MODELADO NUMÉRICO DEL PROCESO DE PULTRUSIÓN EN MATERIALES COMPUESTOS

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1 0HFQLFD&RPSXWDFLRQDO9RO;;,SS± 65,GHOVRKQ9(6RQ]RJQLDQG$&DUGRQD(GV 6DQWD)H±3DUDQ$UJHQWLQD2FWREHU MODELADO NUMÉRICO DEL PROCESO DE PULTRUSIÓN EN MATERIALES COMPUESTOS Dego Santago, Gullermo Lombera.,Santago Urquza y Stella M. Moschar Facultad de Ingenería, Unv. Nac. de Mar del Plata, J. B. Justo 4302, 7600, Mar del Plata, Bs.As., Argentna. Teléfono ( ) glombera@f.mdp.edu.ar Palabras Clave: Materales compuestos, Pultrusón, Elementos Fntos Resumen: El obeto de este trabao es el modelado del curado no sotérmco de materales compuestos pultruídos, resolvéndolo numércamente medante la utlzacón de técncas de elementos fntos a partr de un programa desarrollado para tal fn. Este modelo permte obtener los perfles de temperatura y conversón de la resna a lo largo del molde, el que luego nos permtrá predecr tambén las presones en la boqulla de entrada y las presones en el nteror, y las fuerzas de trado necesaras para mover haca la salda, como así tambén predecr tensones resduales térmcas producdas por la dferenca de temperaturas entre cada parte del molde y la temperatura ambente a la salda. Estas predccones se realzan varando las condcones de trabao, es decr, velocdades de trado y temperaturas del molde, como tambén el uso de dstntas resnas y fbras, y formas del molde. Los resultados del modelo se comparan con datos expermentales obtendos en la lteratura.

2 '6DQWLDJR*/RPEHUD68UTXL]DDQG600RVFKLDU INTRODUCCIÓN El proceso de pultrusón de un termorrígdo, se esquematza en la Fgura 1 y consste en el moado de fbras en un baño que contene la resna y el posteror trado de las fbras a través de un molde calefacconado. Cuando la resna pasa por el molde, se va calentando hasta que posee la temperatura a la cual se actva la reaccón químca. En este momento comenza la reaccón de entrecruzamento o proceso de curado, medante el cual pasa de ser una resna líquda a un gel. A fn de modelar este proceso se requere del planteo de un modelo de transferenca de calor, con un submodelo cnétco y uno de propedades térmcas del compuesto. Fgura 1: Esquema del proceso de pultrusón En los últmos años se han publcado varos trabaos que presentan modelos matemátcos para descrbr el proceso de pultrusón. Moschar et al 1,2 presentan un análss de cómo afectan las varables del proceso sobre el materal compuesto obtendo en una pultrusón. Los trabaos desarrollan un modelo matemátco resuelto por dferencas fntas, utlzando una resna poléster y una resna epox como matrces. La descrpcón del proceso ncluye el modelo para transferenca de calor, curado de la resna, presón desarrollada en el nteror del molde, fuerza de trado y en el segundo trabao, además la predccón de las fuerzas de trado. Sumerak 3 utlza un programa de análss de elementos fntos comercal para resolver un modelo de transferenca de calor en tres dmensones, en un proceso de pultrusón, tenendo en cuenta la varacón del perfl de temperatura dentro del molde. Aplca el modelo a dferentes perfles con dstntos grados de compledad. Josh and Lam 4 dscuten el desarrollo y aplcacón de una aproxmacón utlzando elementos fntos y volúmenes de control, en tres dmensones, sobre un perfl rregular obtendo en un proceso de pultrusón. Utlza un programa comercal de elementos fntos (LUSAS 13.0) para la transferenca de calor por conduccón. La transferenca de calor entre el

