5Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 116

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1 Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 6 Pág. P RACTICA Funciones lineales Asocia a cada función su ecuación. Di, en cada caso, cuál es su pendiente. a) y + = 0 b) y = c) y = 6 d) y = b) y = 6 d) y = a) y + = 0 c) y = Pendientes: a) m = 0 b) m = c) m = d) m = / Representa las siguientes funciones lineales: a) y = b)y = 7 c) y = + 0 d)y =, y = y = 7 y =, + 0 y = Resuelto en el libro de teto.

2 Soluciones a los ejercicios y problemas Halla, en cada caso, la ecuación de las rectas que pasan por los puntos A y B. a) A(, 0), B(, 0) b)a(, ), B(, ) c) A(0, ), B(, 0) d)a(0, ), B(, ) a) y = 0 b) m = + = ; y + = ( + ) 8 y = 7 + c) m = = ; y + = 8 y = d) m = + = ; y + = 8 y = Pág. A cuál de las siguientes funciones corresponde la gráfica dibujada? + si Ì Ì + si Ì < 0 f() = + si 0 Ì < g() = si 0 Ì < si Ì Ì 8 si Ì Ì 8 si < < 0 h() = si 0 < < 0 si < < 8 Una de las otras dos funciones describe la pendiente de esta gráfica en cada punto. Cuál es? 6 La gráfica corresponde a la función g(). La función que describe la pendiente de la gráfica en cada punto es h(). 6 Representa las siguientes funciones definidas a trozos: si Ì si < 0 a) y = si < Ì b) y = + si Ó 0 si > + si < c) y = si Ì < si Ó a) b) c)

3 Soluciones a los ejercicios y problemas 7 Escribe la ecuación de la función que corresponde a esta gráfica: Pág El primer tramo pasa por ( 6, 0) y (, ): m = = ; y = ( + 6) = El segundo tramo pasa por (, ) y (, ): m = = ; y = ( + ) 8 y = + + El tercer tramo pasa por (, ) y (8, ): m = = ; y = ( ) 8 y = si < f() = + si Ì Ì 8 + si > PÁGINA 7 Funciones cuadráticas 8 Asocia a cada una de las gráficas una de las epresiones siguientes: a) y = b)y = ( ) 6 c) y = d)y = a) y = roja b) y = ( ) verde c) y = azul d) y = 6 +6 amarilla

4 Soluciones a los ejercicios y problemas 9 Representa las siguientes parábolas, hallando el vértice, algunos puntos próimos a él y los puntos de corte con los ejes. a) y = ( +) b)y = + c) y = +6 d)y = + Pág. a) Vértice: (, 0) Cortes con los ejes: (, 0) Otros puntos(, ), ( 6, ), (, ), (, ) b) Vértice: (, ) Cortes con los ejes: ( 6, 0), (0, 0) Otros puntos:,,, ( ( ) ) c) Vértice: (, 0) Cortes con los ejes: (, 0) Otros puntos: (0, ), (, ), (, ), (, ) d) Vértice: (0, ) Cortes con los ejes: (0, ), (, 0), (, 0) Otros puntos: (, ), (, ), (, ), (, ) y = ( + ) y = + y = + y = + 6

5 Soluciones a los ejercicios y problemas 0 Di cuál es el punto (abscisa y ordenada) donde se encuentra el vértice de las siguientes parábolas señalando, en cada caso, si se trata de un máimo o un mínimo. a) y = b)y = c) y = + d)y = 6 e) y = f)y = + a) b 0 p = = = 0 a = 0 8 y = Vértice en el punto (0, ). Es un mínimo. Pág. b 0 b) p = = = 0 a = 0 8 y = Vértice en el punto (0, ). Es un máimo. b c) p = = = a = 8 y = Vértice en el punto (, ). Es un máimo. b 6 d) p = = = a 6 = 8 y = Vértice en el punto (, ). Es un mínimo. b 0 e) p = = = a 0 = 8 y = 0 Vértice en el punto (, 0). Es un mínimo. f) b p = = = a = 8 y = Vértice en el punto (, ). Es un máimo Representa las parábolas del ejercicio anterior. a) y b) c) y d) y = y = 6 y = y = +

6 Soluciones a los ejercicios y problemas e) y f) Pág. 6 y = y = + Otras funciones Representa gráficamente las siguientes funciones: a) y = + b)y = c) y = d)y = y = y = + y = y = Dibuja la gráfica de las funciones siguientes: a) y = b)y = c) y = d)y = + y = y =

