TEMA 11.- VECTORES EN EL ESPACIO

Transcripción

1 TEMA 11.- VECTORES EN EL ESPACIO 1.- INTRODUCCIÓN Un vector fijo AB del espacio (también lo era en el plano) es un segmento orientado que tiene su origen en un punto A y su extremo en otro punto B. Estos vectores quedan determinado, al igual que pasaba con lo vectores del plano, por: Módulo = Longitud Dirección = la de la recta que pasa por los dos puntos Sentido = el dado por el recorrido de A a B Dos vectores fijos son equipolentes si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido. Cada conjunto formado por todos los vectores equipolentes entre sí se llama un vector libre, u : Al conjunto formado por todos los vectores del espacio le llamaremos V, y en ese conjunto se definen dos operaciones ya conocidas para los vectores del plano: Suma (o resta): Matemáticas II: Vectores

2 Producto por un número: Este conjunto de vectores con estas dos operaciones cumplen las siguientes propiedades: a) Asociativa: ( u + v) + w = u + ( v + w) b) Conmutativa: u + v = v + u c) Elemento neutro respecto de la suma: u + 0 = u d) Elemento simétrico respecto de la suma: u + ( u) = 0 e) Distributiva del producto respecto de la suma: ( α + β ) u = α u + β u f) Distributiva de la suma respecto del producto: α ( u + v) = α u + α v g) Asociativa del producto: α ( β u) = ( α β ) u h) Elemento neutro respecto del producto: 1 u = u Con todas estas propiedades se dice que el conjunto vectorial. V tiene estructura de espacio 2.- DEPENDENCIA LINEAL. BASES Y COORDENADAS DE UN VECTOR Se dice que un vector v de V es una combinación lineal de los vectores u1, u2, u,..., un si existen números reales a1, a2, a,..., a n tales que v = a u + a u + a u + + a u n n Un conjunto de vectores { u1, u2, u,..., un} se dice que son linealmente dependientes si alguno de ellos se puede poner como combinación lineal de los demás. En caso contrario, se dice que son linealmente independientes. Así, por ejemplo, dos vectores proporcionales son linealmente dependientes; o tres vectores que no estén en el mismo plano son linealmente independientes Matemáticas II: Vectores

3 Nota: n vectores son linealmente independientes si el rango de la matriz que forman es n Una base del espacio vectorial linealmente independientes. Dada una base cualquiera B { u1, u2, u} V es un conjunto formado por tres vectores = del espacio, cualquier otro vector v se podrá poner como combinación lineal de sus elementos, es decir: v = a u + a u + a u A los coeficientes de esa combinación lineal se les llama coordenadas del vector v respecto de la base B, y se expresa: v B = a, a, a ( ) 1 2 Un mismo vector puede tener distintas coordenadas según respecto a qué base nos estemos refiriendo. Si los vectores de una base son perpendiculares entre sí se dice que es una base ortogonal, y si además tienen la misma longitud (que se toma como la unidad) se dice que es una base ortonormal. De entre todas las bases ortonormales posibles en el espacio tomaremos, por simplicidad de cálculo, la base B = i(1,0,0), j(0,1,0), k (0,0,1) { } A esta base se le llama base canónica de V Así, a partir de ahora, cuando hablemos de un vector siempre lo expresaremos en coordenadas respecto de la base canónica: u(1, 2,1) = 1 i + 2 j + 1 k Todo esto permite redefinir las operaciones de suma y diferencia de vectores y producto por un número con coordenadas: a) u( u1, u2, u), v( v1, v2, v) V u ± v = u ± v u ± v u ± v b) u( u1, u2, u) V, k R k u = k u k u k u (,, ) (,, ) Matemáticas II: Vectores

