Integral impropia Al definir la integral definida b

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1 Mte Univ II, 14 FCE-BUAP CÁLCULO INTEGRAL ALEJANDRO RAMÍREZ PÁRAMO 1. Sucesiones y series Integrl impropi Al definir l integrl definid b f(x)dx, pretendimos que l función f estb definid; demás de cotd, sobre el intervlo [, b]. Ahor extenderemos l definición de l integrl definid pr brcr los csos: () el intervlo es infinito, y (b) l función no es cotd. En ests circunstncis l integrl se llmrá: Integrl impropi. Definición 1.1. ( Integrles impropis del tipo I) (1) Si pr todo número t existe t f(x)dx, entonces, por definición f(x)dx = lim t t f(x)dx, siempre que el límite exist. (2) Si pr todo número t b existe b t f(x)dx, entonces, por definición b f(x)dx = lim b t t f(x)dx, si el límite existe. Ls integrles impropis (1) y (2) se llmn convergentes si tles límites existen, en otro cso se dicen divergentes. (3) Si b f(x)dx y b f(x)dx son convergentes, entonces por definición f(x)dx = b f(x)dx + b f(x)dx. Ahor definimos integrles impropis del Tipo II. Definición 1.2. ( Integrles impropis del tipo II) (1) Si f es continu en [, b) y discontinu en b, entonces definimos b f(x)dx = lim t t b f(x)dx, siempre que el límite exist. (2) Si f es continu en (, b] y discontinu en, entonces definimos b f(x)dx = lim b t + t f(x)dx, siempre que el límite exist. Ls integrles impropis (1) y (2) se llmn convergentes si tles límites existen, en otro cso se dicen divergentes. (3) Si f tiene un discontinuidd en c, pr lgún < c < b, y si son convergentes c f(x)dx y b c f(x)dx son convergentes, entonces definimos b f(x)dx = c f(x)dx + b c f(x)dx. 1

2 2 ALEJANDRO RAMÍREZ PÁRAMO Theorem 1.3. Sen f y g funciones continus tles que pr cd x, f(x) g(x) 0. Entonces: (1) Si f(x)dx es convergente, entonces g(x)dx es convergente. (2) Si g(x)dx es divergente, entonces f(x)dx es divergente. Sucesiones Definición 1.4. Un sucesión o secuenci es un función con dominio, N = {1, 2, 3,...}, el conjunto de los números nturles y contrdominio culquier conjunto. Definición 1.5. Un sucesión sucesión { n } tiene límite L si pr tod ɛ > 0, existe n 0 N tl que n L < ɛ simepre que n n 0 ; escribimos lim n n = L. Si existe lim n n decimos que l sucesión { n } converge (o que es convergente). De lo contrrio diremos que l sucesión diverge. Theorem 1.6. Si lim x f(x) = L y f está definid pr todo n N, entonces tmbién lim n f(n) = L. Theorem 1.7. Si { n } y {b n } son sucesiones convergentes y c es un constnte, entonces: (1) L sucesión constnte {c} tiene c como su límite; (2) lim n c n = clim n n ; (3) lim n ( n + b n ) = lim n n + lim n b n ; (4) lim n ( n b n ) = lim n n lim n b n ; (5) lim n n b n = lim n n lim n b n, (6) Si lim n b n 0, entonces lim n n bn = limn n lim n b n. Theorem 1.8. Si pr tod n n 0, n c n b n y si lim n n = L = lim n b n, entonces lim n c n = L. Otr propiedd útil de los límites de sucesiones se expres en el siguiente tresultdo. Theorem 1.9. Si lim n n = 0, entonces lim n n = 0 Theorem L sucesión {r n } es convergente pr todo 1 < r 1, y es divergente pr los demás vlores de r. Además, si 1 < r < 1, entonces lim n r n = 0, mientrs que pr r = 1, entonces lim n r n = 1. Definición Diremos que l sucesión { n } es: (1) Creciente, si pr tod n 1, se cumple que n+1 n. (2) Decreciente, si pr tod n 1, se verific que n+1 n. (3) Monóton, si { n } es creciente o decreciente. (4) Acotd superiormente, si existe M R tl que pr tod n 1, n M. Nos referimos M como cot superior de l sucesión. (5) Acotd inferiormente, si existe m R tl que pr tod n 1, n m. Llmmos M como cot inferior de l sucesión. (6) Acotd si es cotd superior e inferiormente. Theorem Tod sucesión cotd y monóton es convergente.

