APROXIMACIÓN NUMÉRICA AL CÁLCULO DEL ÁREA BAJO LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN MEDIANTE RECTÁNGULOS INSCRITOS

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1 APROXIMACIÓN NUMÉRICA AL CÁLCULO DEL ÁREA BAJO LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN MEDIANTE RECTÁNGULOS INSCRITOS Sugerecas para que mparte el curso Ha llegado el mometo e que es coveete resolver ejerccos aplcado la apromacó umérca como u método geeral para calcular el área bajo ua curva y posterormete arrbar al Teorema udametal del Cálculo para arrbar al cocepto de tegral. Es muy mportate hacer éass etre los alumos, que este es u proceso to. Coceptos clave. Asocar el método de apromacó umérca para calcular u área co u proceso to. 5. Apromar el área bajo ua curva utlzado sumas de áreas. a a a a... a, sedo u etero postvo 7. a b a b 8. k a k a, sedo k ua costate k k Udad La Itegral deda - 5

2 Ahora, os teresa evaluar el área A de ua regó lmtada por el eje X, la gráca de ua ucó o egatva y = deda e certo tervalo ab, y las rectas = a y = b. Icemos e partcular co ua regó e el plao que esté lmtada por el eje X, dos rectas vertcales = a y = b y la gráca correspodete a, ua ucó cotua y o egatva como se muestra e la gura sguete. y = a b Sugerecas para que mparte el curso. Sugerr al grupo ormule propuestas de cómo obteer el área de esta superce, dscutrlas co ellos e vtarlos a leer documetos sobre éste tema ates de car el desarrollo sguete. - Udad La Itegral Deda

3 Procedmeto Dvdr el tervalo cerrado a, b e partes sedo u etero postvo b a o subtervalos, todos de la msma logtud, e este caso. De tal maera que tedremos putos o,,,,...,, sedo 0 a, b y además la dstaca b a etre dos putos cosecutvos es, dode =,,,,. La logtud de cada subtervalo la podemos deotar també por b a etoces, o be Por lo que 0 a, a, a...,. a Icar dvdedo el área e partes, y = = a = b Co la dvsó del tervalo a, be los subtervalos, es posble costrur rectágulos cuya base mda y cuya altura es la ordeada correspodete a u, que correspode a u valor mímo de etre y. Udad La Itegral deda - 7

4 - 8 Udad La Itegral Deda Por lo tato el área de cada rectágulo será u A Sumado las áreas de cada rectágulo tedremos u u u u u... S aumetamos el úmero de dvsoes del tervalo b a, y sumamos las áreas de los rectágulos resultates, tedremos ua apromacó mejor al área buscada. = a = b y =

5 y = = a = b E esta orma de ubcar los rectágulos, todos está scrtos a la gura y la suma de las áreas de todos los rectágulos es meor que el área buscada. Este método recbe el ombre de sumas erores pues estamos apromádoos al área buscada medate ua suma eror. Cuado hacemos la dvsó del tervalo e u úmero muy grade de rectágulos es cada vez más pequeño, de hecho podríamos cosderar que el valor tede a cero, por cosguete podríamos obteer el área buscada obteedo el límte de la sumatora de los rectágulos cuado tede a cero. Alím 0 u El supoer que tede a cero es equvalete a cosderar que tede a to y la sumatora la podríamos escrbr como A lím u Es dstto elegr o a la hora de obteer u e la sumatora. Por cosguete, para obteer el área buscada habremos de obteer el límte ateror. Udad La Itegral deda - 9

6 Para compreder mejor estos coceptos veamos alguos ejemplos Ejemplo Área bajo ua recta Obteer el área lmtada por la recta = 5 y 5, el eje X y las rectas = -, Dvdedo el tervalo, e partes cada ua de ellas tee u acho de 7,,,..., 0 Como la ucó es decrecete, la altura del -ésmo rectágulo será: - 0 Udad La Itegral Deda

