ACTIVIDADES INICIALES
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- Claudia Plaza Ortiz
- hace 6 años
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1 Solucionrio Deerminnes CTIVIDDES INICILES.I. usc ls relciones de dependenci linel enre ls fils columns de ls siguienes mrices e indic el vlor de su rngo. rg() F F Como C C C rg().ii. Comprue que ls siguienes mrices son inverss un de l or. Se deerín compror los dos producos I, unque, en ese cso especil de produco de dos mrices que dn como resuldo l idenidd, solo es necesrio compror uno de ellos. I.. Clcul el vlor de los siguienes deerminnes. EJERCICIOS PROPUESTOS ) e) f) ) 7 e) f) 9 Solucionrio
2 .. Resuelve ls siguienes ecuciones. ) 7 ) ± 8 ± 9, 9 No iene solución Ddo el deerminne, comprue que se oiene el mismo vlor l desrrollrlo por los elemenos de l ercer fil que l desrrollrlo por los elemenos de l cur column. ( ) 9 9 ( ) 9.. Clcul el vlor del deerminne cres más conveniene. desrrollándolo por los elemenos de l líne que ( ) Solucionrio
3 Solucionrio.. Jusific, sin desrrollr, ls siguienes igulddes. ) 8 c c c 9 ) 8, que iene un fil con odos los elemenos nulos., que ls fils primer ercer son proporcionles: F F. c c c c c c c c ( c c, F F F que ls fils primer ercer son proporcionles: F F., 9 que ls columns segund cur son proporcionles: C C... Comprue, sin desrrollr, ls siguienes igulddes. ) z z z ) z z z z z F F F.7. Comprue, sin desrrollr, l siguiene iguldd. c c d e d ef f p q p q r r s s u u El deerminne es, que l column es cominción linel de ls resnes, C C C C..8. Demuesr que el siguiene deerminne es nulo. ( ( C C ( C CC) Solucionrio
4 .9. (TIC) Clcul el vlor de los siguienes deerminnes. ) ( ) F FF ) ( ) F F F F F 7F F F F F F F F FF Hll el vlor de los siguienes deerminnes hciendo previmene ceros. 8 ) 9 7 ) F FF F FF C C C C CC ( ( ( [ ( ] (.. Clcul el vlor de los siguienes deerminnes por el méodo de Guss. ) ) F F F F FF F F F FF F FF F FF F F F F F F.. Trnsform los siguienes deerminnes en sus equivlenes ringulres clcul su vlor. ) z ) 9 F F F F F F F FF z z z z z z F F F F FF F FF Solucionrio
5 .. En l mriz 8 se considern los menores deermindos por: M : fils.ª.ª, columns.ª.ª M : fils.ª.ª, columns.ª.ª M : fils.ª.ª, columns.ª.ª ) Escrie clcul dichos menores. Escrie odos los menores de orden res prir de los neriores. 8 ) M M M 8 8 Menores de M : 8, 8, 8, 8 8, Menores de M : 8, 8, 8, 8 8, 8 Menores de M : 8, 8, 8, 8, Solucionrio 8, 8 8,, Clcul el rngo de ls siguienes mrices. D rg() rg(d) rg. Como F F rg(d).. Esudi el rngo de l mriz según los diferenes vlores del prámero : ( )( ) ( ) ( ) ; Si rg() Si rg() rg.. Clcul ls mrices inverss de: C [ dj( ) ] [ dj( )] C [ dj( C) ] C Solucionrio
6 .7. Clcul ls mrices inverss de: 7 7 [ dj( ) ] [ dj( ) ].8. Clcul los vlores de pr los cules l mriz posee invers hll dich mriz invers pr.,. Si iene invers. Si.9. (PU) Hll los vlores de k pr los cules l mriz k k no posee invers. k k k k k k k k k k 9k 9 k, k k L mriz iene invers pr odos los vlores de k slvo pr k k... Suponiendo que ods ls mrices que precen son cudrds del mismo orden que ls mrices poseen invers, despej l mriz X en ls siguienes epresiones. ) X X C e) X g) X X ) X f) ( ) X X XI X X X IX I X X C X ( C ) e) X X X X X [ ]( ) X f) X ( ) X ( ) g) ( ) ( ) X X X Solucionrio