3 0(&20±)LUVW6RXWK$PHULFDQ&RQJUHVVRQ&RPSXWDWLRQDO0HFKDQLFV molde y el compuesto que se mueve en él, la modelan usando superfces térmcas, medante un esquema sem-numérco resuelto con códgos FORTRAN. El obetvo de este trabao es el modelado numérco de la transferenca de calor con sus respectvos submodelos para el caso de una resna epox y una resna poléster y su verfcacón con datos expermentales obtendos de un pultrusor, utlzando un programa de elementos fntos desarrollado en nuestra facultad mplementado en un entorno genérco para la solucón de problemas reducbles por elementos. Se pretende además realzar un estudo de las varables de proceso tales como velocdad de trado y temperatura en la pared, a fn de encontrar las condcones meores de procesamento en cuanto a la transferenca de calor. El presente trabao es la contnuacón de un proyecto de nvestgacón en el tema de pultrusón, donde se prevé segur estudando las alternatvas más efcentes para la smulacón numérca del proceso, ncluyendo estudos termomecáncos a fn de poder predecr las tensones resduales nvolucradas. MODELO MATEMÁTICO DE TRANSFERENCIA DE CALOR La ecuacón general de balance de calor que descrbe al problema es: DT Dt T H 0 r Ra 2 (1) Resolvendo el problema de balance de energía con las sguentes suposcones: 1) La conduccón de calor en la dreccón axal es desprecable y 2) El compuesto permanece en contacto con la pared. Para la matrz epox se utlzó una smetría de revolucón, mentras que para la matrz poléster una smetría plana. Con esas suposcones la ecuacón de balance de energía a resolver para el caso plano y para el caso de smetría de revolucón presenta la forma dada por las ecuacones (2) y (3) respectvamente. 2 2 T T T T Cp Vz k 2 2 t z x z T T Cp Vz t z k r 2 T T r k 2 r r z H 0 r R a H 0 r R a Donde es la densdad del compuesto, Cp es la capacdad calorífca del compuesto, V Z es la velocdad de trado del pultrusor, k es la conductvdad térmca del compuesto en la dreccón x, H 0 es el calor de reaccón del polímero, r es la fraccón másca de resna y Ra = dx/dt (X grado de avance de la reaccón de curado o conversón) es la velocdad de reaccón que es dstnta para cada resna. Con las sguentes condcones de contorno: (2) (3)

4 '6DQWLDJR*/RPEHUD68UTXL]DDQG600RVFKLDU Para el caso de smetría de revolucón (resna epox): 0 r R z = 0 T = T 0 x = 0 r = R 0 z L T = T w = T w (z) (4) r = 0 0 z L T /r = 0 donde R es el rado del clndro y L es el largo del molde del pultrusor. Para el caso de la geometría plana ( resna poléster): 0 x b z = 0 T = T 0 x = 0 I 0 = 0 x = b 0 z L T = T w = T w (z) (5) x = 0 0 z L T /x = 0 donde b es el ancho del perfl plano y L es el largo del molde del pultrusor. Los modelos cnétcos para cada resna son los sguentes 1,2 : Para la resna epox: Para la resna poléster: dx dt R T X s 6 Ra exp - (6) dx dt R T X I I 1 X 1 s 5 Ra exp - 0 (7) di dt Ed RT I Ad exp - I (8) donde los datos de los ncadores se dan en la Tabla 1. Los ncadores, son sustancas que permten que la polmerzacón de la resna poléster comence. En este caso se necestó una mezcla de tres sustancas, para obtener una óptma velocdad de reaccón. Tabla 1: Datos cnétcos de los ncadores I 01 = 53.7 Ad 1 = 2.41 x Ed 1 /R = I 02 = 46.3 Ad 2 = 2.92 x Ed 2 /R = I 03 = 12.9 Ad 3 = 7.76 x Ed 3 /R = S ben se ntenta resolver el caso estaconaro, el térmno temporal no se desprecó, ya que faclta alcanzar la solucón del problema en forma teratva. I

