UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES FUNCIÓN CUADRÁTICA II

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1 C u r s o : Matemática 3º Medio Material Nº MT-11 UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES FUNCIÓN CUADRÁTICA II INTERSECCIÓN CON EL EJE Y La parábola asociada a la función = a + b + c siempre intersecta al eje de las ordenadas en = c c EJEMPLOS 1. Cuál (es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s) con respecto a la función f() = ( 4)( + 1)? I) La parábola intersecta al eje en -4. II) El discriminante de la ecuación asociado a la función es positivo. III) La concavidad de la parábola asociada a la función está orientada hacia arriba. B) Sólo I II C) Sólo I III D) Sólo II III E) I, II III. La parábola asociada a la función f() = ( 1)( 1) corta al eje en el punto de coordenadas A) (0, 1) B) (0, -1) C) (0, -) D) 1 0, E) 1 0, -

2 EJE DE SIMETRÍA El eje de simetría de una parábola es una recta que divide a esta curva en dos ramas congruentes. Y Eje de simetría: = X Eje de simetría = -b a EJEMPLOS 1. El eje de simetría de la parábola asociada a la ecuación = a + b + c, con a < 0, b > 0 c = 0, A) coincide con el eje. B) coincide con el eje. C) se ubica a la derecha del eje. D) se ubica a la izquierda del eje. E) es paralelo al eje.. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) falsa(s) con respecto a la parábola asociada a la ecuación = ? I) El eje de simetría es paralelo al eje. II) El eje de simetría es perpendicular al eje. III) La ecuación del eje de simetría es = - 5. B) Sólo III C) Sólo II III D) I, II III E) Ninguna de las anteriores

3 VÉRTICE DE LA PARÁBOLA El Vértice de la parábola es el punto de intersección de ésta con su eje de simetría. Eje de simetría -b 4ac b V =, a 4a Vértice EJEMPLOS 1. Cuál(es) de las siguientes funciones representa(n) gráficamente una parábola cuo vértice se ubica en el primer cuadrante? I) f() = II) f() = 1 III) f() = + 4 B) Sólo III C) Sólo I II D) Sólo II III E) I, II III. La ordenada del vértice de cierta parábola es 1. Esta parábola puede ser la gráfica de la función A) f() = B) f() = + + C) f() = + + D) f() = E) f() = + 1 3

4 FUNCIONES DE LA FORMA = a ( h ) + k Donde h = - b a k = 4ac b 4a La figura 1 muestra las gráficas de: A f() = 3 ( + 3) + 1 B f() = 3( ) + 1 C f() = 3( 5) 1 De las cuales se deduce: Si h > 0, la parábola se traslada h unidades hacia la derecha del eje. Si h < 0, la parábola se traslada h unidades hacia la izquierda del eje. k indica las unidades que se desplaza la gráfica hacia arriba o hacia abajo del eje. El vértice de la parábola es : V (h,k). El eje de simetría es la recta = h. A B C 5 fig. 1 EJEMPLOS 1. La función f() = escrita en la forma f() = a( h) + k es A) 3( ) 1 B) 3( + ) 1 C) 3( 1) 1 D) 3( 3) + 1 E) ninguna de las anteriores. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) falsa(s) con respecto a la gráfica asociada a la función f() = -4( 1) +? I) Intersecta al eje en el punto (0, -4). II) Intersecta al eje en un solo punto. III) La ecuación de su eje de simetría es + 1 = 0. B) Sólo II C) Sólo I III D) Sólo II III E) I, II III 4

