Teoría de errores y presentación de resultados

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Miguel Ángel Venegas Hidalgo
hace 6 años
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1 Teoría de errores y presentación de resultados Fundamentos Físicos de la Ingeniería 1 er curso de ingeniería industrial 1

2 Índice Cifras significativas Error en la medida Expresión de una magnitud con su error Regla de redondeo Cálculo de errores Medida directa Medida indirecta Unidades Rectas de mejor ajuste 2

3 Cifras significativas Número de cifras de un dato Ejemplos: Dato Cifras significativas 318 kg V A J m Ambiguo 3

4 Error en la medida Tipos de error (según la causa) Sistemático eliminable Aleatorio bandas de error: Ej: V 0 = 3.2±0.3 V Expresión del error: Absoluto: x±e x Tiene unidades! Relativo: ε x =E x /x Adimensional 4

5 Expresión de la cantidad con su error La banda de error limita el número de cifras significativas: U= ±0.3 J Si el resultado es incierto en su primera cifra decimal no tiene sentido dar más U=2.3± J Las primeras cifras del error nos dicen donde está la incertidumbre 5

6 Reglas de redondeo 1. Se escriben cantidad y error con todas sus cifras: R= ± Ω 2. Se examinan las dos primeras cifras del error: Son 25? Si: se retienen ambas y se redondea No: se retiene la primera y se redondea Redondeo: afecta a la última cifra retenida R= ± 0.09 Ω Si la siguiente cifra es <5: se mantiene Si la cifra siguiente es 5: se incrementa una unidad 3. Se toman las cifras significativas que marca el error y se redondea R=2.83 ± 0.09 Ω 6

7 Reglas de redondeo 1. Se escriben la cantidad y su error con todas sus cifras: I= ± A I= ± A I= ± A I= ± 2.87 A I= ± 234 A I= ± A I= ± A 7

8 Reglas de redondeo 2. Se examinan las dos primeras cifras del error: Son 25? Si: se retienen ambas y se redondea No: se retiene la primera y se redondea I= ± A I= ± A I= ± A I= ± 2.87 A I= ± 234 A I= ± A I= ± A A 0.04 A 0.20 A 3 A 230 A A 0.3 A 8

9 Reglas de redondeo 3. Se toman las cifras significativas que marca el error y se redondea I= ± A I= ± 0.04 A I= ± 0.20 A I= ± 3 A I= ± 230 A I= ± A I= ± 0.3 A I= ± A I= 2.30 ± 0.04 A I= 2.30 ± 0.20 A I= 2 ± 3 A I= 0 ± 230 A I= ± A I= 2.3 ± 0.3 A 9

10 Cálculo de errores Estudiaremos diferentes casos: Medida directa Una sola medida Varias medidas Medida indirecta Función de una sola variable: z=f(x) Función de varias variables: z=f(x,y,w) 10

11 Error de una medida directa El error depende de la precisión del aparato Aparatos digitales: se toma como error la propia precisión. Excepción en el redondeo: 0.1 en vez de 0.10 Aparatos analógicos: se toma como error la mitad de la precisión Pueden tomarse mitades como resultado Si ha de enrasarse por dos extremos: doble error 11

12 Error de varias medidas directas Se realizan si existe una incertidumbre no achacable al aparato de medida: x1, x2, x3,..., xn Medidas: Resultado: valor medio x 1 n xi n i = 1 = Error: desviación cuadrática media de la media de los datos Si E x es menor que el error del instrumento de medida, se escoge este último 12

13 Error de varias medidas directas Error: cantidades relacionadas E x 2σ n 2 = = n 1 σ n 1 n σ n : desviación estándar de la población (xσ n en las calculadoras) σ n-1 : desviación estándar de la muestra (xσ n-1 en las calculadoras) 13

14 Error de una medida indirecta Función de una variable Suponemos: Resultado: x= x0 ± Ex con z = f( x) z = f( x ) 0 0 Error: E z f E Ejemplo: sección de un cable: Error de la medida: = x x x0 2 0 D S S π D E = E = E 0 s D D D D 2 π D =

