Electrotecnia General

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1 Dpartamnto d Ingnría Eléctrca Unvrsdad Naconal d Mar dl Plata Ára Elctrotcna Elctrotcna Gnral (para la Carrra Ingnría Industral) METODOS DE ANALISIS DE CIRCUITOS ELECTRICOS EN C.C. Y C.A. Profsor Adjunto: Ingnro Elctrcsta y Laboral Gustavo L. Frro Mal: gfrro@f.mdp.du.ar EDICION 015

2 Elctrotcna Gnral Capítulo 6 Métodos d análss d crcutos léctrcos n CC y CA INDICE Captulo 6 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS EN CORRIENTE CONTINUA Y CORRIENTE ALTERNA LA RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS, EN GENERAL 6.. RESOLVER UN CIRCUITO 6.3. MÉTODO DE LAS CORRIENTES DE MALLA 6.4. MÉTODO DE LAS TENSIONES DE NODO 6.5. COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS DE LAS MALLAS Y LOS NODOS. CAMPO DE APLICACIÓN DE CADA UNO 6.6. TEOREMAS DE THÉVENIN 6.7. TEOREMA DE NORTON 6.8. TEOREMA DE SUPERPOSICIÓN 6.9. TEOREMA DE MÁXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA EJEMPLOS RESUELTOS BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA: Ingnría d nrgía léctrca. Lbro 1. Crcutos Autor: Marclo Sobrvla Capítulo 1.3 Crcutos Eléctrcos Autor: Edmnstr Capítulo Archvo n la rd Ing. Gustavo L. Frro Prof. Adjunto Elctrotcna Págna

3 Elctrotcna Gnral Capítulo 6 Métodos d análss d crcutos léctrcos n CC y CA 6.1. La rsolucón d crcutos léctrcos, n gnral Hasta aquí hmos nuncado y utlzado la Ly d Ohm y las Lys d Krchhoff manfstando qu las msmas consttuyn las lys fundamntals para la rsolucón d los crcutos léctrcos. A partr d las mnconadas lys, dsarrollarmos dos técncas mportantísmas para l análss d los crcutos léctrcos como son: l análss nodal, basado n la aplcacón sstmátca d la 1º Ly d Krchhoff, l análss d mallas, basado n la aplcacón sstmátca d la º Ly d Krchhoff. Estas dos técncas nos prmtrán analzar cualqur tpo d crcuto a través d la obtncón d un jugo d cuacons cuya rsolucón prmtrán ncontrar los valors d las corrnts y tnsons mprsas n l crcuto Dfncón d crcuto Es un conjunto d lmntos actvos y pasvos, ncludos acoplamntos lctromagnétcos, conctados n forma d consttur mallas o lazos crrados. 6.. Rsolvr un crcuto Sgnfca, dado un crto númro d datos, obtnr las ncógntas plantadas. Por lo rgular, dados los lmntos actvos y pasvos componnts, s trata d obtnr las corrnts d las ramas o los potncals d todos los nodos. Otra manra d xprsarlo s dadas las xctacons s trata d obtnr las rspustas. En la mayor part d los casos s conoc l dagrama, la matrz d los lmntos actvos, la matrz d los lmntos pasvos y s busca la matrz d las corrnts d rama (o d las tnsons) o s buscan los potncals d nodo Rsolucón d crcutos smpls Exstn crcutos smpls, con una sola furza lctromotrz, qu pudn rsolvrs mdant l mplo d los agrupamntos n SERIE, n PARALELO y n ESTRELLA TRIÁNGULO. Ejmplo. Sn mbargo, st método s pud mplar n casos muy smpls, como l dl jmplo plantado. S han dsarrollado otros métodos qu prmtan rsolvr problmas más complcados. Los métodos d rsolucón s agrupan pudn agrupar d la sgunt manra: Ing. Gustavo L. Frro Prof. Adjunto Elctrotcna Págna 3

