sistes de ecuciones. Método de Guss Mteátics licds ls Ciencis Sociles II Resuelve Págin Ecuciones e incógnits. Podeos decir que ls dos ecuciones siguientes son dos dtos distintos? No es cierto que l segund dice lo iso que l rier? Rereséntls gráicente observ que se trt de l is rect. Se trt de l is rect. Escribe otro siste de dos ecuciones con dos incógnits en el que l segund ecución se, en esenci, igul que l rier. Interrétlo gráicente. Gráicente son l is rect.. Observ ls ecuciones siguientes: L tercer ecución se h obtenido restndo, iebro iebro, ls dos riers: (.ª) (.ª) (.ª) Por tnto, lo que dice l tercer ecución se deduce de lo que dicen ls otrs dos: no ort nd nuevo. Rereséntls gráicente observ que ls dos riers rects deterinn un unto (con esos dos dtos se resonde ls dos regunts:, ). Corueb que l tercer rect tbién s or ese unto. (, ) D otr ecución que tbién se consecuenci de ls dos riers. Por ejelo: (.ª) (.ª) Rereséntl observ que tbién s or,..ª.ª (, ). Es osible que dos ecuciones dign coss contrdictoris? Escribe dos ecuciones que se contrdign reresent ls rects corresondientes. Sí es osible. Por ejelo:

2 Unidd. Sistes de ecuciones. Método de Guss Mteátics licds ls Ciencis Sociles II Sistes de ecuciones lineles Págin Verddero o lso? ) En un siste de ecuciones con dos incógnits (, ) l ecución tiene, entre otrs, l solución (, ). b) En un siste con tres incógnits (,, ) l ecución no tiene sentido. c) En un siste con tres incógnits (,, ) l ecución sí tiene sentido. Reresent un lno. Alguns soluciones sus son (,, ), (,, ), (,, ). d) Si estos en el lno (dos incógnits,, ) l ecución reresent l eje X. e) Si estos en el escio (tres incógnits,,, ) l ecución reresent l lno XZ. ) Verddero, orque h ás soluciones, coo (, ). b) Flso, (,, ) es solución de es ecución. Podeos oner culquier vlor en l tercer coordend. c) Verddero. d) Verddero, orque los untos del eje X son de l or (, ). e) Verddero, orque los untos del lno XZ son de l or (,, b ). Sin resolverlos, elic or qué son equivlentes los siguientes res de sistes: ) ( ) b) ( c) d) ( ) ) Heos sustituido l segund ecución or el resultdo de sur ls dos que teníos. b) Heos sustituido l rier ecución or el resultdo de restrle l segund ecución l rier. c) En el rier siste, l tercer ecución se obtiene sundo ls dos riers. El resto es igul que en b). d) Heos sustituido l segund ecución or el resultdo de restrle l segund ecución l rier.

3 Unidd. Sistes de ecuciones. Método de Guss Mteátics licds ls Ciencis Sociles II Posibles soluciones de un siste de ecuciones lineles Págin Resuelve e interret geoétricente los siguientes sistes de ecuciones: ) 6 b) c) d) 6 6 ) 8, () 8 Veos si cule l.ª ecución: () 6 Solución:,. Son tres rects que se cortn en el unto (, ). b) 6 L.ª ecución se obtiene sundo ls dos riers; odeos rescindir de ell Solución: λ, λ, λ. Son tres lnos que se cortn en un rect. c) 6 Ls dos riers ecuciones son contrdictoris. El siste es incotible. Los dos rieros lnos son rlelos el tercero los cort. d) Solución:,,. Son tres lnos que se cortn en el unto (,, ).

4 Unidd. Sistes de ecuciones. Método de Guss Mteátics licds ls Ciencis Sociles II ) Resuelve este siste: b) Añde un tercer ecución de odo que sig siendo cotible. c) Añde un tercer ecución de odo que el siste se incotible. d) Interret geoétricente lo que hs hecho en cd cso. ) 8 8 Solución:, b) Por ejelo: (su de ls dos nteriores). c) Por ejelo: 9 d) En ) Son dos rects que se cortn en d, n. En b) L nuev rect tbién s or d, n. En c) L nuev rect no s or d, Se cortn dos dos. n. No eiste ningún unto coún ls tres rects.

