4. PROPIEDAD DE ÁREAS PLANAS Y LINEAS Centroides de áreas compuestas

Transcripción

1 4. PROPIEDAD DE ÁREAS PLANAS Y LINEAS 4.1. Centroides de áreas compuestas Centros de gravedad de un cuerpo bidimensional Para iniciar, considere una placa plana horizontal (figura 5.1). La placa puede dividirse en n elementos pequeños. Las coordenadas del primer elemento se representan con x1 y y1, las del segundo elemento se representan con x2 y y2, etcétera. Las fuerzas ejercidas por la Tierra sobre los elementos de la placa serán representadas, respectivamente, con _W1, _W2,..., _Wn. Estas fuerzas o pesos están dirigidos hacia el centro de la Tierra; sin embargo, para todos los propósitos prácticos, se puede suponer que dichas fuerzas son paralelas. Por tanto, su resultante es una sola fuerza en la misma dirección. La magnitud W de esta fuerza se obtiene a partir de la suma de las magnitudes de los pesos de los elementos. para obtener las coordenadas x_ y y_ del punto G, donde debe aplicarse la resultante W, se escribe que los momentos de W con respecto a los ejes y y x son iguales a la suma de los momentos correspondientes de los pesos elementales, esto es

2 Si ahora se incrementa el número de elementos en los cuales se ha dividido la placa y simultáneamente se disminuye el tamaño de cada elemento se obtienen, en el límite, las siguientes expresiones: Estas ecuaciones definen el peso W y las coordenadas x_ y y_ del centro de gravedad G de una placa plana. Se pueden derivar las mismas ecuaciones para un alambre que se encuentra en el plano xy (figura 5.2). Se observa que usualmente el centro de gravedad G de un alambre no está localizado sobre este último Centros de gravedad de áreas y líneas En el caso de una placa plana homogénea de espesor uniforme, la magnitud ʌw del pcso de un elemento de la placa puede expresarse como

3 En forma similar, se puede expresar la magnitud W del peso de toda la placa como donde A es el área total de la placa. Si se emplean las unidades de uso común en Estados Unidos, se debe expresar el peso específıco µen lb/ft3, el espesor t en pies y las áreas A y A en pies cuadrados. Entonces, se observa que W y W estarán expresados en libras. Si se usan las unidades del SI, se debe expresar a µ en N/m3, a t en metros y a las áreas A y A en metros cuadrados; entonces, los pesos W y W estarán expresados en newtons. Si se sustituye a W y a W en las ecuaciones de momento (5.1) y se divide a todos los términos entre t, se obtiene Si se incrementa el número de elementos en los cuales se divide el área A y simultáneamente se disminuye el tamaño de cada elemento, se obtiene en el límite Estas ecuaciones definen las coordenadas x y y del centro de gravedad de una placa homogénea. El punto cuyas coordenadas son x_ y y_ también se conoce como el centroide C del área A de la placa (figura 5.3). Si la placa no es homogénea, estas ecuaciones no se pueden utilizar para determinar el centro de gravedad de la placa; sin embargo, éstas aún definen al centroide del área. En el caso de un alambre homogéneo de sección transversal uniforme, la magnitud W del peso de un elemento de alambre puede expresarse como Se debe señalar que en el Sistema Internacional de unidades generalmente se caracteriza a un material dado por su densidad _ (masa por unidad de volumen) en lugar de caracterizarlo por su peso específico _. Entones, el peso específico del material se puede obtener a partir de la relación

4 El centro de gravedad de un alambre coincide con el centroide C de la línea L que define la forma del alambre (figura 5.4). Las coordenadas x y y del centroide de la línea L se obtienen a partir de las ecuaciones 5.4. PRIMEROS MOMENTOS DE ÁREAS Y LÍNEAS La integral _ x da en las ecuaciones (5.3) de la sección anterior se conoce como el primer momento del área A con respecto al eje y y se representa con Qy. En forma similar, la integral _ y da define el primer momento de A con respecto al eje x y se representa con Qx. Así se escribe

