PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2011 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

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1 PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 0 MATEMÁTICAS II TEMA : FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva 3, Ejercicio, Opción A Reserva 3, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Septiembre, Ejercicio, Opción A Septiembre, Ejercicio, Opción B

2 Se desea construir un depósito cilíndrico cerrado de área total a 5 la base y la altura del cilindro para que éste tenga volumen máimo. MATEMÁTICAS II. 0. JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN A. m. Determina el radio de a) Función que queremos que sea máimo es: V =π r h 5 πr 7 πr b) Relación entre las variables: 5 = π r + πrh h= = πr πr c) Epresamos la función que queremos que sea máimo con una sola variable. 7 πr 3 V =π r h=πr = 7 r πr πr d) Derivamos e igualamos a cero 7 V ' = 7 3π r = 0 r =± =± '69m 3π Solo vale la solución positiva ya que estamos calculando dimensiones, luego: r = '69 m ; h= 3'39 m

3 f + la función definida por f( ) =. Determina el punto P de la gráfica de f que se encuentra a menor distancia del punto A (,0). Cuál es esa distancia?. MATEMÁTICAS II. 0. JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN B Sea :, [ ) Función que queremos que sea mínimo: La distancia entre los puntos (,0) y (, ). d = + = + ( ) ( 0) 3 3 Derivamos e igualamos a cero 3 3 d' = = 0 = 3+ 3 Luego el punto es: 3 P =,. La distancia mínima es: d = + 3 = u

4 Un alambre de longitud 00 metros se divide en dos trozos. Con uno de los trozos se construye un cuadrado y con el otro un rectángulo cuya base es doble que su altura. Calcula las longitudes de cada uno de los trozos con la condición de que la suma de las áreas de estas dos figuras sea mínima. MATEMÁTICAS II. 0. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) Función que queremos que sea mínima: S min = + y 00 b) Relación entre las variables: 00 = y+ y+ y+ y = 6y y = 6 c) Epresamos la función que queremos que sea mínima con una sola variable. S min y + = + = + = 6 d) Derivamos e igualamos a cero S' = = 0 = 7 e) Comprobamos que corresponde a un mínimo 3 S '' = > 0 mínimo Luego, las dimensiones son: = m ; 00 = m 7 7

5 Sea f : la función definida por f ( ) = a) Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa =. b) Determina el punto de la gráfica en el que la recta tangente es perpendicular a la recta + y = 0. MATEMÁTICAS II. 0. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B a) La ecuación de la recta normal en el punto de abscisa = es: y f() = ( ) f '() Calculamos: f () = = 0 f '( ) = f '() = Sustituyendo, tenemos: y f() = ( ) y 0 = ( ) y = 0 f '() a) La pendiente de la recta que nos dan es: perpendicular tendrá de pendiente m =. + + y = 0 y = m=. La recta f '( ) = = = ; f ( ) = ( ) = 3 Luego, el punto que nos piden es: (,3)

6 Una ventana normanda consiste en un rectángulo coronado con un semicírculo. De entre todas las ventanas normandas de perímetro 0 m, halla las dimensiones del marco de la de área máima. MATEMÁTICAS II. 0. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. y r a) Función que queremos que sea máimo: S πr = r y+ ma 0 r πr b) Relación entre las variables: 0 = r+ y+πr y = c) Epresamos la función que queremos que sea máimo con una sola variable. πr 0 r πr πr 0r r πr Sma = r y+ = r + = d) Derivamos e igualamos a cero 0 8r πr 0 S' = = 0 r = = ' 8+ π e) Comprobamos que corresponde a un máimo Luego, las dimensiones son: r = ' m ; y = 'm 8 π S'' = < 0 Máimo

7 ln( ) + a si Sea f :, e la función definida por f( ) = e b + ln() si < Donde ln denota la función logaritmo neperiano. a) Calcula los valores de a y b para que f sea derivable en el intervalo, e. b) Para a = 0 y b = halla los etremos absolutos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). MATEMÁTICAS II. 0. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) Si la función es derivable, primero tiene que ser continua en el punto =, luego: lim ln( ) + a= ln + a ln + a = b + ln a b = lim b + ln = b + ln + si < Calculamos la función derivada: f '( ) = e b si < < f '( ) = = Como es derivable en =, se cumple que: b = + f '( ) = b Sustituyendo en la ecuación anterior, tenemos que: a = a= 0 b) La función que tenemos es: ln( ) si e f( ) = + ln() si < Sabemos que los etremos absolutos pueden estar en: - Los etremos del intervalo, en este caso = y = e - En los puntos donde se anula la derivada, en este caso, = 0 = Para =, la función vale: f = ln = + = '36 e e e e e Para =, la función vale: f () = + ln= 3 ln= '30 Para =, la función vale: f () = ln= Luego, el máimo absoluto está en = y vale f () = '30. El mínimo absoluto está en = y vale f () =