3 SERIES, RESUMEN 3 2. Series Definición 2.1. Si { n } es un sucesión y denotmos pr cd n N, s n = n = n i=1 i, entonces l sucesión {s n } se llm serie infinit. Est serie infinit se represent por n=1 n = m +... Los números n se denominn términos de l serie. Los números s n se llmn sums prciles de l serie infinit. Definición 2.2. Se n=1 n un serie infinit dd, y se {s n } l sucesión de sums prciles que definen est serie infinit. Entonces, si lim n s n existe y es igul S, deicimos que l serie dd es convergente y que S es l sum de l serie infinit dd. Si lim n s n no existe, se dice que l serie dd es divergente y l serie no tiene sum. Theorem 2.3. L serie geométric n=1 rn 1 converge si r < 1 y su sum es n=1 rn 1 = 1 r. Por otro ldo, si r 1, l serie es divergente. Theorem 2.4. Si l serie infinit n=1 n es convergente, entonces lim n n = 0. Remrk 2.5. El recíproco del teorem nterior es flso, esto es, el hecho de que lim n n = 0 no grntiz que l serie n=1 n se convergente. Ejemplo 2.6. Considere l sucesión { 1 n }. Se sbe que lim n 1 n = 0; sin embrgo, es posible demostrr que l serie n=1 1 n es divergente. Theorem 2.7. (Prueb de l divergenci) Si lim n n no existe, o si lim n n 0, entonces l serie n=1 n es divergente. Theorem 2.8. Si n=1 n y n=1 b n son dos series infinits que sólo difieren en los primeros m términos (i.e., n = b n pr todo n > m, entonces mbs series convergen o mbs series divergen. Theorem 2.9. Si n=1 n y n=1 b n son dos series infinits convergentes, tmbién lo son ls series n=1 c n (donde c es un constnte), n=1 ( n + b n ) y n=1 ( n b n ). Además: (1) n=1 c n = c n=1 n; (2) n=1 ( n + b n ) = n=1 n + n=1 b n, (3) n=1 ( n b n ) = n=1 n n=1 b n. Theorem (Prueb de l integrl) Sen f un función continu, positiv y decreciente en [1, ), y n = f(n). Entonces: (1) Si 1 f(x)dx converge, entonces l serie n=1 n es convergente. (2) Si 1 f(x)dx diverge, entonces l serie n=1 n es divergente. es convergente pr p > 1, y diver- Corollry L serie p, gente cundo p 1 n=1 1 n p Theorem (Prueb de comprción) Supongmos que n=1 n y son dos series infinits de términos positivos. n=1 b n

