6. Elementos tipo viga

Transcripción

1 Univrsidad Simón Bolívar. Elmntos tipo viga En st capítulo s xpon l dsarrollo dl método dl lmnto finito para rsolvr l problma d una viga d scción transvrsal variabl A, módulo d lasticidad E, momnto d inrcia I, dnsidad ρ y longitud L somtida a carga d curpo (g (x,t) = g y(x,t) ), distribuidas (t (x,t) = t y(x,t) ) y concntradas (p (x,t) = p y(x,t) o m (x,t) = m z(x,t) ), tal y como s mustra n la figura 1. La toría ingniril d vigas s basa n las siguints hipótsis: La scción transvrsal s supon simétrica rspcto al j y S considra qu las línas d acción d todas las cargas aplicadas (d curpo, distribuidas sobr suprfici y concntradas) pasan por los cntroids d las sccions transvrsals d la viga S supon qu la furza cortant y l momnto flctor no stán rlacionados con la furza axial, por lo cual la furza axial s pud dsprciar. S supon qu los sfurzos cortants son dsprciabls, n conscuncia las sccions transvrsals no s dforman cuando la viga s dflcta (hipótsis d Brnoulli)(cf. figura 17). S supon qu la viga xprimnta pquñas rotacions. D la figura 17 s vidnt qu l dsplazaminto n la dircción axial d un punto d una scción transvrsal, situado a una distancia y rspcto al j nutro, s pud calcular como: u (x,t) = u (x,y,t) = y tan θ (x,t) (.1) Mintras qu l dsplazaminto n la dircción transvrsal (i.. la dflxión o flcha dl cntroid d la scción) sólo dpnd d la posición axial d la misma, i..: v (x,t) = v (x,t) (.) Bajo la hipótsis d pquñas rotacions (i.. tan θ θ), s tin: u (x,y,t) y θ (x,t) = y v x Así tnmos qu la función dsplazaminto u s xprsa como: { } { } u(x,y,t) y v u (x,t) = = x v (x,t) v (.3) (.) Euro Casanova, 009 9

2 Univrsidad Simón Bolívar y t y A y p y z m z x z A Cort AA L y t y z x L Figura 1: Viga somtida a furzas y cargas concntradas En conscuncia, l vctor d dformacions toma la forma scalar: ε (x,t) = ε x(x,y,t) = u x = y v (.5) x S habla ntoncs, d un stado d sfurzo uniaxial, dond l vctor d sfurzos rsulta sr un scalar: σ (x,t) = σ x(x,t) (.).1. Plantaminto dl problma por lmntos finitos Pusto qu l problma qu nos intrsa s uniaxial, ntoncs parc lógico utilizar lmntos unidimnsionals. Así la longitud total d la viga s discrtizada n m lmntos tipo viga. Un lmnto tipo viga cualquira tin una longitud h, nodos y dos grados d librtad por nodo qu corrspondn a la dflxión y a la rotación d la viga n s punto (cf. figura 18). Los nodos, al igual qu los grados d librtad, s pudn numrar localmnt (i.. para cada lmnto: 1 y ) ó globalmnt (i.. para todo l dominio: 1,,..., m + 1) La posición dl nodo 1 dl lmnto s dnota x 1, mintras qu la posición dl nodo s dnota x. Así, la longitud dl lmnto rsulta: h = x x 1 (.7) Euro Casanova,