4 Elctrotcna Gnral Capítulo 6 Métodos d análss d crcutos léctrcos n CC y CA Cuando ntrsan todas las corrnts n las ramas Cuando ntrsan solo algunas corrnts n las ramas Método d las corrnts d malla Método d los potncals d nodo Método aplcando l Torma d Thvnn Método aplcando l Torma d Norton Método aplcando l Torma o Prncpo d Suprposcón 6... Númro d ncógntas d un crcuto Dl crcuto conocmos: Las ncógntas srán: Elmntos actvos (funts d tnsón y/o corrnt) Elmntos pasvos (mpdancas d rama) Esquma d conxons Corrnts n todas las ramas Las tnsons n todas las ramas Los potncals n todos los nodos Por lo tanto, djamos stablcdo qu: Númro d ncógntas = Númro d ramas d la rd Númro d ncógntas = Númro d nodos d la rd Llamando R al númro d ramas y N al númro d nodos: Incógntas = R Incógntas = N 1 Nóts qu s ha tomado N 1 n vz d N porqu a uno cualqura d los nodos s lícto asgnarl un potncal arbtraro, por jmplo cro. Por lo antror conclumos qu: S dsamos calcular las R ncógntas d una rd dbrmos plantar R cuacons ndpndnts. S dsamos calcular los potncals d los N nodos d la msma rd dbrmos plantar N 1 cuacons ndpndnts METODO DE LAS CORRIENTES DE MALLA Introduccón El método d las mallas s basa n la utlzacón d crcutos crrados, qu comúnmnt s llaman mallas o lazos. El método s funda n la suposcón d qu n cada malla o lazo, xst una corrnt qu l s propa y qu s dnomna corrnt d malla Ing. Gustavo L. Frro Prof. Adjunto Elctrotcna Págna 4

5 Elctrotcna Gnral Capítulo 6 Métodos d análss d crcutos léctrcos n CC y CA La adcuada composcón d las dfrnts corrnts d malla, prmt conocr todas las corrnts d las ramas. La vntaja dl método consst n qu l númro d corrnts d malla, s nfror al númro d las corrnts d rama. Tratarmos un jmplo para fctuar algunas consdracons: Dfncons Númro d nodos ndpndnts: N = N 1 sndo N l númro d nodos. Para nustro jmplo: N = 3 1 = Númro d mallas ndpndnts: M = R N = R N + 1, sndo R la cantdad d ramas. Para nustro jmplo: M = R N + 1 = = 3 Los nodos stán ndcados con los númros 1, y 3, mntras qu las ramas son los trayctos ntr cada par d nodos. En la fgura vmos qu s pudn tomar 3 mallas ndcadas como A, B y C y qu ncrran los rcorrdos 131, 131 y 3. En cada malla xstrá una corrnt d malla, qu dnomnarmos I A, I B I C. Ahora procdamos a aplcar las lys d Krchhoff a cada malla, y s tndrá: Malla 131 I B Z + (I B I C) Z 4 + (I B I A) Z 5 = E Malla 131 (I A I B) Z 5 + I A ( Z 1 + Z 1) = E 1 Malla 3 I C Z 3 + (I C I B) Z 4 = - E 3 Cuál s l orgn d stas xprsons? Son las sumas d las tnsons y d las furzas lctromotrcs a lo largo d cada una d las mallas propustas. En cada mpdanca, s tn n cunta las corrnts qu crculan con su sntdo rlatvo. Para las FEM, s tn n cunta las flchas colocadas al costado dl símbolo, qu ndcan l sntdo rlatvo corrspondnt. Rordnmos las cuacons plantadas: Malla I A Z 5 + I B ( Z + Z 4 + Z 5) I C Z 4 = E Malla 131 I A (Z 1 + Z 5) I B Z 5 = E 1 Malla 3 I B Z 4 + I C ( Z 3 + Z 4 ) = - E 3 Ing. Gustavo L. Frro Prof. Adjunto Elctrotcna Págna 5

