RELACIÓN DE EJERCICIOS LÍMITES Y ASÍNTOTAS
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- Juan Manuel Villalba de la Cruz
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1 RELACIÓN DE EJERCICIOS LÍMITES Y ASÍNTOTAS. Calcla los sigientes límites: sen() (a) cos() sen() (b) cos(). Calcla los sigientes límites a) e b) a) e e sen() e. Calcla los sigientes límites: tg() sen() (a) sen() (b) cos( ) 4. Calcla los sigientes límites: (a) (b) cos() () 5. Calcla el sigiente límite: 6. Considera la fnción f: R R definida por f() si / e Calcla los límites laterales en. 7. Demestra: (a) Qe f() ln( ) y g() son infinitésimos eqivalentes en (b) ( h) k ( h) 8. Demestra: (a) Qe f() ln(+) y g() + son infinitésimos eqivalentes en (b) k ( h) ( h)
2 9. Localiza las asíntotas de la fnción f() y sitúa la gráfica de la fnción respecto de ellas.. Dada la fnción f() (a) Determina s dominio. (b) Calcla ss asíntotas y sitúa la gráfica de f respecto de las mismas.. Sea f la fnción dada por f () para, determina ss asíntotas.. Dada la fnción f() (a) Determina s dominio. (b) Calcla ss asíntotas y sitúa la gráfica de f respecto de las mismas.. Sea la fnción f() a) Halla s dominio de definición. b) Calcla ss asíntotas. 4. Dada la fnción Ln() f() Ln( ) (a) Determina s dominio. (b) Calcla ss asíntotas y sitúa la gráfica de f respecto de las mismas. 5. Sea f la fnción dada por f () para, determina ss asíntotas. 6. Dada la fnción f() (a) Determina s dominio. (b) Calcla ss asíntotas y sitúa la gráfica de f respecto de las mismas. 7. Dibja las gráficas de las fnciones: a) y Ln( ). b) y Ln( ). c) y e. 8. Dibja la gráfica de na fnción qe cmpla las sigientes condiciones: S dominio y recorrido es R*. No corta al eje de ordenadas. Es simétrica impar. Corta al eje OX en y La recta y es asíntota oblica.
3 Solciones. Calcla los sigientes límites: sen() (a) cos() sen() (b) cos() (a) Como f() cos() y g() son infinitésimos eqivalentes en, () tendremos qe cos() y g() porqe si tomamos : () () cos(). cos() Como h() sen() e i() son infinitésimos eqivalentes en, tendremos qe sen() y porqe si tomamos :. sen() sen() Por lo tanto: sen() cos() (). (b) Utilizando los infinitésimos eqivalentes en, cos() sen() cos().. Calcla los sigientes límites (a) e (b) (c) e e sen() e (a) e e e e. y sen() (b) Como e y son infinitésimos eqivalentes en tenemos qe e y e también lo son porqe si tomamos : e. Si sacamos e como factor común: e e e (e ) e e e.. e. (c) Como e y son infinitésimos eqivalentes en tenemos qe e y
4 también lo son porqe si tomamos : También los son sen() y : sen() e sen(). e. sen(). e e e.. Calcla los sigientes límites: tg() sen() (a) (b) sen() cos( ) (a) Utilizando los infinitésimos eqivalentes en, cos() y tg() cos() sen() sen() tg() sen() cos(). / / sen()( cos()) cos() y sen() (b) Como f() cos() y g() son infinitésimos eqivalentes en, () tendremos qe cos() y g() porqe si tomamos : () () cos(). cos() Como h() sen() e i() son infinitésimos eqivalentes en, sen() y también lo son porqe si tomamos :. sen() sen() Por lo tanto: sen() cos() 4. Calcla los sigientes límites: (a) (b) cos() () () 9. (a) Es na indeterminación del tipo ( ). El límite será de la forma L e siendo lím[f() ].g(), siendo f la base y g el eponente, lego: 4
