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1 SEMANA 1 POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN 1. Si l numral aann s un cuadrado prfcto; Calcul la suma d cifras d su raíz cuadrada? A) 15 B) 1 C) 19 D) 1 E) 1 aann = K 11 aann difrncia s cro; ntoncs s múltiplo d 11 aann = 11 x Buscando l númro x x = 8 aann = 11 = 77 Pid: aann = 11 8 = 88 Suma d cifras: 1. Al xtrar la raíz cúbica d abc s obtuvo como rsiduo por xcso 59 y por rsiduo por dfcto 1. Calcul : a x b A) 1 B) 15 C) 18 D) 8 E) 5 Raíz cúbica sabmos: R = 1 d R = 59 d 71 = ( k) ( k + 1) + 1 R + R = k k Rsolvindo: 9 = k M = K + 1 = = 71 = abc a = 7;b = ;c = 1 a b = 8. Al xtrar la raíz cuadrada d un númro s obtuvo como rsiduo. Si l númro s cuadriplica la raíz cuadrada aumnta n 19 y l rsiduo s rduc n 7. Hall l númro. A) B) 5 C) D) 9 E) 1 * N = K + N = K * K + = K + 8K K = 8K + 88 K = 18 N = 18 + =. Al xtrar la raíz cuadrada d un númro s obtuvo 5 d rsiduo, pro si s l suma 1 unidads, su raíz aumnta n y su rsiduo s hac máximo. Hall la raíz dl númro original. A) 11 B) 158 C) 157 D) E) 17 Sa N l númro D N K N N N + 1 N = ( K ) + 5..(1) N + 1 = K + K...() y K = K + K K K = K + K K = 17 1 K - =17 RPTA.: E 5. Hall (a + b + c + d + ) si abcd = d A) 117 B) 118 C) 19 D) E) 1

2 abc + d = d abci 1 = d = d 1 abci 1 = d = d + 1 d 1 S vrifica: d 5 = d = 15 5 númros conscutivos al mnos uno divid a 1. Si: abcdf = K ; a + c + = b + d + f =18 y f =. Hall c + d abcdf = A) 9 B) 1 C) 11 D) 1 E) 1 abcdf = K ; a + c + = b + d + f = 18; f = º 11 abcdf = 11 t Cumpl para t = 1 abcf = 11 1 c + d = 7 + c + d = 11 abcdf = S tin cdcdcd1 K Hall: c + d =. A) 1 B) 1 C) 15 D) 1 E) 1 Dscomponindo por bloqus: 111 cd + 1 = K cd = K cd = K 1 K + K + 1 K 1 = K 1 = 1 K = 11 Como l númro tin 7 cifras: cdcdcd1 = 11 = 9991 c + d = 1 8. Cuántos cuadrados prfctos hay ntr 9 y 59? 5 7 A) B) 5 C) D) 7 E) 8 Sa l númro: N = K Y 9 < K < 59, < K < 77, K = 1; ; ;.; 77. N = 1 = K 1 1 = K 9 1 = K K + Hay 7 númros. K 1 = mcm,,5,7 c 9. Si: abc = d ; a > b. Hall: (a + b + c + d) 1- N = =,55,8 1 =,9,,75 A) B) C) 19 D) 9 E) 15

3 c abc = d = K (cuadrado prfcto) c múltiplo d c = (No) c = (No) c = 9 (Si) ab9 = d ; a > b. Tanto d d para obtnr un númro d cifras qu trmin n 9. d =9 ab9 = 9 ab9 = 89 c = 9; d = 9; a + b + c + d = RPTA.: B 1. Hall l mayor cuadrado prfcto d cifras d la bas, qu trmin n cifras. A) 1 B) 1 C) D) E) 5 Sa l cuadrado buscado ab Obsrv n bas : 1 = 1 =... 5 =...1 = S dduc = ab = x < 1 x 1 x < 1 x < 1 1 x < x = 1 1 = 1 RPTA.: A 11. Sabindo qu l númro ababab ( 5), s convirt n cuadrado prfcto cuando s l multiplica por 7. Calcul a + b. A) 5 B) 8 C) 7 D) E) Dscomponindo: ababab( 5) = 51 ab( 5) Lugo rmplazando: 51 ab( 5) 18 = K (D.C.) 1 1 ab = K Entoncs: ab = 1 = 5 ( 5) ( 5) a = b = a + b = ( 8 ) RPTA.: E 1. Un comandant dispon su tropa formando un cuadrado y v qu qudan fura soldado por lo qu dsigna un hombr más a cada lado dl cuadrado y v ahora qu l faltarían 75 soldado para compltar l nuvo cuadrado. Cuántos soldados hay n la tropa? A) 1 B) 989 C) 1 D) E) 55 Sa n l númro d soldado por cada lado dl cuadrado: Total d soldados: n + = n Rsolvindo: n = 55 Total d soldados = 55 + = 1 RPTA.: A 1. Cuántos númros d cifras tinn rsiduo máximo tanto n su raíz cuadrada y n su raíz cúbica? A) B) C) 5 D) E) 7

