Práctico 2 Análisis de proceso autorregresivo de orden 2 Proceso WSS filtrado

Transcripción

1 Práctico Análisis de proceso autorregresivo de orden Proceso WSS filtrado Tratamiento Estadístico de Señales Pablo Musé, Ernesto López & Luís Di Martino {pmuse, elopez, Departamento de Procesamiento de Señales Instituto de Ingeniería Eléctrica Facultad de Ingeniería Curso 5

2 Análisis de un proceso AR() Problema [Haykin, 995] Se considera el proceso AR() real gobernado por la siguiente ecuación en diferencias u[n]+a u[n ]+a u[n ] = v[n]. Dada la función de autocorrelación del proceso, calcular los coeficientes del modelo.. Dado el modelo, calcular la función de autocorrelación del proceso. Realización de ruido blanco Realización de proceso AR() 3. Determinar las condiciones que tienen que cumplir los coeficientes para que el proceso sea asintóticamente estacionario.

3 Análisis de un proceso AR(). Cálculo de los coeficientes del modelo Las ecuaciones de Yule-Walker vinculan los coeficientes del modelo con la función de autocorrelación del proceso. La autocorrelación cumple la misma ecuación en diferencias que el proceso, r[m]+a r[m ]+a r[m ] =, m > () o equivalentemente, definiendo w k = a k, r[m] = w r[m ]+w r[m ], m >. Considerando que el proceso es real y evaluando en m =,, ( )( ) ( ) r[] r[] w r[] = r[] r[] r[] w Resolviendo el sistema se llega a que, w = r[](r[] r[]) r [] r [] w = r[]r[] r [] r [] r []

4 Análisis de un proceso AR(). Función de autocorrelación La autocorrelación cumple que, r[m]+a r[m ]+a r[m ] =, m > Para que quede completamente determinada, hay que especificar r[] y r[]. Nuevamente, evaluando la ecuación en m =,, a r[]+(+a )r[] = a r[]+a r[]+r[] = Evaluando en m =, la autocorrelación cumple que r[]+a r[]+a r[] = σ v Las 3 ecuaciones conducen a un sistema lineal 3 3, a a r[] a +a r[] = a a r[] σ v

5 Análisis de un proceso AR(). Función de autocorrelación Despejando r[] de la segunda ecuación, r[] = a r[] +a Despejando r[] de la tercer ecuación r[] = a r[] a r[] ( ) a y sustituyendo r[] queda r[] = a r[] +a Se tiene r[] y r[] en función de r[]. Sustituyendo en la primer ecuación se tiene ( ) r[] a a r[]+a a r[] = σv +a +a Operando y considerando que r[] = σ u se llega a que, r[] = σ u = +a ( a )[(+a ) a ]σ v. Ahora se tiene r[] y r[]. Usando la ecuación en recurrencia (ec. ), se conoce r[m] para todo m.

6 Análisis de un proceso AR() 3. Condición de estacionaridad asintótica La condición de estacionaridad asintótica es que el filtro generador sea estable. La función de transferencia del filtro generador es, Los polos p, p del sistema son H(z) = U(z) V(z) = +a z +a z. +a z +a z = p, p = a ± a a Para estabilidad los polos deben estar dentro del círculo unidad p, p <.

7 Análisis de un proceso AR() 3. Condición de estacionaridad asintótica a ± a Encontrar las condiciones sobre a, a tal que a < (a) Raíces reales: a a a a () Caso a. La raíz de módulo mayor es negativa: raíz dominante negativa a a a a a a (i) a a (ii) ( a ) a a a a Por lo tanto, las condiciones son a a a a a a =a / a =a a a

8 Análisis de un proceso AR() 3. Condición de estacionaridad asintótica a ± a Encontrar las condiciones sobre a, a tal que a < (a) Raíces reales: a a a a () Caso a <. La raíz de módulo mayor es positiva: raíz dominante positiva a + a a +a a a (i) +a a (ii) (+a ) a a a a Por lo tanto, las condiciones son a a =a / a a a a < a a a = a

9 Análisis de un proceso AR() 3. Condición de estacionaridad asintótica (b) Raíces complejas: a a < a > a Las raices son p, p = a ±j a a con módulo p = p = a + a a Imponiendo la condición, a + a a a Finalmente, las condiciones son a > a a a a =a / a

10 Análisis de un proceso AR() 3. Condición de estacionaridad asintótica Condiciones de estacionaridad asintótica: complejas dominante positiva dominante negativa a a =a / a a a a a a a =a a = a r[m] = Ap m +Bp m Raíz dominante positiva: La autocorrelación es siempre positiva. Raíz dominante negativa: Las muestras impares son negativas y las muestras pares positivas. Raices complejas: La autocorrelación es sinusoidal.