6 Elctrotcna Gnral Capítulo 6 Métodos d análss d crcutos léctrcos n CC y CA Dond dfnmos como Z 1 = Z 1 + Z 1 Convngamos n llamar: Z AA = Z 1 + Z 5 Z BB = Z + Z 4 + Z 5 Impdancas propas d malla Z CC = Z 3 + Z 4 Podmos dfnr: Z AB = - Z 5 Z BA = - Z 5 Z BC = - Z 4 Z CB = - Z 4 Z AC = 0 Z CA = 0 Impdancas mutuas o d vnculacón d mallas IMPEDANCIA DE MALLA: s la suma d todas las mpdancas qu s ncuntran rcorrndo una malla. IMPEDANCIA MUTUA: s la mpdanca común a dos mallas. Rmplazando stos valors n l sstma d cuacons dl jmplo rsulta: Malla 131 I A Z AA + I B Z AB + 0 = E A Malla 131 I A Z BA + I B Z BB + I C Z BC = E B Malla I B Z CB + I C Z CC = E C Dond hmos cambado la dnomnacón d las FEM para ncontrar xprsons más gnrals. Rsolvndo l sstma d cuacons ncontramos las trs corrnts d malla I A, I B I C. A partr d las corrnts d malla ncontramos las corrnts d rama ncógntas: I 1 = I A I = I B I 3 = I C I 4 = I B I C I 5 = I A - I B Gnralzacón dl método. Consdérs l crcuto arbtraro lustrado n la fgura. S numran las mallas y s asgna un msmo sntdo d crculacón para rcorrr las msmas, con l objto d obtnr una ly d formacón y podr sstmatzar l método. Con l msmo objto l sntdo d rfrnca para las corrnts d malla ndpndnt I 1, I I 3 s lgn todos concdnts ntr sí guals al sntdo d crculacón adoptado. Por aplcacón d la sgunda Ly d Krchhoff rsulta: malla I V 1 + V 4 = Z 1 I 1 + Z 4 I 4 + Z 6 I 6 malla II - V = Z I + Z 5 I 5 - Z 6 I 6 malla III - V 3 V 4 = Z 3 I 3 - Z 4 I 4 - Z 5 I 5 En l grupo d cuacons antrors s dsan xprsar ahora las corrnts compartdas ntr dos mallas n funcón d las corrnts d malla ndpndnt. Con s objto convn lgr para plantar la prmra Ly d Krchhoff a los nodos ndcados como A, B y C y n conscunca: Ing. Gustavo L. Frro Prof. Adjunto Elctrotcna Págna 6

7 Elctrotcna Gnral Capítulo 6 Métodos d análss d crcutos léctrcos n CC y CA nodo A: - I 1 + I + I 6 = 0; nodo B: - I + I 3 + I 5 = 0; nodo C: I 1 - I 3 - I 4 = 0 D st conjunto d cuacons pudn dspjars las corrnts compartdas n funcón d las ndpndnts: I 6 = I 1 I, I 5 = I I 3 I 4 = I 1 I 1, rmplazando adcuadamnt las cuacons srá: malla I V 1 + V 4 = Z 1 I 1 + Z 4 ( I 1 I 3) + Z 6 ( I 1 - I ) malla II - V = Z I + Z 5 ( I I 3) - Z 6 ( I 1 - I ) malla III - V 3 = Z 3 I 3 - Z 4 (I 1 I 3) - Z 5 ( I - I 3 ) ordnando las cuacons antrors n funcón d las corrnts d malla ndpndnt: ( Z 1 + Z 4 + Z 6 ) I 1 - Z 6 I - Z 4 I 3 = V 1 + V 4 - Z 6 I 1 + ( Z + Z 5 + Z 6 ) I - Z 5 I 3 = - V - Z 4 I 1 - Z 5 I + ( Z 3 + Z 4 + Z 5 ) I 3 = - V 3 V 4 Nóts qu n las trs cuacons d malla plantadas, l cofcnt d la corrnt ndpndnt d las msmas stá formado por la suma d las mpdancas qu s obtnn al rcorrr la malla n custón. Admás, por jmplo n la cuacón corrspondnt a la malla I, l cofcnt d la corrnt ndpndnt d la malla II s la mpdanca d la rama compartda ntr las mallas I y II. Estas mpdancas compartdas aparcn prcddas por un sgno ngatvo. Procsos smlars ocurrn para las cuacons corrspondnts a las mallas II y III. Fnalmnt, s obsrva qu cada cuacón d malla tn como térmno ndpndnt a la suma d las tnsons d los gnradors hallados al rcorrr la malla corrspondnt, computadas con sgno postvo cuando su sntdo d rfrnca s concdnt con l d crculacón adoptado, y con sgno ngatvo n caso contraro. A través dl análss s advrt qu xst una ly d formacón qu prmt scrbr las cuacons n forma sstmátca, y qu pudn tomar l sgunt aspcto: Z 11 I 1 + Z 1 I Z 1m I m = V (1) Z 1 I 1 + Z I Z m I m = V ()... Z m1 I 1 + Z m I Z mm I m = V (m) n forma condnsada y matrcalmnt pud scrbrs: [V] = [Z ] [ I ] y dc qu la matrz columna d tnsons d xctacón s gual a la matrz mpdanca d malla o matrz mpdanca dl método d las mallas multplcada por la matrz columna d corrnts d malla ndpndnt. En la cuacón s obsrva, prncpalmnt, qu aparcn dos tpos d mpdanca, una con subíndcs rptdos y otras con dstntos subíndc, y s dnomnan: Z = IMPEDANCIAS PROPIAS DE LA MALLA Z = IMPEDANCIAS MUTUAS O COMPARTIDAS Es d aclarar qu Z = Z para crcutos consttudos por lmntos qu s componn n forma léctrcamnt smétrca, s dcr qu la transfrnca d nrgía pud ralzars con gual facldad n ambos sntdos. Los lmntos pasvos cumpln con sta condcón y s dnomnan BILATERALES. Ing. Gustavo L. Frro Prof. Adjunto Elctrotcna Págna 7