4 Ejemplo: Dados los vectores u(1,1,0), v ( 0,1, 2 ), w( 4,0, 1) a) Calcular el vector 2u v b) Comprobar que forman una base de V e c) Calcular las coordenadas del vector ( 2,1, 1) : respecto a dicha base Solución: a) 2u v = 2(1,1, 0) ( 0,1, 2) = ( 2, 2, 0) ( 0,, 6) = ( 2, 1, 6) b) Como son tres vectores comprobamos si son linealmente independientes, y para ello calculamos el rango de la matriz: Como = 9 0 Rg( A) = independientes y por tanto forman una base de c) El vector e ( 2,1, 1) de la base, es decir: 2,1, 1 = a(1,1, 0) + b 0,1, 2 + c 4, 0, 1 ( ) ( ) ( ) De donde obtenemos el sistema: a =, b = -2 y c = 5 luego son tres vectores linealmente V. se podrá poner como combinación lineal de los vectores a + 4c = 2 a + b = 1, y resolviéndolo sale 2b c = 1 Por lo que el vector e es el vector (, 2,5) respecto de la base B { u, v, w} = Ejercicios: 1.- Dados los vectores u(,5,1), v(7,4, 2), calcular las coordenadas de: a) 2 u b) v c) 2 u + v d) u v e)5u v u( 1, 2,0), v(0, 1,), w 1,0, 5, x( 1,1,0), calcular los 2.- Dados los vectores: ( ) valores de a, b y c para que se cumpla: au + bv + cw = x Matemáticas II: Vectores

5 .- Comprobar que los vectores u(2,1, 0), v(, 1, 0 ), w( 1,1,1 ) V. Calcular las coordenadas del vector e(,1,7) en dicha base. forman una base de.- PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES Se define el producto escalar de dos vectores de módulos por el coseno del ángulo que forman: u v = u v cos ( u, v) V como el producto de sus Es importante destacar que el producto escalar de dos vectores da como resultado un número (positivo o negativo según el ángulo que formen sea agudo u obtuso), y no un vector. Geométricamente, el valor absoluto del producto escalar de dos vectores es el módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él Propiedades del Producto Escalar a) u v = v u b) u ( v + w) = u v + u w c) k ( u v) = ( k u) v d) u u 0 e) u v u v = 0 u f ) u // v u v = ± u v v 2 g) u u = u 1 1 u = v 2 2 u = v h) Expresión analítica del producto escalar: u v = u v + u v + u v Matemáticas II: Vectores

6 De estas dos últimas propiedades se deduce además la fórmula práctica para calcular el módulo de un vector: u = u + u + u 1 2 Ejemplo: Dados los vectores u (, 4,0 ), v ( 1, 1, 2), calcular: a) Su producto escalar b) El ángulo que forman c) Un vector paralelo a u y unitario w m,1, d) Calcular m para que el vector ( ) Solución: a) El producto escalar será: u v ( ) ( ) sea ortogonal a v =, 4, 0 1, 1, 2 = + 4 = 7 b) Para calcular el ángulo que forman usamos la fórmula: ( ) ( u v 7 u v = u v cos u, v cos u, v) = = = 0'57 u v 5 6 u, v = 55'14º c) Para calcular Un vector paralelo a u y unitario basta con dividirlo por su 4 módulo: u =,,0 5 5 d) Para que el vector w sea ortogonal a v, su producto escalar ha de ser 0, por lo que: v w = 0 1, 1, 2 m,1, = 0 m + 5 = 0 m = 5 ( ) ( ) Matemáticas II: Vectores

7 EJERCICIOS 1.- Cuáles de los siguientes conjuntos de vectores son una base de {( 1, 2,1 ),( 1,0,1 ),( 2, 2, 2 )} ; B ( 1,1,1 ),( 1,0,1 ),( 1,1,0 ),( 0,0,1) ( 0, 1,2 ),(, 4,5 ) ; D, 2,1, 1, 2, 1, 1,0,1 { } { } {( ) ( ) ( )} A = = C = = V? 2.- Calcular los valores de a para que el siguiente conjunto de vectores formen una base: S = 1,1,1, a,1,1, 1, a,0 {( ) ( ) ( )}.- Calcula las coordenadas del vector ( 7,11,14) (, 2,5 ), ( 2, 4,7 ), B = u u u ( 1,, ) { 1 2 } v respecto de la base 4.- Dados los vectores u ( 1, m,1 ), v ( 2,4, m) a) Sean paralelos b) Sean ortogonales 5.-. Dados los vectores: u ( 1, 2, 2 ), v ( 8,0,6) a) El ángulo que forman b) Un vector paralelo a v y de módulo 2 c) Un vector ortogonal a u y unitario, calcular m para que:, calcular: Matemáticas II: Vectores