Teoría: Números Complejos. Necesidad de ampliar el conjunto de los números reales

Transcripción

1 Necesidad de ampliar el cojuto de los úmeros reales Defiició El cojuto de los úmeros complejos se defie como el cojuto R co la suma y el producto complejo defiido ateriormete. Es decir, = (, +,*) C R. Adició de Complejos Se defie: ( a, b) + ( c, d) = ( a+ c, b+ d) Ejemplo (, 3) + ( 3, 8) = ( + 3, 3+ 8) Multiplicació de Complejos Se defie: ( a, b) *( c, d) = ( a c - b d, a d + b c) Profesora: Elea Álvare Sái

2 Igeiería de Telecomuicació Ejemplo ( ) , 5 *, = 3-5, =, Vamos a defiir ahora los iversos para estas dos operacioes: Iverso Aditivo (opuesto): Dado ( a, b ) su opuesto es: ( a, - b) Ejemplo: Etoces (, 5) su iverso (, - 5 ). Observar que: Iverso Multiplicativo: (, 5) + (, - 5) = ( 0,0) Dado ( a, b) ( 0,0) su iverso es: a -b, a + b a + b Ejemplo: Etoces (, 5) su iverso 5, 9 9. Observar que: (,5 ) *, = ( 1,0) Sustracció de complejos La resta de dos complejos o es más que sumar al primero el opuesto del segudo Ejemplo ( a, b) ( c, d) = ( a, b) + ( c, d) = ( a c, b d) ( 10, 1) ( 8, 15 ) = ( 10, 1 ) + ( 8, 15 ) = (, 3) Divisió de complejos El cociete de dos complejos o es más que multiplicar al primero el iverso del segudo siempre que éste o sea ulo ( a, b) /( c, d) = c d ac bd bc ad = ( a, b) * +, =, c + d c + d c + d c + d Profesora: Elea Álvare Sái S 3

3 Ejemplo , / 3, 4 = 1, *, =, ( ) ( ) ( ) Producto por u úmero de la forma: ( λ,0) ( λ, 0 ) *( a, b) = ( λa 0 b, 0 a+ λ b) = ( λa, λb) = λ ( a, b) Luego podemos idetificar a los úmeros co seguda compoete cero co los úmeros reales. ( λ, 0 ) λ Forma biómica Hasta ahora hemos cosiderado los úmeros complejos expresados e forma de par ordeado vamos a ver otra forma de expresar u úmero complejo. Llamemos uidad imagiaria i= ( 0, 1) es fácil ver que: Ejemplo: Etoces (, ) (, 0) ( 0, ) (,0) (,0) *( 0,1) a b = a + b = a + b a+ bi 5 9, + 6 su forma biómica es i = * = 0, 1 * 0, 1 = 1,0 1. Es fácil ver que i i i ( ) ( ) ( ) Importate: Para operar co úmeros complejos dados e forma biómica se sigue las mismas reglas de las operacioes e el campo real teiedo e cueta que i = -1 Etoces y para la multiplicació: ( a + bi) + ( c + di) = ( a+ c ) + ( b+ d) i ( a + bi )( c + di ) = ac + adi + bic + bdi = ac bd + ( ad + bc) i 4 Profesora: Elea Álvare Sái

4 Igeiería de Telecomuicació Co esta ueva otació podemos escribir C= { a+ bi / a, b R } Dado u úmero complejo = a+ bi se llama parte real de al valor real Re( ) parte imagiaria al valor real Im( ) = b. Por lo tato, ( ) Im( ) = Re + i = a y Si la parte real de u úmero complejo es cero se le llama Imagiario puro y si es cero la parte imagiaria se trata de u úmero real. a 0 0 bi bi Imagiario Puro a bi si = + = + b = 0 a + 0 i = a Que represeta u N Real Represetació gráfica de úmeros complejos Fijado e el plao u sistema de coordeadas cartesiaas ortogoales, los úmeros complejos puede represetarse mediate putos de ese plao, haciedo correspoder a cada úmero complejo, u puto e el plao. El eje x lo llamaremos Eje Real y sobre él se represeta la parte real del umero. Al eje y lo llamaremos Eje Imagiario y sobre él represetaremos la parte imagiaria Profesora: Elea Álvare Sái S 5