8 Elctrotcna Gnral Capítulo 6 Métodos d análss d crcutos léctrcos n CC y CA Rgla práctca para scrbr las cuacons dl método d las mallas por smpl nspccón. 1. S dtrmna l númro d mallas ndpndnts, s numran las msmas asgnando un msmo sntdo para todas las corrnts n las msmas, n concdnca con l sntdo d crculacón adoptado.. En l prmr mmbro s forma una matrz columna con tantos lmntos como mallas ndpndnts tnga l crcuto, cada uno d los lmntos s gual a la sumatora, para la malla corrspondnt a la fla n qu s ncuntran, d las tnsons xctadoras halladas al rcorrrlas íntgramnt. S consdrarán postvas aqullas tnsons d los gnradors cuyo sntdo d rfrnca sa concdnt con l d crculacón, y ngatvas n caso contraro. El sgundo mmbro stá consttudo por l producto d dos matrcs. 3. La matrz cuadrada d mpdanca d malla s construy formando un cuadro con tantas flas y columnas como mallas ndpndnts tnga l crcuto. S coloca n cada uno d los lmntos dfndos una mpdanca caractrzada con las ltras Z con dobl subíndc. El prmr subíndc corrspond a la malla a la cual prtnc la cuacón, o lo qu s lo msmo, al númro d fla. El sgundo subíndc corrspond a la corrnt d la cual s cofcnt, o lo qu s gual, a la columna corrspondnt. Las mpdancas con subíndcs rptdos rsultan d las sumas d las mpdancas ncontradas al rcorrr la malla dntfcada por dcho dobl subíndc, sndo smpr postvas. Las mpdancas con subíndcs dstntos son guals a la mpdanca d la rama compartda ntr las dos mallas dntfcadas por dchos subíndcs, cambada d sgno. 4. La matrz columna d corrnts ncógntas stá consttuda por tantos lmntos como mallas ndpndnts tnga l crcuto. NOTA: En l jmplo d la fgura d la cual s drvó l método ncluy gnradors d tnsón. En l caso d qu xstan n la confguracón a rsolvr gnradors d corrnt, con l objto d aplcar la rgla antror, db convrtírslos n gnradors d tnsón aplcando la transformacón d funts ya vsta MÉTODO DE LAS TENSIONES DE NODO El análss nodal o método d tnsons d nodo proporcona un procdmnto gnral para analzar crcutos usando los voltajs d los nodos como varabls dl crcuto. Consdérs l crcuto arbtraro lustrado n la fgura. S numran los númros ndpndnts y l nodo 3 s lg como rfrnca, computando rspcto d él, los potncals d los dmás nodos. Los gnradors d corrnt provn I 5 I 6, obvamnt conocdas; los sntdos d rfrnca para las dmás corrnts s han tomado n forma arbtrara. D la aplcacón d la 1º Ly d Krchhoff rsulta: nodo 1: - I 1 + I + I 3 I 5 = 0 nodo : I 1 - I - I 4 + I 6 = 0 Ing. Gustavo L. Frro Prof. Adjunto Elctrotcna Págna 8

