8 DESIGUALDAD DE TCHEBYCHEFF LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS

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1 8 DESIGUALDAD DE TCHEBYCHEFF LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS Sea ua variable aleatoria de ley descoocida co 0,00. Si 0,, emplear la desigualdad de TCHEBYCHEFF para acotar iferiormete la probabilidad E( ) [ ] Segú la desigualdad de TCHEBYCHEFF: Var( ) 0,00 0,00 E( ) 0, 0, 0,0 [ ] 0, Sea ua variable aleatoria de ley descoocida co 0,004. Si > 0, emplear la desigualdad de TCHEBYCHEFF para determiar de forma que E( ) 0, [ ] Var( ) 0,004 0,004 0,004 [ E( ) ] 0, 0, 0, 04 Siedo > 0, ha de ser 0, 0, Se laza veces ua moeda bie equilibrada. Si el úmero de caras se represeta por, ésta es ua variable aleatoria que sigue ua distribució biomial B(; p /). Determiar el meor valor de para que la desigualdad de TCHEBYCHEFF implique (0,4 0,6 ) > 0,0 Si sigue ua biomial B(; p), etoces E[] p y Var[] p(p), luego para la variable Y / se tiee que E Y Var [ ] E E[ ] [ Y ] E Var[ ] Aplicado el teorema de Thebycheff a la variable Y se obtiee p p p( p ) Var( [ E( ) ] p ) p ( p ) p( p ) 8ERDESIGUALDAD DE TCHEBYCHEFF Y LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS

2 La expresió propuesta e el ejercicio equivale a 0,50 0,0 > 0,0 E uestro caso, p 0, 50 y 0,. Etoces: 0,5 0,5 0,50 0,0 > 0,0 > 50. (0,) 4 E ua cadea de producció el úmero de artículos maufacturados defectuosos e ua determiada hora se sabe que sigue ua distribució de OISSON co media E() 00. Emplear la desigualdad de TCHEBYCHEFF para determiar ua cota iferior para la probabilidad de que e ua hora determiada el úmero de artículos defectuosos producidos esté compredido etre 0 y 0. Ídem. etre 80 y 0. E ua distribució de OISSON de parámetro, se tiee que E[] Var[]. E Var( ) uestro caso 00. Etoces, de [ E( ) ] se sigue que 00 ( 0 0 ) [ 00 0] ( 80 0 ) [ 00 0] 0, La primera cota es bastate iútil, ya que toda probabilidad es positiva. odemos calcular el valor de las probabilidades pedidas. Al tratarse de ua v. a. discreta, ( 0 0 ) ( 0 0 ) (0 ) ( 0 ) ( 80 0 ) ( 80 ) ( ) ( 80 ) dode ( ) es la fució de distribució acumulativa de la distribució de OISSON de media. (Es decir, la cota es mejorable si se cueta co iformació adicioal acerca de la distribució de ). ESTADÍSTICA J. Sáchez-Mª. S. Sáchez

3 5 Supogamos que ua variable aleatoria sigue ua distribució ormal tipificada N(0; ). Represetemos por la probabilidad de que difiera de su esperaza matemática E() e más de tres veces la desviació típica. Emplear la desigualdad de TCHEBYCHEFF para determiar ua cota superior de. A cotiuació, empleado la tabla de la ormal, comprobar que hay ua cota superior de que es aproximadamete igual a u cuaretavo de la obteida por la desigualdad de TCHEBYCHEFF. µ ; si, etoces [ µ ]. Como se sabe que sigue ua ormal estádar, etoces: E geeral, [ ] E uestro caso, [ ] 0,... [ ] ( ) [ ( )] [ Φ( )] [ 0,87] 0, 0068, 0,... Luego 0, 007, siedo 4, 7 0, (Es decir, la cota es mejorable si se cueta co iformació adicioal acerca de la distribució de ). 6 Supogamos que ua variable aleatoria está distribuida uiformemete e el itervalo [-/, +/ ]. Represetemos por / la probabilidad de que difiera de su esperaza matemática E() e más de vez y media la desviació típica. Emplear la desigualdad de TCHEBYCHEFF para determiar ua cota superior de /. A cotiuació, calcular dicha probabilidad tomado e cueta la distribució uiforme. (De uevo la cota mejora al cotar co iformació adicioal acerca de la distribució de ). Si es ua v.a. uiformemete distibuida e el itervalo [a, b], su fució de desidad es costatemete igual a e el itervalo [a, b] y a 0 fuera de dicho b a itervalo. E uestro caso: 8ERDESIGUALDAD DE TCHEBYCHEFF Y LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS

4 4 ESTADÍSTICA J. Sáchez-Mª. S. Sáchez Su esperaza matemática y su variaza so: [ ] [ ] b ) a ( Var b a E + E uestro caso, [ ] E + + [ ] 6 4 Var + a b + Etoces, de [ ] ) Var( ) E( se sigue que 0, / La cota obteida es muy próxima al valor real: / 0,46 altura ) ( ( base ) Área rectágulo

5 7 Supogamos que ua variable aleatoria sigue ua distribució biomial B( 0000; p /). ( podría ser el úmero de caras que aparece al lazar ua moeda equilibrada 0000 veces). Represetemos por la probabilidad de que difiera de su esperaza matemática E() e más de tres veces la desviació típica (lo que equivale al suceso ], 4850] [550; + [). Emplear la desigualdad de TCHEBYCHEFF para determiar ua cota superior de. (E el bloque siguiete, Aproximacioes de la biomial, Ej. 7, se obtiee, mediate ua aproximació por la ormal, que 0,006 0,000. Este resultado se puede emplear para determiar si ua moeda está bie equilibrada o o: lazamos la moeda 0000 veces y cotamos el úmero de caras. odríamos afirmar que la moeda o es correcta si el úmero de caras es iferior a 4850 o superior a 550) Aquí, µ p y p ( p ) E geeral, [ µ ] ( ) E uestro caso,. Desarrollado u poco más: [ µ ] + [ µ + ] [ µ ] + [ µ + ] [ µ ] + [ [ µ + ] ara, , µ µ [ ] + [ 4850] [ 550] 0,... 8ERDESIGUALDAD DE TCHEBYCHEFF Y LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS 5

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