5 Variables aleatorias bidimensionales y de mayor dimension.
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- Ángel García Robles
- hace 6 años
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1 5 Variables aleatorias bidimesioales de maor dimesio. Edgar Acua ESMA 4 Edgar Acua
2 Sea S el esacio muestral de u eerimeto aleatorio. Sea s s dos ucioes que asiga u umero real a cada elemeto s de S. Etoces es llamada ua variable aleatoria bidimesioal o u vector aleatorio bidimesioal. Se se tuviera i s ara i. ucioes reales deiidas sobre el esacio muestral S etoces. es llamada ua variable aletoria dimesioal. Variables aleatorias bidimesioales discretas. Si tato como so discreta etoces es discreta: Ejemlo: Se laza u ar de dado legales distiguibles se deie : la suma de los dados : el roducto de los dos dados Variables aleatorias bidimesioales cotiuas. Si tato como so cotiuas etoces es cotiua: Ejemlo: Se elige al azar ua ersoa se deie : el eso : la altura de la ersoa es cotiua Tambie eiste el caso mito como or ejemlo : salario de ua ersoa :si la ersoa tiee o o casa. ESMA 4 Edgar Acua
3 5. Fucio de robabilidad de ua variable aleatoria bidimesioal discreta Sea ua variable aleatoria bidimesioal discreta co rago de valores R {: εr εr} etoces se deie su robabilidad cojuta or > Pr Para equeos ragos de valores de la ucio de robabilidad uede ser escrita e orma de ua tabla Ejemlo 5.. Suoga que se laza u ar de dados legales distiguibles sea Meor de los umeros que aarece Maor de los umeros que aarece. a Hallar la ucio de robabilidad cojuta de. b Hallar la robabilidad de que el maor de los umeros sea maor que 4 que el meor sea o meos? R ESMA 4 Edgar Acua
4 5. Fucio de robabilidad de ua variable aleatoria bidimesioal discreta a La ucio de robabilidad cojuta uede ser resetada mas acilmete e orma de ua tabla P[] P[] ESMA 4 Edgar Acua 4
5 5. Fucio de robabilidad de ua variable aleatoria bidimesioal discreta La ucio de robabilidad cojuta se uede escribir e termios de ormula como P6 si <<<6 P6 si 456 P e otro caso b Viedo la tabla se determia que la robabilidad de que el maor de los umeros sea maor que 4 el meor de los umeros sea meor o igual que es 6. ESMA 4 Edgar Acua 5
6 5. Fucioes de robabilidades Margiales Codicioales Sea es ua variable aleatoria discreta co ucio de robabilidad cojuta etoces las ucioes de robabilidades margiales de resectivamete se deie or Ejemlo 5.: Hallar las ucioes de robabilidades margiales de e el ejemlo 5.. Sol. De la tabla del ejemlo 5. se uede ver que Prob 6 ara 456 Prob 6 ara 456 ESMA 4 Edgar Acua 6
7 5. Fucioes de robabilidades Margiales Codicioales cot Sea es ua variable aleatoria discreta co ucio de robabilidad cojuta etoces las ucio de robabilidad codicioal de dado se deie or Ejemlo 5.: Hallar la ucio de robabilidad codicioal de dado e el ejemlo 5.. Solucio: 6*565 si o 6*565 si ESMA 4 7 Edgar Acua
8 5.. Distribucio Multiomial Si u eerimeto uede ocurrir de k maeras distitas mutuamete ecluetes A i cada ua de ellos ocurriedo co robabilidad i i..k este eerimeto se reite veces e orma ideediete etoces si se deie el vector aleatorio. k dode i es el umero de veces que ocurre el eveto A i etoces se dice que tiee distribucio Multiomial de dimesio k su ucio de robabilidad cojuta esta dada or P k.. k k k k k!... k!.. k!! Siemre que < k <. Se escribe k Multiom.. k Ejemlo 5.4: E ua oblacio la robabilidad de ocurrecia de sagre tio O es.45 de sagre tio A es.4 e tato que las sagres tio AB B ocurre co robabiladess..5 resectivamete. Se elige al azar 9 ersoas de la oblacio cual es la robabilidad de que a de ellas sagre tio O de tio A de tio AB de tio B? ESMA 4 Edgar Acua 8