3 Univrsidad Simón Bolívar y z x u ( x, y, t) y L v ( x, t) ( x, t) ( x v x, t ) ( x, t) y v ( x, t) z x x L Figura 17: Dsplazamintos y rotacions d la viga D la misma forma, los grados d librtad dl lmnto s dnotan q 1, q, q 3 y q y corrspondn a la dflxión y la rotación n l nodo 1 y a la dflxión y a la rotación n l nodo, rspctivamnt... Paramtrización d la gomtría Al igual qu para l caso dl lmnto barra, s pud utilizar un lmnto paramtrizado con l fin d simplificar la dscripción d la gomtría dl conjunto d lmntos. El sistma d coordnadas paramétricas s mustra n la figura 19. La posición d un punto cualquira dntro dl lmnto pud ntoncs sr xprsada n función dl parámtro ξ como: { } x x (ξ) = [N 1 N ] 1 x = N (ξ) x (.8) dond N 1 = (1 ξ) y N = (1+ξ) son llamadas funcions d forma y rsultan sr las mismas qu las dl lmnto barra..3. Funcions d forma para los dsplazamintos Aplicando la mtodología d Rayligh-Ritz, l método d sparación d variabls, y tomando n cunta l hcho d qu por lmnto s dispon d grados d librtad, s propon la siguint aproximación cúbica para la dflxión d un Euro Casanova,

4 Univrsidad Simón Bolívar y t y p y z m z x 1 q q 1 L q 3 1 q m x 1 h x punto cualquira dl lmnto: Figura 18: Discrtización d la viga n lmntos v (x,t) = a (t) + b (t) x + c (t) x + d (t) x 3 (.9) dond a, b, c y d son coficints a dtrminar n función d las dflxions y rotacions nodals q1(t), q (t), q 3(t) y q (t). Esto pud sr hcho para la coordnada física x, sin mbargo rsulta más convnint hacrlo n la coordnada paramétrica ξ, i..: v(ξ,t) = a (t) + b (t) ξ + c (t) ξ + d (t) ξ 3 (.10) A partir d sta xprsión, s pud obtnr una aproximación para la rotación d un punto dl lmnto como: θ(ξ,t) = d dx v (ξ,t) = d dξ v dξ (ξ,t) dx = ( b (t) ξ + c (t) ξ + 3d (t) ξ ) (.11) h Así, tnmos: q 1(t) = v (ξ= 1,t) = a (t) b (t) + c (t) d (t) q (t) = θ (ξ= 1,t) = ( b (t) c (t) + 3d (t) ) h q 3(t) = v (ξ=1,t) = a (t) + b (t) + c (t) + d (t) q (t) = θ (ξ=1,t) = ( b (t) + c (t) + 3d (t) ) h (.1) Euro Casanova, 009 5

5 Univrsidad Simón Bolívar x x h 1 1 Figura 19: Elmnto paramétrico d dond rsulta: v (ξ,t) = [ H 1(ξ) θ (ξ,t) = h [H 1(ξ) ] h H h (ξ) H 3(ξ) H (ξ) h H (ξ) H 3(ξ) ] h H (ξ) q1(t) q(t) q3(t) q(t) q1(t) q(t) q3(t) q(t) = H (ξ) q (t) (.13) = H (ξ)q (t) (.1) h dond, H (ξ) y H (ξ) rprsntan la matriz d funcions d forma, y la matriz d las drivadas d las funcions d forma, rspctivamnt. H 1(ξ) = 1 ( ) 3ξ + ξ 3 H (ξ) = 1 ( 1 ξ ξ + ξ 3) H 3(ξ) = 1 ( ) + 3ξ ξ 3 H (ξ) = 1 ( 1 ξ + ξ + ξ 3) (.15) Euro Casanova,

6 Univrsidad Simón Bolívar 1 0 H H H H Figura 0: Funcions d forma H 1(ξ) = 1 ( ) 3 + 3ξ H (ξ) = 1 ( ) 1 ξ + 3ξ H 3(ξ) = 1 ( ) +3 3ξ H (ξ) = 1 ( ) 1 + ξ + 3ξ (.1) Las funcions H 1 y H, H 3 y H son funcions d forma d tipo Hrmita, difrnts a las utilizadas para aproximar la gomtría, n conscuncia l lmnto tipo viga no s un lmnto isoparamétrico. En la figura.37 s mustran los valors d las funcions d forma para l lmnto... Dformacions y sfurzos lmntals Emplando la aproximación para los dsplazamintos obtnida n la scción antrior y la rgla d la cadna, l vctor d dformacions rsulta: ε = ε x(x,t) = u x = y v x = y [ ] [ v ξ = y x ξ x = y h ( H ξ (ξ) q (t) ) v ξ ( ) ] ξ = y v x h ξ (.17) Euro Casanova, 009 5