5 cos(). Como cos es n infinitésimo eqivalente a, cos() es eqivalente a, lego cos() es eqivalente a : ( ). () es decir qe: L e e (b) Es n límite del tipo ( ), qe no es na indeterminación, sino qe vale cero: () ( ) 5. Calcla el sigiente límite: Es na indeterminación del tipo ( ), qe resolvemos transformándola en na del tipo (.) tomando logaritmos: L L L.() Hallamos el valor del límite, sabiendo qe L es n infinito de orden inferior a, L. Finalmente e 6. Considera la fnción f: R R definida por f() si / e Calcla los límites laterales en. / e e / e e 7. Demestra: (a) Qe f() ln( ) y g() son infinitésimos eqivalentes en (b) ( h) k ( h) 5
6 Resolción (a) Para qe f y g sean infinitésimos eqivalentes en ha de cmplirse: ln( ) ln(), se cmple qe f() ( ), se cmple qe g() Usando qe ln(+) y son infinitésimos eqivalentes en, efectando el ln() ln( ) cambio + también lo son ln() y : ln( ).ln(). f() se cmple qe g().ln()....., (b) ( h) k ( h) () Es na indeterminación () qe, al tener radicales en la epresión, resolvemos mltiplicando y dividiendo por la conjgada de la epresión: ( h) k ( h). ( h) k ( h) ( h) k ( h) ( h) k ( h) ( h) k ( h) ( h) k ( h) ( h) k k ( h) 8. Demestra: (a) Qe f() ln(+) y g() + son infinitésimos eqivalentes en (b) ( h) k ( h) k Resolción (a) Para qe f y g sean infinitésimos eqivalentes en ha de cmplirse: ln( ) ln(), se cmple qe f() ( ) +, se cmple qe g() ln( ) ln( ) ln( ) ln( ). ( ) f() se cmple qe g() (b) ( h) k ( h) () Es na indeterminación () qe, al tener radicales en la epresión, resolvemos mltiplicando y dividiendo por la conjgada de la epresión: ( h) k ( h). ( h) k ( h) ( h) k ( h) ( h) k ( h) ( h) k ( h) ( h) k ( h) ( h) k k ( h) k 6
7 9. Localiza las asíntotas de la fnción f() ellas. y sitúa la gráfica de la fnción respecto de En primer lgar debemos averigar cál es el dominio de definición de la fnción qe está formado por la intersección de los dominios de ambos factores salvo los valores qe anlan el denominador. Al ser el nmerador n radical hallamos los valores qe hagan qe el radicando sea positivo o cero: f : D(f ) (, ][, +) f : D(f ) Siendo la intersección: D(f) D(f )D(f ) (, ][, +) Asíntotas verticales: son rectas tales qe lím f(). Como es n a cociente bscamos los valores a qe anlan el denominador. Como n entorno de no pertenece al dominio de definición de la fnción, no eisten asíntotas verticales. Asíntotas horizontales: son las rectas de ecación y b tales qe f()b. Vamos a hallarlas en ambos lados: / + () () Hemos efectado el cambio de variable para hallar el límite. Por lo tanto las asíntotas horizontales son y a la derecha e y a la izqierda. Para sitarlas respecto de la gráfica: veamos el signo de f()b hacia la derecha: signo signo se acerca por debajo de la gráfica. + Veamos el signo de f()b hacia la izqierda + signo + signo signo se acerca por encima de la gráfica. + Asíntotas oblicas: no hay ya qe: m f(). Dada la fnción f() (a) Determina s dominio. (b) Calcla ss asíntotas y sitúa la gráfica de f respecto de las mismas. 7
8 Redefinimos en primer lgar la fnción como fnción definida a trozos: si < f() si (a) S dominio es * ya qe es n cociente de dos fnciones continas en siendo s denominador nlo en. y y (b) Asíntotas. Asíntotas verticales: son rectas de ecación a, tales qe lím f() a. Como es n cociente bscamos los valores a qe anlan el denominador,. f() + f() + + Tanto por la izqierda como por la derecha de se acerca a la asíntota con valores positivos. Asíntotas horizontales: son las rectas de ecación y b tales qe f()b. No eisten pesto qe: f() + f() Lego no eisten asíntotas horizontales. + Asíntotas oblicas: son rectas tales qe y m + n con m [f() m] f() y n Por la derecha: f() m n [f() m] Eiste pes na asíntota oblica por la derecha: y. Para sitarla respecto de la gráfica vemos el signo de f() hacia la derecha: signo signo signo > la fnción se acercará a la asíntota a la derecha por encima de la misma Por la izqierda: m 8