7 Solucionrio.. (PU) Clcul ods ls mrices X les que X X. X c d c d c d c d c d c d X c c.. (PU) Dds ls mrices Clcul l mriz X l que, C : X C. 7 7 X ( C ) EJERCICIOS Deerminnes de orden.. Clcul el vlor de los siguienes deerminnes de orden. ) 8 e) 7 8 f) ) e) 8 8 f) 7.. Clcul el vlor de los siguienes deerminnes de orden. ) e) g) f) h) log log log log log8 log log8 log ) 9 8 ( 8 7) ( 8 7) Solucionrio
8 e) f) g) h) ( 9 8) log log log log log log log log ( ) ( ) ( ) ( ) log log 8 log log.. Clcul el vlor de l epresión: ( ) ( ) ( ).. Resuelve ls siguienes ecuciones. ) 8 ) ± 8 8, 8 ± 8 7, 7.7. Resuelve ls siguienes ecuciones. ) 8 ) 7 8 8, 8 ( ) Solucionrio 7
9 Solucionrio Deerminnes de orden superior.8. Desrroll el siguiene deerminne por los elemenos de su ercer column clcul su vlor. Δ ( 8).9. Desrroll los siguienes deerminnes por los elemenos de l fil o column que más ceros pose clcul su vlor. ) ) Desrrollndo por los elemenos de l primer fil: ( ) 8 Desrrollndo por los elemenos de l ercer column: ( ) 8 Propieddes de los deerminnes.. Se se que. Clcul el vlor de: ) ) C CC ( ) ( ) ( ) 8 Solucionrio
10 c.. Se se que z. Clcul el vlor de: p q r ) z c p q r p q z r c c z c p q c z r p p q q c z z r r ) z z z z c c c c c z p q r p q r p q r p q r p q r c c c z c z z p q c z r F F F p q c z r F FFF p q r p z c c c q p q r p q r z z F F F F z r c c z p q r p q r p p p p p p c q q q q q q z c z z r r c z z r r C C C c z z r C CC c z r p q r c.. Siendo que d e f n, clcul el vlor de g h i d e f g h i 9 c. d e f d e f d e f d e f c g h i g h i g h i c d e f n 9 c c c g h i g h i m n p.. Se se que. Clcul el vlor de: m n p ) m n p ) m n p m n p m n p m n p m n p m n p m n p F FF m n p m n p m n p m n p m n p m n p m n p m n p m n p m n p m n p m n p F F F FF F FF Solucionrio 9
11 Solucionrio.. Clcul el vlor de l sum de deerminnes: p q pq ( ( ) ( p q) ( ( ) ( p q) p q p q p q pq ( ( ) ( p q) ( ( ) ( p q) p q p q p q pq ( ( ) ( p q) p q p q p q p q ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).. Prue, sin necesidd de desrrollr, que el vlor del siguiene deerminne es nulo F Ls fils son linelmene dependienes el deerminne vle. F F F Simplificción de deerminnes.. Hz ceros en un de ls fils o columns de los siguienes deerminnes clcul su vlor. ) F FF ) ( ) C C C F F F 7 F FF 8 9 F FF ( ) F FF F FF Solucionrio
12 .7. Clcul los siguienes deerminnes por el méodo de Guss. ) ) 8 F FF C C C C F FF F FF 9 8 F F F F F 9F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F FF F FF F FF F FF F F F F F F F F F FF.8. Dd l mriz Rngo de un mriz Escrie odos los menores de orden prir del menor de orden deermindo por ls fils.ª.ª ls columns.ª.ª Escrie odos los menores de orden prir del menor de orden deermindo por ls fils.ª,.ª.ª, ls columns.ª,.ª.ª El menor de orden indicdo es. Los menores de orden consruidos prir de ese menor de orden son:,,,, El menor de orden indicdo es. Los menores de orden consruidos prir de ese menor de orden son: Solucionrio
13 Solucionrio.9. (TIC) Clcul el rngo de ls siguienes mrices.,, C D 7 E F 8 G H 8 8 I J ) rg( ) 8 rg( ),, C 8 rg(c) D rg(d) e) rg( E) f) 8 rg(f) g) F F F C C rg(g) rg En es úlim mriz se oserv que 7 que rg(g) h) rg( H) 8 rg(h) 8 8 i) I Si, j) J Si, 9 Si rg(i) rg(i). Si, rg(i) 8 8 ( ) Si rg(j) rg(j). Si, rg(j) Solucionrio
