FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS TEMA 1: CURVAS

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1 FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS TEMA 1: CURVAS

2 TEMA 1: CURVAS 1. CÓNICAS * Prábols * Elipses * Hipérbols * Ecución Generl de un cónic. ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE UNA CURVA 3. COORDENADAS POLARES EN EL PLANO * Coordends polres * Curvs en coordends polres

3 CÓNICAS

4 CÓNICAS SUPERFICIE CÓNICA DE REVOLUCIÓN eje genertriz vértice ELIPSE PARÁBOLA HIPÉRBOLA SECCIONES CÓNICAS O CÓNICAS

5 Ecución generl de un cónic

6 CÓNICAS ECUACIÓN GENERAL DE UNA CÓNICA Proposición Si un cónic no degenerd viene dd por l ecución Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0, l cónic será: - prábol, si A=0 ó C=0, pero no mbos coeficientes nulos - elipse, si A y C tienen el mismo signo -hipérbol, si A y C tienen distinto coeficiente

7 Prábols

8 PARÁBOLAS Definición y elementos CÓNICAS L prábol es el lugr geométrico de los puntos del plno, P(x,y) que equidistn de un punto fijo llmdo foco (F) y de un rect fij dd llmd directriz (d). Foco (F) P(x,y) P(x,y) P prábol determind por l rect r y el punto F d ( P, F) = d( P, d) Directriz (d) Directriz (d)

9 PARÁBOLAS Definición y elementos CÓNICAS Foco (F) (F) P(x,y) P(x,y) * Eje es l rect perpendiculr l directriz que ps por el foco. Vértice * Vértice es el punto de intersección de l prábol con su eje. (d) Directriz (d) Eje

10 PARÁBOLAS CÓNICAS Ecución reducid o cnónic de un prábol Y Y Y Y (0,0) X (0,0) (0,0) X X (0,0) X Posición estándr

11 CÓNICAS PARÁBOLAS Ecución reducid o cnónic de un prábol Y d: y=-c Y (0,0) X Teorem F(0,c) F(0,c) i) L ecución reducid de l prábol con vértice (0,0) y Foco (0,c) es: d: y=-c (0,0) X y = 1 x 4c Si c>0, l prábol se bre en l dirección positiv del eje Y. Si c<0, l prábol se bre en l dirección negtiv del eje Y.

12 CÓNICAS PARÁBOLAS Ecución reducid o cnónic de un prábol Y Y Teorem (0,0) (0,0) X X ii) L ecución reducid de l prábol con vértice (0,0) y Foco (c,0) es: x = 1 y 4c Si c>0, l prábol se bre en l dirección positiv del eje X. Si c<0, l prábol se bre en l dirección negtiv del eje X.

13 PARÁBOLAS Prábols trsldds CÓNICAS Y Y O(0,0) O (h,k) X X En el sistem de referenci X Y, l ecución cnónic de l prábol viene dd por l expresión: y ' = 1 4c x'

14 PARÁBOLAS Prábols trsldds CÓNICAS Teorem i) L ecución de l prábol con vértice V(h,k) y eje de simetrí prlelo l eje Y es: y k = 1 4 c ( x h), con foco F(h,c+k) y directriz y=k-c. ii) L ecución de l prábol con vértice V(h,k) y eje de simetrí prlelo l eje X es: x h = 1 4c ( y k), con foco F(c+h,k) y directriz x=h-c.

15 PARÁBOLAS CÓNICAS

16 PARÁBOLAS Aplicciones CÓNICAS Y α F α P(x,y) O X Propiedd reflector de l prábol: L rect tngente un prábol en un punto P form ángulos igules con ls siguientes rects: -l que ps por P y por el foco F, -l que ps por P y es prlel l eje de simetrí de l prábol.