5 0(&20±)LUVW6RXWK$PHULFDQ&RQJUHVVRQ&RPSXWDWLRQDO0HFKDQLFV PROPIEDADES FÍSICAS DEL COMPUESTO En el presente trabao se utlzaron un compuesto de matrz epox y otro cuya matrz es una resna poléster nsaturada. Las propedades físcas se calcularon utlzando la regla de mezclas según las sguentes ecuacones. = r r + g g + f f (9) C p = r C pr + g C pg + f C pf (10) 1 k r g f (11) k r k g k f Donde es la fraccón másca, la fraccón volumétrca y los subíndces representan: r: resna, g: fbras y f: relleno. En la Tabla 2 se muestran los valores de las propedades físcas de las resnas, las fbras y los rellenos utlzados para calcular las propedades del compuesto. Tabla 2: Propedades físcas Poléster Epox r (Kg/m 3 ) T(ºC) + 90 X ( para X < 0.45 ) -0.1 T(ºC) ( para X > 0.45 ) Cp r (KJ/Kg.K) T(ºC) X K r (J/m.s) ( T(ºC) ) g (Kg/m 3 ) Cp g (KJ/Kg.K) k g (J/m.s) f (Kg/m 3 ) Cp f (KJ/Kg.K) k f (J/m.s) (T: Temperatura; X: Conversón ) MODELO NUMÉRICO Para modelar numércamente el proceso, se utlzó un programa en elementos fntos desarrollado en un entorno de trabao genérco para la solucón de problemas reducbles por elementos. Dcho entorno es aplcable a la resolucón de sstemas de ecuacones dferencales en dervadas parcales por técncas de Elementos Fntos, Dferencas Fntas, Volúmenes Fntos, etc., y en general, a todos aquellos problemas que se resuelven a través de sstemas de ecuacones algebracas, cuya matrz global pueda construrse por ntermedo de contrbucones adtvas o no-adtvas realzadas por elementos 5. El programa esta basado en el concepto de Elemento, entenddo como un conunto de nodos que tenen asocados un certo numero de ncógntas o grados de lbertad y

6 '6DQWLDJR*/RPEHUD68UTXL]DDQG600RVFKLDU determnadas relacones de acoplamento entre ellas, defndas localmente,.e., ndependentemente de otros elementos. Cada nodo puede presentar un numero dstnto de grados de lbertad, ensamblándose sólo las ecuacones correspondentes a los grados de lbertad efectvamente presentes. Las condcones de borde pueden ser tratadas de manera convenconal o como elementos especales de contorno. La tarea fundamental del usuaro consste en confgurar los datos de entrada, como por eemplo la descrpcón de las mallas de nodos y elementos, y las propedades u otras constantes físcas necesaras, y de programar la matrz elemental s esta no formase parte de la bbloteca exstente. El programa basa su generaldad y versatldad en un ensamblador smbólco y numérco de carácter general, ndependente de la clase de elementos a ensamblar, el usuaro debe proveer una matrz que reflee la estructura de acoplamentos entre los dferentes grados de lbertad del elemento, tarea relatvamente senclla a partr de los bloques de códgo que se usan para calcular la matrz numérca elemental. El sstema de ecuacones local, es decr, para un elemento no acoplado, expresado en forma matrcal es: [ K l m ]*[ m ] = [ B l ] (12) donde K l m es la matrz de masas, m es el vector de ncógntas del sstema y B l es el vector de térmnos ndependentes. Los subíndces l y m dependen de la cantdad de grados de lbertad del sstema, del orden en que se ngresaron los grados de lbertad y del número de nodos del elemento. Las dmensones de la matrz K l m y de los vectores m y B l están determnadas por el número de grados de lbertad que tene el sstema y el número de nodos del elemento. Los subíndces l y m están defndos por las sguentes expresones: l = DofT * ( 1 ) + NºDof (13) m = DofT * ( 1 ) + NºDof (14) donde DofT es el número total de grados de lbertad que tene el sstema, NºDof es el orden en que se ngresó el grado de lbertad en el vector de ncógntas (prmero NºDof = 1, segundo NºDof = 2,...,últmo NºDof = DofT), es el subíndce que se utlza para denomnar las funcones de forma nodales, (1,2,..,Nº de nodos totales del elemento) e es el subíndce que se utlza para denomnar las funcones de peso nodales, (1,2,..,Nº de nodos totales del elemento). Para facltar la comprensón del proceso de ensamblae de la matrz de masas y el vector de térmnos ndependentes se descrbrá dcho proceso para el caso del compuesto Poléster- Fbra de vdro. En este caso es necesaro resolver el problema para cnco grados de lbertad, es decr, DofT = 5. Los grados de lbertad se ngresaron como muestra la Tabla 3:

7 0(&20±)LUVW6RXWK$PHULFDQ&RQJUHVVRQ&RPSXWDWLRQDO0HFKDQLFV Tabla 3 Ingreso de los grados de lbertad NºDof Varable Notacón abrevada 1 Temperatura T 2 Conversón de curado X 3 Concentracón del ncador Nº1 I1 4 Concentracón del ncador Nº2 I2 5 Concentracón del ncador Nº3 I3 Por lo tanto, para un elemento trangular de tres nodos (Nº de nodos totales del elemento = 3), el vector que almacena las ncógntas (en forma transpuesta) será: m T = { T 1, X 2, I1 3, I2 4, I3 5, T 6, X 7, I1 8, I2 9, I3 10, T 11, X 12, I1 13, I2 14, I3 15 } (15) donde T 1, X 2, I1 3, I2 4 y I3 5 son las ncógntas asocadas al nodo local Nº1; T 6, X 7, I1 8, I2 9, I3 10 están asocadas al nodo Nº2 y por últmo T 11, X 12, I1 13, I2 14, I3 15 están asocadas al nodo Nº3. Nótese que los subíndces m responden a la ecuacón (14). Los térmnos de la matrz elemental y del vector de térmnos ndependentes son obtendos por bucles sobre los puntos de gauss, ntegral sobre el elemento de las ecuacones consttutvas que descrben a cada grado de lbertad. Estas ntegrales, obvamente, no son las msmas para todos los grados de lbertad. Los valores de K l m y B l que descrben el problema térmco (NºDof =1) son: K l m (16) z x x C p C p Vz k t sendo: B l g NodT 1 ( n1) C p m g (17) t H R r a 0 (18) h V (19) 2 V Donde NodT es el número total de nodos del elemento, t es el paso de tempo, g es la fuente de calor, es la funcón de forma asocada al nodo, es la funcón de peso asocada al nodo, m (n-1) es el valor de la temperatura en el nodo calculado en el paso de tempo anteror, h es la dmensón del elemento proyectada sobre la dreccón de V, donde V es el vector de velocdades. Los valores de K l m y B l que descrben la conversón (NºDof =2) son:

8 '6DQWLDJR*/RPEHUD68UTXL]DDQG600RVFKLDU K lm Vz (20) z t NodT ( n1) B l m R 1 t a Donde m (n-1) es el valor de la conversón en el nodo calculado en el paso de tempo anteror. Los valores de K l m y B l que descrben las concentracones de los ncadores (NºDof =3, 4 o 5) son: (21) K lm Vz (22) z t NodT ( n1) B l m R 1 t In Donde m (n-1) es el valor la concentracón del ncador en el nodo calculado en el paso de tempo anteror y R In es la velocdad de consumo del ncador Nºn (din/dt). Los térmnos Ra y R In son funcones compleas de la temperatura, la conversón y las concentracones de los ncadores (ver ecuacones (7) y (8)) y se recalculan, dentro del msmo paso de tempo, con las solucones de las varables en la teracón anteror. De esta manera el sstema alcanza la solucón dentro de un paso de tempo hacendo una teracón no-lneal hasta alcanzar un error mínmo determnado por el usuaro del programa. Una vez alcanzada la solucón dentro de un paso de tempo, la solucón del paso de tempo actual pasa a ser la solucón del paso de tempo anteror y se repte el proceso teratvo antes descrto hasta fnalzar el tempo de cálculo. Para el caso de la resna epox se trabaa con tres grados de lbertad menos, porque la reaccón químca no necesta ncadores para comenzar. Por lo tanto las ecuacones (22) y (23) no se tenen en cuenta. GEOMETRÍA Y MALLA UTILIZADA Se modeló un perfl rectangular de dmensones 0.375n x 0.625n para un compuesto de resna poléster y un 63% en peso de fbra de vdro (Wg = 0.63). La velocdad de trado en este caso es de m/seg. En este trabao se utlzó un mallador de trángulos equláteros del tpo frente de generacón 8,9, con refnamento adaptatvo, partendo de una malla ncal de trángulos rectángulos mostrada en la Fgura 2a. Se desarrolló un refnador automátco de mallas dado que durante el proceso de pultrusón, para el caso de algunas resnas y para certas geometrías, se producen reaccones muy rápdas localzadas en zonas de pequeño tamaño, nvolucrando cambos de gran magntud en las varables, con los consguentes fuertes gradentes. Para que estos cambos (23)