7 y el área para dcho rectágulo la podemos escrbr como:, pero epresó ateror y obteemos 7, susttumos e la Ahora evaluemos la suma de las áreas de todos los rectágulos Para obteer el valor de esta suma cosderemos los coceptos clave 5, y 7 de la sumatora. Etoces, aplcado esos coceptos clave uestra suma será Falmete, para obteer el área buscada evaluamos el límte. A lím lím El valor del área buscada será etoces A.5 udades cuadradas. Sugerecas para que mparte el curso E realdad para el cálculo del área se pudo utlzar smplemete e lugar de y el resultado es eactamete el msmo. Ivtar a los alumos a comprobarlo. També puede vercar ellos el resultado obteedo el área del trapeco ormado, usado las órmulas de Geometría Plaa. Udad La Itegral deda -

8 Ejemplo : Obteer el área de la superce lmtada por el eje X, las rectas = -.5, = y la curva y 5. Al dvdr el tervalo.5, e subtervalos, cada uo tee u acho.5.5. Además.5,.5,.5, Como 5, la altura del -ésmo rectágulo es: Udad La Itegral Deda

9 Susttuyedo el valor teemos El área correspodete será ahora: A.5 Obtegamos ahora, la suma de las áreas de todos los rectágulos AI Aplquemos ahora el límte cuado tede a to a esta últma catdad A lím u 8 Icar u dálogo co los alumos para cometar s ésta área es posble obteerla co las órmulas de Geometría plaa. Udad La Itegral deda -

10 Ejercco 9 Utlzar el método de sumas erores para obteer el área de la superce lmtada por:. La curva y, el eje X y las rectas = y =.. La curva y = +, el eje X y las rectas = - y =.. La curva y = y las rectas y = 0, = y =.. Obté el área de la superce lmtada por la curva y 5, el eje X y las rectas = - y =. Prmeramete trazar la gráca correspodete y vercar que es correcta. El área total debe ser A= - Udad La Itegral Deda

11 MÉTODO DE SUMAS SUPERIORES Propóstos Obteer alguas áreas medate sumas superores Sugereca para que mparte el curso Supogamos que ahora, e lugar de dbujar rectágulos scrtos, estos será crcuscrtos. y = a b Ahora la altura de cada rectágulo es la ordeada correspodete a u, que correspode a u valor mámo de la ucó etre y. La suma de los rectágulos así mostrados es ahora mayor que el área de la superce buscada y os apromaremos a este valor medate u valor superor, por eso este método lleva el ombre de sumas superores. Udad La Itegral deda - 5

12 y = a b Sugereca para que mparte el curso Sugermos revsar co los alumos la solucó de los sguetes ejemplos y dscutr las partculardades que preseta. EJEMPLO Obteer el área de la superce lmtada por la curva = 0, = y el eje X y, las rectas Dbujemos prmero la gráca de esta curva y las rectas - Udad La Itegral Deda

13 Udad La Itegral deda - 7 Dvdmos el tervalo, 0 e subtervalos cada uo co u acho a b,...,,, 0 0. E la gura se muestra uo de los rectágulos. La altura del -ésmo rectágulo será: Y el área correspodete será: Ahora obteemos la sumatora de las áreas

14 Falmete el área buscada se obtedrá al evaluar el límte: A lím u Sugereca para que mparte el curso Recalcar a los alumos que a al de cuetas el método de sumas superores se puede aplcar de la msma maera que el método de sumas erores para obteer u área. EJEMPLO Obteer el área de la superce lmtada por la curva y 5, el eje X y las rectas = - y =. - 8 Udad La Itegral Deda

15 Prmeramete mostramos la gráca correspodete, verca que es correcta. y= E la gráca també se muestra u rectágulo crcuscrto. Completa los espacos e blaco. Al dvdr el tervalo, e subtervalos cada uo tee u acho de completa dode haga alta,,..., 0, la altura del -ésmo rectágulo será El área del -ésmo rectágulo será A A 8 por lo tato la suma de las áreas de los rectágulos la calculamos como: Udad La Itegral deda - 9

16 - 0 Udad La Itegral Deda A El total de la suma debe ser Ahora aplquemos el límte cuado tede a to A= 8 5 lím lím