PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

Transcripción

1 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA Epermeto aleatoro.- Se llama epermeto aleatoro a todo feómeo cuyos resultados o se puede predecr de atemao, au cuado cada prueba se repta bajo las msmas codcoes. Ejemplos de epermetos aleatoros: - Lazar ua moeda al are - Estudar el seo e la descedeca - Sacar ua carta de ua baraja - Jugar a: la lotería, las quelas, al bgo, a la prmtva, etc. Espaco muestral.- Se llama espaco muestral al cojuto de todos los posbles resultados de u epermeto, y se represeta por E. cara, cruz - S el epermeto es lazar u dado al are: E=,,, 4, 5, 6 Ejemplos:- S el epermeto es lazar ua moeda al are: E= SUCESO. SUCESO ELEMENTAL. SUCESO IMPOSIBLE. SUCESO SEGURO. SUCESO CONTRARIO. Se llama suceso a cada uo de los subcojutos del espaco muestral. E el lazameto de u dado es u suceso sacar par : A=, 4, 6 Se llama suceso elemetal a todo subcojuto utaro del espaco muestral. Sacar par y mayor que 5 e el lazameto de u dado, es u ejemplo de suceso elemetal. Suceso mposble es el que o se produce uca, se le desga por : que se lace ua moeda al are y que o caga, que ua gata haya pardo ua gavota. Suceso seguro es el que se verfca sempre: el día sguete del lues es el martes. Suceso cotraro o complemetaro del suceso A es el que se verfca cuado o ocurre A: Al lazar u dado el suceso cotraro de A= 4 6 A c,, 5.,,, es OPERACIONES CON SUCESOS Sea E ) el cojuto de todos los posbles resultados de u epermeto aleatoro co espaco muestral E. S el epermeto aleatoro es lazar ua moeda al are: E= C F,, P E C F C F ( ),,,,. Se dce que el suceso A está cludo e B, y se escrbe AB, cuado sempre que ocurre A, se verfca B. - E el lazameto de u dado s A= sacar 6 y B= sacar par ; AB. La operacó uó de dos sucesos A y B es el suceso AB, que se dará cuado se dé al meos uo de los dos, es decr, cuado se verfque A o B, o ambos. La operacó terseccó de los sucesos A y B: AB es el suceso que se verfcará cuado ocurra smultáeamete A y B. Dos sucesos A y B so compatbles cuado o se puede dar a la vez, es decr el suceso AB es mposble: AB=. Y dos sucesos A y B so compatbles s se puede dar a la vez: AB.

2 La dfereca de los sucesos A y B, que escrbmos A-B, se da cuado se da A y o se da B. A- B=AB c. Ejemplos: E el epermeto aleatoro trar u dado se cosdera los sucesos: A: sacar par ; B= sacar meor que ; C: sacar múltplo de 5 AB=,, 4, 6, AB=. A-B= 4, 6. Los sucesos A y C so compatbles, así como B y C. Los sucesos A y B so compatbles, ya que AB=. PROPIEDADES DE LA UNIÓN, INTERSECCIÓN Y CONTRARIO. Asocatva: A ( B C) ( A B) C ; A ( B C) ( A B) C. Comutatva: A B B A ; A B B A. Dstrbutva: A ( B C) ( A B) ( A C) ; A ( B C) ( A B) ( A C) 4. De los complemetaros: A A E ; A A c 5. Ivolucó del cotraro: ( A ) 6. Cotraro del suceso seguro e mposble: E ; E 7. Leyes de Morga: ( A B) A B ; ( A B) A B c c A C c c c c c c c c FRECUENCIAS ABSOLUTA Y RELATIVA Sea A u suceso correspodete a u determado epermeto aleatoro. S efectuamos pruebas y represetamos por m el úmero de veces e que ocurre el suceso A e las pruebas, etoces se llama frecueca absoluta del suceso A a m, es decr f a (A)=m. Llamaremos frecueca relatva del suceso A y se deota f r (A)= m. Ejemplo: E el epermeto de lazar u dado se realza 00 pruebas obteedo el sguete resultado: º aparece f a ()=6, f r ()= Propedades de frecueca relatva. 0 f r ( A ). f r ( ) 0 / 0 ; f r ( E). f ( A B) f ( A) f ( B) r r r

