Inferencia. Mauricio Olivares. 19 de junio de 2015 ITAM

Transcripción

1 Inferencia Mauricio Olivares ITAM 19 de junio de 2015

2 Recuerda de nuestra clase anterior que m(x) = α + βx.

3 Recuerda de nuestra clase anterior que m(x) = α + βx. Esta es una relación poblacional, no hay muestra hasta ahora.

4 Recuerda de nuestra clase anterior que m(x) = α + βx. Esta es una relación poblacional, no hay muestra hasta ahora. Si conociéramos α y β podríamos conocer la CEF.

5 Recuerda de nuestra clase anterior que m(x) = α + βx. Esta es una relación poblacional, no hay muestra hasta ahora. Si conociéramos α y β podríamos conocer la CEF. En este contexto, α y β son unas constantes desconocidas a las que llamaremos parámetros.

6 Recuerda de nuestra clase anterior que m(x) = α + βx. Esta es una relación poblacional, no hay muestra hasta ahora. Si conociéramos α y β podríamos conocer la CEF. En este contexto, α y β son unas constantes desconocidas a las que llamaremos parámetros. En esta clase vamos a establecer una serie de herramientas para conocer esta relación poblacional a partir de la muestra.

7 Como tales, α y β son desconocidas pero podemos extraer inferencia (estimación y pruebas de hipótesis) sobre ellos.

8 Como tales, α y β son desconocidas pero podemos extraer inferencia (estimación y pruebas de hipótesis) sobre ellos. Inferencia (paramétrica) consiste en conocer establecer propiedades a partir de las cuales podemos estudiar la población a partir de la muestra en una forma inductiva.

9 Como tales, α y β son desconocidas pero podemos extraer inferencia (estimación y pruebas de hipótesis) sobre ellos. Inferencia (paramétrica) consiste en conocer establecer propiedades a partir de las cuales podemos estudiar la población a partir de la muestra en una forma inductiva. En este curso vamos a trabajar con muestras aleatorias.

10 Como tales, α y β son desconocidas pero podemos extraer inferencia (estimación y pruebas de hipótesis) sobre ellos. Inferencia (paramétrica) consiste en conocer establecer propiedades a partir de las cuales podemos estudiar la población a partir de la muestra en una forma inductiva. En este curso vamos a trabajar con muestras aleatorias. X 1,, X n constituye una muestra aleatoria de tamaño n y provenientes de alguna distribución F si se cumple que: X i y X j son independientes i j. Todas las X i provienen de la misma distribución F.

11 Estadísticos Un estadístico es simplemente una función de la muestra.

12 Estadísticos Un estadístico es simplemente una función de la muestra. Por ejemplo la media muestral: ni=1 X i X = n es un estadístico dado que es una función de la muestra.

13 Estadísticos Un estadístico es simplemente una función de la muestra. Por ejemplo la media muestral: ni=1 X i X = n es un estadístico dado que es una función de la muestra. Como nuestro interés es conocer sobre la población a partir de la muestra en una forma inductiva, los estimadores jugarán un rol central.

14 Estadísticos Un estadístico es simplemente una función de la muestra. Por ejemplo la media muestral: ni=1 X i X = n es un estadístico dado que es una función de la muestra. Como nuestro interés es conocer sobre la población a partir de la muestra en una forma inductiva, los estimadores jugarán un rol central. Nota que como son funciones de la muestra, que consta de variables aleatorias, entonces los estadísticos también son variables aleatorias.

15 Estadísticos Surgen inmediatamente dos preguntas 1. Cómo obtenemos estimadores? 2. Cómo sabemos que estos estimadores son informativos sobre la población?

16 Estadísticos Surgen inmediatamente dos preguntas 1. Cómo obtenemos estimadores? 2. Cómo sabemos que estos estimadores son informativos sobre la población? La primera pregunta está relacionada con los métodos de estimación. Principio de analogía. Máxima Verosimilitud.

17 Estadísticos Surgen inmediatamente dos preguntas 1. Cómo obtenemos estimadores? 2. Cómo sabemos que estos estimadores son informativos sobre la población? La primera pregunta está relacionada con los métodos de estimación. Principio de analogía. Máxima Verosimilitud. La segunda, sobre las propiedades deseables de los estimadores. Insesgadez, Eficiencia, Consistencia, etc.

18 Principio de Analogía El Principio de Analogía consiste en proponer estimadores que emulen el objeto de interés (parámetro) en la muestra.

