MATE 3040: Teoría de Números. Solución: Aplique el Algoritmo de Euclides para obtener 8 = gcd(56, 72) = 56(4) + 72( 3).

Transcripción

1 Solución Asignación 3. Universidad de Puerto Rico, Río Piedras Facultad de Ciencias Naturales Departamento de Matemáticas San Juan, Puerto Rico MATE 3040: Teoría de Números 1. Determine todas las soluciones en Z de las siguientes ecuaciones Diofantinas: (a) 56x + 72y = 40 Solución: Aplique el Algoritmo de Euclides para obtener 8 = gcd(56, 72) = 56(4) + 72( 3). Multiplique esta ecuación por 5 para llegar a 40 = 56(20) + 72( 15). Por lo tanto, x 0 = 20 y y 0 = 15 es una solución particular para la ecuación Diofantina 56x + 72y = 40. Concluimos que la solución general a esta ecuación está dada por para t Z. Muerto el Pollo. x = x 0 + (72/8)t = t, y = y 0 (56/8)t = 15 7t, (b) 24x + 138y = 18 Solución: Aplique el Algoritmo de Euclides para obtener 6 = gcd(24, 138) = 24(6) + 138( 1). Multiplique esta ecuación por 3 para llegar a 18 = 24(18) + 138( 3). Por lo tanto, x 0 = 18 y y 0 = 3 es una solución particular para la ecuación Diofantina 24x + 138y = 18. Concluimos que la solución general a esta ecuación está dada por para t Z. Muerto el Pollo. x = x 0 + (138/3)t = t, y = y 0 (24/3)t = 3 8t, 1

2 (c) 221x + 35y = 1 Solución: Aplique el Algoritmo de Euclides para obtener 1 = gcd(221, 35) = 221(16) + 35( 101). Por lo tanto, x 0 = 16 y y 0 = 101 es una solución particular para la ecuación Diofantina 221x + 35y = 1. Concluimos que la solución general a esta ecuación está dada por x = x t = t, y = y 0 221t = t, para t Z. Muerto el Pollo. 2. Un hombre tiene $4.55 en cambio que consiste solamente de monedas de 25 centavos y 5 centavos. Cuál es el número máximo y el número mínimo de monedas que él puede tener? Es posible que el número de monedas de 25 centavos sea el mismo que el número de monedas de 5 centavos? Solución: Primeros escribiremos este problema en términos de una ecuación Diofantina. Sea x el número de monedas de 25 centavos y y el número de monedas de 5 centavos. Entonces queremos 25x + 5y = 455. Dividiendo por 5 toda la ecuación, obtenemos que esta ecuación Diofantina es equivalente a la siguiente 5x + y = 91. Claramente, 1 = gcd(5, 1) = 5(0) + 1(1). Multiplique esta ecuación por 91 para obtener 91 = 5(0) + 1(91). Por lo tanto, x 0 = 0 y y 0 = 91 es una solución particular para 5x + y = 91. Por lo tanto, la solución general para esta ecuación está dada por para t Z. x = x 0 + t = t, y = y 0 5t = 91 5t, 2

3 Como estamos hablando de cantidades de monedas, entonces no todas las soluciones son pertinentes. En este caso, queremos que x 0 t 0, y 0 t 91 5 = Por lo tanto, las soluciones pertinentes son aquellas con 0 t 18. Ahora, para contestar la pregunta acerca del número máximo y el número mínimo de monedas, note que el total de monedas está dado por x + y = t + (91 5t) = 91 4t Por lo tanto, el número máximo de monedas ocurre cuando t = 0. O sea, cuando tenemos 91 monedas (0 monedas de 25 centavos y 91 monedas de 5 centavos). El número mínimo de monedas ocurre cuando t = 18. O sea, cuando tenemos 19 monedas (18 monedas de 25 centavos y 1 moneda de 5 centavos). Finalmente, podrá ser cierto que el número de monedas de 25 centavos sea igual al número de monedas de 5 centavos? Bueno, para que esto ocurra, debemos tener solución entera para la ecuación x = y t = 91 5t. La solución a esta ecuación es t = 91/6 = , por lo tanto, la respuesta es NO. Otro argumento pudo haber sido que si t es par, entonces 91 5t es impar y si t es impar, entonces 91 5t es par, por lo tanto, las dos cantidades no pueden ser iguales. 3. Un granjero compró cien cabezas de ganado por un costo total de $4,000. Los precios fueron los siguientes: $120 cada ternera, $50 cada cordero. y $25 cada lechonsito. Si el granjero obtuvo al menos un animal de cada tipo, cuántos animales él compró de cada tipo? Solución: Primero escribiermos el problema en términos de una ecuación Diofantina. Para esto, sea x la cantidad de de terneras, y la cantidad de corderos y z la cantidad de lechonsitos. Entonces, 125x + 50y + 25z = x + 25(2y + z) = x + 25r = 4000, donde r = 2y + z. Divida por 25 para obtener la ecuación 5x + r = 160. Note que x 0 = 0 and r 0 = 160 es una solución particular para 5x + r = 160, por lo tanto, la solución general está dada por x = x 0 + t = t r = r 0 5t = 160 5t, 3