5 Si comparamos las ecuaciones (5.3) con las ecuaciones (5.5), se observa que los primeros momentos del área A pueden ser expresados como los productos del área con las coordenadas de su centroide: A partir de las ecuaciones (5.6) se concluye que las coordenadas del centroide de un área pueden obtenerse al dividir los primeros momentos de dicha área entre el área misma. Los primeros momentos de un área también son útiles en la mecánica de materiales para determinar los esfuerzos de corte en vigas sujetas a cargas transversales. Por último, a partir de las ecuaciones (5.6) se observa que si el centroide de un área está localizado sobre un eje coordenado, entonces el primer momento del área con respecto a ese eje es igual a cero. De manera inversa, si el primer momento de un área con respecto a un eje coordenado es igual a cero, entonces el centroide del área está localizado sobre ese eje. Se pueden utilizar relaciones similares a partir de las ecuaciones (5.5) y (5.6) para definir los primeros momentos de una línea con respecto a los ejes coordenados y para expresar dichos momentos como los productos de la longitud L de la línea y las coordenadas x_ y y_ de su centroide. Se dice que un área A es simétrica con respecto a un eje BB_ si para todo punto P del área existe un punto P_ de esa misma área tal que la línea PP_ sea perpendicular a BB_ y dicha línea está dividida en dos partes iguales por el eje en cuestión (fıgura 5.5a). Se dice que una línea L es simétrica con respecto a un eje BB_ si satisface condiciones similares. Cuando un área A o una línea L posee un eje de simetría BB_, su primer momento con respecto a BB_ es igual a cero y su centroide está localizado sobre dicho eje. Por ejemplo, en el caso del área A de la figura 5.5b, la cual es simétriaca con respecto al eje y, se observa que para cada elemento de área da de abscisa x existe un elemento de área da_ que tiene la misma superficie y cuya abscisa es _x. Se concluye que la integral en la primera de las ecuaciones (5.5) es igual a cero y, por tanto, se tiene que Qy _ 0. También se concluye a partir de la primera de las relaciones (5.3) que x 0. Por consiguiente, si un área A o una línea L poseen un eje de simetría, su centroide C está localizado sobre dicho eje. Además, se debe señalar que si un área o una línea posee dos ejes de simetría, su centroide C debe estar localizado en la intersección de esos dos ejes (figura 5.6). Esta propiedad permite determinar de inmediato el centroide de áreas como círculos, elipses, cuadrados, rectángulos, triángulos equiláteros u otras figuras simétricas, así como el centroide de líneas que tienen la forma de la circunferencia de un círculo, el perímetro de un cuadrado, entre otros.

6 Figura 5.7 Figura 5.5

7 Se dice que un área A es simétrica con respecto a un centro O si para cada elemento de área da de coordenadas x y y existe un elemento de área da_ de igual superficie con coordenadas _x y _y (figura 5.7). Entonces, se concluye que ambas integrales en las ecuaciones (5.5) son iguales a cero y que Qx _ Qy _ 0. También, a partir de las ecuaciones (5.3), se concluye que x y 0, esto es, que el centroide del área coincide con su centro de simetría O. En forma análoga, si una línea posee un centro de simetría O, el centroide de la línea coincidirá con el centro O. Se debe señalar que una figura con un centro de simetría no necesariamente posee un eje de simetría (figura 5.7) y que una figura con dos ejes de simetría no necesariamente tiene un centro de simetría (figura 5.6a). Sin embargo, si una figura posee dos ejes de simetría que son perpendiculares entre sí, el punto de intersección de dichos ejes es un centro de simetría (figura 5.6b). La determinación de los centroides de áreas asimétricas y de líneas y áreas que poseen un solo eje de simetría se estudiará en las secciones 5.6 y 5.7. En las figuras 5.8A y 5.8B se muestran los centroides de formas comunes de áreas y de líneas.

8 Placas y alambres compuestos

9 o en forma condensada Estas ecuaciones se pueden resolver para las coordenadas X_ y Y_ del centro de gravedad de la placa.

10 Si la placa es homogénea y de espesor uniforme, el centro de gravedad coincide con el centroide C de su área. La abscisa X_ del centroide del área puede determinarse observando que el primer momento Qy del área compuesta con respecto al eje y puede expresarse como el producto de X_ con el área total y como la suma de los primeros momentos de las áreas elementales con respecto al eje y (figura 5.10). La ordenada Y_ del centroide se encuentra de forma similar, considerando el primer momento Qx del área compuesta. Así, se tiene Estas ecuaciones proporcionan los primeros momentos del área compuesta o pueden utilizarse para obtener las coordenadas X_ y Y_ de su centroide. Se debe tener cuidado de asignarle el signo apropiado al momento de cada área. Los primeros momentos de áreas, al igual que los momentos de las fuerzas, pueden ser positivos o negativos. Por ejemplo, un área cuyo centroide está localizado a la izquierda del eje y tendrá un primer momento negativo con respecto a dicho eje. Además al área de un agujero se le debe asignar un signo negativo (fıgura 5.11). De manera similar, en muchos casos es posible determinar el centro de gravedad de un alambre compuesto o el centroide de una línea compuesta dividiendo al alambre o a la línea en elementos más simples (véase problema resuelto 5.2).

