Para dos variables x1 y x2, se tiene el espacio B 2 el que puede considerarse definido por: {0, 1}X{0, 1} = {(00), (01), (10), (11)}

Transcripción

1 Capítulo 4 1 N-cubos 4.1. Representacón de una funcón booleana en el espaco B n. Los n-cubos representan a las funcones booleanas, en espacos n-dmensonales dscretos, como un subconjunto de los vértces de un n-cubo geométrco. Se representan las varables de la funcón en ejes coordenados ortogonales. Las varables booleanas pueden tomar solamente los valores "0" y "1", lo cual defne un espaco dscreto. Las representacones gráfcas de los n-cubos están restrngdas a valores de n pequeños. La defncón de una funcón consste en establecer cuáles de los vértces del n-cubo se mapean a valor lógco 0, y cuáles otros se mapean a valor lógco 1. Esta representacón permte vsualzar los grupos de mntérmnos, o subcubos, que consderados juntos logran una expresón con menos lterales 4.2. Dos-cubos. Para dos varables x1 y x2, se tene el espaco B 2 el que puede consderarse defndo por: {0, 1}X{0, 1} = {(00), (01), (10), (11)} Cada vértce es un mntérmno. X Cubo 11 X 2 X 1 X Fgura cubo.

2 2 Sstemas Dgtales Nótese que el 2-cubo tene 4 vértces. Cada vértce está separado de los adyacentes en dstanca uno. En este caso, cada vértce tene dos adyacentes. Se dce que estos 4 mntérmnos forman un 2-cubo. Cada lado del cuadrado, de la Fgura 4.1, es un 1-cubo, y está formado por dos vértces adyacentes. Expresones en térmnos de lterales tenen drecta relacón con los subcubos en el espaco que se esté consderando. Las dferentes expresones, formadas por un lteral: X 1, X 1, X 2 y X 2 son 1-cubos y corresponden a los lados del cuadrado, de la Fgura 4.1; están formadas por dos mntérmnos adyacentes. Pero dos mntérmnos no adyacentes no pueden ser representados medante un solo lteral. Por ejemplo, para los mntérmnos ubcados en los extremos de las dagonales se requeren cuatro lterales para representarlos medante una expresón. Se tene: X 2 X 1 +X 2 X 1 ; y tambén cuatro lterales para los otros dos mntérmnos que no están a dstanca uno: X 2 X 1 +X 2 X cubos. En varables x1, x2 y x X x 3 x 2 x 1 X X Fgura cubo. Nótese en la Fgura 4.2, que x2 = 1 es la cara superor, y que x2 = 0 defne la cara nferor. Cuando se congela una de las varables de un 3-cubo, se obtene un 2-cubo. Por ejemplo: x 2 es un 2-cubo y está formado por 4 mntérmnos en un plano. ' ' ' ' x2 x1x 2x3 x1 x2x3 x1x2 x3 x1x2 x 3 No todos los grupos de cuatro mntérmnos dferentes, forman un 2-cubo. En la Fgura 4.3, un vértce es un producto de tres lterales; una arsta del cubo es una expresón formada por el producto de dos lterales; una cara del cubo puede representarse por una expresón con un lteral.

3 Capítulo 4. N-cubos 3 B _ AB B C A C A _ ABC A 3-cubo ABC 4.4. Generalzacones en n-cubos Fgura 4.3 Caras, lados y vértces en 3-cubos. Los n-cubos permten conceptualzar algunas característcas de las funcones booleanas. Medante nduccón pueden demostrarse: a) Un n-cubo tene 2 n vértces. b) Cada vértce de un n-cubo tene n adyacentes. c) S se fja una varable en un n-cubo, el resto de las (n-1) varables puede representarse por un cubo de (n-1) dmensones. d) Cada mntérmno corresponde a un vértce. e) S se fjan k de las n varables, las restantes pueden representarse en un cubo de (n-k) dmensones. f) Un cubo de (n-k) está contendo en el cubo de n dmensones; se dce por esto que es un subcubo. g) Un cubo es un producto de lterales. Recordando que: Un conjunto de k varables booleanas puede tomar 2 k valores posbles; y que n se pueden efectuar eleccones de k elementos de un grupo total de n, puede conclurse que k el número total de subcubos de (n-k) dmensones ncludos en uno de n es: n k n! 2 2 k k!( n k)! Donde: 0 k n Con k=n se tenen 2 n subcubos de 0 dmensones; son los mntérmnos. k