4 Sa N = # d cifras N = K 1 N + 1 = K N + 1 = P N = h 1 N + 1 = h N = P N < P 1 < < P 1 P = 7; 8; 9; 1 númros RPTA.: B 1. Cuántos númros d la siguint sucsión son cuadrados prfctos o múltiplos d 1? 1,,1,..., A) 5 B) 5 C) 8 D) E) Pasando a bas 1: l trmino gnral: an = n n = 1,,,...,51 * Dtrminando los n 1 = 1 n = 1 51 hay 9 casos * Dtrminando los cuadrados n = cuadrado n = k 51 hay 9 casos * Dtrminando los cuadrados qu son 1 1 = n = k 51 k = ninguno s 1 Total = = Al xtrar la raíz cuadrada d abc s obtuvo rsiduo máximo. Hall (a + b + c) si a s cifra significativa. Como abc5 tin rsiduo máximo n su raíz cuadrada abc = N 1 abc5 = N Admás s cumpl c = ;N=...x5 ab5 = x5 Dscomponindo ab = x x + 1 Cumpl x =5 Lugo ab = 5 a = 5 b = a + b + c = 7 1. Calcul cuántos númros cuadrados prfctos xistn ntr los cuadrados prfctos: * * ( b 1) c5 + y ( + ) ( + ) Si b s impar. bb a a a A) 1 B) 11 C) D) 1 E) 1 ( b + 1) C5 = K 5 5 bb ( a + ) ( a + ) a = 11( a + ) ( a + ) a = x 5 ;7 ;8 ;...;17 18 b = 1 A) 5 B) C) 7 D) 8 E) 9

5 17. Un trrno cuadrado s divid n pquños lots cuadrados todos iguals. Si s dsa colocar un árbol n cada vértic d los cuadrados, s mpla 1 árbols más cuando los cuadrados son d m d lado, qu cuando son m. Calcular l lado dl trrno. A) B) 8 C) D) E) Sparación m sparación m l l = 1 l l + 8 = 1 = 9 9 l l + 8 = 11 l = RPTA.: E 18. Calcul (a + b + c + d + f); sabindo qu: N = abcdfoo s un cubo prfcto divisibl por y 11. A) B) C) D) E) 5 l N = abcdfoo = K f = l abcd = x 11 abcd = 11 = 597 a +b + c + d + f = RPTA.: A 19. Al xtrar la raíz cuadrada d un numral s obsrva qu los rsiduos por dfcto y por xcso stán n la rlación d a. Sabmos qu l producto d las rspctivas raícs s 99. Calcul l númro. A) 98 B) 998 C) 981 D) 988 E) 91 * r x = x + x = (1) + 1 r x r = 7 N = = 988. Si: N x = 9 ( m 1) ( m ) ( m 1) ( a b) ( m 1) s un cuadrado prfcto. Calcúls l rsiduo por xcso d la raíz cuadrada d m( a b) m A) 1 B) 9 C) 1 D) E) Si l numral: m 1 m m 1 a b m 1 = k m = ó. m = ; 11( a b) K ( nos) m = ; 7 ( a b) 5 = K ( sís).. Propidad un cuadrado qu trmina n 5, trmina n 5 Lugo a b = Rmplazando: N r ; Rd = R = 1

6 1. Si: ( + ) = ( + ) a 1 dd b a a b b Calcul l rsiduo por xcso qu s obtin al xtrar la raíz cúbica a dba A) 7 B) 7 C) 81 D) 85 E) 87 a + 1 dd b = a a + b b = K Pnsando: b = 1; (No) b = ; (No) b = ; (Sí) Tndríamos: ( + ) = ( + ) a 1 dd9 a a ( a + 1) dd9 = ( 11a + ) a = 1 9 = 1 a = 1; d = ; b = db a = 1 ; k = 7 R + R = K(K + 1) + 1 d 88 + R = R = 81

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