4 para t Z. Como r = 2y + z, entonces tenemos 2y + z = 160 5t (1) x + 2y + z = 160 4t. Ahora, por hipótesis, el granjero compró 100 cabezas de ganado. En otras palabras, x + y + z = 100 (2) Ahora, restele a la ecuación (1) la ecuación (2) para obtener y = 60 4t. Sustituyendo el valor de y en (1) y tomando en consideración que x = t, entonces obtenemos que x = t y = 60 4t z = t. Por hipótesis, como el granjero compró al menos un animal de cada tipo y como x = t, entonces t 1. Note que x y z son positivos para valores de t mayores o iguales a 1. Ahora, cuando y 1? Bueno, esto ocurre cuando 60 4t 1 t 59 4 = Concluimos que t {1, 2, 3,, 13, 14}. Por lo tanto, recordando que x representa la cantidad de terneras, y la cantidad de corderos y z la cantidad de lechonsitos, tenemos que las opciones son t x y z Muerto el Pollo. 4

5 4. Si p 5 es primo, entonces demuestre que p es compuesto. Demostración: Note que todo entero p 5 puede escribirse de una de las siguientes formas: 6q, 6q + 1, 6q + 2, 6q + 3, 6q + 4, ó 6q + 5. Ahora, como p es primo, entonces p tiene que tener una de las siguientes formas 6q + 1 ó 6q + 5, pues 2 divide a 6q, 6q + 2 y a 6q + 4 y 3 divide a 6q + 3. Por lo tanto, si p tiene alguna de estas últimas cuatros formas, entonces 2 p o 3 p, lo cual contradice que p 5 es primo. Prosiguimos por casos. Caso 1: Suponga que p = 6q + 1. Entonces, p = (6q + 1) = 36q q + 3 = 3(12q 2 + 4q + 1) y por lo tanto 3 p Concluimos p es compuesto en este caso. Caso 2: Suponga que p = 6q + 5. Entonces, p = (6q + 5) = 36q q + 27 = 3(12q q + 9) y por lo tanto 3 p Concluimos p es también compuesto en este otro caso. Por lo tanto, si p 5 es primo, entonces p es compuesto. 5. Si p 5 es primo, entonces demuestre que p 2 1 o p es divisible por 10. Demostración: Recuerde que todo número entero puede escribirse de la forma 10q + r donde q es un entero y 0 r < 10. Ahora, si p 5 es primo, entonces p tiene una de las siguientes formas Prosiguimos por casos. 10q + 1, 10q + 3, 10q + 7, ó 10q + 9. Caso 1: Suponga que p = 10q + 1. Entonces, p 2 1 = (10q + 1) 2 1 = 100q q 5

6 y por lo tanto 10 p 2 1. Concluimos que el enunciado es cierto en este caso. Caso 2: Suponga que p = 10q + 3. Entonces, p 2 1 = (10q + 3) 2 1 = 100q q + 8 y por lo tanto 10 no divide a p 2 1. Como el enuciado dice que 10 divide a p 2 1 o p 2 + 1, entonces todavía nos falta considerar p Note que p = (10q + 3) = 100q q + 10 y por lo tanto 10 p Concluimos que el enunciado también es cierto en este caso. Caso 3: Suponga que p = 10q + 7. El lector puede verificar que en este caso 10 no divide a p 2 1. Ahora, p = (10q + 7) = 100q q + 50 y por lo tanto 10 p Concluimos que el enunciado también es cierto en este caso. Caso 4: Suponga que p = 10q + 9. Note que p 2 1 = (10q + 9) 2 1 = 100q q + 80 y por lo tanto 10 p 2 1. Concluimos que el enunciado también es cierto en este último caso. Por lo tanto, si p 5 es primo, entonces p 2 1 o p es divisible por Determine si 701 es primo. Solución: Si 701 es compuesto, entonces es divisible por un primo menor o igual a 701. Observe que 26 2 = 676 < 701 < 729 = Por lo tanto, 26 < 701 < 27. Los únicos primos menores que 26 son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. Ahora, los residuos de 701 bajo la división de cada uno de estos primos son (resp.): 1, 2, 1, 1, 8, 12, 4, 17, 11. Como ninguno de estos primos divide a 701, entonces concluimos que 701 es primo. 6

7 7. Demuestre que p es irracional para todo primo p. Demostración: Emule la demostración que hicimos en clase para 2. Reemplace 2 con p. 8. Para todo n > 3, demuestre que los enteros n, n + 2 y n + 4 no pueden ser primos a la misma vez. Demostración: Recuerde que entero n puede escribirse de una de las siguientes formas 3q, 3q + 1 o 3q + 2. Suponga que n > 3 es primo. Entonces n tiene una de las siguientes formas: 3q + 1 o 3q + 2. Caso 1: Suponga que n = 3q + 1, entonces n + 2 = 3q + 3 y por lo tanto 3 n + 2. Concluimos que n + 2 es compuesto. Caso 2: Suponga que n = 3q + 2, entonces n + 4 = 3q + 6 y por lo tanto 3 n + 4. Concluimos que n + 4 es compuesto. Por lo tanto, si n > 3, entonces los enteros n, n+2 y n+4 no pueden ser primos a la misma vez. 7