Lógica Clásica Proposicional

Transcripción

1 Lógica Clásica Proposicional Lógica Computacional Departamento de Matemática Aplicada Universidad de Málaga 10 de enero de 2008

2 Contenido 1 Sintaxis Alfabeto Fórmulas bien formadas Funciones recursivas 2 Semántica Interpretaciones y satisfacibilidad Equivalencia lógica y formas normales Formas normales Consideraciones semánticas y formalización 3 Algoritmo de Quine Refutación y deducción automática Un ejemplo El método

3 Sintaxis de la Lógica Proposicional Alfabeto Definición El alfabeto está formado por los siguientes conjuntos: 1 Un conjunto numerable de símbolos de proposición: Π = {p, q, r,..., p 1, q 1, r 1,..., p n, q n, r n,... } 2 Conectivos u Operadores lógicos:,,, y. 3 Símbolos de puntuación: (, ).

4 Sintaxis de la Lógica Proposicional Fórmulas bien formadas (definición simple ) Definición El conjunto de las fórmulas bien formadas (fbfs) está determinado por las siguientes reglas de formación: 1 Los elementos de Π son fbfs: las fórmulas atómicas. 2 Si A es una fbf, A es una fbf. 3 Si A y B son fbfs entonces (A B), (A B), (A B) y (A B) son fbfs. Los símbolos A y B usados en la definición no son símbolos del lenguaje sino metasímbolos. El único convenio para la simplificación de fórmulas que utilizaremos es la eliminación de los paréntesis inicial y final de una fórmula si los tuviera.

5 Sintaxis de la Lógica Proposicional Fórmulas bien formadas (definición más formal ) Definición El lenguaje de la lógica proposicional L es la clausura inductiva del conjunto Π para los constructores C, C, C, C y C : C (x) = x C (x, y) = (x y) C (x, y) = (x y) C (x, y) = (x y) C (x, y) = (x y) Importante En clausuras inductivas, para demostrar una propiedad P, se puede usar el principio de inducción estructural.

6 Clausuras inductivas libremente generadas Es claro que, tal como se ha definido L, cada fbf se puede construir de un modo único a partir de los constructores. Las clausuras inductivas que disfrutan de esta propiedad reciben el apelativo de libremente generadas. Ejercicio Dé ejemplos de clausuras inductivas que NO sean libremente generadas.

7 Funciones recursivas Sobre una clausura inductiva libremente generada, pueden definirse funciones de forma recursiva, definiéndola expĺıcitamente solo sobre los elementos primitivos. Importante Se necesita algo más para definir una función de forma recursiva. Qué es? Ejemplo Función grado, gr : L N: gr(p) = 0 para todo p Π gr( A) = 1 + gr(a) gr(a B) = 1 + gr(a) + gr(b)

8 Otra función recursiva sobre L Árbol sintáctico El árbol sintáctico para una fórmula A, denotado por T A, se define recursivamente como sigue: 1 T A es A para todo A Π 2 T A es T A 3 Para cada {,,, }, T A B es T A T B

9 Un Ejemplo de Árbol Sintáctico (((p q) r) (p q)) (p r) p r r p q p q

10 Semántica de la lógica proposicional Valores semánticos: BOOL= {0, 1} Valor destacado: 1 Interpretaciones: son las aplicaciones I : L {0, 1} definidas como extensión única de una aplicación I : Π {0, 1} por las siguientes condiciones: I( A) = 1 si y solo si I(A) = 0 I(A B) = 1 si y solo si I(A) = I(B) = 1 I(A B) = 0 si y solo si I(A) = I(B) = 0 I(A B) = 1 si y solo si I(A) = I(B) I(A B) = 0 si y solo si I(A) = 1 e I(B) = 0

11 Semántica de la lógica proposicional Tablas de verdad p q p p q p q p q p q La tabla de verdad para ( p q) ( p q) es: p q p p q p q ( p q) ( p q)

12 Semántica de la lógica proposicional Para saber el valor de I sobre una fórmula dada A, no es necesario conocer los valores de I sobre todos los símbolos proposicionales del lenguaje, basta con conocerlos para los símbolos proposicionales que aparecen en A. Una interpretación para una fbf A es una asignación de valores de verdad a los símbolos proposicionales que intervienen en A. Si en la fórmula A intervienen n símbolos proposicionales, el número de interpretaciones para A es 2 n. Estas interpretaciones se representan con las tablas de verdad.