3 DEFINICIONES DE PROBABILIDAD Itroduccó al cocepto de probabldad como límte de frecuecas (Ley de los grades úmeros) Jacques Beroull ( ) demostró la llamada ley de los grades úmeros, que eucada de forma seclla dce así: La frecueca relatva de u suceso tede a establzarse e toro a u valor a medda que el úmero de pruebas del epermeto crece defdamete, y a este valor lo llamaremos probabldad del suceso. Ejemplo: Obsérvese la sguete tabla que recoge los resultados obtedos al lazar ua moeda: º de pruebas frecueca relatva de cara Se observa que la frecueca relatva tede a establzarse e toro a. Esta defcó preseta el coveete de ser ua probabldad a posteror, es decr para calcular la probabldad de u suceso hay que realzar u gra úmero de pruebas prevamete, y además se obtee u valor apromado de la probabldad. Defcó clásca de probabldad. Regla de Laplace La defcó de Laplace (749-87) se suele eucar así: La probabldad de u suceso A es el cocete etre el úmero de casos favorables y el úmero de casos posbles. S dcamos la probabldad del suceso A por p(a), esta defcó se puede epresar así: º de casos favorables al suceso A p( A) º de casos posbles Los casos favorables so los elemetos que compoe el suceso A el suceso A. Los casos posbles so todos los resultados del epermeto, es decr todos los elemetos del espaco muestral. A la hora de aplcar esta defcó hay que teer e cueta que los sucesos elemetales tee que ser equprobables (gualmete probables). Ejemplos: E el lazameto de u dado: obteer u )=/6, p(obteer par)=/6 E la etraccó de ua carta de la baraja española: p(obteer u oro)=0/40,p(obteer u rey)=4/40 p(obteer el caballo de copas)=/40 Defcó aomátca de probabldad La defcó clásca de probabldad tee el coveete que todos los sucesos so equprobables. La dea de la aomátca de Kolmogorov (90-987) es cosderar la ítma relacó que este etre el cocepto de frecueca relatva y probabldad, cuado el úmero de pruebas es muy grade y basádose e la ley de los grades úmeros costruye u sstema de aomas sprados e las propedades de las frecuecas relatvas. Se llama probabldad a ua aplcacó que asoca a cada suceso A, u úmero real que llamaremos probabldad de A, y represetaremos por p(a), que cumple los sguetes aomas:. La probabldad de u suceso cualquera es postva o ula: p(a)0.

4 . La probabldad del suceso seguro es gual a la udad: p(e)=. La probabldad de la uó de dos sucesos compatbles es gual a la suma de las probabldades de cada uo de los sucesos: S A y B so compatbles: AB)=p(A)+p(B). Propedades de la probabldad. La probabldad del suceso cotraro de A es gual a uos meos la probabldad del suceso A: p(a c )=- p(a).. La probabldad del suceso mposble es cero: p()=0.. S el suceso A está cotedo e B, etoces p(a) es meor o gual que p(b), es decr: Sí AB p(a) p(b) B 4. Cualquera que sea el suceso A se tee: p(a). 5. S A y B so sucesos compatbles se verfca: p(ab)=p(a)+p(b)-p(ab). A C E A B A B A B PROBABILIDAD CONDICIONADA E ua empresa hay 00 hombres y 00 mujeres, de los hombres fuma 70 y de las mujeres fuma 0. Hombres Mujeres Fuma No fuma p( H F) 70 / 00 p( H / F) 7 / 8 p( F) 80 / 00 p(h)=00/00 p(h/f)=7/8 p(f/h)=7/0 p(f/m)=/0 p(h/o F)=/4 p(m)=00/00 p(m/f)=/8 p(o F/H)=/0 p(o F/M)=9/0 p(m/o F)=/4 Defcó: dados dos sucesos A y B se deoma probabldad codcoada del suceso A respecto del suceso B, y deotamos por p(a/b), al cocete: p( A B) p( A / B) p( B) De esta defcó se deduce : p(ab)=p(a/b) p(b) ; s p( B) 0 SUCESOS DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES 4