19 Principio de Analogía El Principio de Analogía consiste en proponer estimadores que emulen el objeto de interés (parámetro) en la muestra. Es decir, proponer como estimadores en análogo muestral.

20 Principio de Analogía El Principio de Analogía consiste en proponer estimadores que emulen el objeto de interés (parámetro) en la muestra. Es decir, proponer como estimadores en análogo muestral. Por ejemplo, si estamos interesados en la media poblacional E(x), proponemos como estimador la media muestral X = ni=1 X i n

21 Principio de analogía: notación En general, vamos a denotar los parámetros con letras griegas.

22 Principio de analogía: notación En general, vamos a denotar los parámetros con letras griegas. Por ejemplo, µ y = E(y)

23 Principio de analogía: notación En general, vamos a denotar los parámetros con letras griegas. Por ejemplo, µ y = E(y) Dado que el principio de analogía busca mimetizar el objeto de la población en la muestra, vamos a preferir la siguiente notación: E n (X) 1 n n ( X i ) i=1

24 Principio de analogía: notación En general, vamos a denotar los parámetros con letras griegas. Por ejemplo, µ y = E(y) Dado que el principio de analogía busca mimetizar el objeto de la población en la muestra, vamos a preferir la siguiente notación: E n (X) 1 n n ( X i ) Entonces, si queremos proponer un estimador para la varianza poblacional, por principio de analogía, usamos su contraparte muestral V n (X) = 1 n (X i µ x ) 2 n i=1 i=1

25 Principio de analogía: notación En general, vamos a denotar los parámetros con letras griegas. Por ejemplo, µ y = E(y) Dado que el principio de analogía busca mimetizar el objeto de la población en la muestra, vamos a preferir la siguiente notación: E n (X) 1 n n ( X i ) Entonces, si queremos proponer un estimador para la varianza poblacional, por principio de analogía, usamos su contraparte muestral V n (X) = 1 n (X i µ x ) 2 n De manera muy general i=1 i=1 E n (g(x)) = 1 n g(x i ) n i=1

26 Siguiendo la misma lógica, si queremos estimar α y β que caracterizan a la CEF lineal, propondríamos

27 Siguiendo la misma lógica, si queremos estimar α y β que caracterizan a la CEF lineal, propondríamos β n = C n(x, y) V n (x) α n = E n (y) β n E n (x)

28 Siguiendo la misma lógica, si queremos estimar α y β que caracterizan a la CEF lineal, propondríamos β n = C n(x, y) V n (x) α n = E n (y) β n E n (x) donde C n (x, y) = E n (x i y i ) E n (x i ) E n (y i ).

29 Siguiendo la misma lógica, si queremos estimar α y β que caracterizan a la CEF lineal, propondríamos β n = C n(x, y) V n (x) α n = E n (y) β n E n (x) donde C n (x, y) = E n (x i y i ) E n (x i ) E n (y i ). Como te habrás dado cuenta, a su vez son funciones de la media muestral.

30 La media muestral La media muestral (esperanza empírica) satisface muchas propiedades que, en nuestro marco de muestra aleatoria, podremos aplicar extensivamente.

31 La media muestral La media muestral (esperanza empírica) satisface muchas propiedades que, en nuestro marco de muestra aleatoria, podremos aplicar extensivamente. Como ya vimos, es un estadístico pues es una función de la muestra.

32 La media muestral La media muestral (esperanza empírica) satisface muchas propiedades que, en nuestro marco de muestra aleatoria, podremos aplicar extensivamente. Como ya vimos, es un estadístico pues es una función de la muestra. Por lo tanto, es también una variable aleatoria.

33 La media muestral La media muestral (esperanza empírica) satisface muchas propiedades que, en nuestro marco de muestra aleatoria, podremos aplicar extensivamente. Como ya vimos, es un estadístico pues es una función de la muestra. Por lo tanto, es también una variable aleatoria. Ya vimos que también surge del principio de analogía.

34 La media muestral La media muestral (esperanza empírica) satisface muchas propiedades que, en nuestro marco de muestra aleatoria, podremos aplicar extensivamente. Como ya vimos, es un estadístico pues es una función de la muestra. Por lo tanto, es también una variable aleatoria. Ya vimos que también surge del principio de analogía. Tenemos qué estudiar por qué es un estimador sensato.

35 Propiedades de los estimadores Decimos que un estimador θ n es insesgado para θ si E(θ n ) = θ.

36 Propiedades de los estimadores Decimos que un estimador θ n es insesgado para θ si E(θ n ) = θ. De no ser así, definimos el sesgo como B(θ n ) = E(θ n ) θ.