5 Unidd. Sistes de ecuciones. Método de Guss Mteátics licds ls Ciencis Sociles II Sistes esclondos Págin 8 Reconoce coo esclondos los siguientes sistes resuélvelos: 6 ) b) t 6 c) d) t ) Solución:, b) Solución:, 9, c) t 6 t 6 t t t t 6t 9 9t Soluciones: λ, 9 9λ, 6λ, t λ d) Solución:, 6, Son esclondos estos sistes? Resuélvelos: ) b) t t c) d) t ) Solución:,,

6 Unidd. Sistes de ecuciones. Método de Guss Mteátics licds ls Ciencis Sociles II b) Soluciones: λ, λ, λ c) Soluciones: λ, λ, λ d) t t t t t t Solución:,,, t t t t Págin 9 Trnsor en esclondos resuelve. 6 ) b) c) d) 6 8 w w w 8 6 ) (.ª) (.ª) (.ª) Solución:, b) 6 (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) 6 (.ª) (.ª) : (.ª) Solución:,, c) 6 8 (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) 6 Podeos rescindir de l.ª ecución, ues es igul que l.ª. (.ª) (.ª) : () Soluciones:, λ, λ 6

7 Unidd. Sistes de ecuciones. Método de Guss Mteátics licds ls Ciencis Sociles II d) w w 8 w 6 (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) w w 8 w 6 (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) 9 (.ª) (.ª) w 8 8w 6w 9 w 9 9w w Solución:,,, w (.ª) (.ª) (/) (.ª) (/) (.ª) w 9 w 9 9w 8w

8 Unidd. Sistes de ecuciones. Método de Guss 8 Mteátics licds ls Ciencis Sociles II Método de Guss Págin Verddero o lso? ) Es osible que un siste incotible, l licr el étodo de Guss, de lugr un siste esclondo cotible. O vicevers. b) Al licr el étodo de Guss, el siste esclondo l que se lleg inlente es del iso tio que el siste inicil, ues todos los sos que se dn trnsorn cd siste en otro equivlente él. ) Flso. Ls soluciones de un siste no deenden del étodo eledo r resolverlo. b) Verddero. Ls soluciones de un siste no deenden del étodo eledo r resolverlo. Págin Resuelve estos sistes de ecuciones utilindo el étodo de Guss: ) b) c) ) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) 6 (.ª) (.ª) () (.ª) (.ª) 8 Solución:,, b) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) 9 Ls dos riers ecuciones son contrdictoris. El siste es incotible. c) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) Soluciones: λ, λ, λ

9 Unidd. Sistes de ecuciones. Método de Guss 9 Mteátics licds ls Ciencis Sociles II Resuelve edinte el étodo de Guss. ) b) w w w c) w w w 9 ) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) 9 Soluciones:,, l l l 9 b) w w w (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) w w Solución:,,, w c) w w w 9 9 (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) 9 8 (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) 9 8 w w 9 Solución:,,, w 69

10 Unidd. Sistes de ecuciones. Método de Guss Mteátics licds ls Ciencis Sociles II Discusión de sistes de ecuciones Págin Discute, en unción de, estos sistes de ecuciones: ) b) ) Si, qued: (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) 8 (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) Siste cotible indeterindo. Soluciones: l, l, l Si, es cotible deterindo. Lo resolveos: ; ( ) ( ) Solución:,, b) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) Si, qued: El siste es incotible. Si, es cotible deterindo. Lo resolveos: ; 8 6 ( ) ( ) 8 ( ) Solución:, 8,

11 Unidd. Sistes de ecuciones. Método de Guss Mteátics licds ls Ciencis Sociles II Discute estos sistes de ecuciones en unción de : 8 ) b) ) 8 Si, qued: 8 (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) Siste incotible. Si, es cotible deterindo. Lo resolveos: ( ) Solución: 8, 8, 8 6 (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) 8 b) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) Si, qued: Siste incotible. Si, es cotible deterindo. Lo resolveos: ( ) d n 8 Solución:,,

12 Unidd. Sistes de ecuciones. Método de Guss Mteátics licds ls Ciencis Sociles II Ejercicios robles resueltos Págin. Método de Guss Hlo tú. Resuelve los siguientes sistes de ecuciones: ) b) t t t t ) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) 8 Soluciones: (, λ, λ) b) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) L tercer ecución no se uede culir nunc. El siste no tiene solución. Págin. Discusión de sistes licndo el étodo de Guss Hlo tú. Discute resuelve, en unción del ráetro, licndo el étodo de Guss. ) b) ) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) Si, el siste es cotible deterindo. Solución:,, ( ) Si, el siste es cotible indeterindo. (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) Soluciones: λ, λ, λ

13 Unidd. Sistes de ecuciones. Método de Guss Mteátics licds ls Ciencis Sociles II b) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) Si, el siste es cotible deterindo. Solución:,, Los tres lnos se cortn en un unto. Si, l tri qued: El siste es incotible. Los lnos se cortn dos dos. Págin 6. Sistes con ás incógnits que ecuciones Hlo tú. Resuelve e interret geoétricente los siguientes sistes de ecuciones: 6 ) b) ) Psos l segundo iebro hceos λ (ráetro). Así el siste tendrá tnts ecuciones coo incógnits. l 8 l l l Ls soluciones del siste son (, λ, λ). Son dos lnos que se cortn en un rect. b) Ls dos ecuciones reresentn l iso lno uesto que un es el doble de l otr. Nos quedos solo con l segund ecución, sos l segundo iebro hceos λ μ. Ls soluciones del siste son ( λ μ, λ, μ). Son dos lnos coincidentes.. Plnteiento discusión de un roble Hlo tú. El dinero que tienen entre A, B C es el % del que tienen entre A B, es el doble del que tienen entre A C. Si C tiene el doble que A, odeos sber cuánto dinero tiene cd uno? Lleos,, l dinero que tienen A, B C, resectivente. ( ) ( ) 8 8 (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) El siste es cotible indeterindo, luego no odeos sber cuánto dinero tiene cd uno.