9 n + Eiste pes na asíntota oblica por la izqierda: y. Para sitarla respecto de la gráfica vemos el signo de f() + hacia la izqierda: signo signo signo > la fnción se acercará a la asíntota a la izqierda por encima de la misma. Sea f la fnción dada por f () para, determina ss asíntotas. La fnción es f () está definida para {, }. Asíntotas verticales: aqellas rectas en las qe lím f(). Como es n a cociente bscamos los valores qe anlan el denominador: lím lím + +,, lím + lím Las asíntotas son:,. Asíntotas horizontales: aqellas rectas en las qe f() b. f() ya qe es na fnción par. La ecación de la asíntota es y. Para sitarlas la asíntota respecto de la gráfica veamos el signo de f()b hacia la derecha y la izqierda: signo signo signo se acerca por encima de la gráfica. 9
10 signo signo se acerca por encima de la gráfica. signo Asíntotas oblicas. No las hay ya qe el límite: f() m +. Dada la fnción f() (a) Determina s dominio. (b) Calcla ss asíntotas y sitúa la gráfica de f respecto de las mismas. Redefinimos en primer lgar la fnción como fnción definida a trozos: si < f() si (a) S dominio es {, } ya qe es n cociente de dos fnciones continas en siendo s denominador nlo en,. (b) Asíntotas. Asíntotas verticales: son rectas de ecación a, tales qe lím f(). Como es n cociente bscamos los valores a qe a anlan el denominador,,. lím, lím + + lím +, + lím + + Las asíntotas son:,. Asíntotas horizontales: son las rectas de ecación y b tales qe f()b. Son: f() ; y a la derecha.
11 f() ; y a la izqierda. Para sitarlas la asíntota respecto de la gráfica veamos el signo de f()b hacia la derecha y la izqierda: signo signo La gráfica se acerca por debajo de la asíntota. signo signo La gráfica se acerca por debajo de la asíntota. Asíntotas oblicas: No eisten pesto qe los límites: f() m f() m son nlos, eisten por lo tanto asíntotas horizontales.. Sea la fnción f() a) Halla s dominio de definición. b) Calcla ss asíntotas. Redefinimos en primer lgar la fnción como fnción definida a trozos: si < f() si < si si (a) S dominio es * ya qe es n cociente de dos fnciones continas en siendo s denominador nlo en.
12 (b) Asíntotas. Asíntotas verticales: son rectas de ecación a, tales qe lím f(). Como es n cociente bscamos los valores a qe a anlan el denominador,. f() f() + + Eiste asíntota y se acerca a la asíntota con valores positivos a la derecha y negativos a la izqierda. Asíntotas horizontales: son las rectas de ecación y b tales qe f()b. Son: f() f() Para sitarlas la asíntota respecto de la gráfica veamos el signo de f()b hacia la derecha y la izqierda: signo signo La gráfica se acerca por debajo de la asíntota. signo signo La gráfica se acerca por debajo de la asíntota. Asíntotas oblicas: No eisten pesto qe los límites: f() m f() m son nlos, eisten por lo tanto asíntotas horizontales pero no oblícas. 4. Dada la fnción ln( ) f() ln( ) (a) Determina s dominio. (b) Calcla ss asíntotas y sitúa la gráfica de f respecto de las mismas. (a) S dominio es (,)(, ya qe es n cociente de dos fnciones logarítmicas: ln() está definida en (,) ya qe > > ln() está definida en (,) ya qe > > Al ser n cociente de fnciones el dominio es las intersección de los dominios menos los valores qe anlen el denominador y ln()ln().
