Transmisión de calor por el Método de los Elementos Finitos

Transcripción

1 ransmsón de calor por el Método de los Elementos Fntos

2 Introduccón e estuda la dfusón del calor en un medo contnuo Flujo térmco: cantdad de calor transferda por undad de área q qx = q y El flujo térmco está relaconado con el gradente de la temperatura (ecuacón consttutva) qx kx 0 x q = y 0 k y q = k y Flujo térmco es contraro al gradente

3 Equlbro térmco Equlbro en un elemento de volumen undad entre: El calor que entra = - dvergenca del flujo térmco q El calor generado en el materal por undad de volumen (aportado al materal) El calor acumulado en el materal (c = calor específco por undad de volumen) q y qy + y q c x y t q x + y + = q x q y q x qx + x Τ q + = c t 2

4 ransmsón de calor transtora en 2D usttuyendo el valor del flujo dado por la ecuacón consttutva: kx 0 x + = c x y 0 k y t y t ( k ) + c = 0 k x k + y + c = x x y y t 0 3

5 Condcones de contorno Esencal = c en x y Natural k n + k n + q + h( ) = 0 x x y y f en Valor ncal = 0( x, y) en t = 0 q f 4 C

6 Método de resduos ponderados Aproxmacón: = N =, n Resduo Rxy (, ) = k x k + y + c 0 x x y y t Hallar que anulen el resduo W lnealmente ndependentes Galerkn: W = N W(, x y) R(, x y) d= 0 =, n N k x + k y + c d= 0 =, n x x y y t 5

7 Planteamento débl Integrando por partes: N( v) d = v Nd+ N( v n) d kx + k y d+ N k x nx + ky n y d x x y y x y + Nd Nc d= 0 =, n t egunda ntegral: condcón de contorno natural en : kx nx + ky ny = q h( ) f x y 6

8 Planteamento débl (cont.) kx + k y d N qd N h( ) d f x x y y + Nd Nc d= 0 =, n t usttuyendo la aproxmacón e = N x e = = B x =, n x 7 N : Matrz fla con las funcones N e : Vector de temperaturas nodales B x : Matrz fla con las dervadas B N = N... N n x n =... x x

9 Ecuacones fnales e e e kxb x + kyb y d Nqd N h( ) d f x y N e + Nd Nc d= 0 =, n N t Agrupando las n ecuacones y ordenando Conduccón Conveccón Inerca térmca e e e kx x x k BB + ybb y y d + NNhd + NNcd = + N d N qd + N h d f Calor generado Flujo de calor emperatura fludo 8

10 Ecuacones fnales K + K + H = + + ( ) e e c h v s f Matrz de conduccón Kc = kx x x k B B + ybyby d Forma compacta: K c = B kbd B Bx = By Matrz de conveccón K h = N N hd 9

11 Ecuacones fnales (cont.) Matrz de nerca térmca H = N Ncd Vector de calor generado v = N d Vector de flujo de calor exteror s = N qd Vector de temperatura del fludo f = N h d f 0

12 Formulacón soparamétrca Interpolacón de coordenadas x = N x y = N y ' ', n, n η 2 x 2 ξ N Y η X ξ x y x N 0 N x 2 y = 0 N 0 N... 2 y 2... x = Nx e N defndas en formulacón erendp o lagrangana. Elementos con lados curvos, según el tpo de N

13 Matrz de conduccón (I) K Integral se evalúa en ξ, η B contene las dervadas de N respecto de x,y Relacón entre las dervadas c = B kbd (-,-) Necesaro para B (0,0) η (+,+) ξ x y N ξ ξ ξ x x = = J x y η η η y y N x ξ = J y η Jacobana de la transformacón x,y / ξ, η 2

14 Matrz de conduccón (II) Matrz Jacobana J Conocdas de N(ξ,η) J = x y x y ξ ξ ξ ξ = x y x y η η η η Coordenadas de los nudos Domno de ntegracón d= t dxdy = t J dξdη Espesor varable t = N t 3

15 Matrz de conduccón (III) Aspecto fnal K c = B kbd = kx x x k BB + ybb y y d K N N x y = + x x y y N n n x y n n c... kx... t dxdy... ky... t dxdy + j j K = k cj x + ky tjd d x x y y ξ η 4

16 Matrz de conduccón (IV) Proceso de cálculo + j j K = k cj x + ky tjd d x x y y ξ η N x ξ = J y η Integrando: J constante: polnomo J no constante: cocente de polnomos J constante: elemento sn dstorsón (rectángulo) J = ξ η x x ξ η y y 5

17 Matrces de conveccón e nerca térmca Conveccón K = N Nhd K = h hj j N N htdl f = N h d f = N h d f f Inerca térmca H N N H = N N cjdξdη j j = cd 6

18 Vector de calor generado en el elemento Varacón permtda v = N d e = N Valores nodales del flujo térmco (C tes ) = N Nd = M M v N e e = n N n N N tdxdy M + = j j N N tjdξdη 7

19 Vector de flujo de calor exteror en Varacón permtda s = N e q = Nq qd Valores nodales del flujo térmco (C tes ) Real Aprox. q s = N Nd q = M q M s e e s N = n L N n N N tdl M = NN sj j tdl 8

20 Elemento de 2 nudos N ξ + ξ = 2 2 h, f 2 B x dn dn2 dn dn 2 dξ 2 = = = dx dx dξ dξ dx 2 2 L K = kb B d= c x x ka L H /3 /6 = cal /6 /3 K 9 h /3 /6 = h ds hpl N N = s /6 /3 P: perímetro lateral /2 = h d h PL N = /2 f f f

21 Elemento trangular ( ) N = a + bx + cy /2A ( ) N = a + b x + c y /2A ( ) N = a + b x + c y /2A a = x y x y b = y y 2 3 c = x x 3 2 N B = = N N2 N3 b b b 2A c c c = N + N22+ N33 N N 2 N

22 Elemento trangular (II) 2 Kc = B kbd= AtB kb Conveccón por la cara lateral (unforme) K h f 2 ha = N Nhd = hf A = N hf d = 3 2 cat H = N NcdV = 2 2 V 2 2 h, f 3

23 Elemento trangular (III) Conveccón unforme en un lado de longtud L K hl = = L N Nhdl htl h, f /2 = h dl h tl N = /2 L fl f f 3 22