14 Mriz invers.. Clcul ls mrices djuns de ls siguienes hll, pr cd cso, (dj()). C D ) dj( ) dj( ) dj( C) dj( D) (dj( )) (dj( )) C (dj( C)) 8 D (dj( D )) Clcul ls mrices inverss de: 7 C D 7 7 dj ) ( ) ( dj ) C 8 C ( dj C) D D ( dj D).. Clcul ls mrices inverss de: C D 8 7 dj ) ( ) C dj ( D) D Solucionrio
15 Solucionrio.. (TIC) Clcul l mriz invers de: ( dj ) Ecuciones mriciles.. Despej X en ls siguienes ecuciones suponiendo que ls mrices que inervienen son ods cudrds del mismo orden poseen mriz invers. ) X X X X C D (X ) CX ) X X ( ) X ( ) ( ) X ( ) X ( ) ( ) ( ) X C D X D C X D C X D C X X ( X ) CX X CX X CX ( C) X X ( C).. (PU) Resuelve l ecución mricil: X 7 X (PU) Dds ls mrices se consider l ecución X. ) Cuál dee ser l dimensión de X? Crees que serí correco escriir X? Encuenr ods ls posiles mrices X que verifiquen l ecución. ) X dee ser un mriz cudrd de orden. No es correco, que l no ser cudrd, no posee invers. c c d X d c d c d c d c d Por no, l únic mriz solución de l ecución es X. Solucionrio
16 .7. (PU) Resuelve l ecución mricil: X ( ) X ( ) ( ) ( ).8. (PU) Resuelve l ecución mricil X C siendo:, C 7 X ( C ) (PU) Resuelve l ecución mricil X C siendo:, 7 C 9 X ( C) Dds ls mrices: Resuelve l ecución X. X.. Dds ls mrices:, C.Resuelve l ecución X C. ( ) dj ( dj ) X C IXI C X C IXI C X X 7 C Solucionrio
17 Solucionrio Solucionrio.. (PU) Dds ls mrices: Se consider l ecución X. ) Es correco escriir X? Cuál dee ser l dimensión de X? Clcul ods ls mrices X soluciones de l ecución. ) No eise, que. Por no, l epresión no es correc. L dimensión de X dee ser. Se uiliz el méodo direco pr clculr X: X c c c c c c c Tods ls mrices del ipo c c X verificn l ecución. PROLEMS.. Dd l mriz regulr de orden res, con, clcul el vlor del deerminne de su invers el vlor del deerminne de su djun. I (dj( )) dj( ) dj( ).. Esudi, según los vlores del prámero, el rngo de ls siguienes mrices. 9 C D ) Si rg() Si rg() ) ( Si 9 rg(), que Si 9 rg(), que Si rg()
18 Solucionrio 8 8 ± C No eise ningún vlor rel de que nule el deerminne de C rg(c) en odos los csos. ) ( ) ( 8 D Si D rg(d), que ls res fils son proporcionles. Si rg(d).. (PU) Esudi, según los vlores de m, el rngo de l siguiene mriz m m m. m m m m en odos los csos. Por no, rg() Como F F rg() rg m m Si m rg() rg Si m rg().. Esudi, según los vlores de, el rngo de ls siguienes mrices. ) ) rg( 8 Oenemos los menores de orden prir de ese deerminne de orden : ) ( ) ( Si rg( ) Si rg( ) rg() rg porque C C ( ) ) ( Si rg() rg rg() Si rg() rg rg() Si rg() 7
19 Solucionrio.7. (PU) Esudi, según los vlores de k, el rngo de l mriz: k k Se consider el menor de orden : k en odos los csos. Por no, rg() pr culquier vlor de k.8. (PU) Clcul los vlores del prámero pr los cules l siguiene mriz cudrd iene invers. Clcul el vlor de dich mriz invers pr el vlor. ± L mriz endrá invers pr odos los vlores reles de ecepo pr. En el cso de que Dd l mriz : Clcul los vlores de pr los cules eise l mriz invers de. Clcul dich mriz invers pr. Resuelve l ecución mricil X siendo l mriz correspondiene l vlor. ) L mriz endrá invers pr odos los vlores de ecepo pr. X 8 Solucionrio