7 Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 7 y = y = + Representa las siguientes funciones haciendo, en cada caso, una tabla de valores. (Ayúdate de la calculadora). a) y = b)y = + c)y = + d)y = 0,7 ( ) 6 0 0, 0,06 6 0,6 +,0, (/) + 8,06, 0,, 6, 0,7 0, 0,6 0,8, 6,6 y = 0 6 y = + y = (/) y = 0,7 8 8 Estudia el dominio de definición de las siguientes funciones y represéntalas gráficamente: a) y = b)y = 7 + c) y = d)y = + + a) Dominio = ] b) Dominio = [, +@) c) Dominio = 0] d) Dominio = [, +@) y = y = + + y = y = 7 +

8 Soluciones a los ejercicios y problemas 6 Resuelto en el libro de teto. Pág. 8 7 Di cuál es el dominio de definición de las siguientes funciones y cuáles son sus asíntotas. Represéntalas gráficamente. a) y = b)y = + + c) y = + d)y = + y = + y = + y = + y = + a) Dominio = Á { } b) Dominio = Á { } Asíntotas: =, y = 0 Asíntotas: =, y = 0 c) Dominio = Á {} d) Dominio = Á {} Asíntotas: =, y = Asíntotas: =, y = PÁGINA 8 8 Asocia a cada gráfica la fórmula que le corresponde: I) y = II) y = III) y = IV) y = a) b) I b) c) 6 d) 6 6 II III IV c) d) a)

9 Soluciones a los ejercicios y problemas 9 Asocia a cada gráfica una de estas fórmulas: I) y = II) y = III) y = + IV) y = + Pág. 9 a) b) 6 c) d) I d) II b) III a) IV c) 0 Asocia a cada gráfica una de estas fórmulas: I) y = II) y =, III) y = 0, IV) y = 0,7 a 6 b 6 c 8 d Di, de cada una de ellas, si es creciente o decreciente. I d) Creciente II b) Creciente III c) Decreciente IV a) Decreciente

10 Soluciones a los ejercicios y problemas a) Representa las funciones y = e y = log. b)comprueba si pertenecen a la gráfica de y = log los puntos siguientes: (, ) (, ( ; 0,) (, ) 7 ) a) Una es la inversa de la otra. y = 0 /9 / 9 Pág. 0 /9 / 9 log 0 y = log b) Se sabe que y = log ï y =. Luego: (,) 8 = 8 log = 8 Sí pertenece., 8 = = 8 log = 8 Sí pertenece. ( ) ( ; 0,) 8 0, = / = 8 log = 0, 8 Sí pertenece. (, ) 8 =? 8 (, ) no pertenece a la gráfica de y = log. Aplica la definición de logaritmo para hallar, sin calculadora: a) log 6 b) log 6 c) log d) log e) log 8 f) log g) log h) log 6 a) log 6 = 8 = 6 = 6 8 = 6 b) log 6 = 8 = 6 = 8 = c) log = 8 = = 8 = d) log = 8 = = / 8 = e) log 8 = 8 = 8 = 8 = f) log = 8 = = 8 = g) log = 8 = = / 8 = h) log 6 = 8 = 6 = 8 =

11 Soluciones a los ejercicios y problemas Calcula la base de los siguientes logaritmos: a) log b = b) log b = c) log b = d) log b = a) log b = 8 b = b = 00 Pág. b) log b = 8 b = 8 b = c) log b = 8 b = 8 b = d) log b = 8 b / = 8 b = 9 P IENSA RESUELVE Resuelto en el libro de teto. PÁGINA 9 Resuelve analítica y gráficamente los siguientes sistemas: y = a) 6 y = + y = b) + y = + y = c) 8 y = y = d) + y = + (/) y = a) 6 y = + Analíticamente Vemos los puntos de corte: 6 = = 0 8 = 0 ± = = ± 6 = 8 y = 9 = 8 y = Hay dos puntos de corte: (, 9), (, ).