13 (b) Asíntotas. Asíntotas verticales: son rectas de ecación a, tales qe lím f() a. Como es n cociente de logaritmos bscamos los valores qe anlan el denominador,. ln( ) lím ln( ) ln( ) lím + ln( ) La asíntotas es:. Asíntotas horizontales: son las rectas de ecación y b tales qe f()b. Sólo a la derecha pesto qe para valores menores qe no está definida la fnción: ln( ) f() ln( ) Ya qe ambas fnciones son infinitos eqivalentes Para sitarlas la asíntota respecto de la gráfica veamos el signo de f()b hacia la derecha: ln( ) ln( ) ln( ) signo signo ln( ) ln( ) se acerca por encima de la gráfica ya qe nmerador y denominador son positivos. Asíntotas oblicas: No eisten pesto qe el límite: ln( ) f() ln( ) ln( ) m.ln( ) por ser el denominador n infinito de orden sperior. 5. Sea f la fnción dada por f () para, determina ss asíntotas.
14 La fnción es f () está definida para {}. Asíntotas verticales: aqellas rectas en las qe lím f(). Como es n a cociente bscamos los valores qe anlan el denominador: lím, lím + + La asíntota es:. Asíntotas horizontales: son las rectas de ecación y b tales qe f()b. No eisten pesto qe: f() f() + Lego no eisten asíntotas horizontales. Asíntotas oblicas: son rectas tales qe y m + n con m [f() m] f() y n Por la derecha: f() m n [f() m] Eiste pes na asíntota oblica por la derecha: y +. Para sitarla respecto de la gráfica vemos el signo de f() (m+n) hacia la derecha: signo ( ) signo > la fnción se acercará a la asíntota a la derecha por encima de la misma Por la izqierda: 4
15 m f() n [f() m] Qe es la misma asíntota hallada para la derecha. Para sitarla respecto de la gráfica vemos el signo de f() (m+n) hacia la izqierda: signo ( ) signo > la fnción se acercará a la asíntota a la izqierda por debajo de la misma 6. Dada la fnción f() (a) Determina s dominio. (b) Calcla ss asíntotas y sitúa la gráfica de f respecto de las mismas. Redefinimos en primer lgar la fnción como fnción definida a trozos: f() si < si (a) S dominio es {, } ya qe es n cociente de dos fnciones continas en siendo s denominador nlo en,. (b) Asíntotas. Asíntotas verticales: son rectas de ecación a, tales qe lím f() a. Como es n cociente bscamos los valores a qe anlan el denominador,,. lím +, lím + lím, lím
16 Las asíntotas son:,. Asíntotas horizontales: son las rectas de ecación y b tales qe f()b. Son: f() f() ; y a la izqierda. ; y a la derecha. Para sitarlas la asíntota respecto de la gráfica veamos el signo de f()b hacia la derecha y la izqierda: signo signo La gráfica se acerca por encima de la asíntota. signo signo La gráfica se acerca por encima de la asíntota. Asíntotas oblicas: No eisten pesto qe los límites: f() m f() m son nlos, eisten por lo tanto asíntotas horizontales. 7. Dibja las gráficas de las fnciones: a) y Ln( ). b) y Ln( ). c) y e. 6
17 8. Dibja la gráfica de na fnción qe cmpla las sigientes condiciones: S dominio y recorrido es R*. Es simétrica impar. Corta al eje OX en y La recta y es asíntota oblica. Si el dominio y el recorrido es * significa qe la fnción no pasa por el pnto (,). Al ser simétrica impar significa qe la gráfica presenta simetría respecto del origen de coordenadas. Los cortes con el eje de abscisas, considerando la simetría han de ser los pntos (, ), (, ), (, ) y (, ). Si y es asíntota oblica se acerca a ella por encima hacia la derecha y por debajo por la izqierda o viceversa. Tal como nos indican los valores de dominio y recorrido peden eistir asíntotas verticales en o no. Una posible gráfica es la de la figra adjnta: y 7
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