4 4 ALEJANDRO RAMÍREZ PÁRAMO (1) Si n=1 n es convergente y pr todo n N, tenemos que n b n, entonces n=1 b n tmbién converge. (2) Si n=1 b n es divergente y pr todo n N, tenemos que n b n, entonces n=1 n tmbién diverge. Theorem (Prueb de comprción de límites) Supongmos que n=1 n y n=1 b n son dos series infinits de términos positivos. (1) Si lim n n bn = c > 0, mbs series convergen o mbs series divergen. (2) Si lim n n bn converge. =, y n=1 b n diverge, entonces n=1 n es diver- (3) Si lim n n bn gente. Series lternntes = 0, y n=1 b n es converge, entonces n=1 n tmbién Definición Un serie lternnte es quell cuyos términos son positivos y negtivos lterntivmente Theorem (Prueb de l serie lternnte) Si l serie lternnte n=1 ( 1)n 1 n stisfce ls condiciones: (1) Pr todo n N, n+1 n, y (2) lim n n = 0 entonces l serie es convergente. Definición Un serie n=1 n se llm: (1) bsolutmente convergente si l serie n=1 n es convergente. (2) condicionlmente convergente si l serie n=1 n es convergente pero no bsolutmente convergente. Theorem Si un serie n=1 n es bsolutmente convergente, entonces tmbién es convergente. Theorem (Prueb de l relción) Supongmos que n=1 n es un series infinit. Ls siguientes firmciones se verificn. (1) Si lim n n+1 n = L < 1, entonces l serie es bsolutmente convergente. (2) Si lim n n+1 n = L > 1 o lim n n+1 n =, l serie es divergente. (3) Si lim n n+1 n = 1, con est prueb nd se puede concluir cerc de l convergenci. Theorem (Prueb de l ríz) Supongmos que n=1 n es un series infinit. Ls siguientes firmciones se verificn. (1) Si lim n n 1 n = L < 1, entonces l serie es bsolutmente convergente. (2) Si lim n n 1 n = L > 1 o lim n n 1/n =, l serie es divergente.

5 SERIES, RESUMEN 5 (3) Si lim n n 1 n = 1, con est prueb nd se puede concluir cerc de l convergenci. Serie de potencis Definición Un serie de potencis en x (o centrd en, es un serie de l form: n=0 c n(x ) n. Remrk Por convenienci consdidermos x ) 0 = 1; un cundo x =. Theorem Se n=0 c n(x ) n un serie de potencis dd. Entonces se cumple un y sólo un de ls siguientes condiciones: (1) L serie converge sólo cundo x = 0; (2) L serie es convergente pr todos los vlores de x, (3) Existe un número rel R > 0 tl que l serie es convergente pr todos los vlores de x tles que x < R y diverge pr todos los vlores de x tles que x > R. Definición (1) El número R del cso (3), se denomin rdio de convergenci de l serie de potencis. Por convención, el rdio de convergenci es R = 0; pr el cso (1) y R = pr el cso (2). (2) El intervlo de convergenci de un serie de potencis, es el conjunto de todos los x R pr los cules l serie es convergente. Representción de funciones en serie de potencis Theorem Si l serie de potencis n=0 c n(x ) n tiene rdio de convergenci R > 0, l función definid por f(x) = n=0 c n(x ) n, es diferencible (y por ende continu) en le intervlo ( R, + R), y (1) f (x) = n=1 c n(x ) n 1 (2) f(x)dx = C + n=0 c n (x )n n+1. En mbos csos, los rdios de convergenci son R. Remrk Si bien el rdio de convergenci son cmbi l derivr o integrr un serie de potencis, es importnte decir que el intervlo de convergenci sí puede cmbir. Series de Tylor y Mclurin Theorem Si f tiene un representción (desrrollo) en serie de potencis en ; esto es, si: f(x) = n=0 c n(x ) n, x < R. Entonces los coeficientes están expresdos por l fórmul: c n = f (n) () n!. Al sustituir est fórmul de c n en l serie, si f tiene un representción en serie de potencis en, h de ser de l form: ( ) f(x) = f (n) () n=0 n! (x ) n

6 6 ALEJANDRO RAMÍREZ PÁRAMO L serie de l ecución ( ) se conoce por el nombre de serie de Tylor de l función f en. Cundo = 0, l serie de ( ) se trnsform en l serie: ( ) f(x) = f (n) () n=0 n! x n Est últim serie se conoce como serie de Mclurin de f. References 1. L. Leithold, El cálculo con geometrí nlític, Hrl, N. Piskunov, Cálculo diferencil e integrl, Tomo I Mir Moscú, Spivk M., Clculus, Repl, J. Stewrt, Cálculo de un vrible, trscendentes temprns, 4t Ed., Thomson lerning, Fcultd de Ciencis de l Electrónic, BUAP, Avenid Sn Cludio y 18 sur s/n E-mil ddress:

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