9 0(&20±)LUVW6RXWK$PHULFDQ&RQJUHVVRQ&RPSXWDWLRQDO0HFKDQLFV puedan ser modelados con exacttud es necesaro mplementar un crtero para determnar el tamaño de elemento en funcón de la varables o sus dervadas, densfcando localmente a) b) Fgura 2: Mallas utlzadas: a) Trángulos rectángulos b) Trángulos equláteros Dado que la mplementacón se realzo con elementos lneales, el crtero de densfcacón adoptado fue la de mnmzar los errores locales de nterpolacón. Como ndcador del error local se utlzó la dervada segunda en cada nodo 10. La dervada segunda se recuperó nterpolando por cuadrados mínmos un parabolode con las varables de los nodos vecnos. El mallador genera una malla de trángulos cas equláteros (equláteros cuando es posble), como se menconó anterormente, a través de la técnca de Frente de Generacón. Incalmente el frente de generacón concde con el contorno de la geometría que se defne como uno o varos polígonos cerrados con una orentacón determnada. El tamaño del Elemento a generar se determna en funcón de valores asgnados prevamente a los nodos en la grlla exstente con el procedmento antes descrto. En las Fguras 3 a, b y c se muestra la evolucón de la malla de elementos fntos en los sucesvos refnamentos Fgura 3 a): Prmer refnamento(353 nodos y 594 elementos )

10 '6DQWLDJR*/RPEHUD68UTXL]DDQG600RVFKLDU Fgura 3 b): Segundo refnamento(1151 nodos y 2158 elementos ) RESULTADOS Y DISCUSIÓN Fgura 3 c): Tercer refnamento(3986 nodos y 7738 elementos ) En la Fgura 4 se pueden ver los datos expermentales de Sumerak 3 de la temperatura en el centro del perfl en funcón de la poscón en el molde para el caso de un compuesto de resna poléster y un 63% en peso de fbra de vdro (Wg = 0.63). Se representa además la temperatura smulada en el centro de un perfl rectangular de dmensones 0.375n x 0.625n para tres velocdades de trado dferentes (VEL1 = m/seg; VEL2 = m/seg; VEL3 = m/seg). Las líneas contnuas representan las smulacones y los puntos las medcones expermentales. De la msma manera que lo mostraron Moschar et al 1 resolvendo el sstema en dferencas fntas, este modelo numérco tambén predce satsfactoramente el perfl de temperaturas, donde las temperaturas de los pcos y su ubcacón en el molde están dentro del error expermental. En las Fguras 5 y 6 se representan la temperatura expermental de Hunter 4 del centro de una barra crcular de = 12.7 mm para un compuesto de matrz epox con 85% de fbras de vdro en peso, unto con la varacón de la temperatura smulada por el modelo del centro de la barra en funcón de la poscón del molde para dos perfles de temperatura de pared dferentes (Tw = F(I) y Tw = F(II) (2)) y una velocdad de trado Vz = m/s.