15 Error de una medida indirecta Función de una variable Algunos casos sencillos: Una variable proporcional a otra: y = Kx Función exponencial: y = ae Logaritmo: y x y E = E = KE y x x x x E = ae E = ye 0 x y x x Ex = ln x Ey = = ε x x 15

16 Error de una medida indirecta Función de varias variables Suponemos: z = f( x, y, w) x= x ± E ; y = y ± E ; w= w ± E Resultado: Error: 0 x 0 y 0 w z = f( x, y, w ) f 2 f 2 f 2 z = x + y + w x x y w y w E E E E

17 Unidades Todos los datos deben ir acompañados de sus unidades. También resultados intermedios Serie de medidas consecutivas Tablas: 17 mm 15 mm 12 mm 8 mm (mm) F(N) a(m/s 2 )

18 Rectas de mejor ajuste Estudio de la dependencia (lineal) de una variable con otra. Permite: Verificar relación lineal Determinar alguna magnitud de forma indirecta (Ej: pendiente en V=IR) Interpolación o extrapolación Ajustar una función no lineal en una región restringida 18

19 Rectas de mejor ajuste V(mV) I(mA) Paso 1: gráfica de los datos Permite verificar relación lineal. Permite eliminar puntos erróneos

20 Recta de mejor ajuste V(mV) I(mA) V frente a I V(mV) I(mA) 20

21 Recta de mejor ajuste Marcar claramente datos experimentales (aspas si se representan a mano) No señalar datos experimentales en los ejes Magnitudes y unidades en los ejes Debe ocupar toda la página V(mV) V frente a I I(mA) 21

22 Recta de mejor ajuste Marcar claramente datos experimentales (aspas si se representan a mano) No señalar datos experimentales en los ejes Magnitudes y unidades en los ejes Debe ocupar toda la página V(mV) ,8 6,2 9,1 12,5 14,7 18, ,2 26, ,5 35,9 V frente a I I(mA) 22

23 Rectas de mejor ajuste Paso 2: Obtención del coeficiente de correlación (r) Es una medida del grado de alineación r Є (-1,1) No tiene error No tiene unidades Redondeo: hasta la primera cifra distinta de 9. Ejemplos: r = r = r = r = r = r = Erróneo 23

24 Rectas de mejor ajuste Paso 3: Obtención de pendiente y ordenada en el origen: y=ax+b Tienen unidades que hay que especificar Tienen error: hay que redondear Para nuestro ejemplo: V = bi + a r = r = b = Ω Eb = Ω a = mv Ea = mv b = R = ± Ω a = ± 0.17 mv 24

25 Rectas de mejor ajuste Paso 4: Trazado de la recta de mejor ajuste sobre la gráfica Se realiza a partir de dos puntos Estos puntos NO SE REPRESENTAN Debe observarse si, efectivamente, es la recta de mejor ajuste 25

26 Rectas de mejor ajuste V frente a I V(mV) I(mA) 26

27 Rectas de mejor ajuste: ejemplos V frente a I V(mV) I(mA) Recta mal calculada o mal trazada! 27

28 Rectas de mejor ajuste: ejemplos V frente a I V(mV) I(mA) Punto erróneo!: debe eliminarse 28

29 Rectas de mejor ajuste: ejemplos V frente a I Faltan etiquetas en los ejes! 29

30 Rectas de mejor ajuste: ejemplos V frente a I V(mV) I(mA) Recta mal calculada o mal trazada! 30

31 Rectas de mejor ajuste: ejemplos V frente a I V I Faltan puntos experimentales y unidades! 31

32 Rectas de mejor ajuste: ejemplos V frente a I V(mV) I(mA) Para gráficas por ordenador: incluir tramas 32

33 Rectas de mejor ajuste: ejemplos V frente a I V(mV) Datos caso 1 Recta caso 1 Datos caso 2 Recta caso I(mA) Para varias curvas: distintos símbolos y colores 33

34 Rectas de mejor ajuste Resumen de pasos a seguir: Representar los datos experimentales Obtener el coeficiente de correlación Calcular de la pendiente y la ordenada en el origen con su error Obtener información física Representar la recta de mejor ajuste 34

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