37 Propiedades de los estimadores Decimos que un estimador θ n es insesgado para θ si E(θ n ) = θ. De no ser así, definimos el sesgo como B(θ n ) = E(θ n ) θ. Podemos tener más de un estimador insesgado para θ, por ello necesitamos un segundo criterio para discernir entre ambos.

38 Propiedades de los estimadores Decimos que un estimador θ n es insesgado para θ si E(θ n ) = θ. De no ser así, definimos el sesgo como B(θ n ) = E(θ n ) θ. Podemos tener más de un estimador insesgado para θ, por ello necesitamos un segundo criterio para discernir entre ambos. Un criterio sencillo es escoger el que tenga menor varianza.

39 Propiedades de los estimadores Decimos que un estimador θ n es insesgado para θ si E(θ n ) = θ. De no ser así, definimos el sesgo como B(θ n ) = E(θ n ) θ. Podemos tener más de un estimador insesgado para θ, por ello necesitamos un segundo criterio para discernir entre ambos. Un criterio sencillo es escoger el que tenga menor varianza. Dados dos estimadores insesgazos, θ 1 n y θ 2 n, decimos que θ 1 n es más eficiente si V(θ 1 n) < V(θ 2 n)

40 A veces este criterio de eficiencia no es la panacea dado que podemos tener situaciones como B(θ 1 n) > B(θ 2 n) y V(θ 1 n) < V(θ 2 n)

41 A veces este criterio de eficiencia no es la panacea dado que podemos tener situaciones como B(θ 1 n) > B(θ 2 n) y V(θ 1 n) < V(θ 2 n) Dichas situaciones pueden ser atacadas si combinamos ambos criterios en uno nuevo y definimos el error cuadrático medio de un estimador como ECM(θ n ) = E(θ n θ) 2 = V(θ n ) + [B(θ n )] 2

42 A veces este criterio de eficiencia no es la panacea dado que podemos tener situaciones como B(θ 1 n) > B(θ 2 n) y V(θ 1 n) < V(θ 2 n) Dichas situaciones pueden ser atacadas si combinamos ambos criterios en uno nuevo y definimos el error cuadrático medio de un estimador como ECM(θ n ) = E(θ n θ) 2 = V(θ n ) + [B(θ n )] 2 Entonces escogemos el estimador que tenga el menor error cuadrático medio.

43 La media muestral La media muestral, en nuestro marco de muestra aleatoria, satisface dos propiedades exactas (para cualquier tamaño de muestra) y dos propiedades asintóticas.

44 La media muestral La media muestral, en nuestro marco de muestra aleatoria, satisface dos propiedades exactas (para cualquier tamaño de muestra) y dos propiedades asintóticas. Propiedades exactas: 1. E(E n (x)) = µ (Insesgadez). 2. V(E n (x)) = 1 n V(x).

45 La media muestral La media muestral, en nuestro marco de muestra aleatoria, satisface dos propiedades exactas (para cualquier tamaño de muestra) y dos propiedades asintóticas. Propiedades exactas: 1. E(E n (x)) = µ (Insesgadez). 2. V(E n (x)) = 1 n V(x). Propiedades asintóticas 1. E n (x) p E (x) (Consistencia). 2. Por el Teorema Central del Límite para muestras aleatorias, la media muestral estandarizada converge en distribución a la normal estándar. n ( En (x) µ x V(x) ) d N(0, 1)

46 Por qué nos interesa tanto? Se escapa un poco al objetivo de este curso (introductorio), pero los anteriores resultados a la par de:

47 Por qué nos interesa tanto? Se escapa un poco al objetivo de este curso (introductorio), pero los anteriores resultados a la par de: Teoremas de Slutsky

48 Por qué nos interesa tanto? Se escapa un poco al objetivo de este curso (introductorio), pero los anteriores resultados a la par de: Teoremas de Slutsky Teorema de representación continua (continuous mapping theorem)

49 Por qué nos interesa tanto? Se escapa un poco al objetivo de este curso (introductorio), pero los anteriores resultados a la par de: Teoremas de Slutsky Teorema de representación continua (continuous mapping theorem) Método Delta

50 Por qué nos interesa tanto? Se escapa un poco al objetivo de este curso (introductorio), pero los anteriores resultados a la par de: Teoremas de Slutsky Teorema de representación continua (continuous mapping theorem) Método Delta Nos dejan en una posición muy ventajosa para estudiar las propiedades aproximadas de una vasta familia de estimadores, dado que en su mayoría son funciones de las medias muestrales.