7 Univrsidad Simón Bolívar Pusto qu los dsplazamintos nodals q (t) no dpndn d las coordnadas spacials, sino dl timpo, sta xprsión s scrib como: ε = ε x(x,t) = y h Por otro lado, s sab qu: ( ) H(ξ) q ξ (t) = y H h (ξ) q (t) (.18) ε = ε x(x,t) = B (ξ) q (t) (.19) Por lo tanto, la matriz B (ξ) para l lmnto viga rsulta sr: B (ξ) = y H h (ξ) = y [ H h 1(ξ) h H (ξ) + H 3(ξ) ] h H (ξ) (.0) Dond: H 1(ξ) = 1 (ξ) H (ξ) = 1 ( + ξ) H 3(ξ) = 1 ( ξ) (.1) H (ξ) = 1 ( + ξ) Nóts por un lado, qu las dformacions a nivl lmntal rsultan sr funcions linals al intrior dl lmnto, y por otro lado qu dpndn d la distancia y dl punto considrado rspcto al j nutro d la scción transvrsal. Para obtnr los sfurzos lmntals usamos la rlación constitutiva y la xprsión para las dformacions a nivl lmntal, i..: σ = Dε = DB q (t) (.) dond, para st caso D = [E (x) ]. Así tnmos qu al igual qu para l caso d las dformacions, los sfurzos a nivl lmntal dpndn linalmnt d la posición dntro dl lmnto así como d la distancia y dl punto considrado rspcto al j nutro d la scción transvrsal. Euro Casanova,

8 Univrsidad Simón Bolívar.5. Matriz d rigidz lmntal La matriz d rigidz lmntal s calcula como: K = B T (x) D B (x) dv (.3) Ω Para l caso dl lmnto tipo viga, un difrncial d volumn s pud xprsar como un difrncial d ára d la scción transvrsal por un difrncial d longitud, y sto s pud scribir tanto para las coordnadas físicas, como para las paramétricas, i..: dv = da dx = h da dξ (.) Sustituyndo ntoncs las xprsions para las matrics B y D n la xprsión para la matriz d rigidz lmntal, tnmos: 1 K = B T D B h da dξ 1 A 1 = y 1 H T 1 A h (ξ) H h (ξ) E (ξ) da dξ = 8 1 [ ] (.5) y da H T h 3 (ξ) H (ξ)e (ξ) dξ 1 A = 8 h H T (ξ) H (ξ)e (ξ) I (ξ) dξ dond I (ξ) rprsnta l momnto d inrcia d ára d la scción transvrsal (i..: I (ξ) = A y da) Considrando qu l módulo d lasticidad y l momnto d inrcia d la scción son constants n la longitud dl lmnto (i.. E (ξ) = E y I (ξ) = I ) la xprsión para la matriz d rigidz lmntal rsulta: 1 h 1 h K = E I h 3.. Matriz d masa lmntal h h h h 1 h 1 h (.) h h h h La matriz d masa lmntal s calcula mdiant las funcions d forma como: M = ρ H T (x) H (x) dv (.7) Ω Euro Casanova, 009 5