17 Elipses

18 ELIPSES Definición y elementos CÓNICAS L elipse es el lugr geométrico de los puntos del plno, P(x,y) tles que l sum de sus distncis dos puntos fijos denomindos focos (F y F ) es un constnte dd, siendo este vlor myor que l distnci entre los focos. P (x,y) P elipse d( P, F) + d( P, F') = constnte F F

19 ELIPSES Definición y elementos CÓNICAS - Focos son los puntos fijos F y F. L distnci entre mbos es c. -Centro(C) es el punto medio entre los dos focos. - Ejes de simetrí son l rect que ps por los focos y su perpendiculr por el punto C. A B F C B P (x,y) F A - Vértices son los puntos de intersección de los ejes con l elipse (A, A, B y B ). - Eje myor es el segmento AA de longitud ( es el vlor del semieje myor) - Eje menor es el segmento BB de longitud b (b es el vlor del semieje menor. - Excentricidd, e, l número resultnte de dividir l distnci entre los focos, entre l longitud del eje myor, e = c /

20 CÓNICAS ELIPSES (relción entre el semieje myor y el semieje menor) A y B pertenecen l elipse: d ( A, F) + d( A, F') = d( B, F) + d( B, F') B(0,b) A (-,0) b c F C(0,0) F A(,0) = b + c B (0,-b)

21 CÓNICAS ELIPSES OBSERVACIONES: 1. L constnte que prece en l definición de l elipse es, es decir, P elipse d( P, F) + d( P, F') = con >d(f,f )=c.. L longitud del eje myor es myor o igul l del eje menor, esto es, b. L iguldd se verific cundo c = 0, en cuyo cso los focos coinciden en un mismo punto, y en este cso l elipse es un circunferenci de rdio = b. 3. Pr dibujr un elipse bst con fijr dos puntos y tr los extremos de l cuerd dos puntos fijos y se mntiene l cuerd tens l mismo tiempo que se desliz un lápiz (Método del jrdinero).

22 CÓNICAS ELIPSES OBSERVACIONES: 3. Pr dibujr un elipse bst con fijr dos puntos y tr los extremos de l cuerd dos puntos fijos y se mntiene l cuerd tens l mismo tiempo que se desliz un lápiz (Método del jrdinero).

23 CÓNICAS ELIPSES OBSERVACIONES: 4. L excentricidd es un número que mide el chtmiento myor o menor de l elipse: -Si c <, l excentricidd de l elipse es menor que 1, es decir, e < 1. - Si c 0, l excentricidd e 0. En este cso l elipse es un circunferenci (los focos se proximn). - Si c, l excentricidd e 1. En este cso, el vértice B se proxim l centro y l elipse l segmento AA.

24 ELIPSES CÓNICAS Ecución reducid o cnónic de un elipse 5 Y 5 Y (0,) (0,b) (0,c) 0 (-,0) (-c,0) O (c,0) (,0) X 0 (-b,0) (b,0) X (0,-b) (0,-c) (0,-) Eje myor horizontl Eje myor verticl Posiciones estándr

25 CÓNICAS ELIPSES Ecución reducid o cnónic de un elipse 5 Y 5 Y (0,) (0,b) (0,c) 0 (-,0) (-c,0) O (0,-b) (c,0) (,0) X 0 (-b,0) x (0,-c) + b y (b,0) = 1 X (0,-) Teorem L ecución reducid de un elipse de centro (0,0), ejes de longitud y b con b y focos en el eje myor distnci c del centro, siendo =b +c, es: x y i) + = 1, si el eje myor es horizontl. b ii) y x + = 1, si el eje myor es verticl. b

26 ELIPSES Elipses trsldds CÓNICAS Y Y O (h,k) X O X En el sistem de referenci X Y, l ecución cnónic de l elipse viene dd por l expresión: x' y' + b = 1 y' x' + b ó = 1

27 ELIPSES Elipses trsldds CÓNICAS Y Y O (h,k) X O X En el sistem de referenci X Y, l ecución cnónic de l elipse viene dd por l expresión: x' y' + b = 1 y' x' + b ó = 1

28 ELIPSES Elipses trsldds CÓNICAS Teorem i) L ecución de l elipse de centro C(h,k) y eje myor prlelo l eje X es: ( x h) ( y k) + b = 1, con b. ii) L ecución de l elipse de centro C(h,k) y eje myor prlelo l eje Y es: ( y k) ( x h) + b = 1, con b.