13 Satisfacibilidad y validez Definiciones Una fbf A es válida o tautología si I(A) = 1 para toda interpretación I; se denota = A. Una fbf A es satisfacible si I(A) = 1 para alguna interpretación I; decimos que I es un modelo para A. Una fbf A satisfacible pero no válida se dice contingente. Una fbf A es insatisfacible o contradicción si se tiene que I(A) = 0 para toda interpretación I Un conjunto de fbfs Ω es satisfacible o consistente si existe una interpretación I tal que I(A) = 1 para todo A Ω. Se dice insatisfacible si no es satisfacible.

14 Consecuencia semántica y refutación Una fórmula A se dice que es consecuencia, se infiere o se deriva semánticamente de un conjunto Ω si todo modelo de Ω también es modelo de A. Lo denotamos Ω = A. Si Ω = {A 1,..., A n } se suele escribir A 1,..., A n = A. Teorema Ω = A si y solo si Ω { A} es insatisfacible. Corolario (Principio de refutación) A 1,..., A n = A si y solo si A 1 A n A es insatisfacible.

15 Teorema de compacidad Computacionalmente, resulta interesante considerar la cardinalidad del conjunto Ω. El siguiente teorema asegura que es suficiente considerar conjuntos finitos de hipótesis. Teorema (de Compacidad) Un conjunto Ω de fbfs es satisfacible si y solo si todos sus subconjuntos finitos son satisfacibles. Corolario Ω = A si y solo si existe Ω 0 Ω finito tal que Ω 0 = A.

16 Equivalencia lógica Definición Dos fórmulas A y B se dicen lógicamente equivalentes y lo denotamos A B, si para toda interpretación I se tiene que I(A) = I(B); es decir, si A B es tautología. Leyes de de Morgan: (A B) A B (A B) A B Leyes Conmutativas: A B B A A B B A Leyes Asociativas: (A B) C A (B C) (A B) C A (B C) Leyes Distributivas: A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C)

17 Otras leyes de equivalencia Leyes de Absorción: Leyes de Idempotencia: A (A B) A A (A B) A A A A A A A Ley de Transposición: A B B A Ley de Doble Negación: A A

18 Conjunción y Disyunción Generalizada Las leyes asociativas permiten considerar las expresiones siguientes como fbfs A 1 A 2 A n = n A i A 1 A 2 A n = i=1 Las leyes distributivas también se satisfacen con ellas: A A n B i i=1 n B i i=1 n (A B i ) i=1 n (A B i ) i=1 n i=1 A i

19 Conjuntos adecuados de conectivas El conjunto de conectivos del lenguaje no es minimal. A B A B A B (A B) A B ((A B) (B A)) Definición Un conjunto de conectivas se dice que es un sistema adecuado si puede representar todas las demás conectivas mediante la relación de equivalencia lógica. Por ejemplo, {, } es un sistema adecuado de conectivas. La no independencia de los conectivos podría haber sido recogida en el alfabeto.

20 Extensión del lenguaje La relación de equivalencia lógica permite considerar la estructura cociente L/. Introduciremos nuevos símbolos como representantes canónicos para representar tautologías y contradicciones. Ampliamos el alfabeto con dos nuevos símbolos: y, que se leen verdad y falsedad (o verum y falsum). Ambos símbolos son considerados fbfs. Los valores de verdad asignados a y por toda interpretación I son: I( ) = 1 e I( ) = 0. Leyes 0-1: Proporcionan información acerca del comportamiento de las constantes lógicas A A A A A A A A A A

21 Formas normales Representantes canónicos para fórmulas contingentes Los símbolos proposicionales y sus negaciones se denominan literales; p y p son literales opuestos; si l es un literal, ˆl denota su literal opuesto. Un cubo es un literal o una conjunción de literales. Una cláusula es un literal o una disyunción de literales. Definición 1 Una fbf se dice normal disyuntiva si es,, un cubo o disyunción de cubos. 2 Una fbf se dice normal conjuntiva si es,, una cláusula o conjunción de cláusulas.

