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1 I. P. N. ESIME Unidad Culhuacan INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA UNIDAD CULHUACAN INGENIERIA EN COMUNICACIONES Y ELECTRÓNICA ACADEMIA DE COMPUTACIÓN LABORATORIO DE CIRCUITOS DIGITALES PRACTICA NO. 3 APLICACIONES CON MAPAS DE KARNAUGH PROF: AGOSTO 2011

2 2 Practica No. 3 Aplicaciones con Mapas de Karnaugh Objetivos: Simplificar problemas de lógica combinatoria, donde se generen condiciones opcionales; Aplicando de mapas de Karnaugh, en particular la aplicación a diseño de Convertidores de Código.

3 3 Material 1 Experimentador. Fuente regulada de 5V CD. Circuitos Integrados: 74XX00 o CD 40YY (Equivalente en Tecnología CMOS) 74XX02 74XX04 74XX08 74XX32 74XX86 XX = HC, F, o LS. 74 = Tecnología TTL CD40 = Tecnología CMOS 1 Micro interruptor. 12 Resistencias de 330 Ω a ½ W. 8 Led s º Hojas de datos técnicos de los circuitos integrados (consultar: ó.net/ : )

4 4 1. Introducción Teórica. Mapas de Karnaugh. Los métodos de reducción de funciones lógicas reducen notablemente el costo de implementación de los circuitos lógicos, ya que al minimizar la función algebraica de dicho circuito, utiliza un menor número de compuertas y con ello se optimizan los recursos disponibles. Los métodos de simplificación más usados son el álgebra de Boole (visto en los temas anteriores) y los mapa de Karnaugh, ambos tienen la finalidad de obtener una simplificación final de la función principal del circuito lógico. Uno de los métodos de minimización de un circuito es el mapa de Karnaugh, el cual es una representación gráfica de la tabla de verdad de una función lógica. Los mapas de Karnaugh para una función lógica de n entradas, es un arreglo con 2 n celdas, una para cada posible combinación de entrada o minitérmino, donde dichas celdas son adyacentes. Las líneas y columnas de un mapa de Karnaugh están etiquetadas en código Gray, para que cualquier combinación de variables de entrada sea fácilmente localizada de acuerdo a los encabezados de columnas y líneas. Como ejemplo dibujaremos un mapa de Karnaugh de cuatro variables. La forma de obtener la salida minimizada es agrupando los unos o ceros del mapa según sea el caso (minter o maxter respetivamente), es grupos de 2 n, ya sea en forma horizontal o vertical, o en agrupamientos abiertos o cerrados. En forma más explícita citaremos los pasos para la simplificación de funciones algebraicas por mapas de Karnaugh. 1.- Expresar la función en forma de suma de productos o términos mínimos minter.

5 5 2.- Introducir al mapa cada uno de los sumandos, llenando estas intersecciones con unos y los sobrantes con ceros. 3.- Se agrupan siguiendo las potencias de 2 n, los ceros o los unos que estén localizados en celdas adyacentes. 4.- Todos los ceros o unos deberán ser incluidos en algún agrupamiento. 5.- La función simplificada tendrá tantos términos como agrupamientos. 6.- Mayor agrupamiento implica mayor grado de simplificación. 7.- Las variables que aparezcan en el resultado serán exclusivamente las que no cambien de valor dentro de un agrupamiento dado, las variables que pueden valer cero o uno dentro de un mismo agrupamiento deben excluirse. Uso de las condiciones opcionales de los mapas de Karnaugh. Las condiciones opcionales (cuando existen), se incluyen en el mapa como cruces que en un momento dado pueden adoptar el valor falso o verdadero; desde luego podrán adoptar el valor que más convenga. Una condición opcional puede tratarse así porque sólo hay dos tipos: 1. Las que no pueden ocurrir 2. Las que no importan que ocurran 3. De las condiciones opcionales disponibles, sólo se aprovechan en el agrupamiento las que convengan. Compuertas universales. Las compuertas NAND y NOR son denominadas compuertas universales, ya que es posible que cualquier expresión lógica se implementada mediante el uso de un solo tipo de compuertas NAND o NOR. Las compuertas NAND y NOR, en realidad parten de las operaciones básicas AND, OR e INVERSOR, y de los teoremas de Morgan para implementar cualquier operación algebraica booleana.. En la figura inferior se muestra el símbolo y las tablas de verdad de las compuertas universales.