9 Elctrotcna Gnral Capítulo 6 Métodos d análss d crcutos léctrcos n CC y CA En las cuacons antrors I 5 I 6 son las corrnts ndpndnts mpustas por los gnradors. Las dmás pudn xprsars n funcón d los potncals y las admtancas aplcando la Ly d Ohm n las ramas dl crcuto d la fgura, y n conscunca: V 1 = V V 1 = V + Z 1 I 1 I 1 = ( V V 1 - V ) Y 1 V 1 = V V 1 = - I Z I = ( V 1 V 1 ) Y V 13 = V 1-0 = I 3 Z 3 I 3 = V 1 Y 3 V 3 = V - 0 = - I 4 Z 4 I 4 = - V Y 4 rmplazando adcuadamnt las últmas cuacons n las d nodos rsulta: nodo 1: - ( V V 1 - V ) Y 1 + ( V 1 V ) Y + V 1 Y 3 I 5 = 0 nodo : ( V V 1 - V ) Y 1 - ( V 1 V ) Y + V Y 4 + I 6 = 0 oprando las cuacons antrors n funcón d los potncals d nodo ndpndnt: nodo 1: ( Y 1 + Y + Y 3 ) V 1 - ( Y 1 + Y ) V = I 5 - V Y 1 nodo : - ( Y 1 + Y ) V 1 + ( Y 1 + Y + Y 4 ) V = - I 6 + V Y 1 Nóts qu n las dos cuacons d nodo plantadas, los potncals d nodo ndpndnt tnn como cofcnt a la suma d las admtancas qu concurrn a los rspctvos nodos. Admás, n la cuacón corrspondnt al nodo 1, l potncal dl nodo tn como cofcnt la suma d las admtancas tnddas ntr los nodos 1 y, prcddos d un sgno ngatvo. Procso análogo ocurr n la cuacón dl nodo, rspcto al potncal dl nodo 1. Fnalmnt, s obsrva qu cada cuacón d nodo tn como térmno ndpndnt a la suma d las corrnts ndpndnts, provstas por los gnradors, qu convrgn al nodo al cual corrspond la cuacón, computadas con sgno postvo s son ntrants n l nodo, y ngatvo n caso contraro. Advértas qu n l crcuto n studo, admás d los gnradors d corrnt, s ha ncludo uno d tnsón, y qu n las cuacons aparc transformado n uno d corrnt. Al rspcto s nsstrá sobr sto n la rgla práctca. A través dl análss s advrt qu xst una Ly d formacón qu prmt scrbr las cuacons n forma sstmátca, y qu pudn tomar l sgunt aspcto: Y 11 V 1 + Y 1 V Y 1n V n = I (1) Y 1 V 1 + Y V Y n V n = I ()... Y n V 1 + Y n V Y nn V n = I (n) qu n forma matrcal y condnsada pud scrbrs : [ I ] = [ Y ] [ V ] y dc qu la matrz columna d corrnts d xctacón s gual a la matrz admtanca d nodo o matrz admtanca dl método d los nodos, multplcada por la matrz columna d tnsons d nodo ndpndnt. En las cuacons s obsrva, prncpalmnt, qu xstn dos tpos d admtancas, unas con subíndcs rptdos y otras con dstntos subíndcs, y s dnomnan: Y = admtancas propas d nodos. Y = admtancas mutuas. rspcto d las admtancas mutuas Y Y valn las msmas consdracons ralzadas n l método d las mallas para Z Z. Esto s Y = Y para crcutos consttudos por lmntos blatrals. Ing. Gustavo L. Frro Prof. Adjunto Elctrotcna Págna 9