14 Unidd. Sistes de ecuciones. Método de Guss Mteátics licds ls Ciencis Sociles II Ejercicios robles guidos Págin. Añdir un ecución un siste Añdir un ecución l siste ) incotible. b) cotible deterindo. c) cotible indeterindo. de odo que se: ) Hceos (.ª) (.ª) Cbios el térino indeendiente El siste: es incotible. b) l, l, l Un solución es:,, Añdios l ecución. El siste: es cotible deterindo. c) Hceos (.ª) (.ª) Poneos est nuev ecución que es cobinción linel de ls nteriores. El siste: es cotible indeterindo.. Sistes con ininits soluciones Sen S S' dos sistes de ecuciones con dos incógnits que diieren solo en los térinos indeendientes. Si S es cotible indeterindo, lo será tbién S'? Si S es cotible indeterindo signiic que l colun de térinos indeendientes es linelente deendiente de ls coluns de los coeicientes. Al cbir los térinos indeendientes, cbios l colun corresondiente uede que ser linelente indeendiente con ls nteriores, luego uede que el siste resulte ser incotible.

15 Unidd. Sistes de ecuciones. Método de Guss Mteátics licds ls Ciencis Sociles II. Siste cotible Discutir el siguiente siste de ecuciones según los vlores de resolverlo en todos los csos que se osible: (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) Si, el siste es cotible indeterindo: l Soluciones:, l, l l Si, el siste es cotible deterindo: Solución:,, ( ) ( ). Siste de dos ecuciones dos incógnits Estudir r qué vlores de el siguiente siste tiene solución resolverlo cundo est se únic: e o (.ª) (.ª) (.ª), e o Si ±, el siste es cotible deterindo: ó :, ( ) ( ) Soluci n Si : Siste incotible. Si, el siste es cotible indeterindo: Soluciones: l, l

16 Unidd. Sistes de ecuciones. Método de Guss Mteátics licds ls Ciencis Sociles II Ejercicios robles rouestos Págin 8 Pr rcticr Resolución e interretción geoétric de sistes de ecuciones lineles Resuelve e interret geoétricente los siguientes sistes: ) ( /) b) ( / ) c) d) ) / (.ª) (.ª) (.ª) (/) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) Solución: (, ) Geoétricente, son tres rects que se cortn en el unto (, ). b) Si dividios l.ª ecución entre, obteneos:. L.ª ecución es. Son contrdictoris, luego el siste es incotible. L.ª l.ª ecución reresentn dos rects rlels; l.ª ls cort. c) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) : (.ª) : (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) Solución: (, ) Son tres rects que se cortn en el unto (, ). d) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) L.ª.ª ils son contrdictoris. No tiene solución. Son tres rects que se cortn dos dos. 6

17 Unidd. Sistes de ecuciones. Método de Guss Mteátics licds ls Ciencis Sociles II Resuelve e interret geoétricente. ) b) 8 ) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) Podeos rescindir de ls dos últis ils, ues coinciden con l rier. Quedrí: Solución: d, n El siste reresent cutro rects que se cortn en el unto d, n. (.ª) b) (.ª) (.ª) 8 (.ª) (.ª) 9 De l. ecución, obteneos ; de l. ecución, obteneos. 9 Luego el siste es incotible. El siste reresent tres rects que se cortn dos dos, ero no h ningún unto coún ls tres. Resuelve e interret geoétricente estos sistes: ) b) ) 8 L. ecución contrdice l ouest de l.. No tiene solución. Geoétricente, se trt de tres lnos que se cortn dos dos. b) L. l. ecución son contrdictoris. No tiene solución. Geoétricente, se trt de dos lnos rlelos que son cortdos or un tercero.