12 Soluciones a los ejercicios y problemas Gráficamente Representamos en unos mismos ejes ambas funciones: Pág. y = 6 Puntos de corte con los ejes: 9 (, 9) Eje : 6 = 0 8 ± + 8 ± 7 8 = = = ( ), 0 (,8; 0) 7 = ( ), 0 ( 0,88; 0) Eje : y = 6 8 (0, 6) Vértice:, 7 ( 8 ) y = + Hacemos una tabla de valores: (, ) 9 y = b) + y = + Analíticamente Puntos de corte entre ambas: + = = 0 8 = ± 8 y = Los puntos de corte son: (, 0), (, ). Gráficamente Representamos en unos mismos ejes ambas funciones: y = + Puntos de corte con los ejes: Eje : ± + = 0 8 = = 8 raíz doble: (, 0) Eje : y = 8 (0, ) Vértice: (, 0) y = + Hacemos una tabla de valores: (, ) (, ) 0 (, 0)

13 Soluciones a los ejercicios y problemas y = c) 8 y = Analíticamente 8 = 8 6 = 0 8 ( 6) = 0 Si = 0 8 y = Si = 6 8 y = 6 6 = Solución: = 0, y = ; = 6, y = = 0 = 6 Pág. Gráficamente Representamos cada una de las parábolas. y = 8 Cortes con los ejes: Eje : y = = 0 8 ± 6 ( ) 8 ± 88 = = = = ± (,; 0) ( 0,; 0) Eje : = 0 8 y = 8 (0, ) Vértice: (, ) y = Cortes con los ejes: Eje : y = 0 8 = 0 ± ( ) = = ± (, 0) (, 0) Eje : = 0 8 y = 8 (0, ) Vértice: (, ) y = y = 8 6 y = d) + y = + (/) Analíticamente + = + / 8 / = 0 8 = 0 ± 6 = = ± 6 = / 8 8 = / Si = 8 y = Si = 8 y = 9

14 Soluciones a los ejercicios y problemas Gráficamente Representamos cada una de las parábolas. y = + Cortes con los ejes: Eje : y = = 0 8 ( + ) = 0 Eje : = 0 8 y = 0 8 (0, 0) Vértice:, ( ) y = + / Cortes con los ejes: Eje : y = = 0 6 ± ± 6 = = 8 =,6 8 (,6; 0) =,6 8 (,6; 0) y = + (/) 6 = 0 8 (0, 0) = 8 (, 0) Pág. Eje : = 0 8 y = / 8 8 (0, /) Vértice:, 9 ( ) y = + 6 Comprueba analítica y gráficamente que estos dos sistemas no tienen solución: y = y = a) b) y = y = + y = a) y = RESOLUCIÓN ANALÍTICA Resolvemos el sistema: = 8 = = 0 ± 9 ± = = 8 No hay punto en común 8 No hay solución.

15 Soluciones a los ejercicios y problemas RESOLUCIÓN GRÁFICA Representamos y = Puntos de corte con los ejes: Pág. Eje : = 0 8 = 0 ± + = = ± Eje : y = 8 0, ( ) Vértice: (, ) Representamos y = 8 (, 0) 8 (, 0) 0 y = b) y = + RESOLUCIÓN ANALÍTICA Resolvemos el sistema: = + 8 = ( + )( ) 8 = ( ) 8 = + ± 8 + = 0 8 = = No hay puntos en común. No hay solución. ± RESOLUCIÓN GRÁFICA Representamos y = 0 / / Representamos y = + 0

16 Soluciones a los ejercicios y problemas 7 Resuelve analítica y gráficamente los siguientes sistemas: y = y = + a) + b) y = + y = y = a) + y = + RESOLUCIÓN ANALÍTICA Resolvemos el sistema: = = ± 6 8 ± 0 = = 6 6 0,8 8 y,6,9 8 y,7 0,8,9 Pág. 6 RESOLUCIÓN GRÁFICA Representamos la función y = que tiene + una asíntota en = y otra en y = 0: 0 / Representamos la recta y = + 0 y = + b) y = RESOLUCIÓN ANALÍTICA Puntos de corte: + = 8 + = ( ) 8 + = 0 + ± 96 + = 0 8 = = = ± = 8 8 y = = 8 y = 8 no pertenece a y = + Solución: (8, )