10 Elctrotcna Gnral Capítulo 6 Métodos d análss d crcutos léctrcos n CC y CA Rgla práctca para scrbr las cuacons dl método d los nodos por smpl nspccón. 1. S dtrmna l númro d nodos ndpndnts, lgndo la rfrnca y numrándolos.. En l prmr mmbro s forma una matrz columna con tantos lmntos como nodos ndpndnts tnga l crcuto. Cada uno d los lmntos s gual a la sumatora, para l nodo corrspondnt a la fla n qu s ncuntra, d las corrnts xctadoras qu convrgn al nodo n custón. S consdrarán postvas aqullas corrnts d los gnradors cuyo sntdo d rfrnca s ntrant al nodo, y ngatvo n caso contraro. El sgundo mmbro stá consttudo por l producto d dos matrcs. 3. La matrz cuadrada d admtanca d nodo s construy formando un cuadro con tantas flas y columnas como nodos ndpndnts tnga l crcuto. En cada uno d los lmntos dfndos s coloca una admtanca caractrzada con la ltra Y con dobl subíndc. El prmr subíndc corrspond al nodo al cual prtnc la cuacón, o lo qu s lo msmo, al númro d fla. El sgundo subíndc corrspond a la tnsón d la cual srá cofcnt, o lo qu s gual, a la columna corrspondnt. Las admtancas con subíndcs rptdos rsultan d la suma d las admtancas d las ramas qu concurrn al nodo dntfcado por l dobl subíndc, sndo smpr postvas. Las admtancas con dstntos subíndcs rsultan d la suma d las admtancas d las ramas tnddas ntr los dos nodos dntfcados por los subíndcs cambada d sgno. 4. La matrz columna d tnsons ncógntas stá consttuda por tantos lmntos como nodos ndpndnts tnga l crcuto. NOTA: En l caso d qu xstan n la confguracón a rsolvr gnradors d tnsón, con l objto d aplcar la rgla antror, db convrtírslos n gnradors d corrnt aplcando l concpto d transformacón d funts Comparacón d los métodos d las mallas y los nodos. Campo d aplcacón d cada uno. El método d las mallas prmt la dtrmnacón d las corrnts d malla ndpndnt, y conocndo éstas pudn dtrmnars todas las dmás ncógntas. Dbn plantars: m = númro d corrnts d malla ndpndnts = r - ( n - 1) cuacons. Dond: (r) s l númro total d ramas, (n) s l númro total d nodos. El método d los nodos prmt la dtrmnacón d las tnsons d nodo ndpndnt, y d allí s pudn dtrmnar las dmás ncógntas. Dbn plantars: n = númro d tnsons d rama ndpndnt = n - 1 cuacons. Dond: (n) s l númro total d nodos. En l caso d qurr dtrmnar una confguracón, una prmra slccón dl método a mplar pud hacrs tnndo n cunta a aquél qu prov l mnor númro d cuacons. Es vdnt qu s m < n convn mplar l método d las mallas, y n cambo s m > n s rcomndabl mplar l método d los nodos TEOREMA DE THÉVENIN Est torma s mpla cuando s rqur conocr una sola d las ncógntas d un crcuto. Ing. Gustavo L. Frro Prof. Adjunto Elctrotcna Págna 10

11 Elctrotcna Gnral Capítulo 6 Métodos d análss d crcutos léctrcos n CC y CA Vntaja: Mnor trabajo matral para conocr una ncógnta dtrmnada. Prmt smplfcar los crcutos para su studo y mdcón. Inconvnnt: No prmtr conocr todas las ncógntas. Impd controlar l rsultado Enuncado: Una rd complja (crcuto) qu tnga lmntos actvos y pasvos lnals, pud sr rmplazada por un gnrador quvalnt, compusto por una mpdanca ntror, y una furza lctromotrz. Vamos l jmplo utlzado n l método d las mallas: El método qu dsarrollamos, busca prcsamnt obtnr l valor d la furza lctromotrz E T y la mpdanca quvalnt Z T, lmntos ambos qu consttuyn l gnrador quvalnt d Thvnn. Por aplcacón d la Ly d Ohm podmos calcular I 3 = E T / (Z T + Z 3) Para ncontrar E T y Z T procdmos d la sgunt manra: E T El valor d la furza lctromotrz E T s obtn rtrando la mpdanca Z 3 por la cual crcula la ncógnta propusta, n nustro jmplo, rtrando la mpdanca Z 3 y dtrmnando qu tnsón quda ntr sus trmnals. En l jmplo, para conocr la tnsón a crcuto abrto U AB habrá qu calcular I, sa por l método d las mallas o por smpl aplcacón rpttva dl msmo método d Thvnn. S obsrva así qu st procdmnto mplca muchas vcs rcurrr a otros métodos. Para nustro jmplo, dtrmnada sa corrnt auxlar, s podrá scrbr: U AB = E T = I Z 4 + E 3 Ing. Gustavo L. Frro Prof. Adjunto Elctrotcna Págna 11