29 ELIPSES Aplicciones CÓNICAS Propiedd reflector de l elipse: L rect tngente un elipse en un punto P form ángulos igules con ls rects que lo unen sus focos. Como consecuenci se tiene que un ryo de luz procedente de uno de los focos se reflejrá, en un espejo elíptico psndo por el otro foco.

30 Hipérbol

31 HIPÉRBOLAS Definición y elementos CÓNICAS L hipérbol es el lugr geométrico de los puntos del plno, P(x,y), tles que el vlor bsoluto de l diferenci de sus distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es un constnte dd que es menor que l distnci entre los focos. B Y P (x,y) * Centro (C) es el punto medio entre los focos. L distnci entre los focos es c. F A C A F X Ejes de simetrí son ls rects que unen los focos y su perpendiculr. B Los puntos A, A, B y B son los vértices de l hipérbol.

32 HIPÉRBOLAS Definición y elementos CÓNICAS L hipérbol es el lugr geométrico de los puntos del plno, P(x,y), tles que el vlor bsoluto de l diferenci de sus distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es un constnte dd que es menor que l distnci entre los focos. Y * Eje trnsversl es el segmento AA de longitud. B b c P (x,y) Eje conjugdo es el segmento BB de longitud b. F A C B A F X En el triángulo rectángulo CAB se cumple el teorem de Pitágors: + b = c

33 HIPÉRBOLAS Definición y elementos CÓNICAS L hipérbol es el lugr geométrico de los puntos del plno, P(x,y), tles que el vlor bsoluto de l diferenci de sus distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es un constnte dd que es menor que l distnci entre los focos. Y * Excentricidd: e=c/>1 B F A C A P (x,y) F X B Si c, l excentricidd e 1. Ls rms se cierrn y se proximn ls semirrects de origen A y A que contienen el eje focl. Si c, l excentricidd e. Ls rms se bren cd vez más y se proximn rects perpendiculres l eje trnsversl

34 HIPÉRBOLAS Definición y elementos CÓNICAS L hipérbol es el lugr geométrico de los puntos del plno, P(x,y), tles que el vlor bsoluto de l diferenci de sus distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es un constnte dd que es menor que l distnci entre los focos. Y P hipérbol determind por los focos F y F B P (x,y) ( P, F ) d( P, F' ) = d F A C A F X con <c. B

35 CÓNICAS HIPÉRBOLAS Ecución reducid o cnónic de un hipérbol F(0,c) F (-c,0) A (-,0) F (c,0) A(,0) A (0,) A (0,-) F (0,-c) Eje trnsversl horizontl Eje trnsversl verticl Posiciones estándr

36 CÓNICAS HIPÉRBOLAS Ecución reducid o cnónic de un hipérbol F(0,c) F (-c,0) A (-,0) F (c,0) A(,0) A (0,) A (0,-) F (0,- c) Teorem L ecución reducid de un hipérbol de centro (0,0), vértices distnci del centro y focos distnci c del centro con <c y c =b +, es: x y i) = 1, si el eje trnsversl es horizontl. b y x ii) = 1, si el eje trnsversl es verticl. b

37 HIPÉRBOLAS Asíntots CÓNICAS Teorem Pr un hipérbol situd en posición estándr, i) si el trnsversl es horizontl, ls ecuciones de sus síntots son b y = x e ii) si el eje trnsversl es verticl, ls ecuciones de sus síntots son y = b x e b y = x y = b x

38 HIPÉRBOLAS Hipérbols trsldds Y Y CÓNICAS (h,k) O X O X En el sistem de referenci X Y, l ecución cnónic de l hipérbol viene dd por l expresión: x' y' b = 1 y' x' b ó = 1

39 Teorem Se un hipérbol de centro c(h,k), vértices distnci del centro y focos distnci c del centro y c = +b. Su ecución y l de sus síntots son: i) Si su eje trnsversl es horizontl, CÓNICAS ( ) ( ) 1 = b k y h x ( ) ( ) 1 = b h x k y HIPÉRBOLAS Hipérbols trsldds ii) Si su eje trnsversl es verticl,, síntots:, síntots: ( ) h x b k y + = ( ) h x b k y =, ( ) h x b k y + =, ( ) h x b k y =