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12 Determinación de centros de gravedad por integración

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17 4.2. Momento de primer orden por integración

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20 4.3. Momento de segundo orden por áreas simples Para el perfil que se muestra en la figura, cuyas dimensiones son y a = 100 mm, b = 180 mm y R = 240 mm, a) Calcular los momentos de segundo orden I x, I y e I xy. b) Calcular los momentos principales de inercia en el punto O. a O b R x c) Calcular el ángulo que forman los ejes principales de inercia OUV con los ejes OXY. Dibujar los ejes principales de inercia. a) Para calcular los momentos de segundo orden de la superficie completa consideramos las mismas figuras que en el ejemplo anterior y buscamos sus momentos en las tablas. Dado que las cantidades en mm 4 serían muy grandes, pasaremos las unidades a cm. y R a O x Los momentos de segundo orden del triángulo son: I x1 = ar 3 /12 = (10 cm) x (24 cm) 3 / 12 = cm 4 I y1 = Ra 3 /12 = (24 cm) x (10 cm) 3 / 12 = 2000 cm 4 I xy1 = a 2 R 2 /24 = (10 cm) 2 x (24 cm) 2 / 24 = 2400 cm 4 y Los momentos de segundo orden del rectángulo son:

21 O b x I x2 = br 3 /3 = (18 cm) x (24 cm) 3 / 3 = cm 4 R I y2 = Rb 3 /3 = (24 cm) x (18 cm) 3 / 3 = cm 4 I xy2 = b 2 R 2 /4 = (18 cm) 2 x (24 cm) 2 / 4 = cm 4 Los momentos de segundo orden del sector y yc circular son: O R x xc I x3 = πr 4 /16 = π x (24 cm) 4 / 16 = cm 4 Para calcular el momento de segundo orden con respecto al eje y, tenemos que buscar en las tablas el correspondiente a un eje que pase por el centro de masas y después hay que aplicar el teorema de Steiner. I yc3 = (πr 4 /16) (4R 4 /9π) = (π x (24 cm) 4 /16) (4 x (24 cm) 4 / 9π) = cm 4 Para aplicar el teorema de Steiner usamos los datos del ejemplo anterior, x CM3 = mm = cm y CM3 = mm = cm A 3 = mm 2 = cm 2 I y3 = I yc3 + (x CM3 ) 2 A 3 = = cm 4 + ( cm) 2 x ( cm 2 ) = cm 4 Para calcular el momento mixto de segundo orden, tenemos que proceder de la misma forma. I xyc3 = (9π 32)R 4 /72π = (9π 32) x (24 cm) 4 / 72π = cm 4 Ixy3 = Ixyc3 + xcm3 ycm3 A3 = = cm 4 + ( cm) x ( cm) x ( cm 2 ) = cm 4 Los momentos de segundo orden de la superficie completa serán la suma de los correspondientes a cada parte, I x = I x1 + I x2 + I x3 = (11520 cm 4 ) + (82944 cm 4 ) + ( cm 4 ) = cm 4 I y = I y1 + I y2 + I y3 = (2000 cm 4 ) + (46656 cm 4 ) + ( cm 4 ) = cm 4 Ixy = Ixy1 + Ixy2 + Ixy3 = = ( 2400 cm 4 ) + (46656 cm 4 ) + ( cm 4 ) = cm 4 b) Para calcular los momentos principales de inercia utilizamos las expresiones correspondientes: I R = (I x I y )/2 = ( cm cm 4 ) / 2 = cm 4 I S = (I x + I y )/2 = ( cm cm 4 ) / 2 = cm 4 I max = I S + [(I R ) 2 + (I xy ) 2 ] 1/2 =