22 Formas normales Representantes canónicos para fórmulas contingentes 1 Una fórmula normal disyuntiva se dice restringida, fndr, si verifica: Ningún cubo contiene un literal y su opuesto. Ningún cubo contiene literales repetidos. Ningún cubo contiene a otro. 2 Una fórmula normal conjuntiva se dice restringida, fncr, si verifica: Ninguna cláusula contiene un literal y su opuesto. Ninguna cláusula contiene literales repetidos. Ninguna cláusula contiene a otra.

23 Formas normales Teorema Toda fbf tiene una forma normal disyuntiva restringida y una forma normal conjuntiva restringida equivalente a ella. 1 Eliminación de los conectivos y 2 Transmisión de las negaciones a las fórmulas atómicas mediante las leyes de de Morgan y la ley de la doble negación (obteniendo una forma normal negativa). 3 Aplicación de la ley distributiva generalizada de respecto a (para fndr) o de respecto a (para fncr). 4 Aplicación de la idempotencia, la complementación, leyes 0-1 y de absorción para obtener las formas normales restringidas.

24 Consideraciones semánticas Un Ejemplo Estos niños estaban haciendo tonterías aquí atrás, y uno o más de ellos tiraron las sandías. Ninguno reconoce haberlo hecho. Richard preguntó quién tiró estas sandías? Lo hicieron Harry y Frank replicó. Yo nos las tiré! dijo Frank. Qué dices tú, Tommy? Solo uno de nosotros tiró las sandías. Y tú que dices, Harry? Si Tommy dice la verdad, también es cierto lo que dice Frank. No hacen más que decir eso dijo el frutero. Ahora bien, conozco a estos chicos. Tommy es honrado y estoy seguro de que no mentiría. Por otro lado, Harry es muy distinto y miente cada vez que sospechan que hizo algo malo. En cuanto a los otros, no sé a quién creer y no puedo señalar a los culpables.

25 Formalización de enunciados Si la función f no es continua, entonces la función f no es diferenciable. Pero f es diferenciable; así pues, f es continua. c d d c cn ci ci ap cn ap Si no hay control de nacimientos, entonces la población crece ilimitadamente. Pero si la población crece ilimitadamente, aumentará el índice de pobreza. Por consiguiente, si no hay control de nacimientos, aumentará el indice de pobreza

26 Refutación y deducción automática La mayoría de los algoritmos de deducción automática hacen uso del principio de refutación. Para determinar la validez de una inferencia basta probar que NO es posible encontrar una interpretación I tal que I(A 1 A n A) = 1 La forma más simple de aplicar este método es intentar construir dicho contramodelo sobre la fórmula, aplicando la definición recursiva de las interpretaciones.

27 Tablas de verdad y refutación Ejemplo: (((p q) r) (p q)) (p r) r p q p r p q

28 Algoritmo de Quine Un Algoritmo de Deducción Automática Evaluamos las interpretaciones sobre una fórmula A usando una ordenación [p 1, p 2,..., p n ] de las proposiciones que intervienen en A, y construimos un árbol binario donde cada rama se etiqueta con un símbolo proposicional o su negado. 1 Tomamos el primer símbolo de la secuencia y construimos un árbol con dos ramas etiquetadas con p 1 y p 1 y cuyas hojas se etiquetan con los valores p 1 /1 y p 1 /0 respectivamente. Si no es posible determinar algún valor para la fórmula, la hoja se etiqueta con? 2 Cada rama etiquetada con? se extiende con dos ramas, correspondientes al siguiente símbolo proposicional en la secuencia, hasta lograr que todas las hojas se etiqueten con 0 ó 1.

29 Una aplicación del algoritmo de Quine ((p q) r) (p q)) (p r)? p p 1

30 Una aplicación del algoritmo de Quine ((p q) r) (p q)) (p r) p p? q q 1 1

31 Una aplicación del algoritmo de Quine ((p q) r) (p q)) (p r) p p q q 1 r r 1 1 1

32 Algoritmo de Quine Corrección y Completitud Teorema Una fórmula A es válida si y solo si el algoritmo de Quine etiqueta todas las hojas con 1. Este algoritmo puede ser usado para estudiar tanto la validez como la insatisfacibilidad: Tan pronto logremos una hoja etiquetada con 0 podemos concluir que la fórmula es no válida; en este caso, los literales de la rama cerrada con 0, definen un contramodelo para A. De forma semejante, una hoja etiquetada con 1 define un modelo para A.