8 3 Dada la función f : definida por f ( ) = a + b + c, determina a, b y c sabiendo que su gráfica tiene un punto de infleión en (,0), y que la recta tangente en ese punto tiene por ecuación y = MATEMÁTICAS II. 0. RESERVA 3. EJERCICIO. OPCIÓN A. Calculamos la derivada primera y segunda de la función: f '( ) = 3a + b+ c ; f ''( ) = 6a+ b - El punto (,0) es un punto de infleión de la gráfica de f 3 Pasa por (,0) a + b + c = 0 f ''() = 0 6a + b= 0 - La recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = tiene de pendiente 3 f = a + b + c= '() Resolviendo el sistema a+ b+ c= 0 6a+ b= 0 resulta: 3a+ b+ c= 3 3 a= 3; b= 9; c= 6 f( ) =

9 En el primer cuadrante representamos un rectángulo de tal manera que tiene un vértice en el origen de coordenadas y el vértice opuesto en la parábola y = + 3. Determina las dimensiones del rectángulo para que su área sea máima. MATEMÁTICAS II. 0. RESERVA 3. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) Función que queremos que sea máimo: Sma = y b) Relación entre las variables: y = + 3 c) Epresamos la función que queremos que sea máimo con una sola variable. S 3 ma = ( + 3) = + 3 d) Derivamos e igualamos a cero ' = 3 + 3= 0 =± S e) Comprobamos que valor corresponde a un máimo S'' = 6 S''() = 6 = 6 < 0 Máimo S ''( ) = 6 ( ) = 6 > 0 Mínimo Además, el valor = no sirve porque no está en el primer cuadrante. Luego, las dimensiones son: = ; y =

10 Queremos hacer junto a la carretera un cercado rectangular para unos caballos en una zona llana. Cada metro del lado del cercado que está junto a la carretera nos cuesta 00 euros, mientras que para el resto del cercado nos cuesta 0 euros el metro. Cuáles son las dimensiones del prado de área máima que podemos cercar con 3000 euros?. MATEMÁTICAS II. 0. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) Función que queremos que sea máimo: Sma = y b) Relación entre las variables: = y+ 0y y= = 0 c) Epresamos la función que queremos que sea máimo con una sola variable Sma = y = = d) Derivamos e igualamos a cero S' ma = = 0 = m ; y = 75 m e) Comprobamos que corresponde a un máimo S'' = < 0 Máimo Luego, las dimensiones son: 50 = m ; y = 75 m

11 En una empresa los ingresos (en euros) dependen de la edad. Si la edad,, es de 8 a 50 años, los ingresos vienen dados por la fórmula + 70, mientras que para edades iguales o superiores a 50 años los ingresos están determinados por la epresión Calcula cuál es el máimo de los ingresos y a que edad se alcanza. MATEMÁTICAS II. 0. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. Nos están dando una función que viene definida a trozos: + si < f( ) = 00 si Sabemos que los etremos absolutos pueden estar en: - Los etremos del intervalo, en este caso = 8 - En los puntos donde se anula la derivada, en este caso, + 70= 0 = 35 - En los puntos donde no es continua o derivable, en nuestro caso, = 50 que donde cambia de una función a la otra Para = 8, la función vale: Para = 35, la función vale: Para = 50 f (8) = = 936 f = + =, vamos a ver si la función es continua (35) = 00 lim f( ) lim f( ) 000 = + = lim = lim ( 70 ) Luego, la función es continua y vale 000. Por lo tanto el máimo de ingresos es 5 y se alcanza a la edad de 35 años.

12 Calcula la base y la altura del triángulo isósceles de perímetro 8 y de área máima. MATEMÁTICAS II. 0. SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN A ) Escribimos la función que queremos que sea máimo: Sma h = = h ) Relación entre las variables: + y = 8 ; + y = = = = h + = y h y ( ) 6 8 3) Escribimos la función que queremos que sea máimo con una sola variable: Sma = h= 6 8 = ) Calculamos la derivada de la función y la igualamos a cero: S' = = = 0 = 0 ; = = Luego, la base del triángulo es = = y la altura h = 6 8 = = ) Comprobamos que = corresponde a un máimo, sustituyendo este valor en la segunda 3 derivada y sale S '' 0 3 <, luego, es un máimo.

13 3 + Sea f la función definida por f( ) = para 0. 3 a) Estudia las asíntotas de la gráfica de la función. b) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los etremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). MATEMÁTICAS II. 0. SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN B a) El dominio de la función f() es { 0 } Asíntotas Verticales: = Asíntotas Horizontales: lim f( ) = lim = No tiene Asíntota Oblicua: y = m + n f( ) 3 + m = lim = lim = n= lim [ f( ) m] = lim 3 lim = = 3 + Luego, la asíntota oblicua es: y = 3 b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: (3 + ) 3 3 y' = = = 0 = y = 3 ( ) (, ) (,0) (0, ) (, ) Signo y ' + + Función C D D C Máimo (, ) mínimo (, )