5 Siguiedo co el tema de la represetació gráfica de u complejo, otra maera es la que se llama Represetació Vectorial. A cada puto del plao le correspode u Vector, de orige O y extremo Z, siedo O el orige de las coordeadas. A cada úmero complejo le correspode u vector y a cada vector le correspode u complejo Iterpretació geométrica de la suma Dados dos complejos vectorialmete, la suma de ambos se realia utiliado la regla del paralelogramo. El gráfico muestra ua iterpretació geométrica de la suma vectorial de úmeros, aplicado la regla del paralelogramo. Ejemplo: Suma como traslació: E el gráfico está represetado el triágulo de vértices 0, P1 y P e aul y e verde el triágulo de vértices: w, w+p1, w+p. 6 Profesora: Elea Álvare Sái

6 Igeiería de Telecomuicació Ejercicio: Dar la iterpretació vectorial de la resta. Cojugado de u úmero complejo Dado el úmero complejo = x+ iy su cojugado es el úmero complejo = x yi Se verifica las siguietes propiedades: (1) = () = = x+ 0i R (3) = = 0+ bi co b R (4) + = Re( ) = iim( ) (5) + w= + w (6) w= w 1 (7) ( ) 1 = Ejercicio: Probar estas propiedades del cojugado. Profesora: Elea Álvare Sái S 7

7 Módulo y argumeto Dado: = a+ bi llamamos módulo de Z al úmero real positivo: + x + y Y se expresa: Z = = x + y Iterpretació del módulo como distacia: Si, w C etoces w represeta la distacia etre y w Propiedades del módulo: Si, w C (1) 0, = 0 = 0 () Desigualdad triagular: + w + w Demostració geométrica: 8 Profesora: Elea Álvare Sái

8 Igeiería de Telecomuicació otros dos lados. E u triágulo la logitud de uo de los lados es siempre meor que la suma de los (3) w w (4) ( ) Re ; ( ) Im ; Re( ) + Im( ) (5) = (6) = (7) w = w 1 1 (8) = (9) Regla del paralelogramo: + w + w = + w Profesora: Elea Álvare Sái S 9

9 Ejercicio: Demostrar estas propiedades del módulo. Por ultimo os queda el argumeto de u úmero complejo que lo defiimos como la medida del águlo ϕ e radiaes formado por el semieje positivo de las x y el vector que represeta al complejo. Es decir, el argumeto del úmero complejo o ulo = x+ yi es cualquier úmero ϕ que verifique: ( cos ) = x+ yi= Z cosϕ+ i Z seϕ= Z ϕ+ iseϕ Como las fucioes seo y coseo so periódicas de periodo π, el argumeto de Z está defiido salvo múltiplos de π. Co otras palabras hay ua ifiidad de argumetos de, 10 Profesora: Elea Álvare Sái

10 Igeiería de Telecomuicació pero dos cualesquiera de ellos difiere e u múltiplo de π. Si φ ( ππ, argumeto es pricipal. se dice que el Para poder obteer ϕ de u úmero complejo dado e forma biómica, teemos que teer e cueta el cuadrate e el que se represeta dicho úmero. Dado: Z= x+ yi su argumeto se obtiee por mismo que el de y. y ϕ= arc tg x siedo el sigo de ϕ el Etoces (ρ, ϕ) so las coordeadas polares de Z dode Se escribe = ρϕ. ρ = Z y ϕ = arg (Z) Forma trigoométrica de u úmero complejo Vamos a ver ahora ua ueva forma de represetar u úmero complejo: su forma trigoométrica. Si teemos: = x + y i su represetació permite escribir x= ρ cos ϕ y = ρ se ϕ Profesora: Elea Álvare Sái S 11

11 Reemplaado por los segudos miembros de x e y e la forma biómica: Z = x + y i Z= ρ ( cos ϕ + seϕ i) Operacioes e forma trigoométrica Iterpretació geométrica del producto Multiplicar por u úmero complejo de módulo 1 1 Profesora: Elea Álvare Sái