11 0(&20±)LUVW6RXWK$PHULFDQ&RQJUHVVRQ&RPSXWDWLRQDO0HFKDQLFV La correspondenca entre el modelado numérco y los datos expermentales es tambén buena como en el caso del compuesto de poléster. 5,400E+02 VEL3 4,900E+02 VEL2 VEL1 4,400E+02 T(K) Tw 3,900E+02 3,400E+02 EXP_Vel1 EXP_Vel2 EXP_Vel3 Vel=0,00508 Vel=0,01016 Vel=0,01524 Tw 2,900E+02 0,00E+00 2,00E-01 4,00E-01 6,00E-01 8,00E-01 1,00E+00 1,20E+00 Z(m) Fgura 4: Perfl de temperatura a lo largo del molde para una resna poléster 500 Tw = F(I) Vel = m/s 450 T (K) Tw T0 Texp 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 Z (m) Fgura 5: Perfl de temperatura para una resna epox para Tw=F(I)

12 '6DQWLDJR*/RPEHUD68UTXL]DDQG600RVFKLDU Estos resultados satsfactoros, nos permten utlzar este modelado numérco para la predccón de las tensones resduales térmcas de las pezas, de las presones nternas y de las fuerzas de trado que son funcón del perfl de temperaturas obtendo, para dstntas geometrías y dstntos compuestos. 500 Tw = F(II) Vel = m/s 450 T (K) Tw T0 Texp 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 Z (m) Fgura 6: Perfl de temperatura para una resna epox para Tw=F(II) CONCLUSIONES Se realzó la resolucón numérca por el método de elementos fntos del modelo de transferenca de calor en un proceso de pultrusón para dos compuestos dferentes. Los resultados obtendos están en buen acuerdo con los datos expermentales, lo que permtrá utlzarlo para la predccón de propedades termomecáncas. REFERENCIAS [1] Moschar S.M.; Reboredo M.M.; Kenny J.M. and Vazquez A., "Analyss of pultruson processng of unsaturated polyester resn wth glass fbers", Polymer Compostes Vol 17 (3), p.p.478 (1996)

13 0(&20±)LUVW6RXWK$PHULFDQ&RQJUHVVRQ&RPSXWDWLRQDO0HFKDQLFV [2]S.M. Moschar, M.M. Reboredo, H. Larrondo. and A. Vazquez, Pultruson of epoxy matrx compostes. Pullng force model and thermal stress analyss, Polymer Compostes Vol.17 (6) (1996) [3] J.E. Sumerak, Pultruson de desgn optmsaton opportuntes usng thermal fnte element analyss technques, 19th Anual Conference, Composte Insttute. The Socety of the Plastcs Industry, Inc. ( Feb, 1994) [4] S.C. Josh and Y.C. Lam, Three-dmensonal fnte-element/nodal-control-volume smlaton of the pultruson process wth temperature-dependent materal propertes ncludng resn shrnkage, Compostes Scence and Technology, 61, p.p (2001). [5] O.C. Zenkewcz,. El método de los elementos fntos (Edcón en español) Ed. Reverté, S.A. (1980). [6] J.E. Sumerak, Revsta de Plástcos Modernos, Feb. 1986, p. 356 [7] G.A. Hunter, 43rd Anual Conf. Compostes Insttute, The Socety of Plastcs Industry (February 1986) [8] Paul Lous Geroge & Erc Seveno, The advancng-front mesh generaton method revsated. Internatonal Jounal Num. Meth. In Engeneerng, 37, (1994). [9] E. Dar, M.Venere,R.Feoo, Fnte element 3-Dmesh generaton usng the advancng Front technc, Mecánca Computaconal, S. Idhelson,V.Sonzogn ed.,14, , AMCA, Sta Fé, Argentna (1994). [10] O.C. Zenkewcz and R.L. Taylor, The fnte element meted, McGraw Hll, Vol. III Flud Dynamcs, 5ta Ed. (1999)