18 Unidd. Sistes de ecuciones. Método de Guss Mteátics licds ls Ciencis Sociles II Ron si estos sistes tienen solución e interrétlos geoétricente: ) 6 b) ( / ) ) Si dividios l. ecución entre, obteneos:, que contrdice l.. El siste es incotible. Son dos lnos rlelos. b) 6 ( / ) Si ultilicos or l. ecución, obteneos:, que contrdice l. ecución. El sisgte es incotible. Son dos lnos rlelos. Resuelve los siguientes sistes esclondos: ) b) 69 9 c) d) ) 69 Solución: (, ) b) Solución: d,, 9 9 n c) Soluciones: ( λ,, λ) d) Soluciones: (, λ, λ) 8

19 Unidd. Sistes de ecuciones. Método de Guss 9 Mteátics licds ls Ciencis Sociles II 6 Resuelve los siguientes sistes esclondos: ) 9 b) c) t t t d) t t ) 9 9 Solución: (,, ) b) 6 6 Solución:,, 6 6 d n c) t t t t t t t t t t 6t Soluciones: ( 6λ, λ, λ, λ) d) ( ) ( ) t t t t Soluciones: ( λ, λ, λ, λ) Método de Guss Resuelve licndo el étodo de Guss. ) b) c) d) ) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) Solución: (,, )

20 Unidd. Sistes de ecuciones. Método de Guss Mteátics licds ls Ciencis Sociles II b) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) Soluciones: d l, l, l n c) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) 8 (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) ( ) λ Soluciones: ( λ, λ, λ) d) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) : (.ª) (.ª) (.ª) : () (.ª) : Solución: (,, ) Resuelve licndo el étodo de Guss. 6 ) b) c) d) ) 6 6 (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) 6 6 (.ª) (.ª) : (.ª) 6 (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) Solución: (,, 6)

21 Unidd. Sistes de ecuciones. Método de Guss Mteátics licds ls Ciencis Sociles II b) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) Solución: d,, n c) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) Solución: (,, ) d) Observos que l. ecución es l su de l. l. : odeos rescindir de ell. 8 Toos λ. Solución: d l, l, ln

22 Unidd. Sistes de ecuciones. Método de Guss Mteátics licds ls Ciencis Sociles II 9 Resuelve, si es osible, los siguientes sistes: 9 ) b) c) d) ) 9 9 (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) 9 9 (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) Solución: (,, 8) b) e o (.ª) (.ª) (.ª) e Si toos λ, ls soluciones son: d l, l, ln o c) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) 6 (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) L segund ecución es iosible: El siste es incotible. d) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) 6 (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) 9 λ Soluciones: ( λ, λ, λ)

23 Unidd. Sistes de ecuciones. Método de Guss Mteátics licds ls Ciencis Sociles II Estudi resuelve or el étodo de Guss. ) b) c) d) t t t 6 ) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) 6 6 (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) 6 Siste cotible deterindo. Lo resolveos: 6 Solución:,, d n b) _ ` b b (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) Siste cotible indeterindo. Lo resolveos: l Soluciones: ( λ, λ, λ) c) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) : (.ª) (.ª) Siste cotible deterindo. Lo resolveos: Solución: (,, )

24 Unidd. Sistes de ecuciones. Método de Guss Mteátics licds ls Ciencis Sociles II d) t t 6t 6 (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) 9 8 (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) 9 8 Siste cotible indeterindo. Lo resolveos: t 9t t λ 8t Soluciones: (λ, λ,, ) Clsiic los siguientes sistes en cotibles o incotibles: ) b) ) b) Cotible indeterindo (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) Cotible deterindo Estudi resuelve or el étodo de Guss: 6 ) b) 6 9 ) (.ª) (.ª) (.ª) 6 (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) 69 El siste es cotible deterindo, con solución (,, ). 6 b) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) 6 9 l El siste es cotible indeterindo, con soluciones (λ, λ, λ).

25 Unidd. Sistes de ecuciones. Método de Guss Mteátics licds ls Ciencis Sociles II Págin 9 Pr resolver Discusión de sistes de ecuciones Discute los siguientes sistes según los vlores del ráetro : ) b) c) 8 d) ( ) ) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) Si Siste cotible deterindo. Si Siste incotible. b) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) Siste cotible deterindo r todo. c) 8 8 Si Siste incotible. Si Siste cotible deterindo. d) ( ) Si Siste cotible indeterindo. Si Siste cotible deterindo con solución (,, ). Discute los siguientes sistes resuélvelos cundo se osible: ) / b) ) (/ ) / (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) Si Siste cotible indeterindo. Lo resolveos: l Soluciones: (λ, λ )

26 Unidd. Sistes de ecuciones. Método de Guss 6 Mteátics licds ls Ciencis Sociles II Si Siste cotible deterindo. ( ) Solución: (, ) b) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) Si Siste cotible indeterindo. Lo resolveos: 6 Toos λ. Soluciones: ( λ, λ, λ) Si Siste incotible. Resuelve cd uno de los siguientes sistes r los vlores de que lo hcen cotible: ) b) ) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) : () (.ª) (.ª) Si Siste cotible deterindo. Solución: (, ) Si Siste incotible. b) _ ` b b b b (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª)