5 DOMINIO Y RECORRIDO DOMINIO: Es el conjunto de valores reales que puede tomar la variable para que la función f() eista. RECORRIDO: Es el conjunto de valores reales que puede tomar la función f(). En las funciones cuadráticas, el dominio es el conjunto lr el recorrido se puede determinar usando el siguiente teorema: La función cuadrática f() = a + b + c (con a 0), tiene un valor etremo en el punto donde = - b. Si a > 0, el valor etremo es un valor mínimo si a < 0, el valor etremo es un a valor máimo. EJEMPLOS 1. Las siguientes funciones tienen como dominio el conjunto lr, ecepto A) f() = 1 4 B) f() = 4 C) f() = D) f() = 1 4 E) f() = + 4. Cuál es el recorrido de la función f() = -1 4? A) [-8, + [ B) ]-, -8] C) ]-, -4] D) [-4, + [ E) ]-, -16] 5

6 EJERCICIOS 1. Si el discriminante de la ecuación asociada a la función f() = 3 k es 8, entonces cuál es el valor de k? A) - B) -1 C) 0 D) 1 E). La recta de ecuación = 0 es el eje de simetría de la parábola de ecuación A) = ( ) B) = C) = ( + )( ) D) = ( 1)( 3) E) = ( + 1)( + 3) 3. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) con respecto a la parábola asociada a la ecuación = ? I) Los ceros de la función son 7. II) La parábola intersecta al eje en (0, 14). III) La ecuación de su eje de simetría es = 9. B) Sólo I II C) Sólo I III D) Sólo II III E) I, II III 4. Cuál de las siguientes funciones podría estar representada por la gráfica de la figura 1? A) f() = 3 B) f() = C) f() = 3 3 D) f() = E) f() = fig. 1 6

7 5. La parábola asociada a la función f() = ( 3)(1 ) intersecta al eje en el punto de coordenadas A) (0, 1) B) (, 0) C) (0, ) D) (-, 0) E) 0, El dominio de la función f() = 4, es el conjunto de A) los números enteros maores que. B) los números enteros maores que 4. C) los números racionales maores que. D) los números reales maores que 4. E) los números reales. 7. En un sistema de ejes coordenados, la gráfica correspondiente a la ecuación = 5 5 A) tiene eje de simetría de ecuación + 1 = 0. B) tiene su vértice en el tercer cuadrante. C) presenta concavidad hacia abajo. D) pasa por el origen. E) intersecta al eje en un solo punto. 8. La representación gráfica de la ecuación = a + b + c pasa por el punto (-1, 1) si A) a = 1, b = -3, c = 1 B) a =, b = -4, c = 1 C) a = 1, b = -5, c = 3 D) a = 1, b = 4, c = -3 E) a =, b = 4, c = 3 7

8 9. Cuál de las siguientes parábolas puede ser la representación gráfica de la función f() = -( ) 3? A) B) C) D) E) 10. Si de la función f() = a + b + c se sabe que, a 0, b < 0 a c 0, entonces cuál(es) de las siguientes gráficas puede corresponder a esta función? I) II) III) B) Sólo III C) Sólo I III D) Sólo II III E) I, II III 11. Si el gráfico de la función definida por = a + b 9 tiene como vértice el punto (4, -5), entonces a + b = A) -8 B) -7 C) 1 D) 7 E) 9 8

9 1. Si el valor máimo de la función f() = - + k es, entonces k = A) - B) -1 C) 0 D) 1 E) 13. La ecuación de una parábola idéntica a la parábola =, pero cuo vértice es el punto (, ) está epresada por A) = + B) = C) = ( ) D) = ( ) + E) = ( + ) El gráfico de la figura, representa una función del tipo f() = a + b + c. Entonces, el valor de a es A) 1 6 B) 1 4 C) 3 D) fig. E) Las dimensiones de un rectángulo son numéricamente iguales a las coordenadas del vértice de la parábola de ecuación = Luego su área, en unidades cuadradas, es A) 1 B) 8 C) 64 D) 18 E) 56 9

10 RESPUESTAS Págs. Ejemplos 1 1 E A C B 3 B C 4 C E 5 C B CLAVES PÁG E 6. E 11. B. D 7. D 1. D 3. E 8. E 13. D 4. B 9. E 14. B 5. C 10. C 15. A DOMT-11 Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra web 10