20 Solucionrio.. (PU) Pr qué vlores de iene invers l mriz? Clcul l epresión de dich mriz invers pr. Eise invers de pr odos los vlores reles de ecepo pr. Pr : ( ) dj( ).. Los elemenos de l mriz cudrd de orden ( ) ij son: si si si ij i j i j i j ) Escrie l mriz. Clcul el vlor del deerminne de l mriz. ) F F F F F F F F F.. Qué relción deen verificr los números, c pr que c c? En los ejercicios resuelos del finl de l unidd se h oenido el vlor del deerminne de Vndermonde: ) )( )( ( c c c c Ese produco es nulo si solo sí l menos uno de los prénesis es nulo. Por no, el deerminne vldrá cero si l menos dos de los res números, c son igules. 9
21 Solucionrio.. (TIC) Clcul el vlor de los deerminnes: ( )( )( ) 9 ( )( )( )( )( )( ) Siendo que u v, clcul el vlor de s u s v u v s. Resndo los elemenos de l ercer column los de l primer segund, se oiene: Δ u v u v s s Resndo el vlor de los elemenos de l ercer column los de l primer segund: Δ u v s.. Clcul el vlor del siguiene deerminne: 9 Resndo l segund fil l primer muliplicd por l ercer fil l primer, se oiene: Δ, que ls fils segund ercer son proporcionles. 9.. (TIC) Clcul el vlor del siguiene deerminne. C C C C C F FF F FF F FF Solucionrio
22 .7. (TIC) Resuelve l siguiene ecución: 8 9 ( ) ( ) C C C C C F FF F FF F FF ( ) ( ) ( ) C C C C CC Por no: ( ) ( )( ) ( )( ) ( ),,.8. ) Comprue que los números 97, son odos múliplos de 7. Demuesr, sin necesidd de desrrollrlo, que el deerminne 9 7 es múliplo de 7. ) C C C C Como odos los elemenos de l úlim column son múliplos de 7, se podrá erer ese número como fcor común,, por no, el vlor del deerminne será múliplo de Clcul el vlor del deerminne: ( ) F F F F F F F F F.7. En un pís h res comuniddes uónoms, C. L proilidd de que un residene en permnezc en l ño siguiene es de,9; l de que se v, de,, l de que se v C, de,. L proilidd de que un residene en permnezc en es de,9; l de que se v, de,, l de que se v C, de,. Finlmene, l proilidd de que un residene en C se quede en C es de,9; l de que se v, de,, l de que se v, de,. Si ls polciones en 8 ern de,,,,8 millones de persons, respecivmene, cuáles ern ls de 7?,9,, L mriz de rnsición de l polción de un ño l siguiene es T,,9,,,,9 P 8 P 7 T P 7 P 8 T T,9,8,8,,9, [ dj( T) ],8,8,8,7,, T,88,8,8,8,,,,,9,,,, P 7 (,,,8),7,, (,8,8,9) Solucionrio
23 Solucionrio.7. En un deermind loclidd eisen res compñís, C que ofrecen el servicio de elefoní móvil. L siguiene mriz represen ls proiliddes que iene un cliene de cd zon de permnecer en l mism compñí o cmirse or el ño que viene:, 8 T,,,, 7,,,, 9 Pr relizr un invesigción de mercdo se cuen con los dos del número de clienes en 8: : : C: 8 Clcul el número de clienes correspondienes los ños 7. P 8 P 7 T P 7 P 8 T ( ),8,7,,,7,,8,, 8,,7,,,,9 ( 8),,87, ( 798 7) P 7 P T P P 7 T,8,7, 798 7,,87, ,,7, ( ) ( ).7. Demuesr l siguiene iguldd. PROFUNDIZCIÓN z z z z z ( ) z z z z z F F F F z z z z z z z ( z) z ( z) z z z z C CC z z z ( z) ( z) z z [ ] ( ).7. Demuesr l siguiene iguldd. z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z Solucionrio
24 .7.Clcul el vlor del siguiene deerminne de orden n ( n) ( n) ( n) C C C C... C n ( n) [( n) ]... [( n) ] [( n ) ] ( ) n F FF F FF... Fn FnF.7. Esudi, según los vlores de los prámeros, el rngo de l siguiene mriz. ( ( ( (, ( Enonces: rg( ) rg( ) rg( ) rg ( ).7. Esudi, según los vlores de e, el rngo de l mriz. rg rg rg Si rg() En culquier oro cso, rg() Solucionrio