27 Unidd. Sistes de ecuciones. Método de Guss Mteátics licds ls Ciencis Sociles II Si Siste cotible indeterindo. Toos λ. Soluciones: ( λ, λ, λ) Si Siste incotible. 6 Discute estos sistes resuélvelos cundo se osible: ) b) ) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) 6 9 (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) Si 8 el siste es cotible deterindo; coo es un siste hoogéneo, solo tiene l solución trivil: (,, ). Si 8 el siste es cotible indeterindo. Eliinos l. ecución lo resolveos en unción de λ: Soluciones: d l, l, ln b) Cbios el orden de ls dos riers ecuciones: (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) Si el siste es cotible deterindo. Lo resolveos: Si el siste es cotible indeterindo. Eliinos l. ecución r resolverlo: Soluciones: ( λ, λ, λ)

28 Unidd. Sistes de ecuciones. Método de Guss 8 Mteátics licds ls Ciencis Sociles II Discute los siguientes sistes de ecuciones: ) b) c) d) ) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) Siste cotible deterindo r todo. b) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) : (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) Si Siste cotible indeterindo. Si Siste cotible deterindo. c) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) Cotible deterindo r todo. d) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) 8 (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) 8 Si Siste incotible. Si Siste cotible deterindo.

29 Unidd. Sistes de ecuciones. Método de Guss 9 Mteátics licds ls Ciencis Sociles II 8 Discute resuelve en unción del ráetro: ) b) ) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) Si el siste es cotible deterindo. ( ) Solución: (,, ) Si el siste es cotible indeterindo. Soluciones: ( λ, λ, λ) b) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) Si el siste es cotible deterindo. ( ) ( ) Solución:,, d n Si, l tri qued: El siste es incotible.

30 Unidd. Sistes de ecuciones. Método de Guss Mteátics licds ls Ciencis Sociles II 9 Estudi los siguientes sistes de ecuciones. Resuélvelos cundo sen cotibles e interret geoétricente ls soluciones obtenids. ) b) ( ) ) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) Si el siste es cotible indeterindo. Toos λ. Soluciones: (λ, λ, λ) Son tres lnos que se cortn en un rect. Si el siste es incotible. Son tres lnos que se cortn dos dos. b) ( ) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) De l.ª ecución se deduce que. El siste quedrí sí: ( ) Si el siste es cotible indeterindo. Soluciones: ( λ, λ, ) Son tres lnos que se cortn en un rect. Si el siste es cotible deterindo. ( ) Solución: (,, ) Son tres lnos que se cortn en un unto.

31 Unidd. Sistes de ecuciones. Método de Guss Mteátics licds ls Ciencis Sociles II Discute los siguientes sistes según los vlores de α e interrétlos geoétricente: ) b) ) e o Si α, qued: (.ª) (.ª) α (.ª) α 6 e o e o Siste cotible indeterindo. Son dos rects coincidentes. Si α, qued: e o Siste incotible. Son dos rects rlels. Si α α Siste cotible deterindo. Son dos rects secntes. b) 6 (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) 8 6 (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) Si α Siste cotible deterindo. Son tres lnos que se cortn en un unto. Si α Siste incotible. Los lnos se cortn dos dos, ero no h ningún unto coún los tres. 8 Consider el siguiente siste de ecuciones: 6 ) Deduce r qué vlores de el siste solo tiene l solución (,, ). b) Resuelve el siste en el cso en que teng ininits soluciones. (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) 6 6 (.ª) (.ª) ) Coo el siste es hoogéneo, si solo tiene l solución trivil (,, ). b) Si el siste es cotible indeterindo. λ λ λ Soluciones: (λ, λ, λ) (.ª) (.ª)

32 Unidd. Sistes de ecuciones. Método de Guss Mteátics licds ls Ciencis Sociles II Un tiend h vendido eoris USB de tres odelos dierentes, A, B, C, h ingresdo un totl de. L eori A cuest, los odelos B C son, resectivente, un % un % ás brtos que el odelo A. L su de ls uniddes vendids de los odelos B C es l itd de ls vendids del odelo A. Clcul cuánts uniddes se hn vendido de cd odelo. n.º de eoris vendids del odelo A n.º de eoris vendids del odelo B n.º de eoris vendids del odelo C, 9, (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) 9 Se hn vendido eoris del odelo A, del odelo B del odelo C. Un brco trnsort vehículos (coches, ciones otos). Por cd otos h ciones. Los coches reresentn ls 9/ rtes de los otros vehículos. Cuántos vehículos de cd tio trnsort el brco? n.º de coches n.º de ciones n.º de otos 9 ( ) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) 8 (.ª) 6 8 El brco trnsort coches, ciones otos.