9 Univrsidad Simón Bolívar Exprsando l difrncial d volumn como l ára d la scción por un difrncial d longitud (i..: dv = A (x) dx = h A (ξ) dξ) y la matriz H n la xprsión para la matriz d masa lmntal, s tin: M = h 1 1 ρ (ξ) H T (ξ) H (ξ)a (ξ) dξ (.8) Considrando qu la dnsidad y la scción transvrsal son constants n la longitud dl lmnto (i.. ρ (ξ) = ρ y A (ξ) = A ) y rsolvindo las intgrals, la xprsión para la matriz d masa lmntal rsulta: M = ρ A h 0 15 h 5 13h h h 13h 3h 5 13h 15 h 13h 3h h h.7. Vctor d furzas lmntal El vctor d furzas lmntals, s calcula como: f(t) = f g + ft + fp = H T (x) g (x,t) dv + H T (x) t (x,t) ds + Ω Γ i H T (x i ) p i(t) (.9).7.1. Vctor d furzas lmntal asociado a las furzas d curpo La componnt dl vctor d furzas lmntals asociada a las furzas d curpo s calcula como: fg = H T (x) g (x,t) dv Ω = = x x H T g y(x,t) A (x) dx H T (ξ) g y(ξ,t)a (ξ) h dξ (.30) Considrando qu la intnsidad d furza d curpo y la scción transvrsal son constants n la longitud dl lmnto (i.. g y(ξ,t) = g y (t) y A (ξ) = A ) y rsol- Euro Casanova,

10 Univrsidad Simón Bolívar vindo las intgrals, s obtin: fg = 1 g y (t)a h 1 h 1 h (.31).7.. Vctor d furzas lmntal asociado a las furzas distribuidas sobr suprfici Para un lmnto tipo viga, un difrncial d ára ds pud xprsars como una mdida d la profundidad d la scción b (x) por un difrncial d longitud (i.. ds = b (x) dx). Así, la componnt dl vctor d furzas lmntals asociada a las furzas d suprfici s calcula como: ft = H T (x) t (x,t) ds Γ = = x x H T t y(x,t) b (x) dx H T (ξ) t y(ξ,t)b (ξ) h dξ (.3) Considrando qu la intnsidad d furza distribuida sobr suprfici y l prímtro, son constants n la longitud dl lmnto (i.. t y(ξ,t) = t y (t) y b (ξ) = b ), y rsolvindo las intgrals, s obtin: ft = 1 t y (t)b h.7.3. Vctor d furzas lmntal asociado a las furzas concntradas 1 h 1 h (.33) La componnt dl vctor d furzas lmntals asociada a las furzas concntradas s calcula como: f p = i = i H T (x i ) p y i (t) + j H T (ξ i ) p y i (t) + j h H T (x j ) m zj (t) h H T (ξ j ) m zi (t) (.3) Euro Casanova,

11 Univrsidad Simón Bolívar dond la primra sumatoria toma n cunta las furzas cortants concntradas mintras qu la sgunda sumatoria toma n cunta los momntos flctors concntrados. Not qu la furza lmntal asociada a las furzas concntradas dpnd dl punto d aplicación d las últimas dntro dl lmnto. Así, si una furza concntrada s aplica n la mitad dl lmnto (i.. ξ i = 0), sto s traduc n la aplicación d furzas nodals, iguals a la mitad dl valor la furza concntrada mas dos momntos d magnitud igual y sntido contrario..8. Elmnto viga d trs grados d librtad por nodo Tomando n cunta qu d acurdo a la toría d viga la furza cortant y l momnto flctor son indpndints d la furza axial, ntoncs s pud combinar l lmnto tipo barra y l lmnto viga qu han sido prsntados antriormnt, con l fin d obtnr un lmnto viga qu sa capaz d soportar simultánamnt todos stos tipos d accions. Para st tipo d lmntos la función dsplazamintos s xprsa como: u (x,t) = { } u(x,y,t) = v (x,t) { } ua + u f v (.35) Dond los dsplazamintos axials dbidos a la furza axial (u a ) y a la flxión (u f ); y las dflxions (v) s calculan d la misma forma como s calculan par l lmnto barra y l lmnto viga d dos gdl por nodo, i.: u a(ξ,t) = [ ] { u } 1(t) N 1(ξ) N (ξ) u = N (ξ) q a(t) (.3) (t) v (ξ,t) = [ H 1(ξ) ] h H h (ξ) H 3(ξ) H (ξ) v1(t) θ1(t) v(t) θ(t) = H (ξ) q f(t) (.37) Euro Casanova,