25 Solucionrio.77. Esudi, según los vlores de, el rngo de l mriz: F F F C C C ( ) ( ) ( 7) Si rg() rg Si rg().78. Clcul ods ls mrices X les que: X X X X X c d c d c d c d c d c d c d c d c d c d c d c d ( d c c d imposile c d Ls mrices X son de l form X o X d d. c c RELCION Y CONTEST Elige l únic respues correc en cd cso:.. Los vlores de que nuln el vlor del deerminne Δ son: ) ) 9 C) D) Pr culquier vlor rel de, el deerminne es nulo. E) No eise ningún vlor de que nule el deerminne. L respues correc es ) 9, que Δ Solucionrio
26 .. Ddo el deerminne Δ, su vlor se puede clculr medine el desrrollo: ) Δ ) Δ C) Δ D) Δ E) Δ L respues correc es E. Δ. z.. Se se que, el vlor de z 7 es: ) ) C) D) E) L respues correc es :, los cmios pr ener el segundo deerminne en función del primero son: F : F F, F : F F.. El vlor del deerminne 8 es: ) ) C) D) E) 7 L respues correc es C:... Los djunos de l mriz ) ) se nuln l vez en el cso de que: C) D) Se nuln en culquier cso. E) No eise ningún vlor de que nule los dos djunos l vez. L respues correc es :. Solucionrio
27 Solucionrio.. El vlor de l diferenci de deerminnes vle: ) 8 D) 8 ) 8 E) Ningun de ls respuess es cier. C) 8 L respues correc es C) 8. Señl, en cd cso, ls respuess correcs:.7. En relción con el rngo de l mriz m m m ) Como, enonces rg() ) Como, enonces rg() C) Eise lgún vlor de m pr el cul rg() >. D) El vlor del rngo de sólo puede ser ó. E) El vlor del rngo de es en odos los csos ecepo pr m, m o m, que vle. Ls respuess correcs son ) Como, enonces rg() D) El vlor del rngo de sólo puede ser ó. Elige l relción correc enre ls dos firmciones dds:.8. L ecución mricil X, donde son mrices cudrds de orden l mriz X es l mriz incógni. ) Tiene solución, es decir, se puede clculr X. L mriz es regulr, es decir, de(). ) es equivlene. ) implic, pero no implic. C) implic, pero no implic. D) no se pueden dr l vez. E) Ningun de ls dos firmciones se puede verificr. L respues correc es C) implic, pero no implic. Solucionrio
28 Señl el do innecesrio pr conesr:.9. Pr clculr el deerminne de se dn los siguienes dos: ) L mriz es cudrd de orden. Si i j, el vlor de ij es nulo. Si i j, el vlor de ij es i j. Los djunos de los elemenos de l primer fil vlen,,, respecivmene. ) Puede eliminrse el do. ) Puede eliminrse el do. C) Puede eliminrse el do c. D) Puede eliminrse el do d. E) No puede eliminrse ningún do. L respues correc es D) Puede eliminrse el do d, porque unque sepmos los djunos de los elemenos de l primer fil necesimos ser los vlores de los elemenos ij pr clculr el deerminne de. nliz si l informción suminisrd es suficiene pr conesr l cuesión:.. Se quiere oener el vlor del rngo de l mriz ( ij ), de dimensión. Pr ello, se se que Δ Δ, se dn, como do, los vlores de: ) Todos los menores de orden dos que conienen Δ. Todos los menores de orden res que conienen Δ. ) Ls informciones son suficienes por sí sols pr oener el rngo. ) L informción es suficiene por sí sol, pero l no. C) L informción es suficiene por sí sol, pero l no. D) Son necesris ls dos informciones juns. E) Hcen fl más dos. L respues correc es C) L informción es suficiene por sí sol, pero l no, que se deerí ener informción cerc de los menores de orden res que conienen Δ. Solucionrio 7
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