9 5.. Distribucio Multiomial cot. b Que 5 sea de tio O 4 de tio A? Solucio: Sea el vector aleatorio que rereseta las ersoas co sagre tio O A Ab resectivamete e la muestra de tamao 9. Claramete este vector aleatorio tiee ua ucio de robabilidad cojuta 9! 9 P !!!9! Luego a P 9!!!! b P 5 4 9!5!4! Casos articulares de la distribucio multiomial so la biomial k la Triomial k. La ucio de robabilidad de ua triomial viee dada or! P!!! ESMA 4 Edgar Acua 9
10 5. Distribucio Multiomialcot Proiedad: Si is a Triomial etoces a es ua Biomial es ua Biomial b es ua Biomial es ua Biomial Prueba:!!!!!!!!!! usado el biomio de Newto e la ultima eresio se tiee!!! P + Similarmete se rueba que es biomial ESMA 4 Edgar Acua
11 5. Distribucio Multiomialcot b es ua Biomial Prueba:!!!!!!!!!! E orma similar se rueba que es ua Biomial ESMA 4 Edgar Acua
12 5.4 ucio de desidad cojuta de u variable aleatoria bi dimesioal Sea ua variable aleatoria bidimesioal cotiua etoces su ucio de desidad cojuta debe satisacer; a > b dd Notar que P B dd B Esta robabilidad rereseta el volume de la regio limitada sueriormete or la suericie z e ieriomete or la regio B del lao cartesiao z ESMA 4 Edgar Acua
13 5.4 ucio de desidad cojuta cot. Ejemlo 5.5. Si tiee ucio de desidad cojuta dada or Hallar P+> Solucio: + < < < < P + > P + [ + < ] d + dd d d ESMA 4 Edgar Acua
14 5.5. Fucioes de desidades margiales codicioales Si tiee ua desidad cojuta etoces las desidades margiales de se deie or d d Asimismo se deie las ucioes de desidades codicioales or ESMA 4 4 Edgar Acua
15 Ejemlo 5.6 Si el vector aleatorio tiee ucio de desidad cojuta + 4 ara << <<; e otro caso. a Hallar las desidades margiales de b Hallar la desidad codicioal de dado que 4 c Hallar E[4] Solucio: a d + 4 d + < < Similarmete se obtiee la desidad de. Ambas variables aleatorias se distribue uiormemete e. c 4 + b 4 + < < 4 E[ 4] d + d E[ + ] E[ ] + + ESMA 4 Edgar Acua 5
16 Ejemlo 5.7 Si se distribue uiormemete e la regio R: limtada sueriormete or la diagoal e ieriormete or la arabola. Esto es AreaR a Hallar b Hallar las desidades margiales de c Hallar P+< d Hallar las desidades codicioales de dado de dado e Calcular P>.6.5 Solucio: a Los utos de iterseccio e el rimer cuadrate de la arabola la diagoal so. Luego Area R dd d 6 Luego 6 ara e R e otro caso. ESMA 4 Edgar Acua 6
17 Ejemlo 5.7 cot. b d 6d 6 < < d 6d 6 < < c La iterseccio de + co ocurre e 44 la iterseccio de + co e el rimer cuadrate ocurre cuado Luego P 6[ 9 + 6[ + < 6dd + 6dd 6 d ] 6[.7] ] d ESMA 4 Edgar Acua 7
18 Ejemlo 5.7 cot. d < < 6 6 < < > > d d P e ESMA 4 8 Edgar Acua
19 Ejemlo 5.8 Si el vector aleatorio tiee desidad cojuta c o e e < <.. { a Hallar la desidades margiales de de b Hallar E E Solucio: > e d e d e d a > e d e d e d Γ! 4 dt e t dt e t d e d b t t E ESMA 4 9 Edgar Acua
20 Ejemlo 5.8cot. < < d E e e d E ESMA 4 Edgar Acua
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