12 Igeiería de Telecomuicació Multiplicar por u úmero complejo cualquiera: El afijo de *w se obtiee girado el afijo de u águlo e radiaes igual al argumeto de w y al resultado hacer ua dilatació de valor w. Profesora: Elea Álvare Sái S 13

13 14 Profesora: Elea Álvare Sái

14 Igeiería de Telecomuicació Potecias: Fórmula de Moivre Utiliado la fórmula de Euler Fució expoecial. Forma expoecial. iϕ e = cosϕ+ iseϕ siedo ϕ R se defie la fució expoecial de = x+ iy como x+ iy x ( cos ) e = e = e y+ isey A partir de la forma trigoométrica podemos ecotrar la forma expoecial de u úmero complejo ya que Profesora: Elea Álvare Sái S 15

15 i = ( cosϕ+ ϕ) = siedo r=, ϕ= arg( ) r ise re ϕ PROPIEDADES.- Si, w C se cumple las siguietes propiedades + 0 = (ii) e = 1 (iii) e e = 1 w w (i) e e e (iv) e = e (v) e ( ) Re = e (vi) arge = Im( ) a+ bi a + (vii) Re( e ) = Re( e ) = e cosb (viii) Im( ) Im( ) a bi a e = e = e seb (ix) ( e ) 1 = e (x) La fució expoecial es periódica de periodo π i. Esta propiedad afirma que los valores que toma la fució expoecial e la bada de la figura so los que toma fuera de ella. π i + π i 0 π i Ejercicio: Demostrar las propiedades de la fució expoecial. 16 Profesora: Elea Álvare Sái

16 Igeiería de Telecomuicació Raíces eésimas Observa que las raíces eésimas de u complejo de módulo r está distribuidas regularmete e ua circuferecia de radio r. Logaritmo eperiao Se defie el logaritmo eperiao de C como el valor complejo w que cumple e w = a + bi y =r (cos φ + i se φ ) etoces =. Si w Profesora: Elea Álvare Sái S 17

17 r= e a b= φ+ kπ k Z Esto sigifica que u úmero complejo tiee ifiitos logaritmos eperiaos. Para cada valor de k se tiee ua determiació o rama de la fució eperiao. Si k=0 se obtiee la rama pricipal. Si se tiee w co, w C se defie Potecias complejas w w log = e Coviee observar que como el logaritmo eperiao de u úmero complejo tiee ifiitos valores, etoces existe ifiitos valores para las potecias complejas. Se llamará pricipal a aquella que correspode al valor pricipal de log. 18 Profesora: Elea Álvare Sái

18 Igeiería de Telecomuicació Logaritmo complejo Podemos defiir e este mometo el logaritmo de u úmero complejo w cuado la base o es el úmero e sio otro úmero complejo. Si, w C se defie el logaritmo e base de w como log w = logw log Nota: Se defie igual que e R. t log w= t = w t log= logw t= logw log Fucioes trigoométricas De la misma forma que hemos ampliado al campo complejo las fucioes expoecial y logaritmo e este apartado vamos a exteder las fucioes trigoométricas a los complejos. E primer lugar observamos que si a R etoces se tiee Por lo tato, ia e = cosa+ isea ia e = cosa isea ia ia e + e = cosa ia ia e e = isea Extediedo estas fórmulas al campo complejo defiimos el seo y el coseo complejos cos e = i + e i se e = i e i i A partir del seo y el coseo queda defiido tambié la tagete y la cotagete Profesora: Elea Álvare Sái S 19

19 i i se e e π tg= = i si + kπ k Z cos e e i i ( + ) i i cos e + e cotg= = i si kπ k Z se e e i i ( ) PROPIEDADES.- Si, w C se cumple (i) se + cos = 1 se + w = se ω+ sew (ii) ( ) cos cos (iii) cos( ) (iv) ( ) 0 (v) ( ) + w = cos cosω se sew se = = kπ k Z π cos = 0 = + kπ k Z (vi) Las fucioes seo y coseo so periódicas de periodo π : ( + π) = ( ), cos( + kπ) = cos( ) se k se IMPORTANTE: Hay que hacer otar que auque e R el seo y el coseo toma valores etre -1 y 1, e C o es cierto. Fucioes hiperbólicas Las fucioes hiperbólicas se puede defiir tambié por aalogía co las fucioes circulares, tomado como referecia ua hipérbola equilátera uidad, x -y =1, e lugar de ua circuferecia. De esta forma el seo hiperbólico es la raó etre la ordeada correspodiete y el semieje trasverso de ua hipérbola equilátera uidad. E la figura se represeta el seo y el coseo hiperbólico y su aalogía co el seo y coseo trigoométricos. 0 Profesora: Elea Álvare Sái