4 4 Sstemas Dgtales Con k=0 se tene 2 0 = 1, un cubo de (n-0) dmensones. Ejemplo 4.1. Un 3-cubo contene: ) ) ) = 6 2-cubos. (k=1, n-k=2) Cuatro mntérmnos en un plano. Una cara = 12 1-cubos. (k=2, n-k=1) Dos mntérmnos adyacentes. Una arsta = 8 0-cubos. (k=3, n-k=0) Los mntérmnos. Un vértce. Ejemplo 4.2. Seleccones de dos objetos de un grupo de 4. Se tenen cuatro letras. Cuántas seleccones de dos letras pueden hacerse? Sean las letras: a, b, c, d. La prmera letra puede escogerse de 4 formas, la segunda de 3 formas. Se fja la prmera letra y luego se dan valores a la segunda. En total se tenen 4*3 = 12 permutacones: ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da, db, dc. S no se consdera dferenca en el orden de ocurrenca de las letras, por ejemplo ab se consdera gual a ba, se tendrán 6 combnacones: ab, ac, ad, bc, bd, cd. El número de combnacones puede calcularse según el coefcente bnomal: 4 4! = 6 2 2!(4 2)! Ejemplo 4.3. Combnacones. Generacón de combnacones en forma sstemátca. Para grupos de 2 varables de un conjunto de 4. Las combnacones son: ab ac ad bc bd cd Se forma una lsta ordenada de las varables, en el caso del ejemplo: (a, b, c, d).

5 Capítulo 4. N-cubos 5 Se fja la prmera combnacón (ab en el ejemplo) en orden alfabétco; luego en la últma poscón se van colocando en orden los valores restantes de la lsta (c, d). Una vez agotada la lsta, se camba la poscón anteror por el sguente de la lsta (b en el ejemplo, ya no debe emplearse a); y se vuelve a repetr el proceso, pero con los elementos sguentes (c y d en el ejemplo). El proceso se repte para las poscones más sgnfcatvas. Ejemplo 4.4. Determnar los 2-cubos ncrustados en un 4-cubo. El número de combnacones de 2 varables de un grupo de 4 es 6; este número se obtene de: n 4! 6, con n=4 y k=2. k 2!(4 2)! En la Fgura 4.4, el número de renglones es el de las combnacones k 2 columnas son los valores posbles que pueden tomar k varables ( 2 2 4). ab ab a b a b ac ac a c a c ad ad a d a d bc bc b c b c bd bd b d b d cd cd c d c d Fgura cubos en un 4-cubo. La tabla muestra los 24 2-cubos contendos en un 4-cubo. El 2-cubo ab está formado por los sguentes 4 mntérmnos: ab = abcd + abcd + abc d + abc d 4.5. Los n-cubos y la mnmzacón de expresones booleanas. n k ; y el número de Los mntérmnos pueden agruparse según sub-cubos. Un subcubo es un producto de lterales. Mentras mayores sean las dmensones de un sub-cubo, menos letras pueden emplearse para representarlo según una expresón booleana formada por un producto de lterales. Entonces un objetvo de la mnmzacón es encontrar sub-cubos entre los mntérmnos que forman una funcón. Logrando que esos sub-cubos agrupen el mayor número de mntérmnos, y que a la vez se encuentre el menor número de sub-cubos. Con m<n, un m-cubo dentro de un n-cubo, se representa con un térmno formado por (n-m) lterales.

6 6 Sstemas Dgtales S en un espaco B n, un cubo tene k lterales, entonces es un (n-k)-cubo y está formado por 2 n-k mntérmnos. Lo que sgnfca que s k dsmnuye el número de mntérmnos aumenta Relacón con la forma suma de productos Irredundante. Antes se defnó que un cubo es un producto de lterales. Tambén se mostró que una expresón booleana puede representarse por una suma de productos. Entonces: Una funcón f puede representarse por una suma de cubos. El conjunto de cubos F que representa a f, se denomna una cobertura de f. F C1, C2,.., C k S f k 1 C F, s F C no cubre a f, se dce que el cubo C es rredundante (no es redundante). Ejemplo 4.5. C Sea f(a, b, c) = ab + ac + bc, sea el cubo C ab. Como F C { ac, bc} no cubre a f, ya que abc no queda cuberto. Entonces C rredundante. b bc ab ac ab es c f abc a Fgura 4.4a. Cubo rredundante Implcante. S C es un cubo en B n n, se tene que: C B. S C f, donde f es una funcón Booleana, se dce que el cubo C es un mplcante de f.

7 Capítulo 4. N-cubos Prmo. S C F, sea D el cubo que resulta de elmnar el lteral j de C. El cubo D tene el doble de mntérmnos que el cubo C. S ( F C ) D no cubre a f, entonces el lteral j es prmo. Esta defncón ndca que ese lteral debe estar presente en el cubo. S todos los lterales de un cubo C son prmos el cubo es prmo. Se emplea prmo con el sentdo de prmordal, de prncpal. Una cobertura F es prma s todos sus cubos son prmos. En una cobertura F, un cubo los cubos de F no contene. Ejemplo 4.6. C Sea f(a, b, c) = ab + ac + bc, sea el cubo tene: D a. F es prmo esencal s contene un mntérmno que el resto de C ab. S se elmna b en el cubo anteror, se Se tene la cobertura, F { ab, ac, bc }, entonces ( F C) D { ac, bc} { a} { a, ac, bc } no cubre a f ya que ncluye el mntérmno ab c que no está en f. Esto mplca que ab es prmo. Además ab es prmo esencal ya que contene al mntérmno abc que los cubos ac y bc no contenen. b bc ab ac c a f ab c a Fgura 4.5. Lteral prmordal de un cubo. S para cuatro varables se tene que: abc, abc y ab son mplcantes, entonces ab es mplcante prmo. El cubo ab tene el doble de mntérmnos que abc y abc. El lteral c no es prmo, y s lo son los lterales a y b. Puede notarse que bc es prmo esencal pues contene el mntérmno abc, que los otros mplcantes no contenen. Tambén ac es prmo esencal. Un subcubo es prmo s no puede agruparse con otros para formar un cubo de mayores dmensones. Es decr s nnguno de sus lterales puede omtrse.