33 Unidd. Sistes de ecuciones. Método de Guss Mteátics licds ls Ciencis Sociles II ) Hll un núero de tres cirs tl que l su de ls centens ls uniddes con el doble de ls decens es ; l dierenci entre el doble de ls centens l su de ls decens ás ls uniddes es 9 l edi de ls centens decens ás el doble de ls uniddes es. b) Es osible encontrr un núero de tres cirs si cbios l tercer condición or el trile de ls centens ás ls decens es? ) El núero buscdo es. El siste que eres ls condiciones del roble es: (.ª) ( ) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) 8 El núero es 9. b) El siste resultnte es: ( ) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) Este siste no tiene solución, luego no h ningún núero que veriique ess condiciones. Págin Ls tonelds de cobustible consuids en un ábric en el turno de ñn son igul veces ls tonelds consuids en el turno de trde. Adeás, se sbe que el turno de trde consue tonelds enos que el turno de ñn. ) Plnte discute el roble en unción de. b) Es osible que el turno de ñn consu el doble de cobustible que el de trde? c) Si se suone que, cuánto consue el turno de trde? n.º de tonelds de cobustible consuids en el turno de ñn. n.º de tonelds de cobustible consuids en el turno de trde. ) (.ª) e o e o (.ª) (.ª) Si, se ueden desejr tods ls incógnits, luego el roble tiene solución únic. ( ) Solución: e, o Si, l segund ecución serí, que es un eresión iosible, luego el siste no tiene solución. b) Sí, orque r. c) Si. El turno de trde consue tonelds de cobustible.

34 Unidd. Sistes de ecuciones. Método de Guss Mteátics licds ls Ciencis Sociles II 6 Un nderí utili tres ingredientes A, B C r elborr tres tios de trt. L trt T se hce con unidd de A, de B de C. L trt T llev uniddes de A, de B de C. Y l T, necesit uniddes de A, de B de C. Los recios de vent l úblico son, l T ; 6, l T l T. Sbiendo que el beneicio que se obtiene con l vent de cd trt es de, clcul cuánto le cuest l nderí cd unidd de A, B C. recio or unidd de A recio or unidd de B recio or unidd de C,,,, (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª),, 6 (.ª) (.ª) (.ª) (.ª),,,,,, L unidd de A cuest,, l unidd de B cuest l unidd de C cuest,. Tres coercintes invierten en l cor de ordendores de los odelos A, B C de l siguiente or: El riero invierte en los de tio A, en los de tio B en los de tio C. El segundo dedic los de tio A, los de tio B los de tio C. Y el tercero,,, resectivente, en los odelos A, B C. Desués de venderlos todos, l rentbilidd que obtiene el riero es el %, el segundo el % el tercero el %. Deterin l rentbilidd de cd uno de los odelos vendidos. rentbilidd del odelo A rentbilidd del odelo B rentbilidd del odelo C,,,,, 6,, 6 (.ª) (.ª), (.ª) (.ª) (.ª) 9,,, (.ª) (.ª) (.ª) 9, (.ª) 6 8, L rentbilidd del odelo A es del %, l rentbilidd del odelo B es del % l rentbilidd del odelo C es del %.

35 Unidd. Sistes de ecuciones. Método de Guss Mteátics licds ls Ciencis Sociles II 8 L su de ls tres cirs de un núero es. Si se intercbin l cir de ls uniddes l de ls centens, el núero uent en 9. L cir de ls centens ecede en uniddes l de ls decens. ) Plnte un siste de ecuciones ron r qué vlores de es cotible deterindo. b) Qué vlores uede tor r que el roble teng solución? Clcul l solución r. Núero: Si intercbios uniddes centens, el núero es: ) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) 8 (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) 8 8 El siste es siere cotible deterindo orque se ueden desejr tods ls incógnits. L solución serí: 8, 8, b) Coo ls cirs tienen que ser núeros nturles entre 9, debe veriicrse que r que >. Por tnto, los osibles vlores de serán:, se obtienen núeros nturles,, 8 o, no se obtienen núeros nturles. No sirven., se obtienen núeros nturles,, 9 Si, el núero buscdo es 9. 9 Nos cobrn or dos chquets un blus. Si coros un chquet un ntlón devolveos l blus, nos cobrn. Cuánto nos cobrrán or cinco chquets, un ntlón un blus? recio de un chquet recio de un blus recio de un ntlón ( ) ( ) Sustituendo () en (), Por tnto: euros

36 Unidd. Sistes de ecuciones. Método de Guss Mteátics licds ls Ciencis Sociles II Un ís iort vehículos de tres rcs, A, B C, l recio de, euros. El totl de l iortción es de illones de euros. Se sbe que h vehículos contndo los de l rc B veces los de l A. ) Plnte un siste con ls condiciones del roble en unción del núero de vehículos de cd rc. b) Resuelve el siste en el cso. c) Corueb que el siste no tiene solución en el cso. ) n.º de vehículos de l rc A n.º de vehículos de l rc B n.º de vehículos de l rc C b) Si : 6 6 (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) Se iortron vehículos de l rc A, 6 8 de l rc B 8 de l rc C. c) Si : 6 Siste incotible. Cuestiones teórics (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) Verddero o lso? Justiic tus resuests on ejelos. (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) ) A un siste con dos ecuciones dos incógnits que es cotible indeterindo, odeos ñdirle un ecución que lo trnsore en incotible. b) Si S S' son dos sistes equivlentes con solución únic que tienen igules los térinos indeendientes, entonces los coeicientes de ls incógnits tbién son igules. c) El siste d) El siste es incotible culquier que se el vlor de. es cotible indeterindo r culesquier vlores de b. b e) A un siste de dos ecuciones con dos incógnits que es cotible deterindo odeos ñdirle un ecución que lo trnsore en cotible indeterindo. 6

