Integrales Impropias. Capítulo Introducción Integrales de Funciones No Acotadas

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1 Cpítulo 8 Integrles Impropis 8.. Introducción L integrl de Riemnn tl como l hemos estudido, está definid únicmente pr funciones cotds y definids sobre intervlos cerrdos y cotdos. En este cpítulo estudiremos como etender est definición funciones que no son cotds en l vecindd de un punto, o regiones de integrción de l form [, + ), (, ] o todo R Integrles de Funciones No Acotds Definición 8. Si f R[, b ɛ] pr todo ɛ > y ɛ f d l cundo ɛ + decimos que f tiene un integrl impropi de Riemnn sobre [, b] y su vlor es l. Escribimos f d en lugr de l. De mner similr, si f R[ + ɛ, b] pr todo ɛ > y f d l cundo +ɛ ɛ + decimos que f tiene un integrl impropi de Riemnn sobre [, b] y escribimos f d = l. Ejemplos 8.. f : [, ] R, f() = ( ) /2 entonces ɛ ( ) /2 d = 2( ) /2 ɛ = 2( ɛ /2 ) 2 (ɛ + ). L función tiene un integrl impropi sobre [, ] y ( ) /2 d = 2.

2 46 CAPÍTULO 8. INTEGRALES IMPROPIAS 2. f : [, ] R, f() = / ɛ d = 2 ɛ = 2( ɛ) 2 y f tiene un integrl impropi en [, ], f d = 2. En generl, si f está definid sobre [, b] y eiste un número finito de puntos c,, c k tles que < c < c 2 < < c k < b y f tiene un integrl impropi de Riemnn sobre cd intervlo [, c ], [c, c 2 ],, [c k, c k ], [c k, b], entonces f tiene un integrl impropi de Riemnn sobre [, b] y denotremos l sum por c f d + c2 c f d + + f d c k f d En culquier de los csos nteriores escribimos f IR[, b]. Ejercicios 8. Estudie l convergenci de ls siguientes integrles impropis ) 3) 5) 7) 9) 4 + d 3 + d e d 6) log d 8) 2) e 2 d 4) d log ) 2 e d log d cosh d d log 8.3. Propieddes de ls Integrles Impropis () Si f y g están en IR[, b] entonces tmbién están f + g y λf donde λ R. Además: (f + g) d = f d + g d y λf d = λ f d. (b) Si f IR[, b] y [c, d] [, b] entonces f IR[c, d]. Además, si < c < b entonces f d = c f d + c f d

3 8.4. INTEGRALES SOBRE DOMINIOS INFINITOS 47 (c) Si f y g están en IR[, b] y f() g() pr [, b] entonces f d g d (d) Si f IR[, b] entonces c f d es un función continu de c pr c b. (e) Si F es derivble pr b y F () = f() IR[, b] entonces f d = F (b) F (). (f) Si f y g están en IR[, b] y F y G están definids por entonces F () = F (b)g(b) = f dt G() = fg dt + F g dt. g dt (g) Si f IR[.b], g(y) es creciente pr y [c, d] con g(c) =, g(d) = b y si g R[c, d] entonces (f g)g IR[c, d] y g(d) g(c) f d = d c (f g)g dy. Demostrción. Ejercicio Integrles Sobre Dominios Infinitos Definición 8.2 Si f R[, t] pr todo t > y t f d converge un límite l cundo t decimos que f R[, ) y escribimos f d en lugr de l. Decimos en este cso que l integrl f d converge. Si f R[, t] pr todo t > y t f d no converge un límite finito cundo α decimos que l integrl f d diverge. De mner similr definimos l clse de funciones R(, b]. Si f R[, ) y f R(, ] decimos que f R[, ) y definimos l integrl de f sobre (, ) como f d = f d + f d.

4 48 CAPÍTULO 8. INTEGRALES IMPROPIAS Propieddes de ls funciones R[, ). () Si f, g R[, ) entonces f + g y λf R[, ) donde λ R y (f + g) d = f d + g d, kf d = k f d. (b) Si f R[, ) entonces f dt es un función continu de pr >. Si f es continu en > entonces d d f dt = f(). (c) Si F = f R[, ) entonces eiste l tl que F () l cundo y f d = l F (). (d) Si f, g R[, ), F () = f dt, G() = g dt entonces si fg ó F g está en R[, ) tenemos fg d + F g d = f d g d. Est es l fórmul de integrción por prtes y se obtiene hciendo b en l fórmul de integrción por prtes sobre [, b]. (e) Supongmos que g es estrictmente creciente en (c, d), g R(c, d], g(c) = y g(y) cundo y d. Entonces si f R[, ) se tiene (f g)g R(c, d] y f d = d c (f g)g dy. Como consecuenci de (e) observmos que podemos reducir el estudio de integrles impropis de Riemnn l considerción de l convergenci de integrles sobre dominos infinitos. Si por ejemplo, f R[, b ɛ] pr todo ɛ, < ɛ < b, entonces hciendo y = /(b ) obtenemos ɛ f d = /ɛ /(b ) f(b y ) y 2 dy = /ɛ /(b ) g(y) dy donde g(y) = y 2 f(b y ). En este cso f IR(, b] si y solo si g IR[ b, ).

