1. Lección 4 - Leyes de Descuento

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1 1. Lección 4 - Leyes de Descuento Apuntes: Matemáticas Financieras 1.1. El descuento comercial La expresión matemática del descuento comercial es: A 1 (t) = 1 d t para d > 0 Por lo que una u.m. en el instante t equivale a 1 d t u.m. en el instante inicial. El parámetro d es el tanto de descuento y mide la disminución del valor por unidad de cuantía y de tiempo. Su valor es positivo para que se cumpla el principio de subestimación de capitales futuros. De nuevo, la referencia temporal de d y t ha de ser la misma Valor descontado y descuento Se denomina Valor descontado (o efectivo) de un capital (C, t) al capital equivalente en el instante inicial (V 0, 0). Si el tiempo inicial coincide con el actual se le denomina Valor actual. V 0 = C (1 d t) = C C d t Se denomina descuento a la disminución que experimenta el capital de cuantía C al adelantar su disponibilidad en t períodos. D = C V 0 = C d t Normalmente d mide la disminución unitaria anual, pero esta ley financiera se utiliza en operaciones a corto plazo, por lo que el tiempo debe especificarse en 1

2 1.1 El descuento comercial fracciones del año. Si k son meses, entonces el tiempo será k 12 Por ejemplo, el valor descontado y el descuento para k meses será: y V 0 = C ( 1 d k ) 12 y así sucesivamente. D = C V 0 = C d k 12 Calcular el valor descontado y el descuento efectuados a un capital de e que vence dentro de 120 días si se utiliza el año comercial y el tipo de descuento es el 6 % y se utiliza la ley de descuento comercial El valor descontado se obtiene de la expresión V 0 = C ( ) k 1 d 360 Donde C es el capital y por lo tanto vale 75000, d es el tipo de descuento y vale 0.06, k es el número de periodos (de dias en este caso) y por lo tanto vale 120. Por lo tanto: V 0 = ( 1 0, ) = El descuento se puede obtener como diferencia entre el capital y el valor descontado D = C V 0 = = 1500 o directamente a partir de la expresión del valor descontado: D = C d k 360 = , =

3 Apuntes: Matemáticas Financieras Tantos equivalentes Al igual que ocurría en el caso de la capitalización simple, el tanto de descuento debe cumplir: d m = d m d = m d m Con d el tanto anual y d m el tanto asociado a la unidad de tiempo 1 m Calcular el valor descontado de un capital de e que vence dentro de 120 días si se utiliza el año comercial y el tipo de descuento mensual es del es el 0.5 %. El valor descontado se obtiene de la expresión V 0 = C (1 d t) Donde C es el capital y por lo tanto vale 75000, d es el tipo de descuento y vale 0.005, t es el número de periodos (que en este caso se debe especificar en meses) y por lo tanto vale = 4. Por lo tanto: V 0 = (1 0,005 4) = Relación entre los tantos d e i Los tantos d e i no tienen el mismo significado financiero y por lo tanto no son equiparables. Si tenemos una unidad monetaria en t y la descontamos se obtiene un valor descontado de 1 d t. si ahora cogemos esa cantidad y la capitalizamos a un tanto idéntico i = d no se obtiene la u.m. inicial sino que se obtiene la cantidad 3

4 1.2 El descuento racional o matemático (1 d t)(1 + d t) = 1 d 2 t 2 < 1 Para que i y d sean equivalentes se tiene que cumplir que una unidad descontada y luego capitalizada coincida o lo que es lo mismo: (1 d t)() = 1 Despejando se obtiene que: o que i = d 1 d t d = i Suponga un capital que vence dentro de dos años y que se ha descontado a un tipo de descuento del 3 % utilizando el descuento comercial. Si, posteriormente se quiere capitalizar con la ley de capitalización simple para obtener el mismo capital, cual debe ser el tipo de interés al que debe hacerse? Utilizando la expresión para el tipo de interés anterior se obtiene que i = 0,03 1 0,03 2 = 0,03 0,94 = 0, El descuento racional o matemático La expresión matemática del descuento racional es: A 2 (t) = d t para d > 0 4

5 Apuntes: Matemáticas Financieras El parámetro d es el tanto de descuento racional. Como en este caso, el descuento racional es el inverso de la capitalización simple, el tanto de descuento se denota como el tanto de la capitalización simple d = i y por lo tanto corto plazo. A 2 (t) = 1 para i > 0 El descuento racional, al igual que el comercial, se utiliza en operaciones de Valor descontado y descuento El Valor descontado de un capital (C, t) es el capital (V 0, 0) cuya cuantía es: V 0 = C la cuantía del descuento (D r ) mide la disminución que experimenta el capital al adelantar su disponibilidad en t períodos: D r = C V 0 = C i t Calcular el valor descontado y el descuento efectuados a un capital de e que vence dentro de 2 años si se utiliza el año comercial y el tipo de descuento es el 6 % y se utiliza la ley de descuento racional. El valor descontado se obtiene de la expresión V 0 = C Donde C es el capital y por lo tanto vale 75000, i = d es el tipo de descuento y vale 0.06, t es el número de periodos (de dias en este caso) y por lo tanto vale 2. Por lo tanto: 5