37 Unidd. Sistes de ecuciones. Método de Guss Mteátics licds ls Ciencis Sociles II ) Verddero. Teneos el siste: Cotible indeterindo. Le ñdios l ecución:. Incotible. b) Flso. Los siguientes sistes son equivlentes, tienen igules los térinos indeendientes no tienen los isos coeicientes en ls incógnits. c) e 8, 8, o (.ª) (.ª) (.ª) e o Verddero. L últi il indic que el siste siere es incotible. d) e o b (.ª) (.ª) (.ª) e b o b b b, b b Flso. En todos los csos el siste es cotible deterindo. e) Flso. Si ñdios un ecución ás, uede sr que l ecución se incotible con ls nteriores o que no orte ás inorción. En el rier cso, el siste se trnsor en incotible en el segundo, sigue siendo cotible deterindo. Es osible convertir este siste en cotible indeterindo cbindo un signo? Sí. Si cbios l. ecución or, o bien, si cbios l. ecución or, el siste resultnte será cotible indeterindo. Deine cuándo dos sistes de ecuciones lineles son equivlentes. Justiic si son equivlentes o no los siguientes sistes: Dos sistes de ecuciones lineles son equivlentes cundo tods ls soluciones del. er siste lo son tbién del., l revés. Los dos sistes ddos no son equivlentes, uesto que el. es cotible indeterindo (tiene ininits soluciones) el. es deterindo (solo tiene un solución).

38 Unidd. Sistes de ecuciones. Método de Guss Mteátics licds ls Ciencis Sociles II Corueb que l solución del siste de ecuciones es (, ) c, si ±. Podeos decir que el siste es cotible indeterindo si ±? Sustituios l solución que nos dn en ls ecuciones: ( ) ( )( ) ) ( )( ) No. El siste es cotible deterindo si ±. Págin Pr roundir Pr qué vlor de este siste es incotible? ( ) ( ) Puede ser cotible indeterindo r el vlor? Resuélvelo si. Si, uede ser cotible deterindo? Pr estudir l cotibilidd de este siste, nos ijos en l últi ecución. Si, entonces. Y, or tnto, de l tercer ecución se obtiene que. Pero de l segund ecución se deduce que. Igulndo obteneos: 8 En resuen, si, el siste es incotible. Y si, el siste es cotible deterindo. Si, l últi ecución no d inorción, luego se uede suriir. El siste qued: Es un siste esclondo, or tnto, cotible deterindo. No uede ser cotible indeterindo. Resolveos el siste nterior r :,, Si, coo heos visto l rinciio, es un siste cotible deterindo solo en el cso de. 8

39 Unidd. Sistes de ecuciones. Método de Guss Mteátics licds ls Ciencis Sociles II 6 Discute estos sistes en unción de resuélvelos en el cso en que sen cotibles indeterindos. ) b) ) Si, qued: Si, qued: Siste incotible. (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) Lo resolveos en este cso: 8 l (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) Soluciones: ( λ,, λ) Si Siste cotible deterindo. b) (.ª) (.ª) (.ª) Siste cotible indeterindo. (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) ± 8 ± Si, qued: Si, qued: Siste incotible. (.ª) (.ª) : (.ª) l Siste cotible indeterindo. Soluciones: (λ, λ, λ) Si Siste cotible deterindo. 9

40 Unidd. Sistes de ecuciones. Método de Guss Mteátics licds ls Ciencis Sociles II Encuentr rondente dos vlores del ráetro r los cules el siguiente siste se incotible: (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) Si o 6, el siste es incotible. (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) 6 8 Resuelve el siguiente siste: t t t t w w w w 6 Si sus ls cinco igulddes, obtendrás otr con l que se te ueden siliicr ucho los cálculos. t w 6 t w Sundo ls cinco igulddes, obteneos: t w t w t w 6, es decir: ( t w) 6, o bien: t w 9 Por tnto: ( t) w w 9 w ( w) t 6 t 9 t ( t w) 9 ( t w) 9 ( t w) 9 9 Un cudrill de cinco jrdineros debí odr un lntción trbjndo de lunes viernes. Cd dí, cutro odbn el otro les udb. Cd jrdinero odó el iso núero de árboles cd dí. Los resultdos de l od ueron: Lunes, árboles oddos. Mrtes, 6. Miércoles, 8. Jueves, 9 Y el viernes no sbeos si ueron 6 o 8. Clcul cuántos árboles dirios odó cd uno, sbiendo que ueron núeros enteros que ninguno odó los cinco dís. Llos: w n. de árboles dirios que od el jrdinero que descns el lunes. t n. de árboles dirios que od el jrdinero que descns el rtes. n. de árboles dirios que od el jrdinero que descns el iércoles. n. de árboles dirios que od el jrdinero que descns el jueves. n. de árboles dirios que od el jrdinero que descns el viernes.