11 Análisis de un proceso AR(). Simulación: parámetros del modelo Lugar del plano a a para condicion de estacionaridad asintotica.5 a a Diagrama de polos y ceros del filtro generador Imaginary Part.5.5 Imaginary Part.5.5 Imaginary Part Real Part.5.5 Real Part.5.5 Real Part

12 Análisis de un proceso AR(). Simulación: transferencia del filtro generador H G (e jω ) 8 6 Proceso AR con raiz dominante positiva. H G (e jω ) Proceso AR con raiz dominante negativa Proceso AR con raices complejas. H G(z) = H G(e jω ) = +a z +a z +a e jω +a e jω H G (e jω ) ω

13 Análisis de un proceso AR(). Simulación: realizaciones 6 Entrada. Ruido blanco gaussiano Proceso AR con raiz dominante positiva Proceso AR con raiz dominante negativa Proceso AR con raices complejas muestra

14 Análisis de un proceso AR(). Simulación: autocorrelación Proceso AR con raiz dominante positiva Proceso AR con raiz dominante negativa Proceso AR con raices complejas Retardo (muestras)

15 Análisis de un proceso AR(). Simulación: autocorrelación muestral Proceso AR con raiz dominante positiva Proceso AR con raiz dominante negativa Proceso AR con raices complejas. Analitica Muestral Retardo (muestras)

16 Proceso WSS filtrado Problema [Hayes, 996] Sea x[n] un proceso WSS con función de autocorrelación r x [k]. Si x[n] es filtrado con un filtro LTI estable con respuesta al impulso h[n], la salida es Se pide y[n] = x[n] h[n] = l=. Calcular r yx [n+k,n] = E(y[n+k]x [n]). Calcular r y [n+k,n] = E(y[n+k]y [n]) h[l]x[n l] 3. Calcular la densidad espectral de potencia P y (e jω ). Calcular P y (z)

17 Proceso WSS filtrado. Correlación cruzada entre la entrada y la salida r yx [n+k,n] = E(y[n+k]x [n]) ( ) = E h[l]x[n+k l]x [n] r yx [k] = r x [k] h[k] = = l= l= x[n] WSS = l= h[l]e(x[n+k l]x [n]) h[l]r x [n+k l,n] l= h[l]r x [k l]

18 . Autocorrelación de la salida Proceso WSS filtrado r y [n+k,n] = E(y[n+k]y [n]) = E = l= m=n+k l = = m= ( y[n+k] h [n l]e(y[n+k]x [l]) = m= h [m k]r yx [m] h [ (k m)]r yx [m] l= l= x [l]h [n l] ) h [n l]r yx [n+k l] r y [k] = r yx [k] h [ k]

19 Proceso WSS filtrado. Autocorrelación de la salida Sustituyendo la autocorrelación cruzada se llega a r y [k] = r x [k] h[k] h [ k] () 3. Densidad espectral de potencia (PSD) Teniendo en cuenta que, h[k] DTFT H(e jω ) = h [ k] DTFT H (e jω ) si se aplica la DTFT a la ecuación se llega a que P y (e jω ) = P x (e jω )H(e jω )H (e jω ) = P x (e jω ) H(e jω ).

20 Proceso WSS filtrado. PSD en el dominio z Teniendo en cuenta que, h[k] Z H(z) = h [ k] Z H (/z ) si se aplica la transformada z a la ecuación se llega a que P y (z) = P x (z)h(z)h (/z ).

21 Referencias I Hayes, M. H. (996). Statistical Digital Signal Processing and Modeling, chapter 3. Wiley, st edition. Haykin, S. (995). Adaptive Filter Theory, chapter. Prentice Hall, 3rd edition.