5 8.5. EL PRINCIPIO GENERAL DE CONVERGENCIA PARA INTEGRALES IMPROPIAS 49 Ejercicios 8.2. Determine pr cuáles vlores de s son convergentes ls siguientes integrles: ) 3) 5) s d 2) sen s d 4) e s d 6) s + d e s d e s d 8.5. El Principio Generl de Convergenci pr Integrles Impropis Lem 8. L función f converge un límite finito cundo si y sólo si ddo ɛ > eiste k R tl que f() f(y) < ɛ si > k, y > k. (8.) Demostrción. Si f() l cundo entonces pr todo ɛ > eiste k tl que f() l < ɛ/2 pr > k. Si, y > k entonces f() f(y) f() l + f(y) l < ɛ. Recíprocmente, tomemos un sucesión ( n ) con n entonces por el criterio de Cuchy (f( n )) converge si (8.) se cumple. Como esto es cierto pr tod sucesión ( n ) con n concluimos que f() l. Teorem 8. f R[, ) sí y sólo sí: () f R[, b] pr todo b > y (b) Pr todo ɛ > eiste k tl que si > k, y > k entonces y f dt < ɛ. Demostrción. Esto es consecuenci del lem nterior plicdo l función F () = f dt.

6 5 CAPÍTULO 8. INTEGRALES IMPROPIAS Convergenci Absolut Definición 8.3 Decimos que l integrl f dt es bsolutmente convergente sí y sólo sí f R[, ]. Si f R[, ) entonces f R[, ) y que podemos plicr el lem nterior f d y obtenemos que ddo ɛ > eiste k tl que si > k, z > k entonces pero z z f dt < ɛ z f dt f dt < ɛ y plicndo de nuevo el lem obtenemos f R[, ) Integrles de Funciones Positivs. Si f en [, ) y f R[, b] pr todo b > entonces l condición necesri y suficiente pr que f R[, ) es que f dt se cotd superiormente pr >. Esto es consecuenci de que f dt es creciente como función de. A prtir de est propiedd obtenemos el siguiente criterio pr convergenci de integrles impropis. Proposición 8. (Criterio de Comprción) Si f() g(), g R[, ), f R[, b] pr todo b > entonces f R[, ). Si g() f() y g R[, b] pr todo b > pero g / R[, ) entonces f / R[, ). Definición 8.4 Si f R[, ) pero f / R[, ) decimos que l integrl f d es condicionlmente convergente. Ejercicios 8.3. Si f y g están en R[, b] pr cd b, donde f() y g() > pr todo f(), y si lím = c, con c, entonces ls integrles f() d y g() g() d convergen o divergen conjuntmente. 2. En l situción del ejercicio nterior demuestre lo siguiente: i) Si c = entonces si ii) Si c = entonces si g() d converge, tmbién f() d. g() d diverge, tmbién f() d.

7 8.6. INTEGRALES Y SERIES Integrles y Series. Bjo cierts condiciones hy un estrech relción entre el comportmiento de l integrl f dt y el de l serie f(n). Teorem 8.2 Si f está definid pr, es decreciente y positiv entonces f d tiende un límite finito cundo N. N f(n) n= Demostrción Llmemos Como f es decreciente k N = f d N f(n). n= k N+ k N = + N f d f(n + ) de modo que l sucesión (k N ) es creciente. Llmemos hor l N = N f d f(n). Un rgumento similr muestr que l sucesión (l N ) es decreciente. Además n= l N k N = f(n). Por lo tnto k N l N l, de modo que k N está cotd superiormente. En consecuenci k N converge un límite finito. Corolrio 8. (Prueb de l Integrl) Si f está definid pr >, es decreciente y positiv, entonces f(n) converge si y solo si f d converge. Demostrción. Si f d converge entonces f d tiende un límite finito cundo N y por lo tnto N f(n) = n= f d k N tmbién converge un límite finito. Por otro ldo, si N n= f(n) converge un límite finito cundo N entonces f(n) cundo n y f d = N f(n) + k N n=

8 52 CAPÍTULO 8. INTEGRALES IMPROPIAS tmbién tiende un límite finito cundo N. Si N < < N + entonces f dt f dt = f dt f(n) N que tiende cero cundo N y en este cso converge un límite finito cundo. Ejemplos 8.2. Tomemos f() = / en el teorem nterior, entonces n log n tiende un límite finito cundo n. Este límite se conoce como l constnte de Euler, se denot por γ y es un número en (, ). 2. Tomemos hor donde f() = ( log log r (log r ()) α) log s () = log(log s ()), log 2 () = log(log()) Se suficientemente grnde de modo que f esté definid si >, entonces f dt = α (log r t) { [ = α (logr ) α (log r ()) α] si α. log r+ () log r+ () si α = por lo tnto l serie f(n) converge si α > y diverge si α. Ests series son útiles los efectos de l prueb de comprción. Ejercicios 8.4. Ejercicios Complementrios. Dig si ls siguientes proposiciones son cierts o flss. En cd cso de un demostrción o un contrejemplo..- Si l sucesión n f() d converge, l integrl f() d converge. b.- Si f es decreciente y lím n eiste. n f() d eiste entonces l integrl f() d

9 8.6. INTEGRALES Y SERIES. 53 c.- Si f() cundo y converge y su vlor es A. d.- Si f() y vlor es A. e.- Si n lím n n lím n f() d = A, entonces f() d = A, entonces f() d converge entonces lím f() = f() d f() d converge y su