41 Unidd. Sistes de ecuciones. Método de Guss Mteátics licds ls Ciencis Sociles II t w 6 t w 8 t w 9 t w Sundo ls cinco igulddes, obteneos: t w 8, es decir: ( t w) 8, o bien: t w Si,,, t, w son núeros enteros, su su tbién lo será; luego, debe ser últilo de. Coo nos dicen que vle 6 o 8, teneos que h de ser 6 (ues 8 no es últilo de ). Resolveos el siste, hor que sbeos que 6: L su de ls cinco igulddes drá lugr : t w Por tnto: ( t) w w 6 w ( w) t 6 t 6 t ( t w) ( t w) 9 6 ( t w) 6 6 Así, el jrdinero que descns el lunes od árboles; el que descns el rtes, ; el que descns el iércoles, 8; el que descns el jueves,, el que descns el viernes,.

42 Unidd. Sistes de ecuciones. Método de Guss Mteátics licds ls Ciencis Sociles II Autoevlución Págin Resuelve e interret geoétricente estos sistes: 6 ) b) ) 6 Sundo l. il con veces l. : Corobos en l. ecución: () El siste es incotible. Son tres rects que se cortn dos dos. b) Hceos λ: l 8 l l El siste es cotible indeterindo. Solución: d l, l, l n Reresent dos lnos que se cortn en un rect. L su de ls tres cirs de un núero es 9. Si l núero se le rest el que result de invertir el orden de sus cirs, l dierenci es 98 l su de ls cirs de ls uniddes ls centens es el doble de ls decens. Cuál es el núero? 9 9 ( ) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) Siste esclondo cu solución es,,. El núero es el.

43 Unidd. Sistes de ecuciones. Método de Guss Mteátics licds ls Ciencis Sociles II Discute este siste resuélvelo cundo se osible: (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) ( ) Si Siste cotible deterindo. Solución: (,, ) Si Siste cotible indeterindo. Psos l segundo iebro coo ráetro: l l Soluciones: (λ, λ, λ) Un erson h obtenido 6 de beneicio or invertir un totl de 6 en tres eress: A, B C. Lo invertido en A B ue veces lo invertido en C, los beneicios ueron el % en A, el % en B el % en C. ) Plnte un siste de ecuciones r verigur l cntidd invertid en cd eres. b) Prueb que si >, el siste es cotible deterindo, resuélvelo r. ) Sen,, ls cntiddes invertids en A, B C, resectivente. Plnteos el siste: 6 6,,, 6,,, 6 b),,, (.ª), (.ª),, (.ª) (.ª) (.ª) Si El siste es incotible. Si El siste es cotible deterindo. Por tnto, si >, el siste es cotible deterindo. Pr l solución es l siguiente:,,.

44 Unidd. Sistes de ecuciones. Método de Guss Mteátics licds ls Ciencis Sociles II Sen ls ecuciones:. ) Añde un ecución r que el siste se incotible. b) Añde un ecución r que se cotible deterindo. c) Añde un ecución r que se cotible indeterindo. Justiic en cd cso el rocediiento seguido. ) Pr que se incotible, l ecución que ñdos h de ser de l or: ( ) b ( ), con b Si toos, or ejelo,, b,, qued: Añdiendo est ecución, el siste serí incotible. b) Por ejelo, ñdiendo, qued: 9 Cotible deterindo c) El siste será cotible indeterindo si ñdios un ecución roorcionl un de ls eistentes. Por ejelo, ñdios l.ª ecución ultilicd or (): 6 Se consider el siste de ecuciones lineles: ( ) 6 ) Encuentr un vlor de r el cul el siste se incotible. b) Discute si eiste lgún vlor de r el cul el siste se cotible deterindo. c) Resuelve el siste r. ( ) 6 ( ) 6 (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) ) Si, l. ecución no tiene solución:. El siste es incotible. b) No eiste ningún vlor de r el cul el siste se cotible deterindo, orque l. ecución se uede suriir ( ) el siste qued con dos ecuciones tres incógnits. c) Si, qued: / 8 l Soluciones: d l,, ln

45 Unidd. Sistes de ecuciones. Método de Guss Mteátics licds ls Ciencis Sociles II Discute este siste según los vlores de. Interrétlo geoétricente: (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) Si, qued: Siste incotible. Los dos rieros lnos son rlelos el tercero los cort. Si, qued: Siste incotible. Los dos últios lnos son rlelos el riero los cort. Si Siste cotible deterindo. Son tres lnos que se cortn en un unto.