8 8 Sstemas Dgtales Matrz de coberturas. Pueden anotarse los cubos que son mplcantes empleando notacón matrcal. Las columnas descrben las varables, y en los renglones se representan los cubos. Cuando en el cubo aparece el lteral de la varable, se coloca valor 1 en esa varable; s aparece como lteral el complemento se coloca valor 0 en esa varable. S la varable no está presente en el cubo, se coloca un en la poscón de la varable; este símbolo tambén puede nterpretarse representando ambos valores 0 y 1. Ejemplo 4.7. Sea f(a, b, c, d) = ac + c d a b c d ac c d Fgura 4.6. Matrz de Cobertura. La Fgura 4.6a, muestra los cubos: ac, abc y ab c. a b c d ac abc ab c Fgura 4.6a. Expansón de ac. Puede comprobarse que los cubos abc y ab c pueden agruparse para formar el cubo ac. En forma smbólca, el proceso de expansón podría anotarse: ac = {1,-,1,-} = {1,{0,1},1,-} = {101-, 111-} = ab c + abc Las operacones en sentdo nverso muestran la forma en que se fusonan los subcubos: abc y ab c en el cubo ac. La matrz de cobertura es una notacón bastante más compacta que la de una tabla de verdad, y representa a una funcón booleana por una suma de productos o cubos. Su mayor ventaja es que modela medante matrces a los cubos de una funcón; luego medante operacones matrcales pueden desarrollarse algortmos para la mnmzacón de funcones booleanas. Se desarrolla más sobre esta notacón o formato pla, en el Apéndce 3, sobre uso de espresso.

9 Capítulo 4. N-cubos Representacón de cubos de dmensones mayores que tres. El 3-cubo de la Fgura 4.3, puede dbujarse sobre un plano. Puede empujarse una tapa haca el plano formado por la tapa opuesta, como se muestra en la Fgura 4.7. Otra forma de dbujarlo es representar dos 2-cubos, a uno de ellos se le agrega un 1 en la prmera poscón; al otro un cero. Luego se unen los mntérmnos a dstanca uno cubo cubo Fgura 4.7 Abatmento de un 3-cubo. El 4-cubo puede representarse tambén en el espaco, sn embargo, es más sencllo de realzar en un plano. Para dbujarlo, se escrben dos 3-cubos como el anteror. A un 3-cubo se le agrega un 1 en la prmera poscón; al otro un cero. Luego se unen los mntérmnos a dstanca uno Fgura cubo.

10 10 Sstemas Dgtales En la Fgura 4.8, cada vértce está a dstanca 1 de sus adyacentes. Un 4-cubo contene: 8 3-cubos. Cada 3-cubo formado por 8 mntérmnos cubos. Cada 2-cubo formado por 4 mntérmnos cubos. Cada 1-cubo formado por dos mntérmnos adyacentes cubos o mntérmnos. Un 4-cubo permte representar cualquer funcón booleana de 4 varables. Para hacerlo se marcan los vértces de los mntérmnos presentes en la expresón. Como puede aprecarse en la Fgura 4.8, la representacón gráfca de cubos con dmensones mayores que 3, no resultan práctcas.

11 Capítulo 4. N-cubos 11 Índce general. CAPÍTULO N-CUBOS REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN BOOLEANA EN EL ESPACIO B N DOS-CUBOS CUBOS GENERALIZACIONES EN N-CUBOS... 3 Ejemplo Ejemplo 4.2. Seleccones de dos objetos de un grupo de Ejemplo 4.3. Combnacones Ejemplo LOS N-CUBOS Y LA MINIMIZACIÓN DE EXPRESIONES BOOLEANAS RELACIÓN CON LA FORMA SUMA DE PRODUCTOS Irredundante Ejemplo Implcante Prmo Ejemplo Matrz de coberturas Ejemplo REPRESENTACIÓN DE CUBOS DE DIMENSIONES MAYORES QUE TRES ÍNDICE GENERAL ÍNDICE DE FIGURAS... 12

12 12 Sstemas Dgtales Índce de fguras Fgura cubo Fgura cubo Fgura 4.3 Caras, lados y vértces en 3-cubos Fgura cubos en un 4-cubo Fgura 4.4a. Cubo rredundante Fgura 4.5. Lteral prmordal de un cubo Fgura 4.6. Matrz de Cobertura Fgura 4.6a. Expansón de ac Fgura 4.7 Abatmento de un 3-cubo Fgura cubo.... 9