17 Soluciones a los ejercicios y problemas RESOLUCIÓN GRÁFICA Para representar y = + damos valores: Pág Para representar y =, hacemos la tabla de valores: 8 (8, ) 8 Cuál es la ecuación de la función que nos da el perímetro de un cuadrado dependiendo de cuánto mida su lado? la que nos da su área? Dibuja ambas funciones. Si l es el lado del cuadrado, P = l A = l P = l A = l 9 Rocío ha comprado un regalo de cumpleaños para Paz que ha costado 00. Como el resto de los amigos del grupo no han comprado nada, deciden pagar el regalo entre todos. Construye una función que nos dé el dinero que debe poner cada uno dependiendo del número de personas que haya y dibújala. Si van a cenar a un restaurante en el que la comida vale 0, cuál será la función del dinero que tiene que poner cada uno, sin incluir a Paz, dependiendo del número de personas que son? Dibújala en los mismos ejes. Di el dominio de definición de ambas funciones teniendo en cuenta que solo toma valores naturales y suponiendo que el número de amigos no supera 0. Si el número de amigos es, é N, la función que da lo que debe pagar cada uno es y = 00. Si van a un restaurante, entonces la función es y = ( +).

18 Soluciones a los ejercicios y problemas El dominio de definición de ambas funciones es Dom = {,,,,, 6, 7, 8, 9, 0} Pág y y El médico ha puesto a Ricardo un régimen de adelgazamiento y le ha hecho esta gráfica para eplicarle lo que espera conseguir en las semanas que dure la dieta. 80 PESO (en kg) SEMANAS a) Cuál era su peso al comenzar el régimen? b) Cuánto tiene que adelgazar por semana en la primera etapa del régimen? entre la 6. a y la 8. a semana? c) Halla la epresión analítica de esa función. a) Ricardo pesaba 80 kg al comenzar el régimen. b) =,67 kg por semana Entre la seta y octava semana no tiene que adelgazar nada. c) Buscamos la ecuación de cada uno de los tramos: Para 0 Ì Ì 6, la pendiente m = 0 = y n = y = +80 Para 6 < Ì 8, y = 70 Para 8 < Ì, m = y pasa por (, 6) y 6 = ( ) 8 y = +80

19 Soluciones a los ejercicios y problemas Luego, la epresión analítica de esta función será: y = + 80 si 0 Ì Ì 6 70 si 6 < Ì si 8 < Ì Pág. 9 Los gastos anuales de una empresa por la fabricación de ordenadores son: G() = en euros los ingresos que se obtienen por las ventas son: I() = 600 0, en euros Cuántos ordenadores deben fabricarse para que el beneficio (ingresos menos gastos) sea máimo? La función beneficio es: B = I G = 600 0, ( ) 8 B() = 0, El vértice es el máimo: V = 0 = 70 0, Se deben fabricar 70 ordenadores para que el beneficio sea máimo. La gráfica de una función eponencial del tipo y = ka pasa por los puntos (0, ) y (;,6). a) Calcula k y a. b) Es creciente o decreciente? c) Representa la función. a) Si pasa por el punto (0, ) 8 = ka 0 8 k = Si pasa por el punto (;,6) 8,6 = ka 8,6 = a 8 a =, Tenemos la función y = (,) b) Es una función creciente. c) Hacemos una tabla de valores: 0,08,,6,,8 6

20 Soluciones a los ejercicios y problemas La función eponencial y = ka pasa por los puntos (0, ) y (;,8). Calcula k y a y representa la función. y = ka Si pasa por el punto (0, ), entonces: = k a 0 8 = k Si pasa por el punto (;,8), entonces:,8 = k a 8,8 = a 8 a = 0,6 8 a = 0,8 La función es: y = (0,8) Pág. 0 0,906,,,6,8,0 El coste por unidad de fabricación de ciertos sobres disminuye según el número de unidades fabricadas y viene dado por la función: y = 0, a) Qué valores toma la función? b)calcula el coste por unidad y el coste total para 0 sobres. Haz lo mismo para sobres. c) A cuánto crees que se acerca el coste por unidad cuando el número de sobres se hace muy grande? a) toma valores naturales. b) Para 0 sobres: Coste por unidad = 00 = 00, 0 Coste total de 0 unidades = 00 Para sobres: Coste por unidad = = 0, Coste total de unidades = 000 c) El coste por unidad se acerca a 0,.