22 = cm 4 + [( cm 4 ) 2 + ( cm 4 ) 2 ] 1/2 = cm 4 I min = I S [(I R ) 2 + (I xy ) 2 ] 1/2 = = cm 4 [( cm 4 ) 2 + ( cm 4 ) 2 ] 1/2 = cm 4 c) Y el ángulo que forman los ejes principales con los ejes dados, es 2θ p = tg -1 ( I xy / I R ) = tg -1 ( / ) = º θ p = (51.675º) / 2 = º v y u a O b R x Para comprobar si el eje u que forma un ángulo de º con el eje x corresponde al eje principal de momento máximo o mínimo, podemos usar otra de las expresiones: I x' = I S + I R cos 2θ p I xy sen 2θ p = = ( ) cos(51.675º) ( ) sen (51.675º) = = cm 4 Que corresponde al valor de I min. Podríamos haber calculado los momentos principales mediante esta expresión en lugar de las otras. Para encontrar el otro momento principal bastaría sustituir en la última expresión el ángulo correspondiente al otro eje: θ p + 90º = º. Para el perfil que se muestra en la figura, sabiendo que R mide 0.5 m, calcular los momentos de segundo orden, I u, I v e I uv, respecto a los y ejes Auv. A R u Para calcular los momentos de segundo orden de la superficie, consideramos las dos figuras que se O x encuentran en las tablas: un cuadrado y un cuarto de v círculo. Podemos calcular los momentos de segundo orden de cada una de estas figuras con respecto a los ejes Auv (mediante el teorema de Steiner) y restarlos después para obtener los momentos de la superficie del problema. De una forma más sencilla, podemos calcular los momentos de la superficie con respecto a los ejes Oxy y aplicar después el teorema de Steiner para encontrar los momentos con respecto a los ejes Auv.

23 Los momentos de segundo orden del cuadrado, con respecto a los ejes Oxy son: y O x I x1 = RR /3 = (0.5 m) / 3 = m I y1 = R 3 R/3 = (0.5 m) 4 / 3 = m 4 I xy1 = R 2 R 2 /4 = (0.5 m) 4 / 4 = m 4 y O x Los momentos de segundo orden del sector circular son: I x2 = πr 4 /16 = π x (0.5 m) 4 / 16 = m 4 I y2 = πr 4 /16 = π x (0.5 m) 4 / 16 = m I xy2 = R /8 = (0.5 m) / 8 = m Dada la simetría de las figuras, encontramos Ix1 = Iy1 y también I x2 = I y2, por lo que I x = I y, como era de esperar. Los momentos de segundo orden de la superficie completa respecto a los ejes Oxy, serán la diferencia entre los correspondientes a cada parte, I x = I y = I x1 I x2 = ( m 4 ) ( m 4 ) = m 4 I xy = I xy1 I xy2 = ( m 4 ) ( m 4 ) = m 4 Ahora tenemos que aplicar el teorema de Steiner para encontrar los momentos con respecto a los ejes Auv. Para ello necesitamos las coordenadas del centro de masas de la superficie problema con respecto a los y yc nuevos ejes Auv. Podemos obtener A u fácilmente este dato a partir de sus coordenadas con respecto a los ejes Oxy xc calculadas en un problema anterior (problema 1.3). x En el sistema Oxy, x G = y G = m. O x G Las coordenadas de este punto en el sistema Auv serán: v u G = (R x G ) = ( ) = m v G = R x G = = m La coordenada v G es positiva porque la flecha del eje indica que se toma hacia abajo el sentido positivo en este sistema de referencia. También necesitaremos el area de la superficie, calculada en el problema 1.3. A = m 2. Finalmente, aplicamos el teorema de Steiner. Primero una vez para ir a un sistema que pase por el centro de masas y después otra para ir al sistema Auv. I x = I xc + (y G ) 2 A I xc = I x (y G ) 2 A = ( x 0.054) = x 10-4 m 4

24 I y = I yc + (x G ) 2 A I yc = I y (x G ) 2 A = ( x 0.054) = x 10-4 m 4 I xy = I xyc + x G y G A I xyc = I xy x G y G A = = (0.387 x x 0.054) = x 10-4 m 4 Ya podemos pasar al sistema Auv. Debemos tener en cuenta que hay que cambiar el signo de I xyc porque el eje v tiene definido el sentido positivo de forma opuesta al eje yc. I u = I xc + (v G ) 2 A = x ( x 0.054) = m 4 I v = I yc + (u G ) 2 A = x ( x 0.054) = m 4 I uv = I xyc + u G v G A = ( x 10-4 ) + (0.113 x ( 0.113) x 0.054) = 4.22 x 10-4 m 4 Obviamente, dada la simetría de la superficie, volvemos a encontrar I u = I v. Para el perfil que se muestra en la figura, donde la longitud L mide 1.5 m, a) Calcular los momentos de segundo orden I x, I y e y I xy. b) Calcular los momentos principales de inercia en el L punto O. c) Dibujar el círculo de Mohr correspondiente. L O L L x a) Para calcular los momentos de segundo orden de la superficie completa consideramos tres figuras: un rectángulo, un cuarto de círculo y un triángulo, y buscamos sus momentos en las tablas. Los momentos de segundo orden del rectángulo son: I x1 = 2L(L) 3 /3 = 2 x (1.5 m) 4 / 3 = m 4 I y1 = L(2L) 3 /3 = 8 x (1.5 m) 4 / 3 = 13.5 m 4 I xy1 = (2L) 2 (L) 2 /4 = 4 x (1.5 m) 4 / 4 = m 4 Los momentos de segundo orden del sector circular son:

25 I x2 = π(l) 4 /16 = π x (1.5 m) 4 / 16 = m 4 I y2 = π(l) 4 /16 = π x (1.5 m) 4 / 16 = m 4 I xy2 = (L) 4 /8 = (1.5 m) 4 / 8 = m 4 Los momentos de segundo orden del triángulo son: Para calcular el momento de segundo orden con respecto al eje x, tenemos que buscar en las tablas el correspondiente a un eje que pase por el centro de masas, xc. I xc3 = 2L(L) 3 /36 = 2 x (1.5 m) 4 / 36 = m 4 Para aplicar el teorema de Steiner necesitamos las coordenadas del centro de masas y el area del triángulo I x3 = I xc3 + (y G3 ) 2 A 3 = (0.281 m 4 ) + (2 m) 2 x (2.25 m 2 ) = m 4 Para calcular el momento de segundo orden con respecto al eje y, no es necesario aplicar Steiner, sino la expresión de las tablas, directamente. I y3 = L(2L) 3 /12 = 8 x (1.5 m) 4 / 12 = m 4 Para calcular el momento mixto de segundo orden, volvemos a proceder de la misma forma. I xyc3 = (2L) 2 (L) 2 /72 = 4 x (1.5 m) 4 / 72 = m 4 I xy3 = I xyc3 + x G3 y G3 A 3 = ( m 4 ) + (1 m) x (2 m) x (2.25 m 2 ) = m 4 Los momentos de segundo orden de la superficie completa se obtienen sumando los correspondientes al rectángulo y el triángulo y restando los del cuarto de círculo,

26 I x = I x1 I x2 + I x3 = (3.375 m 4 ) (0.994 m 4 ) + (9.281 m 4 ) = m 4 I y = I y1 I y2 + I y3 = (13.5 m 4 ) (0.994 m 4 ) + (3.375 m 4 ) = m 4 I xy = I xy1 I xy2 + I xy3 = (5.063 m 4 ) (0.633 m 4 ) + (4.219 m 4 ) = m 4 b) Para calcular los momentos principales de inercia utilizamos las expresiones correspondientes: I R = (I x I y )/2 = ( m m 4 ) / 2 = m 4 I S = (I x + I y )/2 = ( m m 4 ) / 2 = m 4 I max = I S + [(I R ) 2 + (I xy ) 2 ] 1/2 = (13.772) + [( 2.110) 2 + (8.649) 2 ] 1/2 = m 4 I min = I S [(I R ) 2 + (I xy ) 2 ] 1/2 = (13.772) [( 2.110) 2 + (8.649) 2 ] 1/2 = m 4 Y el ángulo que forman los ejes principales con los ejes dados, es θ p = (1/2) tg -1 ( I xy / I R ) = (1/2) tg -1 ( / 2.110) = 38.14º c) Para dibujar el círculo de Mohr, sólo necesitamos los valores de I x, I y e I xy. Seguiremos los siguientes pasos: Trazamos un sistema de ejes y ponemos las escalas correspondientes a los momentos I x, I y en el eje de abscisas e I xy en el eje de ordenadas. I xy (m 4 ) I x, I y (m 4 ) -10 Representamos los puntos A (I x, I xy ) y B (I y, I xy ), que en este caso corresponden a A (11.662, 8.649) y B (15.881, 8.649). A continuación unimos estos dos puntos mediante una linea recta. El punto de esta linea que corta el eje de abscisas será el centro del círculo de Mohr (C).

27 I xy (m 4 ) 10 A I x, I y (m 4 ) C -10 B Trazamos un círculo con centro en el punto C y con la distancia AC como radio. I xy (m 4 ) 10 A C 20 I x, I y (m 4 ) -10 B Este círculo corta el eje de abscisas en dos puntos. El más próximo al origen corresponde al momento mínimo, I min, y el más lejano al momento máximo, I max. Para conocer sus valores, gráficamente, bastará con leer su valor en las escalas graduadas de los ejes.

28 I xy (m 4 ) Imin Imax I x, I y (m 4 ) -10 Para este caso, podemos ver que I min 5 m 4 e I max 22.8 m 4, en buen acuerdo con los valores obtenidos matemáticamente I min = m 4 e I max = m 4

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