Universidad de Costa Rica. Instituto Tecnológico de Costa Rica. Determinar si las integrales impropias convergen o divergen.

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Domingo López Ríos
hace 6 años
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1 Uivrsidad d Costa Rica Istituto Tcológico d Costa Rica Tma: Itgrals impropias. Objtivos: Clasificar las itgrals impropias sgú su spci: primra, sguda o trcra spci. Calcular itgrals impropias utilizado su dfiició mdiat límits d la forma lím f (), lím f ( ) o lím f ( ). Dtrmiar si las itgrals impropias covrg o divrg. Elaborado por: Profa. Elizabth Díaz G. y Salomó Hrádz Ch. Itgrals propias La studiat y l studiat ya ha frtado situacios las qu db calcular itgrals dfiidas utilizado la dfiició: Ejmplo Utilic sumas d Rima para calcular 3. E st caso para la fució f cuyo critrio stá dado por f ( ) 3, s ti qu f s cotiua, y la logitud dl itrvalo s fiita, s dcir la logitud d, s 3; a stas itgrals s ls domia propias. El razoamito qu s prsta a cotiuació s familiar para l studiatado por lo qu s omitirá alguos dtalls: ( ) 3i 3 3 i

3 6 9 3 8 i i i i 3 3 i i 3 i 8i 5 36 ( ) 5 ( )( ) 5 3 i 6 3 36 5 36 5 5 5 5 3 6 6 Por lo tato

2 i i i i 3 3 i i 3 i 8i 5 36 ( ) 5 ( )( ) 5 3 i Por lo tato 3 5, dod su itrprtació gométrica s l ára acotada tr la gráfica d f y l j como s mustra la figura

como s obsrva la E tals circustacias l itrvalo d itgració db partirs,,, y,,

3 Ejmplo Calcul h( ) ; dod 3 si h( ) si. l( ) si E st caso la fució h prsta trs discotiuidads rprstació gráfica,, como s obsrva la E tals circustacias l itrvalo d itgració db partirs,,, y,, dod h s cotiua cada uo d sos itrvalos d logitud fiita, tocs h( ) 3 l( ) ; por lo tato como propia. h( ) tambié s cooc 3

4 Ahora bi, s va a tdr alguas caractrísticas y l cocpto d itgral dfiida cosidrado fucios co discotiuidads ifiitas (aqullas qu prsta asítotas vrticals) o itgrals dfiidas itrvalos d logitud ifiita, st tipo d itgrals s domia impropias. Itgrals impropias d primra spci Las itgrals d st tipo ti la forma a f ) a (, f ) ( y f ) (, dod l studiat db ralizar ua asociació dircta co límits para dcidir si la itgral covrg o divrg d acurdo co la istcia o o istcia dl límit, rspctivamt. Ejmplo 3 Clasifiqu la siguit itgral sgú su spci. Dtrmi si ésta covrg o divrg calculado sus rspctivos límits: 7 5 I ; a. a Nóts qu I ti la forma d las itgrals mcioadas. Por otro lado, s importat dstacar qu I o s idfi a (pus s mayor qu ), d lo cotrario s dbría cosidrar como ua itgral d trcra spci. Ahora bi a a a a a a 5a a a a 5 5a a a

5 Como l límit o ist, s ti qu I divrg. Ejmplo Clasifiqu la siguit itgral sgú su spci. Dtrmi si ésta covrg o divrg calculado sus rspctivos límits: I 3 l. Cosidrado f( ), dod f s cotiua l como ua itgral impropia d primra spci. Lugo Sa 3,, tocs I s clasifica u l du, tocs du u. l 3 l 3 Como l límit ist, tocs I covrg a l l 3 3 l3 l 3. u l3 Itgrals impropias d sguda spci S clasifica d sguda spci aqullas itgrals d fucios o acotadas (qu prsta ua discotiuidad ifita) uo o varios putos dl itrvalo a, b. E dado caso s rquir hacr u aálisis spcífico sos putos dod la fució o s acotada. Ejmplo 5 Clasifiqu la siguit itgral sgú su spci. Dtrmi si ésta covrg o divrg calculado sus rspctivos límits: A 5

6 6 Not qu ( ) f s idfi, o obstat, como A s stá cosidrado,, tocs la itgral s clasifica como ua itgral impropia d sguda spci y s procd d la siguit mara ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Por lo tato A divrg. A cotiuació s po la rprstació gráfica d f

7 Ejmplo 6 Clasifiqu la siguit itgral sgú su spci. Dtrmi si ésta covrg o divrg calculado sus rspctivos límits: A S ti qu f( ) tocs la itgral s clasifica como ua itgral impropia d sguda spcia, lugo s idfi, admás f s cotiua,, arcs arcs arcs Como l límit ist, tocs A covrg a. Itgrals impropias d trcra spci Tambié s ls cooc como itgrals mitas, pus so itgrals qu prsta las caractrísticas d las itgrals d primra y sguda spci, por jmplo B Nóts qu si f( ) ( ), f s cotiua, co ua asítota vrtical, tocs B s dfi como ua itgral idfiida d trcra spci. Lugo si u du, tocs du du u u b arcta b arcta. b Como l límit ist, tocs B covrg a. b 7

8 Para fctos d valuació, s importat aclarar qu iguo d los trs casos s cosidrará los critrios d covrgcia, ya qu l pricipal objtivo s qu l studiat comprda por qué y para qué s cosidra la otació d límit, tambié como rcomdació mtodológica l o la doct pud rcurrir a ua rprstació gráfica qu l ayud al studiatado a rforzar sus coocimitos. A cotiuació s prsta ua slcció d jrcicios qu l prmitirá por prácticas los coocimitos adquiridos, dod l o la studiat db clasificar cada ua d las itgrals sgú su spci y dtrmiar si éstas covrg o divrg calculado sus rspctivos límits. Ejrcicios tomados d Cálculo Trascdts Tmpraas d Zill, D. y Wright, W. () l s ( ) 3 ( ) l l ta t dt sc d ta 8

9 ( s ) Ejrcicios tomados d Ejrcicios d Cálculo Límits d Ávila, F. (3) 5. ( ) ( cos ) l sc 9

10 cos s Ejrcicios tomados d Itroducció al aálisis ral ua variabl, d Piza, E. (6) , co p p cos ta s cos 3 s 3 s s ( ) cos ( ) s cos l( ) l( ) l l l l(s ) l(s ) l(cos ) s l(s )

11 l( ) 68. l(ta ) Bibliografía Ávila, F. (). Ejrcicios d Cálculo. Costa Rica. Editorial Tcológica d Costa Rica. Piza, E. (6). Itroducció al aálisis ral ua variabl. Costa Rica: Editorial d la Uivrsidad d Costa Rica. Zill, D. y Wright, W. (). Cálculo Trascdts Tmpraas. Méico: McGraw-Hill Itramricaa Editors.

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