Estadística con R. Modelo Probabilístico Lineal

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1 Estadístca con R Modelo Probablístco Lneal

2 Modelo Probablístco Lneal Forma de la funcón: Y b 0 +b 1 X +e Varable dependente, endógena o a explcar dcotómca : Y, S Y 0 e -b 0 - b 1 X con probabldad p. S Y 1 e 1 -b 0 - b 1 X con probabldad 1-p. Varable(s) ndependente, exógena o explcatva cuanttatvas ó cualttatvas: X Error aleatoro: e Parámetros ó coefcentes: b 0 (termno ndependente) y b 1. Var( e ) (1 β 0 β1x )( β 0 + β1x ) p (1 p)

3 Estmadores MCO de estos modelos La perturbacón aleatora (e) no sgue una dstrbucón Normal, ya que el carácter bnaro (1 ó 0) de la varable endógena afecta a la dstrbucón de la perturbacón, tenendo ésta una dstrbucón Bnomal La perturbacón aleatora no tene una varanza constante (es heteroscedástca) Las predccones realzadas sobre la varable endógena no sempre se encuentran en el ntervalo [0,1], ya que pueden ser mayores que cero y menores que uno.

4 Modelo LOGIT: Funcon de dstrbucón logstca

5 Logt (L ) La probabldad de que Y 0 (p) se defne ahora medante la sguente expresón: p (1 + e donde Z b 0 + b 1 X 1, sendo b son los coefcentes a estmar y X es el vector de varable(s) ndependente(s) La probabldad de que Y 1 (p) : 1 ( 1 p) z (1 + e ) 1 z ) p (1 p) (1 + e (1 + e z ) z ) e z Tomando logartmos: ln p ln( e ) b + b z L 0 1 (1 p ) X

6 Estmacon Logt por GLM La estmacón de los parámetros se realza por máxmo verosmltud Para valorar el ajuste se utlza el estadístco AIC (Akake Informaton Crteron), o estadístcos dervado del anteror. En el caso general, la AIC es AIC-2ln(L)/n+2k/n donde k es el número de parámetros en el modelo estadístco, n el numero de datos, y L es el máxmo valor de la funcón de verosmltud para el modelo estmado. Dado un conjunto de modelos canddatos para los datos, el modelo preferdo es el que tene el valor mínmo en el AIC. El AIC no sólo recompensa la bondad de ajuste, sno tambén ncluye una penalzacón (número de parámetros estmados). Esta penalzacón desalenta el sobreajute.

7 Estmacón Logt en R lbrary(islr) attach(default) ftglm(default~.,datadefault,famlybno mal) summary(ft) summary(ft$ftted.values) ft.predfelse(ft$ftted.values>0.0333,1,0) table(ft.pred,default$default)

8 Funcón Probt

9 Probt (I ) S I b 0 +b 1 X > s entonces Y 1 S I b 0 +b 1 X <s entonces Y 0 La probabldad de que este sea menor o gual al valor (s), se calcula a partr de la funcón de dstrbucón acumulada de una dstrbucón Normal estandarzada: p pr( Y 1) pr( β + β X Forma más senclla: s) donde F -1 es la nversa de la funcón de dstrbucón Normal βo + β1x t dt 2 e 2π 1 ( I ) ( p ) β 0 + β X * 1 I F F 1

10 Estmacón Probt en R ft2glm(default~.,datadefault,famlybn omal (lnkprobt)) summary(ft2) ft2.probspredct(ft2,type"response") summary(ft2.probs) ft2.predfelse(ft2.probs> ,1,0) table(ft2.pred,default$default)

11 Ejemplo A researcher s nterested n how varables, such as GRE (Graduate Record Exam scores), GPA (grade pont average) and prestge of the undergraduate nsttuton, effect admsson nto graduate school. The response varable, admt/don't admt, s a bnary varable. mydata <- read.csv(" y.csv") head(mydata) alternatva (mtcars, modelo mpl para vs)

12 Curva ROC lbrary(rocr) mylogt <- glm(admt ~ gre + gpa + rank, data mydata, famly "bnomal") mylogt.probspredct(mylogt,type"response") predct.rocr <- predcton (mylogt.probs,mydata$admt) perf.rocr <- performance(predct.rocr,"tpr","fpr") #True y Tasa de falsos postvos auc <- plot(perf.rocr,type'o', man paste('area Bajo la Curva ',round(auc,2))) ablne(a0, b 1)

13 Mnería de datos # dvsón de la muestra en entrenamento y test transample(seq(length(default$default)),length(default$default)*0.70,replacefals E) # Estmacón de modelo probt glm.trglm(default[tran]~.,datadefault[tran,],famlybnomal(lnkprobt)) #predccón probspredct.glm(glm.tr,newdatadefault[-tran,],type"response") predfelse(probs>mean(probs),1,0) table(pred,default[-tran]) #gráfca curva ROC lbrary(rocr) predct.rocr <- predcton (probs,default$default[-tran]) perf.rocr <- performance(predct.rocr,"tpr","fpr") #True y Tasa de falsos postvos auc <- plot(perf.rocr,type'o', man paste('area Bajo la Curva ',round(auc,2))) ablne(a0, b 1)

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