6 6 Ejemplo.- Implementar la función adjunta mediante compuertas universales. a) Compuerta NAND Partiendo del principio que y el teorema de Morgan, se tiene que trabajar la expresión algebraica para llegar a una forma de únicamente productos verdaderos o negados. Implementando el circuito lógico. a) Compuerta NOR Partiendo del principio que y el teorema de Morgan, se tiene que trabajar la expresión algebraica para llegar a una forma de únicamente sumas verdaderas o negadas.

7 7 Implementando el circuito lógico Compuerta exclusiva La compuerta OR-exclusiva (XOR) es un circuito digital de dos entradas y cuya salida es igual a la siguiente expresión: X = A B + AB o X = A B La tabla de verdad y el símbolo de una compuerta XOR es: De la tabla de verdad se puede ver que la salida X es cero, cuando las dos entradas adoptan el mismo valor. Códigos binarios. Cuando se representan números, letras o palabras por un grupo especial de símbolos, se llama: codificación y al grupo de símbolos se les denomina código. Probablemente uno de los códigos más familiares es el código Morse, en el cual las letras del alfabeto se representan por series de puntos y rayas. Ya se ha visto que cualquier número decimal puede representarse por un número binario equivalente. Puede pensarse que el grupo de ceros y unos en el número binario es un código que representa al decimal. Cuando se representa un número decimal por su número binario equivalente, se llama: codificación binaria directa. Los sistemas binarios usan todos alguna forma de números binarios para sus operaciones internas, pero el mundo externo es de naturaleza decimal. Esto significa que

8 8 se deben ejecutar conversiones frecuentes entre los sistemas decimal y binario. Hemos visto que las conversiones entre decimal y binario pueden llegar a ser complicadas para números grandes por esta razón, algunas veces se usan otros medios para codificar los números decimales que combinan algunas características de los sistemas decimal y binario. Código Gray. Este código también se le conoce como código reflejado y pertenece al grupo de los códigos no pesados. Este código no es utilizado en la aritmética, sino solamente para los dispositivos de entrada y salida. Un número decimal lo podemos convertir en el código Gray, primero convirtiendo un número decimal a binario, y después teniendo el número binario, haremos una suma con el número binario, con el mismo número pero sin el bit menos significativo. Cabe mencionar que no es una suma binaria, sino que es una suma Gray que consiste en las reglas de la suma binaria, pero sin tomar en cuenta el número de veces que se acarrea.( El método funciona para números mayores de 15) Por ejemplo, si queremos convertir 89 al código Gray tenemos que hacer lo siguiente: Valor decimal Suma binaria Código Gray

9 9 1. Desarrollo. 1. Un proceso químico posee tres indicadores de temperatura del punto P, cuyas salidas digitales T1,T2 y T3 adoptarán dos niveles de tensión bien diferenciados, según la temperatura sea menor, mayor o igual que T1, T2 o T3 respectivamente (T1<T2<T3). La asignación de niveles lógicos a las salidas Tn es; Se asigna el valor cero al nivel de tensión correspondiente a una temperatura inferior a T, el valor uno al nivel correspondiente a una temperatura superior o igual a T. Se debe diseñar un Circuito combinatorio, cuya salida adoptará un nivel de tensión uno lógico si la temperatura esta comprendida entre T1 y T2 o es superior o igual que T3, y el nivel cero en el caso contrario. Obtener: a) La tabla de Verdad b) Simplificar la función de salida. c) Implementar el circuito lógico mediante compuertas universales. In d i c a d o r d e T e m p e r a t u r a T 1 P r o c e s o Q u í m i c o In d i c a d o r d e T e m p e r a t u r a S i s t e m a C o m b i n a t o r i o P T 2 F In d i c a d o r d e T e m p e r a t u r a 2. Convertidor de Código GRAY a BINARIO y de Código BINARIO a GRAY (de cuatro bits), que cumpla: cuando C=0 el circuito lógico es un convertidor de Gray a Binario y cuando C=1 es un convertidor de Binado a Gray. 3. Basándose en los resultados obtenidos escriba sus observaciones y conclusiones.

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