20 Igeiería de Telecomuicació Sea t R etoces las fucioes hiperbólicas reales se defie de la forma: Cht t e = + e t Sht t e = e t Extediedo estas fórmulas al campo complejo defiimos el seo y el coseo hiperbólicos. Si C se defie Ch e = + e Sh e = e A partir del seo y el coseo queda defiido tambié la tagete y la cotagete Profesora: Elea Álvare Sái S 1

21 Sh e e π Th= = si ( k+ 1) i k R Ch e + e Ch e + e Coth= = si kπi k Z Sh e e Se verifica las fórmulas fudametales como eucia la proposició siguiete. PROPOSICIÓN.- Si, w C se cumple (I) Ch Sh = 1 (ii) Sh( + w) = Sh Chw+ Ch Shw (iii) Ch( + w) = Ch Chw+ Sh Shw Sh = = k i k Z (iv) ( ) 0 π, Ch = 0 = k+ 1 π i, k Z (v) ( ) ( ) (vi) Las fucioes seo y coseo hiperbólicos so periódicas de periodo π i, es decir, se Sh + k i = Sh Ch + k i = Ch, k Z verifica ( π) ( π) Ejercicio: Demostrar estas propiedades de las fucioes hiperbólicas complejas. Relació etre las fucioes hiperbólicas y las fucioes trigoométricas: ( ) = cos( ) ( ) = ( ) Ch i Sh ise i Fucioes poliómicas. Teorema Fudametal del Algebra A meudo e la práctica ecesitamos resolver ecuacioes poliómicas de la forma Si se tiee el poliomio ( ) o i p = a + a1+ a a = 0 co a C ( ) o i p = a + a1+ a a co a C, a 0 Profesora: Elea Álvare Sái

22 Igeiería de Telecomuicació al úmero atural "" se le llama grado del poliomio o ulo y al coeficiete "a " coeficiete director. E el estudio que realiaremos de los poliomios os cetraremos pricipalmete e el cálculo de sus raíces. Se dice que u úmero complejo a es raí del poliomio si ( ) ( ) p a = a + a 1 a + a a a a = 0 o p = a + a 1 + a a o p Ejemplo: Dado el poliomio ( ) 1 = + el puto a i = es raí ya que p( i) i = 1+ = 0 PROPOSICIÓN.- El úmero complejo "a" es raí del poliomio ( ) p = a + a 1 + a a si y solamete si dicho poliomio es divisible por q( ) = a. o PROPOSICIÓN.- Sea ( ) p = a + a 1 + a a u poliomio co todos los o coeficietes reales. Etoces si o es ua raí compleja tambié lo es su cojugada. TEOREMA (FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA).- U poliomio ( ) p = a + a 1 + a a co coeficietes e C se puede escribir de la forma 1 ( ) = ( ) ( ) ( ) o k k k r 1 r p a co k 1 + k kr = ( k i es la multiplicidad de la raí i ) Profesora: Elea Álvare Sái S 3

23 Observació: Este teorema se expresa a meudo diciedo que u poliomio co coeficietes e C de grado e ua idetermiada tiee raíces complejas. Si embargo este teorema o da igú método para su cálculo. Se cooce fórmulas geerales para calcular las raíces de u poliomio de grado dos, tres y cuatro, y se ha demostrado la imposibilidad de obteer fórmulas geerales para el cálculo de las raíces de poliomios de grado mayor o igual a cico. Nota: Si detectas algú error o errata pote e cotacto co la profesora para su correcció. 4 Profesora: Elea Álvare Sái