5 Dos suceso A y B so depedetes sí p(a/b)=p(a). E caso cotraro se dce depedetes: p(a/b)p(a). S A es depedete de B, també B es depedete de A. Ejemplo: E las etraccoes de las cartas de ua baraja será depedetes las etraccoes co devolucó. PROBABILIDAD COMPUESTA O DE LA INTERSECCIÓN DE SUCESOS S A y B so sucesos depedetes: p(ab)=p(a) p(b). S A y B so sucesos depedetes: p(ab)= p(a) p(b/a)=p(b) p(a/b). Estas dos fórmulas se puede geeralzar para más sucesos. Ejemplo: E la etraccó de dos cartas sucesvas de ua baraja española, cuál es la probabldad de etraer dos reyes? a) S devolver la carta después de la ª etraccó: p(r R )=p(r ) p(r /R )=4/40 /9=/0 b) Devolvédola: p(r R )=p(r ) p(r /R )= p(r ) p(r )=4/40 4/40=/00 TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL Sea A, A,... A u sstema completo de sucesos: A A A E A A j j Sea B u suceso cualquera, etoces: p(b)=p(a )p(b/ A ) Demostracó: p( B) p( B E) p( B ( A )) p( ( B A )) p( B A ) p( A ) p( B / A ) Ejemplo: Ua caja cotee tres moedas P, S, T, la prmera ormal, la seguda tee cara por los dos lados y la tercera está trucada de forma que la probabldad de salr cara es /. Se elge ua moeda al azar y se tra al are; hallar la probabldad de que se obtega cara. p(c)= 8 Teorema de Bayes 5

6 Sea A, A,... A u sstema completo de sucesos: A A A E A A j j Nota: Al sstema completo de sucesos també se le deoma partcó del espaco muestral E. Sea B u suceso cualquera, S A ),, A ),, A ) so o ulas, etoces se verfca: A B) A ) B / A ) A / B) p( B) p( A ) p( B / A ) Notacó: Probabldades cales o a pror: p(a ) Verosmltudes: p(b/a ) Probabldades fales o a posteror: p(a /B) Ejemplo: S e ejemplo ateror de las tres moedas hemos obtedo cara, cuál sería la probabldad de que hubésemos sacado la moeda T. T C) T ) C / T ) / / T / C) C) C) / 8 8 / 99 DISTRIBUCIONES: BINOMIAL Y NORMAL Varable aleatora: Se llama varable aleatora a toda aplcacó del espaco muestral e el cojuto de los úmeros reales. Ejemplo: E el lazameto de dos moedas al are, E={(C,C),(C,X),(X,C),(X,X)}; la varable aleatora "º de caras obtedas" toma los valores: 0,,. Tpos de varables aleatoras Varable aleatora dscreta: es aquella que toma u º fto de valores. Ejemplo: El º de pulsacoes de u efermo, º de avoes que aterrza e u aeropuerto. Varable aleatora cotua: es aquella que puede tomar cualquer valor de u tervalo real. Ejemplo: La temperatura del cuerpo, la velocdad de u automóvl. Varables aleatoras dscretas Fucó de masa de probabldad: es ua aplcacó que asoca a cada valor de la varable aleatora su probabldad p =f( ). Normalmete se represeta así:... p p p... p f( ) p Obvamete se verfca : f( ) p 0 Ejemplo: S cosderamos el epermeto aleatoro de lazar dos dados al are y la varable aleatora " úmero de putos obtedos". Su fucó de probabldad será: 6

7 p /6 /6 /6 4/6 5/6 6/6 5/6 4/6 /6 /6 /6 Fucó de dstrbucó: Sea X ua varable aleatora dscreta, cuyos valores supoemos ordeados de meor a mayor. Llamaremos fucó de dstrbucó de la varable aleatora X a la fucó: F R R F() X ) es decr la fucó de dstrbucó asoca a cada valor de la varable aleatora la probabldad acumulada hasta ese valor. Puede decrse que la fucó de dstrbucó es la traduccó al modelo teórco de las frecuecas relatvas acumuladas de ua varable estadístca. Ejemplo: Sea X la varable aleatora "º de caras obtedas al lazar al are dos moedas". La fucó de probabldad es: 0 s 0 / 4 s 0 Y la fucó de dstrbucó es : F( ) / 4 s s Ejercco: Hacer la represetacó gráfca de la fucó de dstrbucó. Propedades de la fucó de dstrbucó: a) Es acumulatva b) R; F( ) 0 c) Es moótoa crecete: F( ) F( ) d) s ; F( ) 0 s ; F( ) 0 p /4 / /4 Meda, Varaza y Desvacó Típca de ua varable aleatora dscreta Meda: E I p Varaza: VAR ( ) p Desvacó típca: I var aza I p ( ) p p Ejemplo: Cosderemos ua varable aleatora cuya fucó de probabldad es: X 4 5 ) /5 5/5 /5 /5 4/5 7

