Control Automático. Compensadores de adelanto en el dominio de la frecuencia
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- Alba Tebar Ramos
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1 Control Automático Compensadores de adelanto en el dominio de la frecuencia
2 Contenido Introducción Estrategia Ecuaciones del compensador de adelanto Cálculo de un compensador de adelanto para corrección simultánea del margen de fase y del ancho de banda Ejemplos y ejercicios
3 Introducción Los métodos corrientes de diseño implican realizar iteraciones o probar varios compensadores, evaluar sus resultados y seleccionar el más adecuado. Se pueden establecer ecuaciones para la ganancia y fase que deben ser aportadas por los compensadores es a una frecuencia c particular a y luego resolver los sistemas de ecuaciones para obtener de un solo paso el compensador de adelanto requerido.
4 Estrategia Según la estrategia de cálculo, el compensador de adelanto es el último en ser calculado después de haber corregido el error de estado estacionario. Para corregir el ancho de banda y el margen de fase en un solo paso, se tienen que satisfacer dos condiciones: un adelanto de fase y una ganancia a una frecuencia específica Ya que existe interacción entre los diferentes parámetros: polo, cero y atenuación o ganancia, existirá solamente un compensador de adelanto que pueda satisfacer simultáneamente tales condiciones
5 Corrección del ancho de banda El ancho de banda se pude corregir utilizando: Una ganancia estática Aumenta o disminuye el ancho de banda; aunque afecta el margen de ganancia. Un compensador de adelanto Puede aumentar el ancho de banda; además aumenta en margen de ganancia Una combinación de ganancia estática + compensador de adelanto Utilizada si el compensador de adelanto escogido no es capaz de llevar el ancho de banda al valor deseado
6 Corrección del margen de fase El margen de fase se corrige con un compensador de adelanto El compensador de adelanto utilizado tiene ganancia mitad (0*log 10 b/a [db] a la frecuencia media. Efectos: La frecuencia de cruce de ganancia se desplaza hacia valores mayores (derecha El ancho de banda aumenta En margen de fase cambia, usualmente empeora Se debe de utilizar un compensador cuyo aumento de fase a la frecuencia media sea: máx. > Aumento de fase deseado + pérdida de fase debida al compensador + margen de seguridad
7 Resumen de fórmulas del compensador de adelanto (1 ( ( ( lim ( lim a j b a b j K b a s b s K LEAD j LEAD j (1 ( b j b a b s a j s j s * tan a ; max * tan b b a b a b m a b m b
8 Gráficas de Bode del compensador de adelanto 0 Diagram a de Bode a/b=0.1 Magnitud (db a/b=0. a/b=0.3 a/b= a/b=0. a/b=0.1 Fase (d deg 30 a/b=0.3 a/b= Frecuencia normalizada = w/a (rad/sec
9 Gráfica de máx 90 Ángulo agregado por un compensador de adelanto Se puede agregar fácilmente unos 70 máx [ ] relación a/b
10 Ecuaciones Partimos del compensador de adelanto de primer orden con ganancia unitaria a = 0 K LEAD 1 ( j j z z (1 ( ( z j j ; 1 ( j p p (1 j 1 j p Con = 1/p, = p/z El ángulo de fase del compensador ( 1 1 tan ( tan (
11 Ecuaciones ( La ecuación del ángulo puede reescribirse, utilizando identidades trigonométricas generales, como: ( tan 1 1( Evaluando a la frecuencia de cruce de ganancia c la tangente p es: c c p tan( ( c 1( c Y la magnitud M (en db del compensador expresada como número real c es: c 10 M 1 ( 10 c 1 ( c
12 Ecuaciones (3 Despejando c de ambas ecuaciones anteriores y resolviendo las ecuaciones simultáneas ( p c 1 α (*p *c ( p *c c c 0 Luego resolviendo para con la condición ió c p 1 sustituyendo el valor de obtenemos 1 c 1 c c
13 Cálculo del compensador de adelanto con ganancia unidad a Defina la frecuencia de cruce de ganancia c requerida, que garantice que se cumple la especificación de ancho de banda BW. (BW se lee entre -6dB y -7.5dB. b Defina en margen de fase MF deseado a la frecuencia de cruce de ganancia requerida, según la especificación de sobreimpulso. MF 100
14 Cálculo del compensador de adelanto con ganancia unidad ( c Determine la fase m, ( m > 0, que desea aumentar y tomando en cuenta que existe incertidumbre en la lectura del gráfico, sobrecompense con un pequeño margen de seguridad (3 ó 4. Si el ángulo requerido es > 70, puede ser necesario usar hasta un compensador doble. d Luego haga m MF deseado MF p tan( m C MSeg