21 Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 0 Pág. Una casa de reprografía cobra cent. por cada fotocopia. Ofrece también un servicio de multicopia, por el que cobra 0 cent. fijos por el cliché y cent. por cada copia de un mismo ejemplar. Haz, para cada caso, una tabla de valores que muestre lo que hay que pagar según el número de copias realizadas. Representa las funciones obtenidas. Tiene sentido unir los puntos en cada una de ellas? Obtén la epresión analítica de cada función. A partir de cuántas copias es más económico utilizar la multicopista? FOTOCOPIAS MULTICOPIA UNIDADES PRECIO UNIDADES PRECIO PRECIO NÚMERO DE COPIAS No tiene sentido unir los puntos; solo se pueden dar valores naturales. Epresiones analíticas: Fotocopias: y = Multicopias: y = 0 + A partir de 7 copias, es más económico utilizar la multicopista. 6 La altura, h, a la que se encuentra en cada instante, t, una piedra que lanzamos verticalmente hacia arriba con una velocidad de 0 m/s es h = 0t t. a) Haz una representación gráfica. b)di cuál es su dominio de definición. c) En qué momento alcanza la altura máima? Cuál es esa altura? d) En qué momento cae la piedra al suelo? e) En qué intervalo de tiempo la piedra está a una altura superior a metros?

22 Soluciones a los ejercicios y problemas a) 0 b) Dominio de definición = [0, ] c) La piedra alcanza la altura máima a los segundos de haberla lanzado, y es de 0 m. d) A los segundos. e) 0t t = t 0t + = 0 0 t t = t + = 0 t = t + 0t Ó 0 8 Ì t Ì Pág. 7 Representa las siguientes funciones: si < a) f() = b)f() = si < 0 si Ì Ì si Ó 0 si > si < a) f() = si Ì Ì si > La recta y = está definida para < :, 0, La parábola y = definida si Ì Ì, corta al eje en (, 0) y (, 0), y al eje en (0, ), vértice a su vez de la parábola. La recta y = está definida para > y pasa por (, ) y (, ). b) f() = si < 0 si Ó 0 La parábola y =, definida para < 0, pasa por (, ) y (, ). La parábola y =, definida para 0, tiene su vértice en (0, 0) y pasa por (, ) y (, ).

23 Soluciones a los ejercicios y problemas R EFLEIONA SOBRE LA TEORÍA Pág. 8 Di cuál es la pendiente de cada una de las siguientes rectas y di si son crecientes o decrecientes: a) y = 8 b) y + = 0 y + c) = d)y = + ( ) Qué relación eiste entre el crecimiento o decrecimiento de una recta y su pendiente? a) m =. Creciente b) m =. Creciente. c) m = 0. Ni crece ni decrece, es constante. d) m =. Decrece Si la pendiente es positiva, hay crecimiento. Si la pendiente es negativa, hay decrecimiento. 9 Resuelto en el libro de teto. 0 Utiliza el mismo razonamiento que hemos seguido en el ejercicio resuelto anterior y calcula las coordenadas del punto en el que se encuentra el vértice de la parábola y = +7. y = + 7 y = 7 p = / = 6 = 0 8 = 0 = / = 8 y = + 7 = El vértice está en el punto, 9 ( 6 )

24 Soluciones a los ejercicios y problemas Construye y dibuja, en cada caso, parábolas que cumplan las siguientes condiciones: a) Su eje es = y tiene las ramas hacia abajo. b)tiene el vértice en el punto (, ) y tiene la misma forma que y =. c) Tiene el vértice en el origen de coordenadas y pasa por el punto (, 8). Pág. a) La abscisa del vértice es : b = 8 b = a a Si sus ramas van hacia abajo, el coeficiente de debe ser negativo. Cualquier función cuadrática y = a a + c, con a < 0, cumple las condiciones. Por ejemplo: y = + b) Vértice en (, ) 8 b = 8 b = 6a a Tiene la misma forma que y =, luego a =. La función es de la forma y = 6 + c. Pasa por (, ) c = 8 c = 7 Por tanto, y = c) y = a + b + c b = 0 8 b = 0 a Pasa por (0, 0), luego c = 0. Pasa por (, 8) 8 9a = 8 8 a = La parábola es y =.