8 Calculemos la meda, varaza y desvacó típca: p p p /5 /5 /5 5/5 0/5 0/5 /5 /5 9/5 4 /5 /5 48/5 5 4/5 0/5 00/5 47/5 79/5 47 p p LADISTRIBUCIÓN BINOMIAL O DE BERNOUILLI Se llama epermeto de Beroull de pruebas al epermeto aleatoro que verfca las sguetes codcoes: a) E cada prueba sólo so posbles dos resultados, el suceso A y su cotraro A. Al suceso A lo llamaremos éto, ya al cotraro A fracaso. b) El resultado obtedo e cada prueba es depedete de los resultados aterores. c) La probabldad de que ocurra el suceso A o varía durate toda la prueba. Ejemplos: a) El lazameto de ua moeda al are 0 veces. b) Los descedetes de ua determada pareja. Represetaremos por B(,p) a la varable de la dstrbucó bomal, sedo y p los parámetros de dcha dstrbucó. Fucó de Probabldad S llamamos p=p(a) es decr a la probabldad de éto y q=-p a la probabldad de fracaso q=p( A ). Realzamos pruebas del epermeto y deseamos saber la probabldad de obteer r étos e las pruebas. º Cosderemos uo de los casos e los que se obtee r étos e las pruebas. Será el suceso: B A A... A A A... A r etos r fracasos La probabldad de este suceso teedo e cueta la depedeca e pruebas sucesvas es: p(b)=p r q -r º Las maeras posbles de obteer r étos y -r fracasos es el úmero combatoro. r º S represetamos por X la varable aleatora bomal que represeta el úmero de étos obtedos e las pruebas del epermeto, se cocluye: p(obteer r étos)=p(x=r)= p r q -r r Esta epresó recbe el ombre de fucó de probabldad de la dstrbucó bomal. Meda, Varaza y Desvacó Típca de ua Bomal 8

9 Fucó de dstrbucó E p; Var( X) pq; DT pq F R R F( ) P X p q Ejemplos: A) Cuál es la probabldad de que ua famla co 6 hjos tega varoes? 4 6 6! 5 Es ua bomal B(6,/): P 6 4!! 64 Co las tablas P[==0.44 Nota: S tuvésemos ua bomal B(8,0.6) Procederíamos co las tablas de la sguete forma: P X tablas B) U eame tpo test costa de 0 pregutas, cada ua de las cuales tee 4 respuestas, sedo sólo ua de ellas correcta. U alumo tee "prsa" y decde cotestar al azar. Se pde: a) Probabldad de acertar eactamete cuatro pregutas. b) Probabldad de o acertar gua. c) Probabldad de acertar todas. d) Probabldad de acertar al meos cco (probabldad de aprobar) Sol: a) B(0,0.5); X ) b) X=0)=0.056 c) X=0)=0 d) X5)=p(X=5)+p(X=6)+p(X=7)+p(X=8)+p(X=9)+p(=0)=0.078 FUNCIÓN DE DENSIDAD DISTRIBUCIONES CONTINUAS La probabldad e las dstrbucoes cotuas se determa medate fucoes f(), que llamaremos fucoes de desdad, caracterzadas por: a) f() 0, para todo, a b sedo a y b los etremos del campo de esteca de la varable X. b) El área bajo la curva determada por f(), etre a y b, es. Es decr: b f ( ) d a c) La probabldad de que la varable cotua X esté e el tervalo [a,b, vee dada por el área bajo la curva f() y los límtes a y b; es decr: 9

10 Ejercco: 0 0 Comprobar que f( ) 0 0 p( a X b) f( ) d b a es ua fucó de desdad de la varable aleatora X. FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN Como e el caso de la varable aleatora dscreta, la fucó de dstrbucó proporcoa la probabldad acumulada hasta u determado valor de la varable: F R R F( ) p( X ) f( t) dt a La relacó etre la fucó de desdad y la de dstrbucó es F'()=f() Geométrcamete: s la varable toma valores e todo R, la fucó de dstrbucó es el área compredda etre la fucó de desdad, el eje OX desde - hasta. Propedades de la fucó de dstrbucó S el domo de la varable aleatora es todo R a) Es moótoa crecete: F( ) F( ) b) F(+)= c) F(-)=0 NOTA: S a y b so úmeros reales tales que a<b etoces: b a b p( a b) F( b) F( a) f( ) d f( ) d f( ) d MEDIA, VARIANZA Y DESVIACIÓN TÍPICA DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS E X f( ) d var( X) ( ) f ( ) d f( ) d a var( ) Ejemplo: Dada la fucó de desdad de la varable aleatora X: 0 0 f( ) k 0 0 Calcular: a) k para que f sea ua fucó de desdad b) Calcular la fucó de dstrbucó c) p(0'5<<0'75) d) la meda y la desvacó típca 0 k k a) f( ) d od kd od k 0 0 b) 0