40 HIPÉRBOLAS Hipérbol equiláter CÓNICAS Si = b, l hipérbol recibe el nombre de hipérbol equiláter. Su ecución, según se el eje trnsversl horizontl o verticl será: x y = ó y x = Y * Los vlores de c y e son: F A C P (x,y) A F X c = e = Sus síntots son, en mbos csos, ls rects: y = x,, y = x

41 HIPÉRBOLAS Hipérbol equiláter CÓNICAS Ecución de un hipérbol referid sus síntots xy = k siendo k 0 Si k<0, l gráfic está situd en el segundo y curto cudrnte. Si k>0, l gráfic está situd en el primer y tercer cudrnte.

42 HIPÉRBOLAS Aplicciones CÓNICAS Propiedd reflector de l hipérbol: L rect tngente un hipérbol en un punto P form ángulos igules con ls rects que lo unen sus focos. Como consecuenci se tiene que un ryo de luz procedente de uno de los focos se reflejrá siguiendo l rect que ps por el otro foco.

43 Coordends polres en el plno

44 COORDENADAS POLARES O Polo P(r,θ) θ Eje polr Un sistem de coordends polres const de un punto fijo O denomindo polo, y un semirrect con origen en dicho punto llmd eje polr. (r,θ) son ls coordends polres del punto del plno P, donde: r: distnci orientd desde O hst P θ: es el ángulo, orientdo en sentido contrrio ls gujs del reloj, que form el eje polr con el segmento de rect OP.

45 RELACIÓN ENTRE COORDENADAS POLARES Y COORDENADAS CARTESIANAS Y P(x,y) = P(r,θ) O r x θ y X x = r cosθ y = rsenθ x + y = tg θ = r y x

46 ECUACIONES POLARES DE LAS CÓNICAS Teorem Sen F un punto fijo (llmdo foco) y s un rect fij (llmd directriz) en el plno. Se e un constnte positiv (denomind excentricidd). El conjunto de todos los puntos P del plno tles que d d ( P, F ) ( P, s) = e es decir, cuy relción entre l distnci d(p,f) y l distnci d(p,s), es igul l constnte e, es un sección cónic, que se identific: i) es un elipse si e<1, ii) es un prábol si e=1, iii) es un hipérbol si e>1.

47 ECUACIONES POLARES DE LAS CÓNICAS Teorem Un ecución polr de l form r = ed 1± ecosθ ó r ed = 1± esenθ represent un sección cónic de excentricidd e, l cónic es: i) es un elipse si e<1, ii) es un prábol si e=1, iii) es un hipérbol si e>1.

48 SIMETRÍAS Un curv dd en coordends polres es simétric respecto l 1) Eje OX si l sustituir θ por -θ se obtiene un ecución equivlente. ) Eje OY si l sustituir θ por π-θ se obtiene un ecución equivlente. 3) O(0,0) si l sustituir r por r se obtiene un ecución equivlente. (r,θ) (r,θ) (r,θ) θ (-r,-θ) (r,π-θ) π-θ θ π+θ θ -θ Respecto l eje X (r,-θ) (-r,π-θ) (-r, θ) (r,π+θ) Respecto l eje Y Respecto del origen (0,0)

49 Ecuciones prmétrics de un curv

50 DEFINICIÓN de un curv dd en form prmétric Ls ecuciones x = x(t), y = y(t), definids en el intervlo I R, es decir, el prámetro t I, siendo ls funciones x e y continus en t, son uns ecuciones prmétrics de un curv pln cuyos puntos de coordends (x,y) se obtienen l hcer vrir el prámetro t en el intervlo I. CURVA SUAVE i) Un curv pln es suve si tiene un prmetrizción de l form x = x(t), y = y(t), en un intervlo I R, tl que ls derivds x e y respecto de t, son continus en I y no se nuln simultánemente excepto tl vez en los extremos del intervlo I. ii) Un curv es suve trozos si se puede dividir el intervlo I en subintervlos cerrdos de modo que l curv se suve en cd subintervlo.