25 Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA Construye funciones definidas a trozos que cumplan las siguientes condiciones y dibújalas. a) Es continua y está compuesta por dos trozos de rectas. Tiene pendiente 0 en = y pendiente en =. Tiene un máimo en (, 7). b)es continua y está compuesta por un trozo de parábola y un trozo de recta. Tiene un mínimo en (0, 0) y un máimo en (, ). a) Por ejemplo: Pág. f() = 7 si < + si Ó b) Por ejemplo: f() = si Ì + 6 si > Todas las funciones eponenciales de la forma y = a pasan por un mismo punto. Di cuál es y justifícalo. En qué casos la función es decreciente? Todas pasan por el punto (0, ), ya que a 0 =. Si a <, la función es decreciente. Calcula b y c para que el vértice de la parábola y = + b + c esté en el punto (, ). Cuál es su eje de simetría? Cuáles son los puntos de corte con los ejes? Vértice en = 8 b = 8 b = 6a = 6 8 b = 6 a Pasa por (, ) 8 = c 8 c = 0 y = 6 +0 Su eje de simetría es =. Cortes con los ejes: = 0 8 y = 0 8 Punto (0, 0) = 0 8 = 8 No tiene solución, por tanto, no corta al eje. 6 ± 6 0

26 Soluciones a los ejercicios y problemas La parábola y = a + b + c pasa por el origen de coordenadas. Cuánto valdrá c? Si, además, sabes que pasa por los puntos (, ) y (, 6), halla a y b y representa la parábola. c = 0 y = a + b Pág. 6 (, ) 8 = a + b (, 6) 8 6 = 6a + b y = + 7 a = b 8 a = / 6 = 6( b)+b 8 b = 7/ 6 6 Calcula a y b para que la función y = a pase por los puntos (, ) y (, ). b a = b a = b y = a = b a = + b + b = b 8 b = a = 7 Representa gráficamente la función eponencial y =, haciendo uso de una tabla de valores. Cuál es la función inversa o recíproca de y =,? Represéntala en los mismos ejes. La función inversa de y =, es y = log,. 6 0,8 0,,,07 8, 0 6, 8,9 6 8, y = log, 0 y = 8 6 y =,

27 Soluciones a los ejercicios y problemas P ROFUNDIZA Pág. 7 8 Representa las siguientes funciones: si < si < 0 a) f() = b)f() = si Ó 0 si Ó a) b) 9 a) Representa la función y =, donde es el valor absoluto de. si < 0 b) Representa: y = si Ó 0 Compara las dos gráficas, a) y b). a) y b) Son la misma gráfica. 0 Haz la gráfica de las siguientes funciones: a) y = b)y = + a) b)

28 Soluciones a los ejercicios y problemas Aplica la definición de logaritmo para calcular en cada caso: a) log ( ) = b)log (,) = c) log = d)log ( 8) = 0 Pág. 8 a) log ( ) = 8 = 8 = 0 8 = b) log (,) = 8, = 8 = + = c) log = 8 = 8 = d) log ( 8) = = 0 8 = 9 8 = ± Resuelto en el libro de teto. Resuelve estas ecuaciones eponenciales, epresando como potencia el segundo miembro: a) = 8 b) = /8 c) + = d) + = 0, a) = 8 8 = 8 = 8 = 9 8 = ± b) = 8 8 = 8 = 8 = 0 c) + = 8 + = / 8 + = 8 = 8 = d) + = 0, 8 + = ( ) 8 + = ( ) = ( ) 8 = 8 = Sabemos que el lado desigual de un triángulo isósceles mide 6 cm. Llama al otro lado y escribe la ecuación de la función que nos da su área. Represéntala. cm 6 cm 0 0 La altura del triángulo es h = 9. A() = 9

29 Soluciones a los ejercicios y problemas Un móvil que inicialmente llevaba una velocidad de 8 m/s frena con una aceleración de m/s. Escribe la ecuación de la velocidad en función del tiempo y represéntala. v = 8 t Pág. 9 6 Tenemos 00 kg de naranjas que hoy se venderían a 0,0 /kg. Cada día que pasa se estropea kg y el precio aumenta 0,0 /kg. Cuándo hemos de vender las naranjas para obtener el máimo beneficio? Cuál será ese beneficio? Sea t el tiempo, en días. La función que da el precio de las naranjas según transcurren los días es (kilos de naranjas Ò precio de cada kilo): P(t) = (00 t)(0,0 + 0,0t) P(t) = 80 + t 0,0t 0,0t = 0,0t +,60t +80 El máimo de la función está en el punto de abscisa: b a =,60 = 80 0,0 Las naranjas se deben vender, para obtener el máimo beneficio, dentro de 80 días, y se venderán por euros.