11 s <0; F() 0d 0 0 s 0 ; F() od 0 d s >; F() od d etoces F() 0 0 0d c) p( 0' 5 0' 75) F( 0' 75) F( 0' 5) 0' 75 0' 5 0' 5 d) f( ) d d f ( ) d 0 d 0 8 LA DISTRIBUCIÓN NORMAL Ua varable aleatora cotua X sgue ua dstrbucó ormal de parámetros y s verfca: a) la varable aleatora X recorre el tervalo (-,+). b) Tee como fucó de desdad f( ) e ( ) A esta dstrbucó se la deota: N(,) A la vsta de la curva podemos destacar las sguetes característcas:. El domo o campo de esteca se etede a todo R.. Es smétrca respecto a la meda de la dstrbucó.. Posee u mámo e (,f()), dode se stúa també la moda y la medaa. 4. E las abscsas - y + posee sedos putos de fleó. 5. Tee como asítota horzotal y=0. 6. El área compredda por la curva y los límtes del tervalo [-,+ es el 68.6% del total; s el tervalo es [-,+ es el 95.44% del total; y s es [-,+ el área es el 99.74%. LA DISTRIBUCIÓN N(0,) S hacemos =0 y = la fucó de desdad es f ( ) e / E geeral, el área bajo ua curva ormal cualquera N(,) etre los valores +k y +k' sólo depede de k y de k', por tato cocde co el área bajo la ormal N(0,) etre k y k'. Esta cocdeca permte coocer las área bajo ua curva ormal cualquera, coocda ua de ellas, cocretamete la más seclla: N(0,). MANEJO DE LAS TABLAS DE LA N(0,).

12 CASO a) '85)=0'9678 CASO -a)=a)=- a) -'85)=- '85)=-0'9678 CASO ab)=b)-a) '85)='85)-)=0'9678-0'84 CASO 4 CASO 5 -ab)=b)--a)=b)-[-a) -a-b)=-b)--a)=[-b)-[-a)=a)-b). TIPIFICACIÓN DE LA VARIABLE S a ua varable aleatora X, de meda y desvacó típca, la sometemos a la trasformacó de restarle y dvdrla por (llamada tpfcacó de la varable), la varable obteda Z, tee meda 0 y desvacó típca. Es decr: X S X es ua varable aleatora N(,), etoces la varable Z es N(0,). CÁLCULO DE ÁREAS PARA UNA N(,) * Calcular ) e N(8,). ) Z 8 5 ) Z ) Z ) ** Calcular ) e N(8,). 7 7 ) Z ) Z ) Z ) LA NORMAL COMO APROXIMACIÓN DE LA BINOMIAL Teorema de Movre: S X es ua varable co dstrbucó bomal B(,p); etoces la varable Z X p es N(0,) s tede a fto. pq Aú cuado o teda a fto se puede apromar ua bomal a ua N(0,) s p y q so ambos mayores o guales que 5. Cuato mayor sea y p esté más prómo a 0'5, mejor será la apromacó. Ejemplo: Para determar la probabldad de que haya más de 5 pezas defectuosas e ua muestra de 0 pezas, s la probabldad de defectuosa es 0 09; habrá que teer e cueta que se trata de ua bomal B(0,0 09) y hacer el sguete cálculo: que requere el cálculo de 95 sumados. 0 0 p( X 5) ( 0 ' 09 ) ( 0 ' 9 0 ) 6

13 S hacemos la apromacó a la ormal X, N(0 0 09, 0 0'09 0' 9 ) p(x>5) * p(x 5'5 9'9 5 5)=p(Z ) =p(z '87) =0 007 La gualdad () está motvada porque la varable X dscreta es susttuda por la varable X que es cotua, debédose hacer la correccó de cotudad, por la que las probabldades putuales ( de valor 0 para las varables cotuas) so susttudas por probabldades de tervalo del modo sguete: p(x=k)=p(k-0 5X k+0 5) y para otras stuacoes: p(xk)=p(x k+0 5) p(x<k)=p(x k-0 5) p(x>k)=p(x k+0 5) p(xk)=p(x k-0 5)