12 Univrsidad Simón Bolívar u f(ξ,t) = yθ (ξ,t) = y h = y v x [ H 1(ξ) h H (ξ) H 3(ξ) = y H (ξ)q f(t) h Lugo, l vctor d dformacions toma la forma: ] h H (ξ) v1(t) θ1(t) v(t) θ(t) (.38) ε (x,t) = ε x(x,y,t) = u x = u a x y v x (.39) ε (x,t) = ε x(x,y,t) = u a x y v x = N (ξ) q a(t) y H (ξ)q h f(t) (.0) = B (ξ) q (t) Dond la matrix B toma la forma: B (ξ) = [ N 1(ξ) y h H 1(ξ) y h H (ξ) N (ξ) y h H 3(ξ) ] y h H (ξ) y l vctor d grados d librtad dl lmnto s xprsa como: (.1) q (t) = u 1(t) v 1(t) θ 1(t) u (t) v (t) θ (t) T = q 1(t) q (t) q 3(t) q (t) q 5(t) q (t) T (.).8.1. Matriz d rigidz lmntal La matriz d rigidz lmntal s calcula ntoncs como: K = B T (x) D B (x) dv Ω 1 = B T (ξ) B h (ξ)e (ξ) 1 A da dξ (.3) Euro Casanova, 009 0

13 Univrsidad Simón Bolívar Dbido a la forma d B (ξ), n l intgrando B T (ξ) B (ξ) aparcn algunos términos multiplicados por l momnto d inrcia d ára I (ξ) = A y da, y otros términos multiplicados por la posición n y dl cntroid d la scción transvrsal y c = A y da. Estos últimos términos rsultan ntoncs sr igual a cro, pusto qu l sistma d rfrncia pasa por los cntroids d las sccions a lo largo d toda la viga (i.. y c = 0 ). Así, considrando qu l módulo d lasticidad, l momnto d inrcia y l ára d la scción son constants n la longitud dl lmnto (i.. E (ξ) = E, I (ξ) = I y A (ξ) = A ) la xprsión para la matriz d rigidz lmntal rsulta: K = E h 3 A h 0 0 A h I I h 0 1I I h 0 I h I h 0 I h I h A h 0 0 A h I I h 0 1I I h 0 I h I h 0 I h I h (.) Es important obsrvar qu la matrix d rigids rsultant combina las matrics ncontradas antriormnt para l lmnto barra y para l lmnto viga d dos grados d librtad por nodo, sin qu haya ningún acoplaminto ntr los términos qu corrspondn a ambas formulacions..8.. Matriz d masa lmntal Tomando n cunta la forma final d la matriz lmntal d rigidz, la matriz d masa lmntal s calcula combinando las xprsions obtnidas prviamnt para l lmnto tipo barra y l lmnto viga d dos grados d librtad por nodo, i.: M = ρ A h 0 10A A h h 0 h h 0 13h 3h 70A A h 0 15 h 0 13h 3h 0 h h Euro Casanova, 009 1

14 Univrsidad Simón Bolívar.8.3. Vctor d furzas lmntal El vctor d furzas lmntals, s calcula ntoncs como: f (t) = f g + f t + f p (.5) Dond la componnt dl vctor d furzas lmntals asociado a las furzas d curpo s calcula como: 1 0 fg = A h h 0 { } gx (t) 1 0 (.) g y (t) h La componnt dl vctor d furzas lmntals asociada a las furzas d suprfici s calcula como: 1 0 ft = b h h 0 { } tx (t) 1 0 (.7) t y (t) h Finalmnt, la componnt dl vctor d furzas lmntals asociada a las furzas concntradas s calcula como: N 1(ξ) H 1(ξ) fp h = 0 { } h H (ξ) H 1(ξ) Px(t) H (ξ) N (ξ) 0 + M P z(t) (.8) y(t) 0 0 H 3(ξ) h H 3(ξ) 0 h H (ξ) H (ξ) Euro Casanova, 009