Resumen No Distribución Conjunta de Variables Aleatorias (contin.) Ma34a Prob. y Proc. Estocásticos 29 de Junio, 2006

Transcripción

1 Ma34a Prob. y Proc. Estocásticos 29 de Juio, 2006 Resume No. 3 Prof. Cátedra: M. Kiwi Prof. Auxiliares: A. Cotreras, R. Cortez 1. Distribució Cojuta de Variables Aleatorias (coti. Defiició 1 [Variables Aleatorias Idepedietes] Se dice que X 1,...,X so variables aleatorias idepedietes si para todo A 1,...,A R tal que {X 1 A 1 },...,{X A } F, ( \ P {X i A i } P ({X i A i }. Ua colecció ifiita de variables aleatorias se dice idepediete si cualquier subcolecció fiita de ellas es idepediete. Lema 1 X 1,...,X so idepedietes sí y sólo si F X1,...,X (t 1,...,t Corolario 1 X 1,...,X so variables aleatorias idepedietes sí y sólo si p X1,...,X (a 1,...,a discretas. f X1,...,X (t 1,...,t f Xi (t i para todo t R e el caso que X 1,...,X sea cojutamete coti- uas. F Xi (t i. p Xi (a i para todo a S X1,...,X e el caso que X 1,...,X sea cojutamete Lema 2 Sea I N. Si {X i } i I es ua colecció de variables aleatorias idepedietes y para todo i I la fució g i : D i R R es tal que P ({X i D i } 1 e Y i g i (X i es variable aleatoria, etoces {Y i } i I es ua colecció de variables aleatorias idepedietes. Lema 3 [Suma de Variables Aleatorias Idepedietes] Si X 1 e X 2 so variables aleatorias idepedietes, etoces p X1 +X 2 (c p X1 (ap X2 (c a p X1 (c bp X2 (b e el caso que X 1 y X 2 sea cojutamete a S X1 b S X2 discretas, Z Z f X1 +X 2 (t f X1 (x f X2 (t xdx f X1 (t x f X2 (xdx e el caso que X 1 y X 2 sea cojutamete cotiuas. R R 1

2 Lema 4 Si X 1,...,X so variables aleatorias idepedietes tales que X i Normal(µ i,σ 2 i, etoces X i Normal( µ i, Normal(µ,σ 2, etoces 1 σ 2 i, y si además X 1,...,X so idéticamete distribuidas de acuerdo a ua X i Normal(µ, σ2. Lema 5 [Método del Jacobiao] Sea X 1,...,X variables aleatorias cojutamete cotiuas. Sea D,R R tales que P ({X D} 1 y g (g 1,...,g : D R tal que para todo i {1,...,} se tiee que Y i g i (X 1,...,X es variable aleatoria (e particular esto último ocurre cuado g i es cotiua. Si además 1. g es biyecció, i.e., para todo (y 1,...,y R, el sistema de ecuacioes y i g i (x 1,...,x, i {1,...,}, tiee solució úica x i h i (y 1,...,y. 2. las fucioes g 1,...,g so tales que todas sus derivadas parciales so cotiuas y que el Jacobiao de g es o ulo para todo (x 1,...,x D, i.e., g 1 g 1 (x 1,...,x D J(x 1,...,x def x 1 x Det g g x 1 x Etoces, se tiee que Y 1,...,Y so variables aleatorias cojutamete cotiuas y f Y1,...,Y ( y { f X1,...,X ( g 1 ( y J( g 1 ( y 1 si y R, 0 e caso cotrario. { f X1,...,X ( h( y J( h( y 1 si y R, 0 e caso cotrario. (x 1,...,x Esperaza Matemática E lo que sigue sea (Ω,F,P u espacio de probabilidad y sea X, X 1,...,X, e Y variables aleatorias sobre el espacio medible (Ω,F. Defiició 2 [Esperaza] Se defie la esperaza o media de X, deotada E (X, por siempre y cuado algua de las itegrales sea fiita. Z 0 Z E (X F X (tdt + (1 F X (tdt, 0 Proposició 1 Si P ({X 0} 1, etoces E (X 0. 2

3 Proposició 2 Si E (X es fiita, ap X (a, a S E (X Z X + t f X (tdt, si X es discreta, si X es absolutamete cotiua. Proposició 3 [Esperaza de ua Fució de ua Variable Aleatoria] Si g : D R R es tal que P ({X D} 1 y g(x es variable aleatoria, g(ap X (a, si X es discreta, a S E (g(x Z X + g(t f X (tdt, si X es absolutamete cotiua. Lema 6 Si A F, y I A deota la variable aleatoria I A (ω 1 si ω A y I A (ω 0 si ω Ω \ A, etoces E (I A P (A. Defiició 3 [Variaza y Desviació] Se defie la variaza de X, deotada Var (X, por ( Var (X E (X E (X 2. La desviació de X, deotada σ(x, se defie por σ(x Var (X. Proposició 4 [Esperaza de ua Fució ({ de u } Vector Aleatorio] Si X deota el vector aleatorio (X 1,...,X, g : D R R es tal que P X D 1 y g( X es variable aleatoria, ( E g( X a S Z X g( ap X ( a, Z g( x f R X ( xdx 1 dx, si X 1,...,X so cojutamete discretas, si X 1,...,X so cojutamete cotiuas. Corolario 2 [Liealidad de la Esperaza] Si X e Y so variables aleatorias y a,b R, etoces E (X +Y E (X + E (Y, E (ax + b ae (X + b. Corolario 3 Si a, b R, etoces Var (X E ( X 2 + E 2 (X, Var (ax + b a 2 Var (X. Defiició 4 [Covariaza] Se defie la covariaza de X e Y, deotada Cov (X,Y, por Cov (X,Y E ((X E (X(Y E (Y. 3