12 Elctrotcna Gnral Capítulo 6 Métodos d análss d crcutos léctrcos n CC y CA Z T La dtrmnacón d la mpdanca ntrna dl gnrador quvalnt sgún Thvnn, s procd a qutar todas las funts actvas, y l crcuto nos quda como nsña la fgura. La dtrmnacón d la mpdanca s snclla, para st jmplo, acudndo a las combnacons d mpdancas n sr y parallo: En síntss: Z T ( Z 1 Z 1 ) Z5 Z Z 1 Z 1 Z5 ( Z 1 Z 1 ) ( Z5) Z Z Z Z ( Z 4 Z ) 4 Para dtrmnar una ncógnta d Thvnn, s rtra la mpdanca por la qu crcula dcha ncógnta, y s consdra al rsto dl crcuto como un gnrador quvalnt. La furza lctromotrz d st gnrador quvalnt s la tnsón a crcuto abrto, qu s v dsd la ncógnta, mrando al rsto dl crcuto. La mpdanca ntrna d s gnrador quvalnt s la mpdanca qu s v dsd la ncógnta, s s consdran nulas todas las furzas lctromotrcs actuants. Esto nos prmt mjorar l ENUNCIADO dado al prncpo: Una rd complja, qu contnga lmntos actvos y pasvos lnals, pud sr rmplazada por una funt ral d tnsón, llamada gnrador quvalnt d Thvnn, cuya furza lctromotrz sa la tnsón qu s md n la rd cuando s rtra la mpdanca por la qu crcula la ncógnta qu s qur dtrmnar y cuya mpdanca ntrna s la mpdanca qu tn la msma rd consdrando nulas todas las furzas lctromotrcs. El método d Thvnn s sumamnt útl para oprar n forma xprmntal ya qu la dtrmnacón d los valors d E T y Z T s pudn hacr por métodos xprmntals d laboratoro TEOREMA DE NORTON El Torma d Thvnn nuncado antrormnt stablcía qu todo crcuto lnal podía sr rmplazado por l dnomnado quvalnt d Thvnn qu staba compusto por un gnrador ral, s dcr por un gnrador dal d tnsón E T y una mpdanca Z Th. El Torma d Norton s smlar pro dfr n l tpo d gnrador slcconado para hacr la quvalnca. Ing. Gustavo L. Frro Prof. Adjunto Elctrotcna Págna 1

13 Elctrotcna Gnral Capítulo 6 Métodos d análss d crcutos léctrcos n CC y CA Utlza una funt qu proporcona una corrnt (qu pud sr contnua o altrna) y qu tn acoplada n parallo una mpdanca. El nuncado s l sgunt: La corrnt qu crcula por un rcptor d nrgía conctado a los trmnals d una rd s gual a la corrnt qu crcularía por s msmo rcptor, conctado a un gnrador lmntal consstnt n una funt d corrnt, gual a la qu producría s ponmos la rd n cortocrcuto, y una mpdanca ntror n parallo gual a la qu prsntan los trmnals s las furzas lctromotrcs no s consdran. Esto s lustra n prncpo n la fgura antror. Vamos un jmplo. En la fgura vmos qu: (a) rprsnta l crcuto d rsolvr; (b) s ha qutado la rsstnca d carga y s han corto crcutado los borns, obtnéndos así la corrnt I CC. (c) S han pasvado las funts d tnsón (s dcr s cortocrcutan) y s pud calcular la mpdanca quvalnt ( n l jmplo rsstnca quvalnt). (d) Vmos l gnrador quvalnt con una funt d corrnt I = Icc acoplada n parallo con una rsstnca ntror R TEOREMA DE SUPERPOSICIÓN En una rd cualqura compusta por gnradors mpdancas, la corrnt qu crcula por un punto d la msma, s la suma d las qu crcularían por s msmo punto s cada gnrador actuas solo ndpndntmnt y los otros prsntasn úncamnt su mpdanca ntror. Ing. Gustavo L. Frro Prof. Adjunto Elctrotcna Págna 13

14 Elctrotcna Gnral Capítulo 6 Métodos d análss d crcutos léctrcos n CC y CA El prncpo d suprposcón stablc qu l voltaj (o una corrnt) a través d un lmnto lnal s la suma algbraca d los voltajs (o corrnts) a través dl lmnto dbdo a cada funt ndpndnt actuando sola. La fgura qu sgu nos da una da dl Torma. En (a) vmos l crcuto a rsolvr y n (b) y (c) l msmo crcuto n la qu actúan ndpndntmnt los gnradors, rmplazándos los lmnados por sus rspctvas rsstncas ntrnas. Cuando n (b) actúa solamnt E 1 provoca n la rd trs corrnts qu son muy fácls d calcular, lo msmo cuando actúa sólo E n (c). La corrnt ral qu crculará por cada rama cuando actún ambos gnradors smultánamnt db sr: I 1 = I 1 + I 1 I = I + I I = I + I Las ss corrnts parcals son muy fácls d calcular y solo db tnrs la prcaucón d consdrar corrctamnt sus sntdos TRANSFERENCIA DE ENERGÍA DE UN CIRCUITO A OTRO La transfrnca d nrgía dsd un gnrador a un rcptor pud hacrs d dos formas: Drctamnt. A través d un crcuto d acoplamnto. En l crcuto d la fgura podmos xprsar a: Z = R + j X = Z Z = R + j X = Z La corrnt crculant, n valor absoluto val: E0 I (R R ) ( X La potnca dsarrollada n la carga rsulta: E P I R (R R ) 0 X ) R ( X X S varamos la ractanca X mantnndo todos los lmntos constants, la potnca transfrda por l gnrador a la carga s MAXIMA cuando s cumpl: X X ) Ing. Gustavo L. Frro Prof. Adjunto Elctrotcna Págna 14