15 Cálculo del compensador de adelanto con ganancia unidad (3 e Encuentre el margen de ganancia MG en db (MG > 0 a la frecuencia c para que la curva de magnitud cruce por cero a esta frecuencia f Luego encuentre la ganancia c, en números reales, que debe ser aportada por el compensador de adelanto a la frecuencia de cruce de ganancia definida c. MG c 10 c 10 g Garantice, para un compensador de orden 1, que las raíces sean finitas verificando que: c p 1
16 Cálculo del compensador de adelanto con ganancia unidad (4 h Resuelva para y tome el valor positivo, (ya que es una ganancia, como solución de ( p c 1 α (*p *c ( p i Encuentre la constante de tiempo *c c c c c c j Escriba el compensador de adelanto como ( 1 K ( s LEAD s ; 1 ( s 1
17 Ejemplo 1: Descripción Dado el sistema cuya gráfica de Bode se muestra 5 G ( s H ( s s( s 1( s 3 H (s s 1 Haga que el margen de fase sea al menos de 45 a la frecuencia de rad/s
18 Ejemplo 1: Diagrama de Bode 60 Diagram a de Bode Magnitud (db MG = 10.dB -135 g Fase (de -180 MF = 3.4 MF = Frecuencia [rad/s] (rad/sec
19 Ejemplo 1: Cálculos La ganancia requerida a c = rad/s es MG = 10.dB y el margen de fase a rad/s será = -7. Usando 3.15 como margen de seguridad d tenemos 45 ( m Con p = tan ( m = y c = 10 (MG/10 = 10.4, se verifica que (c > p + 1, queda entonces: ( α (4.8 ( Resolviendo para y tomando la raíz positiva α
20 Ejemplo 1: Cálculos Calculamos la constante de tiempo del polo 1 1 c c c Y finalmente el compensador de adelanto K LEAD K LEAD s 1 (10.138* ( s s ( s ( s ( s 6.7
21 Ejemplo 1: Resultados 40 Diagrama de Bode 0 0 Magnitud (db Original Compensado Compensador 90 Frecuencia;Fa ase (deg MF Frecuencia [rad/s] (rad/sec
22 Ejemplo 1: Análisis La frecuencia de cruce de ganancia c es de rad/s como se pidió; la ganancia requerida de 10. db, fue proporcionada por el compensador de adelanto Se cumple el margen de fase pedido más el margen de seguridad; y todo ese adelanto de fase fue proporcionado por el compensador de adelanto a la frecuencia c = rad/s En este caso, de casualidad, la combinación de ambas, la ganancia y el adelanto de fase a la frecuencia c, se cumplen a aproximadamente la frecuencia media del compensador.
23 Ejemplo : Descripción Dado el sistema G ( s H ( s 4 s 6 H ( s 1 ss ( ( cuya gráfica de bode se muestra en la siguiente figura Haga que el margen de fase sea al menos de 60 a 3 rad/s
24 Ejemplo : Compensador de adelanto MG = rad/s MF 3 rad/s = = 55 m = 0 p = 1.48 c = Cumple: c > p Mag gnitud (db Diagrama de Bode Gm = 1 db (at 3.46 rad/sec, Pm = 38.1 deg (at 1.54 rad/sec MG =9.6dB MG Fase (d eg MF K lead ( s ( s ( s MF = Frecuencia [rad/s] (rad/sec
25 Ejemplo : Resultados Diagrama de Bode Original Compensador Compensado Magnitud (db B Fase (d deg MF= Frecuencia (rad/s
26 Ejemplo : Análisis Se logró dimensionar el compensador que produce simultáneamente un margen de fase de +60 a la frecuencia escogida de 3 rad/s (relacionada con el ancho de banda. El margen de fase original de 7 fue llevado a +60 por el compensador de adelanto calculado El margen de seguridad utilizado de fue suficiente para que el resultado fuese satisfactorio. Si se obtienen sin demasiados errores los datos de MF y MG a la frecuencia escogida, el cálculo produce directamente un compensador adecuado.
27 Ejercicio Sintetice un compensador de adelantoatraso para el ejemplo que haga que el sistema tenga una respuesta con: Sobreimpulso 1% +/- 5% Error de estado estacionario menor al 5% Tiempo de subida menor a 0.15s
28 Ejercicios 1. Encuentre la forma de calcular un compensador doble cuando el ángulo a aumentar sobrepasa unos 70 o cuando no se satisface que c p 1. Calcule un compensador de adelanto para la planta dada en el ejemplo 1 que satisfaga: Margen de fase 60 a c = 3 rad/s 3. Haga que el sistema cuya gráfica de Bode se muestra en la página siguiente tenga: e ss <% y MF60 a una frecuencia de cruce de ganancia tal que tenga unos 30 rad/s de BW Restricción: la ganancia estática solamente puede ser aumentada en incrementos de +5dB 4. Encuentre como calcular un compensador de atraso usando un método similar al presentado.
29 Diagrama de Bode para el ejercicio 0 Diagram a de Bode -0 Magnitud (db B (deg Fase ( Frecuencia [rad/s] (rad/sec
30 Referencias [1] Dorf, Richard; Bishop Robert. Sistemas de control moderno, 10ª Ed., Prentice Hall, España, 005
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