4 Proposició 5 Si a,a,b,b R, Var (X Cov (X,X, Cov (X,Y E (X Y E (X E (Y, Cov (X,Y Cov (Y,X, Cov ( ax +b,a Y +b aa Cov (X,Y, Var (X ±Y Var (X + Var (Y ± 2Cov (X,Y. Proposició 6 La covariaza es ua forma bilieal, i.e., si X, X, Y, e Y so variables aleatorias, Cov ( X ± X,Y Cov (X,Y ± Cov ( X,Y, Cov ( X,Y ±Y Cov (X,Y ± Cov ( X,Y. Lema 7 Sea g : D X R R y h : D Y R R fucioes tales que P ({X D X } P ({Y D Y } 1 y g(x y h(y so variables aleatorias. Si X e Y so idepedietes, E (g(xh(y E (g(xe (h(y. E particular, si X e Y so idepedietes, E (XY E (XE (Y. Corolario 4 Si X e Y so idepedietes, Var (X +Y Var (X + Var (Y y Cov (X,Y 0. Defiició 5 [Correlació] Si σ(x,σ(y > 0, se defie la correlació etre X e Y, deotada ρ(x,y, por ρ(x,y Cov (X,Y σ(xσ(y. Proposició 7 Se tiee que ρ(x,y ρ(y,x, 1 ρ(x,y 1, y además, si ρ(x,y ±1, etoces P ({Y a+bx} 1 para algú a R y b ±σ(y /σ(x. si P ({Y a+bx} 1, etoces ρ(x,y 1. Proposició 8 Si X 1,...,X e Y 1,...,Y m so variables aleatorias, y E ( X i Lema 8 Sea (X N E ( X < +, etoces E N E (X i, Cov ( Var X i, m j1 ( X i Y j m j1 Var (X i + 2 Cov (X i,y j. 1 i< j Cov (X i,x j. ua sucesió de variables aleatorias. Si para todo N, P ({X 0} 1, o ( X E (X. N N 4

5 Lema 9 Si X 1,...,X so idepedietes ( E X i E (X i, y Var ( X i Var (X i. Defiició 6 [Mometos] Si N, etoces E (X se deomia el -ésimo mometo de X o el mometo de orde de X. Defiició 7 [Fució Geeradora de Mometos] Se defie la fució geeradora de mometos φ X : R R { } por φ X (t E ( e t X. Lema 10 Si la fució geeradora de mometos de X, φ X (, es veces difereciable e u itervalo abierto e toro al 0, etoces E (X d φ X dt. t0 Proposició 9 Si a,b R, φ ax+b (t e tb φ X (at. Proposició 10 Si X e Y so idepedietes, etoces φ X+Y (t φ X (tφ Y (t para todo t R. Lema 11 X 1,...,X so idepedietes sí y sólo si E (e t ix i φ Xi (t i para todo t 1,...,t R. Teorema 1 Si la fució geeradora de mometos de X, φ X (, es fiita e u itervalo abierto e toro a t 0 etoces la fució distribució de X, F X (, está completamete determiada por φ X (. 3. Desigualdades E lo que sigue sea (Ω,F,P u espacio de probabilidad y sea X y X 1,...,X,... variables aleatorias sobre el espacio medible (Ω,F. Proposició 11 [Desigualdad de Markov] Si X es ua variable aleatoria o egativa, i.e., P ({X 0} 1, etoces para todo t > 0, P ({X t} E (X. t Proposició 12 [Desigualdad de Chebyshev] Si X es ua variable aleatoria de esperaza y variaza fiita, etoces para todo ε > 0, P ({ X E (X ε} 1 Var (X. ε2 5

6 Más au, para todo p > 0, P ({ X E (X ε} 1 ε p E ( X E (X p. Proposició 13 Var (X 0 sí y sólo si P ({X E (X} 1. Proposició 14 [Desigualdad de Jese] Si f : D R R es ua fució covexa, dos veces difereciable, y P ({X D} 1, etoces si las esperazas existe y so fiitas. E ( f (X f (E (X, Teorema 2 [Desigualdad de Kolmogorov] Sea X 1,...,X variables aleatorias idepedietes tales que E (X i 0 y Var (X i σ 2 i < para todo i 1,...,. Etoces, para todo a > 0, ({ } P máx X X i > a,..., 1 a 2 σ 2 i. 6