15 Elctrotcna Gnral Capítulo 6 Métodos d análss d crcutos léctrcos n CC y CA E0 R Para sta condcón s cumpl qu: P (R R ) S varamos R, obtndrmos drvando la xprsón d la potnca P qu la condcón d MÄXIMO s: Runndo las dos condcons vmos qu s transfr máxma potnca cuando s cumpl qu: (dond Z * s la mpdanca conjugada d Z ) Est dsarrollo s conoc con l nombr d Torma d la máxma transfrnca d potnca Vamos dos casos partculars: a) Carga: Rsstnca varabl R L b) Carga: Impdanca Z L con rsstnca varabl y ractanca fja Z R R Z * a) Carga: Rsstnca varabl R L: La corrnt n l crcuto s (n módulo): I (R R E 0 ) ( X ) E0 R La potnca sumnstrada a R L s ntoncs: P I R (R R ) ( X ) Para dtrmnar l valor d R para qu la potnca transfrda a la carga sa máxma, s hac la prmra drvada dp/dr gual a cro, rsultando: R En l caso d una rsstnca pura varabl s transmt la potnca máxma ntr los trmnals d un crcuto actvo cuando la rsstnca d carga s gual al valor absoluto d la mpdanca dl crcuto. S la componnt ractva d la mpdanca n sr con la funt s cro, o sa X = 0, s transfr la máxma potnca cuando la rsstnca d carga s gual a la rsstnca d la funt, sto s: R R b) Carga: Impdanca Z con rsstnca varabl y ractanca fja. Con la condcón X constant s obtnn las msmas cuacons para la corrnt I y para la potnca P qu n l caso gnral. Igualando a cro la prmra drvada d P rspcto d R s dduc: R X Z R R ( X X ) R Z jx Como Z y X son magntuds fjas s pudn combnar n una únca mpdanca. Entoncs, con R varabl, st caso s rduc al caso a) y la potnca máxma s obtn cuando R s gual al valor absoluto d la mpdanca dl crcuto. Ing. Gustavo L. Frro Prof. Adjunto Elctrotcna Págna 15

16 Elctrotcna Gnral Capítulo 6 Métodos d análss d crcutos léctrcos n CC y CA EJEMPLOS RESUELTOS APLICACIÓN DEL MÉTODO DE LAS MALLAS. Ing. Gustavo L. Frro Prof. Adjunto Elctrotcna Págna 16

17 Elctrotcna Gnral Capítulo 6 Métodos d análss d crcutos léctrcos n CC y CA APLICACIÓN DEL METODO DE LOS NODOS Ing. Gustavo L. Frro Prof. Adjunto Elctrotcna Págna 17

18 Elctrotcna Gnral Capítulo 6 Métodos d análss d crcutos léctrcos n CC y CA APLICACIÓN DEL TEOREMA DE THEVENIN Ing. Gustavo L. Frro Prof. Adjunto Elctrotcna Págna 18

19 Elctrotcna Gnral Capítulo 6 Métodos d análss d crcutos léctrcos n CC y CA APLICACIÓN DEL TEOREMA DE NORTON Ing. Gustavo L. Frro Prof. Adjunto Elctrotcna Págna 19

20 Elctrotcna Gnral Capítulo 6 Métodos d análss d crcutos léctrcos n CC y CA APLICACIÓN DEL TEOREMA DE SUPERPOSICIÓN Ing. Gustavo L. Frro Prof. Adjunto Elctrotcna Págna 0

21 Elctrotcna Gnral Capítulo 6 Métodos d análss d crcutos léctrcos n CC y CA APLICACIÓN DEL TEOREMA DE MAXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA Ejmplo 1: Ejmplo : Ejmplo 3: Glf/015 Ing. Gustavo L. Frro Prof. Adjunto Elctrotcna Págna 1