6 1.2 El descuento racional o matemático V 0 = ,06 2 = 66964,28 El descuento se puede obtener como diferencia entre el capital y el valor descontado D = C V 0 = ,28 = 8035,72 o directamente a partir de la expresión del valor descontado: D r = C i t = , ,06 2 = ,12 = 8035,72 Normalmente i mide la disminución unitaria anual, pero esta ley financiera se utiliza en operaciones a corto plazo, por lo que el tiempo debe especificarse en fracciones del año. Si n son días, entonces el tiempo será n 365 Por ejemplo, el valor descontado y el descuento para n días será: y así sucesivamente. y V 0 = C 1 + i n 365 D r = C V 0 = C i n i n 365 = C i n i n Los tantos equivalentes cumplen todas las relaciones que se vieron para el caso de la capitalización simple. Calcular el valor descontado y el descuento efectuados a un capital de e que vence dentro de 120 días si se utiliza el año comercial y el tipo de descuento es el 6 % y se utiliza la ley de descuento racional. El valor descontado se obtiene de la expresión 6

7 Apuntes: Matemáticas Financieras V 0 = C 1 + i n 360 Donde C es el capital y por lo tanto vale 75000, i = d es el tipo de descuento y vale 0.06, t es el número de periodos (de dias en este caso) y por lo tanto vale 120. Por lo tanto: V 0 = , = ,02 = 73529,41 El descuento se puede obtener como diferencia entre el capital y el valor descontado D = C V 0 = ,41 = 1470,59 o directamente a partir de la expresión del valor descontado: D = C i n i n = , , = ,2 = 1470, El descuento compuesto La expresión matemática del descuento compuesto es: A 3 (t) = (1 + i) t = (1 d) t = e k t con i, d, k > 0 Donde i es el parámetro constante de capitalización, d el parámetro de descuento y k es el tanto instantáneo que es constante en esta ley. k = ln(1 + i) = ln(1 d) El descuento compuesto se utiliza en operaciones de largo plazo. De nuevo, al igual que ocurría en el descuento racional, si se descuenta un capital a un tanto d y después se capitaliza al mismo tanto, no se encuentra el mismo 7

8 1.3 El descuento compuesto capital. Para encontrar el tanto de capitalización que iguale dicha operación o tanto equivalente se parte de cuyas soluciones son (1 + i) t = (1 d) t i = 1 d e d = i 1 + i i = d 1 d Valor descontado y descuento El Valor descontado de un capital (C, t) se puede obtener en términos de i o de d. En el primer caso es el capital (V 0, 0) cuya cuantía es: V 0 = C(1 + i) t y en el segundo, es el capital (V 0, 0) cuya cuantía es: V 0 = C(1 d) t la cuantía del descuento mide la disminución que experimenta el capital al adelantar su disponibilidad en t períodos, que en el primer caso toma el valor: D = C V 0 = C [ 1 (1 + i) t] y en el segundo caso: 8

9 Apuntes: Matemáticas Financieras D = C V 0 = C C(1 d) t = C [ 1 (1 d) t] Calcular el valor descontado y el descuento efectuados a un capital de e que vence dentro de 2 años si se utiliza el año comercial y el tipo de descuento es el 6 % y se utiliza la ley de descuento compuesto. El valor descontado se obtiene de la expresión V 0 = C (1 d) t Donde C es el capital y por lo tanto vale 75000, d es el tipo de descuento y vale 0.06, t es el número de periodos y por lo tanto vale 2. Por lo tanto: V 0 = (1 0,06) 2 = El descuento se puede obtener como diferencia entre el capital y el valor descontado D = C V 0 = = 8730 o directamente a partir de su formula: D = C [ 1 (1 d) t] = [ 1 (1 0,06) 2] = (0,1164) = 8730 forma Además se puede calcular el tanto de capitalización equivalente, que toma la obtiene: i = d 1 d = 0,06 1 0,06 = 0,06 0,94 = 0,0638 Ahora, si se calcula el descuento utilizando dicho tanto de capitalización se 9

10 1.3 El descuento compuesto D = C [ 1 (1 + i) t] = [ 1 (1 + 0,0638) 2] = ,1163 = Tantos equivalentes Se dice que la ley de descuento compuesto a tanto d es equivalente a la misma ley pero usando el tanto d m para periodos de amplitud 1 m de año si se cumple: (1 d) = (1 d m ) m Dando que d y d m hacen referencia a amplitudes temporales distintas, para poder compararlos se proyecta el tanto d m de forma aritmética para obtener una amplitud igual obteniéndose el tanto nominal de frecuencia m (j m): j m = m d m d m = j m m Sin embargo lo más habitual es utilizar los tantos i m, j m e i estudiados en la capitalización compuesta. Encontrar el tanto de descuento anual equivalente a uno mensual del 2 %. Dicho se obtiene de la expresión (1 d) = (1 d m ) m con d = 1 (1 d m ) m = 1 (1 0,02) 12 = 1 (0,98) 12 = 0,

11 Apuntes: Matemáticas Financieras es decir un %. Es importante notar que dicho tanto de descuento es distinto al tanto de descuento nominal de frecuencia 12 que sería j 12 = 12 0,02 = 0,24, es decir un 24 % 11